北师大版数学必修四：《向量的加法与减法》导学案(含解析)
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第2课时向量的加法与减法
1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.
2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.
3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?
问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.
的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);
长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)= ;
零向量的相反向量是;
任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)= ;
如果a、b互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ;
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.
问题2:向量加法法则.
(1)三角形法则
如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,连接AC,则错误！未找到引用源。
=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.
(2)平行四边形法则
如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,以AB、AD为边作平行四边形
ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.
问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?
(1)交换律:a+b= ;(2)结合律:(a+b)+c=a+ =a+b+c.
问题4:向量减法法则.
若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.
(1)三角形法则
如图,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,则错误！未找到引用源。
= ,即把两个向量的起点放在一起,这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的点为终点的向量.
(2)平行四边形法则
如图,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,以OA、OB为边作平行四边形OACB,连接
BA,则错误！未找到引用源。
=a-b.
从图中可以看出,一个向量减去另一个向量,等于此向量加上另一个向量的相反向量.
(3)注意问题:①两个向量的差是一个向量,当两个向量不相等时,相减得到的向量的方向指向被减向量,当两个向量相等时,差为零向量,方向是任意的;②向量减法的实质是加法的逆运算,根据相反向量的定义,错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。
,就可以把减法化为加法,用三角形法则作向量减法时,只要记住连接两向量终点,箭头指向被减向量即可;③以向量错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b 为邻边作平行四边形ABCD,则错误！未找到引用源。
= ,错误！未找到引用源。
= .
1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示().
A.向东南走错误！未找到引用源。
km
B.向东南走2 km
C.向东北走错误！未找到引用源。
km
D.向东北走2 km
2.化简错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
的结果().
A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.0
D.错误！未找到引用源。
3.在矩形ABCD中,若|错误！未找到引用源。
|=3,|错误！未找到引用源。
|=4,则|错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
|= .
4.如图,已知不共线的向量a,b,求作向量a+b,a-b.
向量的加、减运算
化简:(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
).
向量的三角形法则与平行四边形法则的运用
已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,错误！未找到引用源。
=c,证明:c+a-b=错误！未找到引用源。
.
与零向量有关的问题
若向量满足关系式|a+b|=|a-b|,则下列结论中正确的是().
A.以a,b为邻边的四边形是矩形
B.a,b中至少有一个零向量或a⊥b
C.a,b中至少有一个零向量
D.a,b均为零向量
化简下列各式:①错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
;②错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
;③错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
;④错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
.结果为零向量的序号是.
如图,在平行四边形ABCD中,设错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b.
(1)用a、b表示向量错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
.
(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?
(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0,则下列结论中正确的是().
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
(2)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为,|a-b|的最大值为.
1.在△ABC中,错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,则错误！未找到引用源。
等于().
A.a+b
B.a-b
C.-a-b
D.b-a
2.下面四个式子中不能化简到错误！未找到引用源。
的是().
A.错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
C.(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)
D.(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+错误！未找到引用源。
3.在△ABC中,|错误！未找到引用源。
|=|错误！未找到引用源。
|=|错误！未找到引用源。
|=1,则|错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
|的值为.
4.化简(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
).
(2013年·广东卷)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc.
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是().
A.1
B.2
C.3
D.4
考题变式(我来改编):
答案
第2课时向量的加法与减法
知识体系梳理
问题1:求两个向量的和和向量-a a 零向量零向量0-b -a 0(-b)减法
问题2:错误！未找到引用源。
=a+b
问题3:(1)b+a (2)(b+c)
问题4:终点指向(1)a-b 终(2)a+b b-a
基础学习交流
1.A根据三角形或平行四边形法则,可知向量a+b表示向东南走错误！未找到引用源。
km.
2.C错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0.
3.5由题意,可知错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,|错误！未找到引用源。
|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=5.
4.解:(法一)如图,设a=错误！未找到引用源。
,b=错误！未找到引用源。
,过点B作错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=b,则根据向量加法的三角形法则可得错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=a+b.
