中考专题：垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相
等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝
BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段
的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点
D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线
段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的
定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的
距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、
BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的
交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.
经典例题：
m
图1
D
A
B
C
m
图2
D
A
B
C
j
i
k
图3
O
B
C
A
例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习：
已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直
平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是
如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，
那么∠EBC 是
例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

针对性练习：
已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC
求证：点O 在BC 的垂直平分线
例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

针对性练习：
1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，
求证：BD ＝AC ＋CD. 证明：
课堂练习：
1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ）
A.CD 垂直平分AD
B.AB 垂直平分CD
C.CD 平分∠ACB
D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且
B C D
E
B
A
C O
N
图8B C
D A
PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 4.如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，
如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.
6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .
课后作业：
1. 如图7，在△ABC 中，AC ＝27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△ACE
的周长为50，求BC 边的长.
2. 已知：如图所示，∠ACB ，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP 。

角平分线
知识要点详解
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的
角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.
图4
C D
O
A
B F
E D
B
P
图7E
D
A
C
B
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线 （2）会
作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
经典例题：已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ，
PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF
针对性练习：
已知：如图所示PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC
中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.
课堂笔记：
针对性练习：
如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平
分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补， 求证：AD ＝CD.
1. △ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC ，则腰长为
________________。

2. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD
之间的距离等于______________。

A B
O E
C D
３已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 。

求证： M B=MC
课后作业：
1.如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .
2. 如图所示，直线l l l 123，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D.
四处 l 3 l 1
l 2
图11-1图11-2
A
A
E
A C
B D D
D
E B D
A C F
E
M
B
D A。