2015年高考数学复习学案：圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义的教学设计1
圆锥曲线的统一定义的教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是高中数学的一个难点。
圆锥曲线的统一定义是我准备在学生学习完椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的性质之后,对圆锥曲线进行一节总结性的专题课.它一方面可以使学生进一步加深对圆锥曲线的理解与认识,使学生对圆锥曲线之间的关系有一个更加系统、完整的认识。
同时也让学生进一步提高用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合思想和分类讨论思想。
2、学情分析（1）知识分析：学生已经掌握圆锥曲线的基础知识，但知识还不系统、不完整。
已经掌握了化简、推导圆锥曲线的基本方法。
（2）年龄分析：本课的教学对象为高二学生，这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，已经具备对数学问题进行合作探究的能力。
但高二学生程度参差不齐，两极分化已经形成,个性差异比较明显。
(3）思维分析：学生的思维已经基本完成从形象思维向理性思维的过度，但对形象思维还有依赖，思维习惯上还有待教师引导，因此数形结合是引导学生的较好方法。
3、教学重点与难点根据学生的认知方式，这一节课内容特点，结合学情实际，我确定如下的教学重点和难点:教学重点：圆锥曲线的统一定义的生成、理解、应用。
教学难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
4、教学目标:新课标指出“三维"目标是一个密切联系的有机整体,应该在渗透知识和技能过程，同时成为学生树立正确价值观的过程。
这要求我们在教学中以知识技能为主线,渗透态度情感价值观.因此,我制定了以下的教学目标。
（1）知识与能力目标（直接性目标）:掌握圆锥曲线的共同性质,对圆锥曲线有一个系统、完整的认识；会用圆锥曲线的统一定义解决距离、最值问题。
（2）过程与方法目标（发展性目标）:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建圆锥曲线的统一定义等概念，使学生领会数形结合的数形思想和分类讨论思想.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观目标（可持续性目标)：在探究圆锥曲线的统一定义的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，体验在探究问题的过程中获得的成功感。
圆锥曲线定义
圆锥曲线定义
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e\ue1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0\uce\uc1时，为椭圆，当e=0时，为一点。
当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
平面内一个动点至一个定点与一条的定直线的距离之比是一个大于1的正常数e。
平面内一个动点至两个定点（焦点）的距离和等同于定长2a的点的子集（设动迪潘县p，两个定点为f1和f2，则pf1+pf2=2a）。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。
具体如下：
1) e=0，轨迹为一点或一个圆；
2) e=1（即到p与到l距离相同），轨迹为抛物线；
3) 0\uce\uc1，轨迹为椭圆；
4) e\ue1，轨迹为双曲线。
圆锥曲线的统一定义
认真 独立 限时第 1 页 共 1 页 圆锥曲线的统一定义班级 姓名 学号一、考纲点击了解圆锥曲线的统一定义，回顾圆锥曲线的几何性质，并能简单应用.二、基础达标1.圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比为一个常数e .这个常数e 叫做圆锥曲线的_________定点F 就是圆锥曲线的_________，定直线l 就是该圆锥曲线的___________．椭圆的离心率满足__________,双曲线的离心率满足________________，抛物线的离心率满足______________．2.椭圆13610022=+y x 的焦点坐标为________________离心率为___________准线方程为____________________．3. 双曲线1322=-y x 上一点P 到左焦点的距离为2，则点P 到左准线的距离为 .4.已知椭圆13610022=+y x 上有一点P 到左、右焦点的距离之比为3:2，则点P 到右准线的距离为 ．5．抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到y 轴的距离是__________.三、例题讲解例1．已知点)2,2(A ，若F 是抛物线x y 42=的焦点，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA +最小时，求点P 的坐标．变式1.已知定点)3,2(-A ，点F 位椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，求MF AM +的最小值，并求此时点M 的坐标．变式2.已知定点)3,5(A ，点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，点M 在此双曲线上运动，求MF AM 54+的最小值，并求此时点M 的坐标．。
高中数学 圆锥曲线的统一定义教案(1课时) 苏教版选修2-1
2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
二、教学重点、难点重点：圆锥曲线的统一定义。
难点：圆锥曲线的统一定义三、教学过程（一） 创设情境我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线。
如图（1）即1PFPA =时，点P 的轨迹是抛物线。
下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P 的轨迹又是什么曲线呢？比如：12PF PA=和2PFPA =时，动点P 的轨迹怎么变化？（二 ）师生探究（利用多媒体演示）我们可以观察出一个像椭圆，一个像双曲线。
下面我们来探讨这样个问题：（例1）：已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=2ac 的距离的比是常数ca（a＞c＞0），求点P的轨迹。
（问题的解决过程要充分体现求曲线的方程时确定曲线类型的有效手段）结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。
这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。
变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e ＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：如：焦点Ｆ（－c，０）与准线x＝－2a对应，焦点Ｆ（c，０）c与准线x＝2a对应．c思考一：想一想：焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？例２：求下列曲线的焦点坐标，准线方程（１）22-=（3）216y x=x y8322516400x y+=（2）22例3：已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，求点M的轨迹方程。
教学设计2：圆锥曲线的统一定义
