定积分在经济问题中的应用[1]

定积分在经济问题中的应用*
许雁琴
( 河南机电高等专科学校, 河南新乡453002)
摘要: 定积分是微积分中的重要内容, 它是解决许多实际问题的重要工具, 在经济学中有着广泛的应用, 而且内
容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的
应用。
关键词: 边际函数; 总量生产函数; 投资; 剩余
中图分类号: O 29 .. .. .. .. .. .. 文献标识码: A.. .. .. .. .. .. 文章编号: 1008- 2093( 2010) 05- 0029- 03
1.. 由边际函数求总量函数
由于总量函数(如总成本、总收益、总利润等)的
导数就是边际函数(如边际成本、边际收益、边际利润
等), 当已知初始条件时, 即可用定积分求出总量函
数[ 1] 。在经济活动中经常遇到的求总量问题, 有以下
几类:
( 1)已知某产品的边际成本为C..( x ) ( x 表示产
量) , 固定成本C ( 0) , 则
.. 总成本函数C ( x) = ..x
0 C..( x ) dx+ C ( 0) ;
.. 累计产量从a到b( a< b )的总成本为
C= C ( b) - C( a) = ..b
aC..( x) dx。
( 2)已知某产品的边际收入为R..( x ) ( x 表示销
量) , 则
.. 销售x个单位的总收入函数
R( x) = ..x
0R..( x) dx;
.. 累计销售量从a到b时的总收入为
R= R ( b) - R( a) = ..b
aR..( x) dx
( 3)总收入扣除总成本为利润, 所以边际利润=
边际收入- 边际成本, 若已知边际收入R ( x1 ) ( x1 表
示产量)、边际成本C ( x2 ) ( x2 表示销量), 假设全部产
品无积压时( x1 = x2 = x) , 则
.. 所获总利润函数L( x) = R( x) - C( x )
= ..x
0 [ R..( x) - C..( x) ] dx- C( 0);
.. 当累计产量从a增加到b, 所获总利润
L( x) = ..b
a [ R..( x) - C..( x) ] dx
例1.. 已知生产某产品台的边际成本为
C..( x) =
150
1+ x2
+ 1(万元/台) ,
边际收入为
R..( x ) = 30-
2
5
x (万元/台)。
( 1)若固定成本为C ( 0 ) = 10 万元, 求总成本函
数、总收入函数和总利润函数;
( 2)当产量从40台增加到80台时, 求其总成本
与总收入的增量。
解.. ( 1)总成本为固定成本与可变成本之和, 于
是, 总成本函数为
C ( x) = C ( 0) + ..x
0C..( x) dx
= 10+ ..x
0 (
150
1+ x
2
+ 1) dx
= 10+ [ 150ln( x+ 1+ x2 ) + x] x
0
= 10+ 150ln ( x+ 1+ x2 ) + x
由于当产量为零时, 总收益为零, 即R( 0) = 0, 于
是总收益函数为
R( x) = R( 0) + ..x
0R..( x ) dx= 0+ ..x
0 ( 30-
2
5
x) dx
= ( 30x-
1
5
x2 ) .. x
0 = 30x-
1
5
x2
又总利润为总收入与总成本之差, 故总利润函数
为
L( x) = R ( x ) - C ( x ) = ( 30x-
1
5
x2 ) - [ 10 +
150ln ( x+ 1+ x2 ) + x]
= 29x-
1
5
x2 - 150ln ( x+ 1+ x2 ) - 10
( 2)当产量从40台增加到80台时, 总成本的增
量为
..80
40C..( x) dx= ..80
40 (
150
1+ x2
+ 1) dx= [ 150ln ( x+
29
第18卷第5期
.. 2010年09月
河南机电高等专科学校

学报
Jou rn al ofH enanM echan ical and E lectricalE ngineering C ollege
.. .. Vo .l 18 .. . 5
Sep. 2010
* 收稿日期: 2010..06..09
作者简介: 许雁琴( 1963..) , 女, 河南新乡人, 副教授, 主要从事应用数学研究。

