北师大版数学必修四：《向量的加法与减法》导学案(含解析)

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《向量的加法》教案完美版

《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。

1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。

2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。

2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。

3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。

3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。

第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。

4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。

4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。

第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。

6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。

6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。

第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。

高一数学教学案2.2向量的加减法运算北师大版必修4

研卷知古今；藏书教子孙。
年级高一授课时间学习重点
学习难点
教案、学案用纸
学科数学课题向量的加减法运算
撰写人
时间
用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和与差向量
理解向量加减法的定义.
⑴掌握向量加法的定义学 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和习向量目 ⑶理解向量加法的运算律
标
教学过程一自主学习
向量的三角形及平行四边形法则
向量的反向量
向量加法与减法的几何意义
二师生互动
研卷知古今；藏书教子孙。
例 1 如图 5，O 为正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 的中心，试作出下列向量：
（1） OA1 OA3 ；（2） OA3 A6 A5 ；（3） A2 A3 A6 A5 ；（4） A1 A3 A4 A6 A3 A4 ；（5） A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 A5 A6
D. AC DC AB BD
3.在 ABCD 中， BC DC BA 等于（）.
A. BC B. DA
C. AB D. AC
4. AB BC CD =
；
OA OC BO CO =
.
5. 已知向量 a 、 b 满足 a b b 且 b 1 ，则 a a b =
研卷知古今；藏书教子孙。
三巩固练习
1. 平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，则 AC BA 等于（）.
A. a B. b
C. 0 D. a b
2. 下列等式不正确的是（）.
A. a 0 a

北师大版数学高一必修4教学设计向量的加法

教学设计2.1 向量的加法整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,英主要内容是运用向量的左义和向疑相等的左义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明•同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解, 也为接下来学习向虽的减法奠泄基础，起到承上启下的重要作用•学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识•在向量加法的概念中，由于涉及到两个向虽:有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力•在实际教学中，类比数的运算，向就也能够进行运算.运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥•实际上, 引入一个新的疑后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题•教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认淸运算的左义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的•这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意, 由于向量有方向，因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题,从而使学生体会向屋运算与数的运算的联系与区别•这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点. 因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.三维目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义•能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作岀已知两向量的和向量.2.在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位豊关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向虽、共终点向量等.3.通过本节内容的学习，使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用•培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与英他知识的交汇特点.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则左义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（复习导入）上一忙我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并掌握了这些槪念的辨析判断•另外，向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节，我们先学习向量的加法.思路2.（问题导入）2004年大陆和台湾没有直航，因此春肖探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北上20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米，怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法,应怎样定义向屋的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同？图1活动:向虽是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成,如图1 •任大型生产车间里，一重物被天车从A处般运到B处，它的实际位移丽•可以看作水平运动的分位移疋与竖直向上运动的分位移4万的合位移.由分位移求合位移，称为位移的合成•由物理学知识我们知道，位移合成遵循平行四边形法则，即AB是以AC.AD为邻边的OACBD的对角线.数的加法启发我们，从运算的角度看•而可以认为是疋与而的和，即位移、力的合成看作向虽:的加法.讨论结果:①向呈加法的左义：如图2,已知非零向量a、b•在平而内任取一点A,作AB =a. BC =b,则向量AC叫作a与b的和，记作a+b.即a+b= AB + BC = AC .图2 求两个向量和的运算，叫作向量的加法.②向量加法的法则：1。

高中数学新北师大版精品教案《向量加法》

通过训练各种情况的作图，以加深对向量的加法的定义的理解。
学生理解后，自主尝试剖析
学情分析
高一学生具有一定直观感知能力，也具备物理学习中位移合成的基础；具有一定的数形结合和类比思想的基础．学生的理解能力比较强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。
归纳作法和特点，并指出位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
针对练习：跟踪训练1
引导
小组讨论，并在教师引导下归纳出三角形法则的作法及其作图特点。
使学生亲身参与探究过程，通过图形观察概括总结定义，能够激发学生的求知欲，有利于学生对知识的建构。通过问题讨论使学生深入思考，并且会用类比的思想来提出定义
教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量加法的定义。
（2）熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。（3）会利用向量分析求解实际应用问题。
2过程与方法
从学生身边熟悉的实例出发，学生经过观察、分析、归纳等方法概括出向量加法的概念，理解和体会实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养类比、分类、归纳、数形结合等能力。
3.情感、态度与价值观：从物理知识的引入到数学知识的形成过程，使学生体会到知识之间的相互联系，建立全面、科学的价值观。
教学重点和难点
项目
内容
解决措施
教学重点
向量加法的概念、
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
推导：自主思考、小组讨论、教师引导；
练习：各部分安排针对性的练习题
教学难点
对向量加法定义的理解
课堂教学设计表
章节名称
§向量的加法
学科
数学
授课时数
1课时
设计者

