几何证明的好方法截长补短

几何证明的好方法——截长补短

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……

补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……

几种截长补短解题法类型

我们大致可把截长补短分为下面几种类型；

类型①a±b=c

类型②a±b=kc

类型③

±a b c

类型④c²=a·b

对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。

对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。实际上是求类型②中的k值。

对于类型④，将c²=a·b化为c

a

=

b

c

的形式，然后通过相似三角形的比例关系进

行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：

B A

在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

方法一（好想不好证）

B A

方法二（好证不好想）

B A

M

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

E

（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。

求证：EF=DE+BF

（1）变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形c

D

正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？

（1）变形

d

F

E

正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求∆AEF 的面积

（1）解：（简单思路）

F

E

延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。

由四边形ABCD 是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD=∠GAF

所以∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAE=∠FAE=45o

又AG=AF

AE=AE

所以∆EAG≅∆EAF（SAS）

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o

AD=AB

又DE=BG

所以∆ADE≅∆ABG（SAS）

∠EAD=∠GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB

=∠DAG+∠EAD=∠GAE

所以∠GAF=∠GAE-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAF=∠EAF=45o

又AG=AE

AF=AF

所以∆EAF≅∆GAF（SAS）

EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形b解：（简单思路）

G

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB

=∠BAF+∠GAB=∠GAF

所以∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAE=∠FAE=45o

又AG=AF

AE=AE

所以∆EAG≅∆EAF（SAS）

EF=EG=ED-GD=DE-BF

变形c解：（简单思路）

G

D

EF=BE+FC

延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由∆ABC是正三角形得

∠ABC=∠ACB=60o

又DB=DC，∠BDC=120o

所以∠DBC=∠DCB=30o

∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o+30o=90o

∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o+30o=90o

所以∠GCD=180o-∠ACD=90o

∠DBE=∠DCG=90o

又DB=DC，BE=CG

所以∆DBE≅∆DCG（SAS）

∠EDB=∠GDC

DE=DG

又∠DBC=120o=∠EDB+∠EDC

=∠GDC+∠EDC=∠EDG

所以∠GDF=∠EDG-∠EDF

=120o-60o=60o

∠GDF=∠EDF=60o

又DG=DE

DF=DF