《圆锥曲线的统一定义》教学设计【教学手段】多媒体演示 【教学方法】讨论发现法 【教学过程】 一、知识回顾1、学生看课本P28《椭圆的标准方程》、P36《双曲线的标准方程》在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为：ac x ca y c x =-+-222)(， 你能解释这个式子的意义吗？这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值ac，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？二、新课讲解已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c a x l 2:=的距离之比是常数)0(>>c a ac，求点P 的轨迹．解：由题意可得ac x ca y c x =-+-222)( 化简得)()(22222222c a a y a x c a -=+-．令222b c a =-，则上式可以化为)0(12222>>=+b a by a x 这是椭圆的标准方程．所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆．若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线（F 不在上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数ac就是双曲线的离心率．F 和到一条定直线（F 不在定直线上）的距离之比是一个常数．F（1） 椭圆的离心率满足0<<1，双曲线的的离心率>1，抛物线的的离心率＝1．（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是c a x 2±=；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是ca y 2±=．（3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义．三、新知巩固：1、学生填表（见课本P47习题 1、填空）2、学生板演：（见课本P46 （1）－（4）） 四、知识拓展：椭圆的焦半径公式：若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点和右焦点，则ex a PF ex a PF -=+=21，；若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的下焦点和上焦点，则ey a PF ey a PF -=+=21，；例2 椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点的准线方程为72x =-，求这个椭圆的方程．解析：椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-∴ 252a c =，225,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15x y ++= 例3 已知椭圆1361002=+yx 上有一点P ，到其左、右焦点距离之比为1：3， 求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案1
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标：(1)了解圆锥曲线的共同特征.(2)熟练利用坐标法求解曲线方程.(3)培养类比、联想、归纳、总结的能力.教学重点、难点：重点:圆锥曲线统一定义的推导难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.教学程序设计：(1)创设情境，引入新课：用平面截取圆锥面，得到椭圆、抛物线、双曲线，它们都是由平面截圆锥面所得，因此都称为圆锥曲线，这节课我们就一起来研究圆锥曲线的统一定义.(这个问题的设计：起了承上启下的作用，承上：前面的圆锥曲线第一定义，启下：本节所研究的圆锥曲线的统一定义，通过多媒体的演示，激发学习和探究知识的兴趣；通过图象说明问题.由“形”上共同特点类比得出“数”上的共同特点.)为了便于下面的探索活动，我设计知识回顾.复习回顾：1．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做____．表达式：2．平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于F 1F 2且不等于零)的点的轨迹叫做______．表达式：3．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做______．表达式：(这个环节的设计：是引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础.)接下来，我设计了问题1：(2)提出问题，探究新知y )到定点F (2，0)的距离和它到定直线x =-2的距离的比是常数1，问题1：曲线上点M (x ，求曲线的方程.(这个问题学生可能会从两个角度求解：1.定义法，2.坐标法，肯定定义法，强化坐标法的运用，为问题2，3的解决做好铺垫，强调如何解决有关根式化简的问题.由学生通过实物投影仪展示他们的解题过程，由其他学生点评，培养学生叙述和书写的正规化，完善学生的知识结构.这个问题的设计：是为了进一步让学生熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神)(在充分肯定学生回答后，依次提出)问题2：曲线上点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定线l:x=8的距离的比是常数曲线还是抛物线吗？如果不是，又会是什么呢？问题3：曲线上点M(x，y)到定点F(-4，0)的距离和它到定线l:x=-1的距离的比是常数2，求曲线的方程.曲线还是抛物线或者椭圆吗？如果不是，又会是什么呢？(学生同样采用分组讨论，通过实物投影仪展示解题过程，这样的设计：是让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.)通过上面3个问题的研究，提出问题4：让学生们观察对比动点到定点和到定直线的距离的比值，与该动点轨迹图形有什么关联呢？分组讨论交流，最后由学生表述结论，老师最后给出标准的圆锥曲线的统一定义，结论：椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e的点的集合.当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线.其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.(强调比值的顺序性)强调此定义中三个关键词：比值、定点、定直线，并分别给予定义.(这个环节的设计：突出了本节课的重点，圆锥曲线的统一定义，通过学生展示解决问题的方法，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，重点和难点初步突破.把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.培养学生的类比、联想、归纳、概括能力)通过课前的预习学生知道抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，强调焦点准线对应关系.为了巩固圆锥曲线的统一定义，我设计如下的例题：(3)巩固新知，深化理解例求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S.平面σ截S所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球O1和O2分别与平面σ相切于点F1和F2.球O1的切点圆所在的平面记为平面δ，平面δ和平面σ相交于直线l，则l为椭圆的准线.1，2分别作球的半径O 1F 1和O 2F 2，则O 1F 1⊥平面σ，O 2F 2⊥平面δ因此O 1F 1//O 2F 2，O 1F 1和O 2F 2确定一平面O 1O 2F 1.平面σ的交点必在F 1F 2上，并且F 1F 2为O 1O 2在平面所以直线F 1F 2为平面O 1O 2F 1与平面σ的交线，O 1O 2与σ内的射影.又因为直线l 是平面σ和平面δ的交线，所以O 1O 2⊥l ，从而F 1F 2⊥l .(三垂线定理)即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.为了让学生与已经学过的圆锥曲线第一定义联系起来，我设计如下的变式训练：(4)．