北师大版高中数学必修四向量的加法学案

第二教时向量的加法目的：1、理解向量加法的意义2、理解向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则作几个向量的和向量。

3、理解向量加法的运算律：交换律和结合律4、数形结合的数学思想方法。

学习重点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则学习难点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则及作图方法学习过程：一、情景导入：（3分钟）2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北经过香港，再抵达上海，这两次位移之和是什么？二、学导结合向量是否能进行运算？1．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+2．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ 3．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ 4．船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：=+ 向量的加法 1．定义：2．三角形法则（作图演示）：作图关键：平移向量使得两向量首尾相连 3．已知向量、，求作向量+及b +A BCA BCA B Cb作法：4．加法的交换律和平行四边形法则上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则2︒向量加法的交换律：a +b =b +a问题1：两种求和法则有什么关系？向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，但两个向量共线时，三角形法则更有优势。

加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

6.向量加法的多边形法则问题2：如何求平面内n （n ＞3）个向量的和向量？112231n n OA A A A A A A -++++u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L n OA =u u u u r问题3：若点O 与点An 重合，你将得出什么结论？例1：如图，一艘船从A 点出发以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

北师大版高中数学必修四教学案向量的加减法运算

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
年级高一授课时间学习重点
学习难点
教案、学案用纸
学科数学课题向量的加减法运算
撰写人
时间
用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和与差向量
理解向量加减法的定义.
⑴掌握向量加法的定义学 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和习向量目 ⑶理解向量加法的运算律
.
6. 在 ABC 中， BC a,CA b ，则 AB 等于（）.
A. a b B. a b C. a b D. a b
7. 化简 OP QP PS SP 的结果等于（）.
A. QP B. OQ C. SP D. SQ
8. 在正六边形 ABCDEF 中， AE m ， AD n ，则 BA =
D. AC DC AB BD
3.在 ABCD 中， BC DC BA 等于（）.
A. BC B. DA
C. AB D. AC
4. AB BC CD =
；
OA OC BO CO =
.
5. 已知向量 a 、 b 满足 a b b 且 b 1 ，则 a a b =
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
三固练习
1. 平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，则 AC BA 等于（）.
A. a B. b
C. 0 D. a b
2. 下列等式不正确的是（）.
A. a 0 a
B. a b b a
C. a b c a b c
A5
A6 O
A4 图5 A3

北师大版高中数学必修四平面向量的加法运算课时学案

OAa aa bbb《§2.2.1 向量加法运算及其几何意义》学案学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；3、掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。

学习重难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

学习过程【自主学习】1、复习：向量的定义以及有关概念。

2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：。

（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：。

（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：。

（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：_____________。

【重难点探究】1、向量加法的两个法则：（1）“三角形法则” 物理模型：位移的合成（2）“平行四边形法则” 物理模型：力的合成例1：已知向量a 、b ，求作向量a +b .C A B A B C A BCA B C2、a b +与a b +的大小关系：一般地，有a b a b +≤+（1）当a 、b 不共线时，______a b a b ++；（2）当a 、b ___________________时，=a b a b ++；当a 、b ___________________时，=a b a b b a +-（或-）. 3、向量加法的运算律：（1）交换律：____________________________________ （2）结合律：____________________________________。

高中数学必修四导学案-向量减法运算及其几何意义

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

易知-(-a ) = a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.OabBa ba -b注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )4．探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b２）若a ∥b ，如何作出a - b ？三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？ AOOB C5．练习：1。

