第5讲-垂直平分线与角平分线(上))

垂直平分线与角平分线(上)
垂直平分线的性质： 垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等。
【例1】△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线交BC于 D，DF⊥AC交F，交BC边上的高于G，求证：EG＝ EC。 A
F G
垂直平分线的判定： 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
B
D
A
P
B
D
C
【例5】⑴如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画 一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你 参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。
M
O
P
N
3
【例5】⑵如图，在△ABC中，∠ACB是直 角，∠B＝60° ，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、 CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数 量关系。 B
A 1 B2
E D3
C
4
C E
角平分线的定义： 把一个角分成两个相等的一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个 相等的角。 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定定理：
如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个 等角，那么这条射线是这个角的平分线，到一个角两边距离 相等的点在这个角的平分线上。
E FD
A
C
【例5】⑶如图，在△ABC中，如果∠ACB不 是直角，而⑴ 中的其他条件不变，请问，你在⑵中所得结论是否 仍然成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由。 B
EFD
A
C
【例6】已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC
，BE平分∠ABC，
CE⊥BE。求证：CE＝
1 2
BD。
【例3】如图所示，在△ABC中， ∠BAC＝90° ，AD⊥BC于 D，∠BCA的角平分线交AD于F，交AB于E，FG平行 于BC交AB于G，AE＝4，AB＝14，则BG＝___。
G B
A E
F
C D
B
D
2
【例4】阅读下列学习材料： 如图1所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为 OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB＝OA，连 接BC(如图2)，易证：△AOC≌△BOC。
怎样添角平分线问题的辅助线： 在解某些题中含有角平分线的问题时，常需添加辅助线， 下面介绍几种常用方法。 ⑴由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，如图
，可利用角的平分线性质定理解题。
1
怎样添角平分线问题的辅助线：
⑵以角的平分线为轴，将图形反折，在角的平分线两侧构 造全等三角形，如图，使已知与结论发生关系。
怎样添角平分线问题的辅助线：
⑶当题设有角平分线及角平分线垂直的线段，可延长这条 线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰 三角形的三线合一性质，中位线定理证题。
【例2】⑴证明：三角形的三个角的角平分线交于一点。
⑵如图，已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝ BD。求证：DC⊥AC。 A 12 C
【例4】根据上面的学习材料，解答下列问题： ⑴如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分 线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC 与AB＋AC的大小，并说明理由。
A MP C
A MP C
O
图1 N O
图2 B N
A
P
B
C
D
【例4】根据上面的学习材料，解答下列问题： ⑵如图所示，上题中AD是内角平分 线，其它条件 不变，求证：PC－PB＜AC－AB。