在平面内任取一点O,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,则错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=a-b.
(法二)如图,设a=错误！未找到引用源。
,过点A作错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=b,再根据向量加法的平行四边形法则,可得以AB、AF为邻边作出平行四边形的对角线错误！未找到引用源。
=a+b,设a=错误！未找到引用源。
,过点O作错误！未找到引用源。
=b,错误！未找到引用源。
'=-b,根据向量的平行四边形法则,可得以错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
为边作出平行四边形的对角线错误！未找到引用源。
=a+(-b)=a-b.
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0.
(法二) (错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0.
(法三)设O为平面内任意一点,
则有(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
) =错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=0.
【小结】在化简向量时可以利用三角形法则或平行四边形法则,特别是当含有减法时,可以从不同的角度来考虑:①利用相反向量,可将减法看成加法的逆运算进行求解;②把需要化简的两个向量化成起点相同的向量,再利用三角形法则或平行四边形法则进行化简;③将所有的向量都化成是同一个起点的向量,再进行化简.
探究二:【解析】(法一)c+a=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
+b=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,
∴c+a=错误！未找到引用源。
+b,即c+a-b=错误！未找到引用源。
.
(法二)c+a-b=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
.
在平行四边形ABCD中,∵错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,
∴错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.
∴c+a-b=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.
【小结】充分利用向量加法的定义和三角形法则,结合平行四边形本身的特点,将一些不能明显做加、减运算的向量进行化简,是解决本题的关键,同时也要注意证明问题的方法.
探究三:【解析】当a,b均为非零向量时,由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知,a+b与a-b分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线,由|a+b|=|a-b|知,这个平行四边形的对角线长度相等,故以a,b为邻边的平行四边形是矩形,则a⊥b.
[问题]a,b一定是非零向量吗?
[结论]a,b不一定是非零向量,故要考虑a,b为零向量时的情形,因此,正确选项是B.
【答案】B
思维拓展应用
应用一:①②④①错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0;
②错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0;
③错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
;
④错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=0.
应用二:(1)错误！未找到引用源。
=a+b,错误！未找到引用源。
=a-b.
(2)若a+b与a-b垂直,即平行四边形的两条对角线互相垂直,则平行四边形为菱形,故a、b应满足
|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线的长度相等,所以平行四边形为矩形,故a、b应满足
a⊥b.
应用三:(1)D(2)420(1)如果四边形ABCD为正方形,点O是四边形ABCD的中心,则必有错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0,但是反过来由错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=0,却推不出四边形ABCD为正方形,点O也就可能不是四边形ABCD的中心,结合图形并可通过举反例逐个排除,正确的只有D.
(2)设a=错误！未找到引用源。
,b=错误！未找到引用源。
,则当a与b同向
时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||.
当a与b反向时,|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.
当a与b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,如图所示.因此,当a与b共线且反向时,|a+b|取得最小值,且为12-8=4;当a与b共线且反向时,|a-b|取得最大值,且为12+8=20.
基础智能检测
1.C错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=-a-b.
2.A对于A,错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
.对于B,错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.对于C,(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.对于D,(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.故选A.
3.1在△ABC中,由错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,|错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
|=|错误！未找到引用源。
|=1.
4.解:(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)+(错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)-(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.
全新视角拓展
B命题①正确,因为对于非零向量a,任意给定向量b,均存在a-b,即存在向量c;利用平面向量基本定理易知命题②正确;命题③不正确,若|a|=错误！未找到引用源。
,给定的单位向量b满足a·b=0,μ=1时,对任意的λ,c恒有|a-λb|=错误！未找到引用源。
≥错误！未找到引用源。
,|μc|=1,即a-λb=μc,不可能成立;命题④不正确,若|a|=3,λ=μ=1,则不存在单位向量b,c满足a=λb+μc,因为|λb+μc|≤λ+μ=2,所以a≠λb+μc.
思维导图构建
三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a 三角形法则平行四边形法则。