北师大版高中数学高一必修4学案第二章2.1向量的加法

从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法预习课本P76～78，思考并完成以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[新知初探]1．向量的加法三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A作AB＝a，AD＝b，再作平行于AD的BC＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量AC叫作向量a与b的和，表示为：AC＝a＋b[点睛](1)两个向量的和仍是一个向量．(2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点．(3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．(4)两向量共线时用三角形法则求和．2．向量的加法满足交换律和结合律 a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()m ＋a ＋()b ＋c ＝()a ＋b ＋()c ＋m ( ) (2)AB ＋BC ＋CA ＝0 ( ) (3)||a ＋b ＝||a ＋||b ( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC 的是 ( ) A ．BA ＋AC B ．BD ＋DA ＋AC C ．AB ＋BD ＋DC D ．DC ＋BA ＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD 中，|AB ＋BC |＝ ( ) A ．2 B. 2 C ．1 D ．2 2答案：B4．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.解析：PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋OM ＋MQ ＝PQ . 答案：PQ向量求和[典例] 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ， AC ，AB 的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.[解](1)BC＋OE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式正确的是()①AE＋AH＝OC；②AH＋OF＝CG＋FB；③BE＋FC＝HD＋OH；④OG＋BE＝DO.A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选A①AE＋AH＝OC，正确；②AH＋OF＝BF＋GC，故②不正确；③BE＋FC＝HD＋OH，正确；④OG＋BE＝OD，故④不正确.利用向量的加法法则作图[典例]若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；[解]根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.延长AC，在AC 的延长线上作CE＝AC，则a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝AE(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|AE|＝212＋12＝2 2.利用向量加法的两种法则作图的方法法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的起点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共起点为起点的向量就是这两个已知向量的和[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法的应用[典例]一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．[解]如图，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向的速度，OC表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，|OB|＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，所以|OC|＝|AC|tan 30°＝|OB|×3＝53≈8.7(km)，|OC|＝|OA|cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.应用向量解决问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．[活学活用]如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3 N，F2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．解：作出F1和F2的合力F，如图所示．在直角三角形AOC中，|F1|＝3，|AC|＝|F2|＝4，|F|2＝|F1|2＋|AC|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，∴|F|＝5 N.层级一学业水平达标1．下列命题：①在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；②若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示() A．向东南走 2 km B．向东南走2 kmC．向东北走 2 km D．向东北走2 km解析：选A由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 2 km.3. 如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0 B．BEC．AD D．CF解析：选D BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF＋CB＝CF，所以选D. 4．下列命题错误的是() A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．6. 如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)07．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，AB＝a，AD＝b，则|a＋b|＝________.解析：因为四边形ABCD为菱形，所以|AB|＝|BC|＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC 为等边三角形．因为AB ＋AD ＝AC ，所以|AB ＋AD |＝|AC |＝1，即|a ＋b |＝1. 答案：19. 如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： ①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋EB ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC |＝|v 1|＝2 3. |AB |＝|v 2|＝2， ∴|AC |＝|v |＝|AB |2＋|BC |2＝22＋(23)2＝4.tan θ＝|BC ||AB |＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°.层级二应试能力达标1. 如图，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A．OH B．OGC．FO D．EO解析：选C设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO.3．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．4．向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是() A．若向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同C．若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同解析：选D对于D，向量a＋b与b的方向相同．5．化简：(AD＋MB)＋(BC＋CM)＝________.解析：原式＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC)＋CM＝AD＋MC ＋CM＝AD.答案：AD6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OD＋OD＋EF＝OD＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8. 如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b ＋c＋d.高中数学打印版精心校对版本(2)在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝e ，则a ＋e ＝OA ＋AB ＝OB ，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，所以|OB |即|a ＋e |最大，最大值是3.。

2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法教案高中数学必修四北师大版

2．1向量的加法2．2向量的减法●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．一架飞机要从A 地经B 地运物资到C 地，问从A 地到B 地，与从B 地到C 地这两次位移之和是什么？【提示】如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →.向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？【提示】向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →.1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？【提示】是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．－b ，即a －b 表示为从向量(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】法一以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .。

高中数学必修四向量的加法(2课时)教案北师大版Word版

从位移的合成到向量的加法（2课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】提出课题：向量是否能进行运算？某人从A到B，再从B按原方向到C，A B C则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 船速为，水速为BC ，则两速度和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 提出课题：向量的加法【探究新知】1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