变式探究，强化方法x 2y 2变式训练：已知双曲线-=1上一点P 到其左焦点的距离是10，求点P 到右准线的169距离.(此题是双曲线的两个定义的综合应用，强调焦点与准线的关系.)为了检查学生本节课对圆锥曲线的统一定义掌握情况，我设计了以下当堂检测.(5)．知识应用【当堂检测】：1.动点P 到点(3，1)的距离与它到直线x =8的距离之比为3，则点P 的轨迹是；2.动点P 到点(-1，2)的距离与它到直线x =8的距离之比为0.8，则点P 的轨迹是；3.动点P 到点(6，0)的距离与它到直线x =-9的距离相等，则点P 的轨迹是；4.动点P 到直线x =6的距离与它到点(2，1)的距离之比为0.5，则点P 的轨迹是；5．已知双曲线4x 2－9y 2 =36，①若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左焦点的距离.②若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左准线的距离.③求双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比.(这5题由浅入深，符合学生的思维发展规律，目的是突出重点，突破难点.)(6)．课堂小结(通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法)。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义解读江苏王冬琴圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想.一、圆锥曲线的统一定义1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线.①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径.运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示.3．注意事项（1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件.（2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。
这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率.（3）准线与圆锥曲线一定没公共点.（4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MFed=，若1e>，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1e<，则动点M的轨迹不存在.二、圆锥曲线的几何性质说明：通径是过圆锥曲线的一个焦点与对称轴垂直的弦叫做通径，焦准距是焦点到对应准线的距离.三、直线与圆锥曲线的位置关系利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程有几个根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便.1．直线:l y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =交于点111(,)P x y ，222(,)P x y , 由20(0)(,)0y kx bAx Bx C A f x y =+⎧⇒++=≠⎨=⎩。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义（一）教材分析：（1）教材内容《圆锥曲线的统一定义》是普通高中新课程标准实验书北师大版《数学》选修2—1第三章第4节的内容.本节主要研究圆锥曲线的共同特征，在整个教材中起着承上启下的作用。
（2）教学目标：根据新课标的具体要求，结合学生已有认知，我制定了如下三维教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的共同特征;熟练利用坐标法求解曲线方程.过程与方法：利用坐标法来探究圆锥曲线统一定义，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
情感、态度与价值观：通过自主探究、合作交流激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会圆锥曲线和谐美和对称美，培养学生良好的审美习惯和思维品质。
（3）教学重点难点：根据三维目标的要求及学生的实际情况，确定本节课的重点是圆锥曲线统一定义的推导。
教学的难点是对圆锥曲线统一定义的理解与运用。
（二）学情分析：我的授课对象是高二学生，他们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义和它们的标准方程，前一节又学习了如何利用坐标法求曲线的方程.为本节新课内容的学习奠定了良好的基础.（三）教法学法：根据以上学生的认知水平及教材内容特点，本节课我主要采用了“任务驱动法”“科学推理法”“归纳讲解法”并借助现代多媒体教学手段的综合探究式教学，学生在教师有效的引导下，突出“自主探究、合作学习、互动交流”的学习方式，经历知识的发现过程。
以教师为主导，学生为主体完成本节课的教学任务。
设计思想研究教法和学法是搞好教学的前提和基础，而合理安排教学过程，则更为关键。
本节课我根据从特殊到一般，再从一般到特殊的科学思维方法，设计了以下几个环节，环环相扣,层层深入，逐步推进，帮助学生实现由感性认识到理性认识的飞跃。
（四） 教学过程：（1）创设情境，引入新课：高尔基说：“好奇是了解的开端和引向认识的途径。
”教学中，我重视课堂导入的设计,首先用一个“平面截圆锥”的动画并配合动画效果，激发学生的兴趣，引出“圆锥曲线”这一名称。
圆锥曲线的统一定义复习
圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．2、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为2、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__2、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的焦点到相应准线距离等于a ，则椭圆的离心率为2、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．3、椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是 ．圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．x 23＋y 24＝12、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．解 易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.解由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．解据题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 22、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ A ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2. ∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1.又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6.4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．9,1解析 由PFa2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 4 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 131327探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__32、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．