高中数学：圆锥曲线中的数形结合思想

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2020高考数学数形结合在圆锥曲线中的应用(4页)

2020高考数学数形结合在圆锥曲线中的应用(一) 以形助数，感知形的直观例1：在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点2(,0)a P c作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_______.（二）以数辅形：感知数的微妙例2：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．（三）数形结合交融之乐章12,F F 1F x A B 、2AFC53510预习作业1：已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点，若3||||FA FB =，求直线l 的斜率.例3：已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于,A B 两点，点F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，求实数k 的值.预习作业2：（双曲线与直线的交点个数问题）讨论=+1y kx 与双曲线22:1C x y -=的交点个数问题（1）直线与双曲线有一个交点（2）直线与双曲线有两个交点（3）直线与双曲线没有交点总结：当直线与渐近线_________时，或直线与抛物线_________时直线与双曲线有且只有一个交点（四）数与形本是两依倚，焉能分作两边飞例4：已知0a >且1a ¹，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围.（五）小结（六）数学家寄语数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

——华罗庚（七）课后练习：过抛物线2=>上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂:2(0)C y px p线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别于抛物线C交于,A B两点，如果点M在直线,A B的上方，求△MAB面积的最大值.。

圆锥曲线解题技巧和方法综合全

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。

如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题给定双曲线x y 2221-=。

过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。

〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨-最新教育资料

对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨圆锥曲线对于高中生而言是一个新的概念，是一个较为陌生的图形。

尽管在初中时期学习函数时听过过或者了解过抛物线、双曲线等等的名词，当时都是停留在初步直观的感受上，没有真正的了解和学习过。

学生对于什么样的点的轨迹是抛物线、什么样的点的轨迹是双曲线都是一知半解，只有在经过系统的学习和理解之后，才会对圆锥曲线形成一个全面、正确的认识。

[1]一、高中数学中圆锥曲线知识的重要性。

1.提高学生的综合解决问题的能力对于高中生而言，学习直线与圆锥曲线的内容需要学生具有较为夯实的基础，对之前所学习的知识内容掌握得十分的透彻。

同时，直线与圆锥曲线所包含的知识十分的广博，试题的涉及面广、综合性很强、题型变化多端。

因此，学生在学习和解决实际问题的过程中需要运用到多方面的知识，与其他解题的思路融合起来，解决问题。

故此，高中数学的教学中圆锥曲线知识能在一定程度上提高学生的学习能力、综合能力、实际解决问题的能力。

[2]2.有利于提高学生的思维能力高中数学不仅是一门重点学科，同时也是一门难点学科，许多学生在学习数学时感到无从下手，十分的苦楚。

原因就在于高中数学是一门逻辑性较强的学科，内容十分的抽象、难以理解。

但与此同时，数学学科抽象难以理解的内容恰恰能促使学生动脑思考，激发学生的思维能力，提高学生的逻辑性。

而圆锥曲线的知识内容，相对其他内容而言较为难理解，在学习和解题的过程中需要多加思考，从而提高学生的思维能力。

二、提高圆锥曲线教学有用性的方法策略1.设立情境，激发学生的学习兴趣数学学科的内容较为抽象，难以理解，学生在学习的过程中极易产生厌学心理。

同时，数学学科的教学不像其他学生具有较强的趣味性，学生在学习时简易感到枯燥无味。

因此，在圆锥曲线的教学中，将圆锥曲线的内容与生活情境结合起来，激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到圆锥曲线知识的教学活动中，引导学生从情境中学习知识内容，学习解决问题的思路、方法。

高中数学解圆锥曲线问题常用方法知识点拨(二) 北师大版选修2-1

知识点拨：解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。

除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1）（2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。

分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+-点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。

圆锥曲线教材分析(王秀彩)

教师专业成长途径
参加专业培训
教师应积极参加教育部门组织的数学专业培训，提高教育教学水平。
开展教学研究
教师应积极参与数学教学研究，发表教研论文，分享教学经验，促进专业成长。
加强交流合作
教师应加强与同行之间的交流合作，共同探讨数学教学中遇到的问题，相互学习，共同进步。
06 总结与展望
对本次教材分析的总结
圆锥曲线教材分析王秀彩
目录
• 教材概述 • 圆锥曲线基础知识 • 圆锥曲线的教学方法与策略 • 圆锥曲线在高考中的地位与命题趋势 • 教材使用建议与拓展资源 • 总结与展望
01 教材概述
教材内容与结构
内容丰富
涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质、方程和图形等多个方面，内容全面且深入。
结构清晰
按照从基础到深入的顺序，逐步引入圆锥曲线的相关知识，层次分明，易于学生理解和掌握。
04 圆锥曲线在高考中的地位与命题趋势
高考考情分析
圆锥曲线是高考数学中的重要考点，主要考察学生对椭圆、双曲线、抛物线等基本概念、性质和应用的理解和掌握。
高考中对于圆锥曲线的考察方式多样，既有选择题、填空题，也有解答题，其中解答题往往涉及到多种知识点的综合运用。
圆锥曲线在高考中的难度属于中等偏上，需要学生具备扎实的数学基础和较强的思维能力。
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拓展资源推荐
优秀教辅资料
推荐《圆锥曲线专题精讲》、《高中数学圆锥曲线解题技巧》等教辅资料，帮助学生深化对圆锥曲线的理解。
网络学习资源
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数学竞赛资源