2020-2021学年北师大版数学必修4学案：2.2.2 向量的减法 Word版含解析

2．2向量的减法考纲定位重难突破1.理解向量减法的法则及其几何意义．2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差.重点：1.向量的减法法则．2.向量的减法的几何意义．难点：向量的减法法则的应用及对几何意义的理解.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]1．相反向量与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)－(－a )＝a ；(3)a ＋(－a )＝－a ＋a ＝0；(4)若a 与b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：向量a 加上b 的相反向量，叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．[双基自测]1．在四边形ABCD 中，则AB →－CD →＋BD →＝( ) A.DB →B.AD →C.AB →D.AC →解析：AB →－CD →＋BD →＝AB →＋BD →－CD →＝AD →－CD →＝AC →. 答案：D2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →解析：由于D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AF →＝DE →，因此，AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →，故选D.答案：D3．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③D ．③④解析：因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B ，故选A.答案：A授课提示：对应学生用书第38页探究一向量减法的几何作用[典例1] 如图，已知不共线的两个非零向量a ，b ，求作向量a －b ，b －a ，－a －b.[解析] (1)作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，AB →＝b －a (如图①)．(2)对于－a －b ，有下列两种作法：作法一：作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝－a －b (如图②)．作法二：作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则CO →＝－a －b (如图③)．向量减法的实质是加法的逆运算，利用相反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减向量即可．1．作图：(1)如图①，已知向量a 和a ＋b ，求作b ； (2)如图②，已知向量b 和b －a ，求作a.解析：(1)取平面内任一点O ，作OA →＝a ，OB →＝a ＋b ，连接AB ，则向量AB →＝b 为所求(图①)．(2)在平面内任取一点O ，作OB →＝b ，以B 为终点，再作AB →＝b －a ，连接OA ，则OA →＝a 为所求(图②)．探究二向量减法的运算[典例2] 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． [解析] 解法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.解法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0.解法三设O 为平面内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 (AB →－CD →)－(AC →－B D →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.向量加减运算主要有两种解法：一是直接利用向量加减运算法则；二是引入点O ，将各向量统一用OA →，OB →，OC →，OD →等表示，然后进行化简．2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由菱形的性质，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.答案：C探究三向量加减法综合问题[典例3] 已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.[解析] 解法一如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →) ＝a ＋c －b.解法二 OD →＝OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝OA →＋BC →＋(AB →＋CD →)＝OA →＋BC →＋0. ＝OA →＋(BO →＋OC →)＝a ＋(－b ＋a ) ＝a －b ＋c .(1)关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．(2)用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．3．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|，得|a －b |＝|a |. (2)MB →＝AM →＝a －b ，在△MCB 中，CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )．从而由|CB →|＝|CA →|，得|a ＋(a －b )|＝|b |.向量加减法的几何意义应用中的误区[典例] 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0[解析] 因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立．BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立， AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． [答案] A[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据．其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

数学北师大版高中必修4《向量的加法》学案设计

《向量的加法》学案设计［设计内容］高中数学必修4，《从位移的合成到向量的加法》中第一课时《向量的加法》（北京师范大学出版社）第5版。

［学案设计］一、学习任务这节课的学习任务是：已知两个或三个向量或更多的向量，求出它们的和；二、学习目标：⑴掌握向量加法的定义及法则，了解向量加法的两个运算律；⑵熟练运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求向量的和；（3通过物理学中位移、力等矢量的合成到向量的加法的三、学习的重点与难点1、学习的重点：对向量加法法则形成的理解；2、学习的难点：对向量加法法则实则性的理解；四、学习内容（一）分析几个问题引例1：从上海到台北有两种航行的方法，过去要绕道香港，再到台北，走了很多冤枉路，现在直接可以从上海飞往台北.A BO 1F 2F 问：（1）两种航行方式的路程是不是一样的？(2)若从位移这个意义上来说，两种航行方式的效果是不是一样的?(3)你能不能用物理中矢量的知识说明这个问题?引例2：在物理中如何求作用于O 点的两个力F 1、F 2的合力？用的是什么方法？力是什么量？什么样的量叫做矢量？在数学中，既有大小又有方向的量叫做什么量？在物理中我们能求出两个矢量的和，那么在数学中能不能求出两个向量的和？如图所示，利用向量的表示，从点O 到点A 的位移为，从点A 到点B 的位移为，那么经过这两次位移后的合位移是AO Bb a则：向量，，三者之间有什么关系？（二）法则的发现：1 你能根据上面的问题完成⑴什么是向量的加法？ ⑵向量的加法的法则是什么？ ⑶这个法则是否具有普通意义？ ⑷请将这个法则的操作过程用文字语言叙述出来？应用练习11、已知如图，,两个向量，请分别作出它们的和，并判断+与+是否相等。

ab（1）a bc1A 6A 5A 4A 3A 2A 1A 1-n A 2A 3A 4A aabb（2）（3）2．⑴现有c b a ,,三个向量，请作出它们的和。

⑵根据图象判断c b a ++)(与)(c b a ++是否相等？引例3．一小车在拉力F 的作用下由A 地拉到B 地,再由B 地拉到C 地, 由C 地拉到D 地, 由D 地拉到A 地,则小车在拉力F下做的功是多少?练习:1.如图，对于正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6求： ①6554433221A A A A A A A A A A ++++＝。