解： (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1，得a ＝5，b ＝3，c ＝4. 所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点． 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得，椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知，点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义，得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′. 所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知，当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝553(舍去负值)， 即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．【解】 由双曲线的方程，知a ＝2，b ＝23，∴c ＝4，离心率e ＝ca ＝2，右准线的方程为x ＝1，设点P 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线的定义，有PF d ＝2，即12PF ＝d ，如图所示，过P 作右准线的垂线，垂足为D ，则P A ＋12PF ＝P A ＋d ＝P A ＋PD ，所以当P ，A ，D 三点共线时，P A ＋PD 的值最小，为4－1＝3.探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+babyax的焦点到相应准线距离等于a，则椭圆的离心率为215-2、已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝32，则a＝______，该双曲线的离心率为______．3233解析由已知得a2a2＋1＝32，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又∵a>0，∴a＝3，离心率e＝ca＝3＋13＝233.3、椭圆22221()x ya ba b+=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22a bcc c-=， |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c21112cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，又e∈(0,1) 故e∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则该离心率e的取值范围是．)1,12[-。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义学习目标：1.了解圆锥曲线的共同性质并能够解决简单问题.2.能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程.课前预学阅读教材P55-56页内容，完成以下问题：问题1:我们通常把 、 、 统称为圆锥曲线.问题2: 圆锥曲线的统一定义椭圆:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个椭圆,定点F 是椭圆的 ,定直线l 是椭圆的一条准线,比值常数是椭圆的离心率.双曲线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个双曲线,定点F 是双曲线的 ,定直线l 是双曲线的一条准线,比值常数是双曲线的离心率.抛物线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比 时,动点P 的轨迹是一个抛物线,定点F 是抛物线的 ,定直线l 是抛物线的 ,比值常数是抛物线的离心率.问题3:圆锥曲线的共同性质圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当 时,圆锥曲线是椭圆;当 时,圆锥曲线是双曲线;当 时, 圆锥曲线是抛物线.我的疑惑：预学检测1.动点M (x ,y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l :x=错误！未找到引用源。
的距离的比是错误！未找到引用源。
,则动点M 的轨迹形状是 .2.直线y=kx-k+1与椭圆14922=+y x 的位置关系是 . 3.若双曲线的一个焦点为F (0,2),相应准线方程是y=1,则双曲线方程是 .4.已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离相等,求曲线方程. 课堂探究【问题1】已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离的比是错误！未找到引用源。
, 求曲线方程.变式1：若双曲线错误！未找到引用源。
的一条渐近线和一条准线的交点是(1,错误！未找到引用源。
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。
如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
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一教材分析
1．教学内容
高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义
方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用
前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点
圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：
（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标
知识目标
圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标
（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标
（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析
高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。
三学法分析
1．指导读书
指导读书是培养学生自学能力以获得知识的一种非常好的方法，我在课堂上让学生带着
问题研究课本知识。
这不仅可以引导他们重视基础知识的作用，也可调动学生学习的积极性和主动性。
2．指导分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，选择最佳方案加以解决，从而避免“瞎撞、乱撞”的不良解题习惯。
四教学过程
五板书设计
在数学解题过程中，当思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将已
学过的知识（如例1与例2）或已掌握的解题方法（如例3、例4、例5）迁移过来，就有“柳暗花明又一村”的感觉了。
当然类比在解析几何的实际应用还有很多，例如新课学习焦半径，中点弦的应用等等都可以通过类比来进行学习。
通过类比，学生可以对所学知识形成一个完整的体系，前后知识
融会贯通后就能达到举一反三了。
研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。
在强调素质教育的今天，类比的方法应该得到进一步的加强。
中学数学教材中可用来类比的素材很多，这就有待我们教师在教学中总结发现，把培养学生的类比联想思维的工作落到实处，那我们学生的思维就会上一个台阶。