1+ x2 ) + x] 80
40 .. 143. 96(万元)
当产量从40台增加到80台时, 总收入的增量为
..80
40R..( x) dx= ..80
40 ( 30-
2
5
x) dx( 30x-
1
5
x2 ) .. 80
40
= 240(万元)
2.. 由边际函数求总量函数的极值
设边际收益为R..( x) , 边际成本为C..( x) , 固定成
本为C( 0) , 则总利润函数为
L( x) = R ( x ) - C ( x) ,
当R..( x ) = C..( x) , 即x= x0 时利润最大, 且最大
利润为L( x0 ) = ..x0
0 [ R..( x) - C..( x) ] dx- C( 0)。
例2.. 某种产品的边际成本函数C..( x) = 0. 5x+
6(万元/吨), 固定成本为C ( 0) = 5万元, 边际收入函
数R..( x ) = 12- x(万元/吨), 求:
( 1)生产产量多少吨时利润最大? 最大利润是多
少?
( 2)从利润最大时再生产1吨, 总利润将如何变
化?
解.. ( 1) 总利润函数为L( x) = R( x) - C ( x ),
欲求最大利润, 只需求出L( x )的最大值即可。
.. L( x) = R( x) - C( x )
.. L..( x) = R..( x) - C..( x)
令.. L..( x) = 0得R..( x ) = C..( x)
即.. 12- x= 0. 5x+ 6
得唯一驻点x= 4, 因最大利润必定存在且驻点唯
一, 所以x= 4必定是最大值点,
所以x= 4时, 利润最大, 这时最大利润为
L( 4) = R ( 4) - C ( 4)
= ..4
0 [ R..( x) - C..( x) ] dx- C( 0)
= ..4
0 [ ( 12- x) - ( 0. 5x+ 6) ] dx- 5
= ..5
4 ( 6- 1. 5x) dx- 5= 7(万元)
( 2)产量由4吨增加到5吨时, 总利润的增加量
为
.. L= ..5
4 [R..( x) - C..( x ) ] dx= ..5
4 ( 6- 1. 5x) dx=
- 0. 75(万元)。
即从利润最大时的产量再多生产1 吨, 总利润反
而减少了0. 75万元。
说明, 在经济工作中, 企业增加产量并不意味着
增加收入, 只有合理安排生产量, 才能使企业获得最
大利润。
在经济分析中, 我们常用定积分来求经济总量及
变动值, 并通过对经济总量变动值的综合对比分析,
对企业的经营决策做出正确调整。
3.. 投资问题
若以年利率r作连续复利计息, 一笔A 元资金从
现在起存入银行, 则t年末的本利之和为A e
rt
(元) , 那
么称A ert为A元资金在t年末的将来值。
如果t年末希望得到A 元资金, 且按年利率r作
连续复利计算, 那么现在需要投入资金Ae - rt元, 称
A e- rt为资金A 的现值。
通常, 支付给某人的款项或某人获得的款项是离
散地支付或获得的, 即在某一特定时刻支付或获得
的。但是, 对于一个大系统(如公司或企业) , 其收入
与支出是随时流进和流出的, 这些收益可表示成连续
的收入流与支出流。
设某企业在时间区间[ 0, T]内的收入流的变化率
为f( t) (元/年或元/月等) , 这里假定f( t)在[ 0, T]上
连续, 且年利率为r, 则该企业在这

段时间内的收入流
的现值和将来值分别为
现值= ..T
0 f( t) e- rt dt
将来值= ..T
0 f( t) e( T- t) r dt
例3.. 某实验室准备采购一台仪器, 其使用寿命
为15年。这台机器的现价为100 万元, 如果租用该
仪器每月需支付租金1万元, 资金的年利率为5% , 以
连续复利计算。试判断: 是购买仪器合算还是租用仪
器合算?
解.. 将15年租金总值的现值与该仪器的现价进
行比较, 即可做出决策。
由于租用仪器时每月需支付租金1万元, 故每年
租金12万元, 即租金流的变化率为f( t) = 12, 于是
租金流总值的现值= ..15
0 12e- 0. 05t dt
= -
12
0. 05
e- 0. 05 t .. 15
0
= 240( 1- e- 0. 75 ) .. 15
0 .. 126. 6(万元)。
所以, 与该仪器现价100 万元相比较而言, 还是
购买仪器合算。
例4.. 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前
银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们
打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额
地为其孩子存入多少钱?
解.. 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A
元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将
来值达到5万元, 由公式( 2) , 得
..10
0 A e0. 02( 10 - t) dt= 50000
又
..10
0 A e0. 02( 10 - t) dt=
A ( e0. 2 - 1)
0. 02
,
得
A =
50000 .. 0. 02
e0. 2 - 1
.. 4517(元)。
即这对夫妇每年应等额地存入4517元, 10年后
才能为孩子攒够5万元的学费。
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河南机电高等专科学校学报.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2010年5期