高中数学必修四导学案-向量的加法运算及其几何意义

2. 2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学过程：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：=+A BCA BCCOAa aa bbb（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当与同向时，则+、、同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) ==+ ∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略a练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第２、３题六、板书设计（略）2.2.1 向量的加法运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。

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第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)= ;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)= ;如果a、b互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,连接AC,则错误！未找到引用源。

=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b= ;(2)结合律:(a+b)+c=a+ =a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,则错误！未找到引用源。

= ,即把两个向量的起点放在一起,这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的点为终点的向量.(2)平行四边形法则如图,作错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,以OA、OB为边作平行四边形OACB,连接BA,则错误！未找到引用源。

=a-b.从图中可以看出,一个向量减去另一个向量,等于此向量加上另一个向量的相反向量.(3)注意问题:①两个向量的差是一个向量,当两个向量不相等时,相减得到的向量的方向指向被减向量,当两个向量相等时,差为零向量,方向是任意的;②向量减法的实质是加法的逆运算,根据相反向量的定义,错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

,就可以把减法化为加法,用三角形法则作向量减法时,只要记住连接两向量终点,箭头指向被减向量即可;③以向量错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b 为邻边作平行四边形ABCD,则错误！未找到引用源。

= ,错误！未找到引用源。

= .1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示().A.向东南走错误！未找到引用源。

kmB.向东南走2 kmC.向东北走错误！未找到引用源。

kmD.向东北走2 km2.化简错误！未找到引用源。

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的结果().A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

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3.在矩形ABCD中,若|错误！未找到引用源。

|=3,|错误！未找到引用源。

|=4,则|错误！未找到引用源。

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|= .4.如图,已知不共线的向量a,b,求作向量a+b,a-b.向量的加、减运算化简:(错误！未找到引用源。

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).向量的三角形法则与平行四边形法则的运用已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,错误！未找到引用源。

=c,证明:c+a-b=错误！未找到引用源。

.与零向量有关的问题若向量满足关系式|a+b|=|a-b|,则下列结论中正确的是().A.以a,b为邻边的四边形是矩形B.a,b中至少有一个零向量或a⊥bC.a,b中至少有一个零向量D.a,b均为零向量化简下列各式:①错误！未找到引用源。

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;②错误！未找到引用源。

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;③错误！未找到引用源。

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;④错误！未找到引用源。

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.结果为零向量的序号是.如图,在平行四边形ABCD中,设错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b.(1)用a、b表示向量错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

.(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=0,则下列结论中正确的是().A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点(2)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为,|a-b|的最大值为.1.在△ABC中,错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,则错误！未找到引用源。

等于().A.a+bB.a-bC.-a-bD.b-a2.下面四个式子中不能化简到错误！未找到引用源。

的是().A.错误！未找到引用源。

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B.错误！未找到引用源。

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3.在△ABC中,|错误！未找到引用源。

|=|错误！未找到引用源。

|=1,则|错误！未找到引用源。

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|的值为.4.化简(错误！未找到引用源。

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).(2013年·广东卷)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc.④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4考题变式(我来改编):答案第2课时向量的加法与减法知识体系梳理问题1:求两个向量的和和向量-a a 零向量零向量0-b -a 0(-b)减法问题2:错误！未找到引用源。

=a+b问题3:(1)b+a (2)(b+c)问题4:终点指向(1)a-b 终(2)a+b b-a基础学习交流1.A根据三角形或平行四边形法则,可知向量a+b表示向东南走错误！未找到引用源。

km.2.C错误！未找到引用源。

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=0.3.5由题意,可知错误！未找到引用源。

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,|错误！未找到引用源。

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=5.4.解:(法一)如图,设a=错误！未找到引用源。

,b=错误！未找到引用源。

,过点B作错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=b,则根据向量加法的三角形法则可得错误！未找到引用源。

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=a+b.在平面内任取一点O,作错误！未找到引用源。

=a,错误！未找到引用源。

=b,则错误！未找到引用源。

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=a-b.(法二)如图,设a=错误！未找到引用源。

,过点A作错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=b,再根据向量加法的平行四边形法则,可得以AB、AF为邻边作出平行四边形的对角线错误！未找到引用源。

=a+b,设a=错误！未找到引用源。

,过点O作错误！未找到引用源。

=b,错误！未找到引用源。

'=-b,根据向量的平行四边形法则,可得以错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

为边作出平行四边形的对角线错误！未找到引用源。

=a+(-b)=a-b.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(错误！未找到引用源。

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=0.(法二) (错误！未找到引用源。

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=0.(法三)设O为平面内任意一点,则有(错误！未找到引用源。

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