4.. 消费者剩余与生产者剩余
在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就
大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f
( P)是价格P的单调递减函数。
同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给
就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q
= g( P)是价格P的单调递增函数。
由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所
以分别存在反函数P= f- 1 ( Q )与P= g- 1 (Q ) , 此时函
数P= f- 1 (Q )也称为需求函数, 而P= g- 1 ( Q )也称为
供给函数。
需求曲线(函数) P= f- 1 ( Q )与供给曲线(函数) P
= g- 1 ( Q) 的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供
需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对
某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。
如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格
(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的
总数称它为消费者剩余。
假设消费者以较高价格P= f- 1 ( Q ) 购买某商品
并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q + .. Q ]内
消费者消费量近似为f- 1 ( Q ) ..Q, 故消费者的总消费
量为..Q*
0 f- 1 ( Q) dQ, 它是需求曲线P= f- 1 ( Q )在O 与
Q* 之间的曲边梯形OQ* AP1 的面积, 如

图1。
图1
如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实
际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为
..Q*
0 f- 1 ( Q ) dQ - P* Q* ,
它是曲边三角形P* AP1 的面积。
如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有
以他们本来计划的以较低的售价P= g- 1 ( Q )出售该
商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。
同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的
收入总额, ..Q*
0 g
- 1
( Q ) dQ 是生产者按原计划以较低价
格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为
P* Q* - ..Q*
0 g- 1 ( Q) dQ,
它是曲边三角形P0AP* 的面积[ 2] 。
例5.. 设某产品的需求函数是P = 30- 0. 2 Q。
如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。
解.. 已知需求函数P= f- 1 ( Q) = 30- 0. 2 Q,
首先求出对应于P* = 10 的Q* 值, 令30- 0. 2
Q= 10, 得Q* = 10000。
于是消费者剩余为
..Q*
0 f- 1 (Q ) dQ- P* Q*
= ..10000
0 ( 30- 0. 2 Q) dQ - 10 .. 10000
= ( 30Q -
2
15
Q3 /2 ) .. 10000
0 - 100000
= 66666. 67(元)。
例6.. 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +
0. 01Q2, 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。
解.. 首先求出对应于P
*
= 425 的Q
* 值, 令425
= 250+ 3Q + 0. 01Q
2
, 得一正解Q
*
= 50, 于是生产者
剩余为
P* Q* - ..Q*
0 g- 1 ( Q) dQ
= 425 .. 50- ..50
0 ( 250+ 3Q+ 0. 01Q2 ) dQ
= 425 .. 50- [ 250Q +
3
2
Q2 + 0. 01 .. 1
3
Q3 ] .. 50
0
= 4583. 339(元)。
5.. 结语
综上所述, 对企业经营者来说, 对其经济环节进行
定量分析是非常重要的。将数学作为分析工具, 不但可
以给企业经营者提供精确的数值, 而且在分析的过程
中, 还可以给企业经营者提供新的思路和视角, 这也是
数学应用性的具体体现。因此, 作为一个合格的企业经
营者, 应该掌握相应的数学分析方法, 从而为科学的经
营决策提供可靠依据。(责任编辑.. 吕春红)
参考文献:
[ 1]侯风波. 经济数学基础[M ] . 北京: 高等教育出版社, 2004.
[ 2]邵剑, 李大侃. 高等数学专题梳理与解读[M ] . 上海: 同济大学出版
社, 2008.
The Application ofDefinite Integral in Economic Problems
XU Yan- q in
(H enanM echan ical and E lectrical Eng ineering College, X inx iang 453002, Ch ina)
Abstract: Def in ite integ ral is an essent ial o f ca lculus, and it is also an importantmeans to solvemany practical
problems. D efin ite integra l is app lied in econom ics w idely, and is abundant in con ten.t In th is paper, the app lica..
t ion of def in ite integral in such cases as aggregate productions function, investment strategy, consum er s' surp lus and
producers' surplus, is illustrated w ith specific examples.
Key words: defin ite integra;l m arg inal funct ion; agg regate production function; inves;t surplus
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许雁琴: 定积分在经济问题中的应用