《圆锥曲线的统一定义》教学设计

《圆锥曲线的统一定义》教学设计作者：姚圣海来源：《新课程·教研版》2010年第16期【教材分析】《圆锥曲线的统一定义》是苏教版高中数学选修2-1第二章第五节的内容。

本教科书对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。

最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。

这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。

【教学目标】1.知识与技能目标:通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。

2.过程与方法目标:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

3.情感、态度与价值观目标:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。

【重点与难点】重点:圆锥曲线统一定义的推导。

难点:对圆锥曲线统一定义的理解与运用。

【教法分析】将椭圆、双曲线的统一定义安排在学习抛物线之后集中处理,是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的设计。

教学时以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,为猜想的形成提供足够的感性认识的基础。

再通过建立方程加以证实。

根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用也需要学生掌握。

所以,在教学中也设计了形式多样的练习,如填表等,让学生在趣味中形成新的认知结构。

【学法分析】对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。

同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。

高中数学圆锥曲线的方程教学中课程思政的渗透

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０６高中数学圆锥曲线的方程教学中课程思政的渗透高中数学圆锥曲线的方程教学中课程思政的渗透Һ罗定娟㊀（贵州省遵义市桐梓县蟠龙高级中学，贵州㊀遵义㊀５６３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课程改革提出课程思政，并逐渐将其作为落实数学学科立德树人根本任务的主要途径，因此，高中数学教师在实施数学教学的时候，要有效融合数学与课程思政内容，促使知识技能与情感价值的统一．基于此，文章以人教Ｂ版选择性必修第一册圆锥曲线的方程单元为例，阐述如何在数学教学中渗透课程思政，探索课程思政下单元教学的方法，在完善学生的知识体系同时，让学生明确政治观点，形成良好的数学品质，达到良好的育人效果．ʌ关键词ɔ高中数学；圆锥曲线的方程；课程思政前㊀言高中数学课程中圆锥曲线是几何领域中的主要内容，是高中生一定要掌握的知识点．从研究内容层次分析，高中阶段的圆锥曲线知识与人们生活与生产有着密切的联系；从研究价值层次分析，圆锥曲线的方程这一单元在高中数学教学中有十分重要的地位．另外，课堂作为教育育人的主战场，是培养学生综合素质的主要场所．要求高中数学教师能够意识到开展课程思政的意义，充分利用课堂育人这一主渠道，积极尝试与探索，利用数学课堂为学生传输数学知识以及数学包含的文化底蕴，让学生更加了解数学知识的发展史，同时意识到我国在数学领域中取得的伟大成就，实现知识方法与情感价值的统一，促使数学教学与课程思政同行．一㊁高中数学课程思政理念的实施（一）学校推动课程思政的实施高中阶段课程思政的改革与落实离不开学校的推动，学校要最先对课程思政有一定认知，然后跟紧新时期教育热点，结合学校的教育现状与数学教师发表的意见，创建大思政教学总目标，为教师提供课程思政资源，制订切实可行的教学方案．第一，学校要多在思想上下功夫，教师有了正确的思想引领，课程思政的实施就会变得更顺利．如在教师方面，以党员为先行者，结合校园内的学科特点与教学改革方向，进行思想政治的建设；在管理方面，各个部门与组长也要发挥榜样的作用，调动部门或者小组中其他成员的积极性，建立新的管理机制，在探索中发现；在学校方面，学校要将课程思政作为教学成果的主要考核途径之一，以适合的考核标准，制订奖惩制度，鼓励教师积极进行课程思政的教学研究．第二，学校要结合教育改革分析课程思政教育改革项目，请教师结合学科中的思政元素挖掘教学资源．第三，在学校内选拔出一批优秀教师先行学习课程思政教学过程，然后为其他教师进行课程思政教学演示，在教学演示之后进行交流展示，分析课程思政教学的优缺点，同时开展说课比赛，将课程思政内容贯穿于整个数学教学．（二）教师实践课程思政的过程无论哪种教育的改革都要教师积极参与，在数学课堂中渗透课程思政教师是关键．课程思政实施的平台是课堂，课堂的践行者是教师，教师通过在数学教学中渗透课程思政能够培养学生的思想品德，其与教师教学专业素养息息相关．高中数学教师最重要的任务是育人，所以教师在传授知识的同时要育人，培养学生良好的思想品德．首先，教师要有较高的素质修养，能够以自身为榜样．在课程思政的引领下，教师能够更轻松地为学生传递正确的价值观，传播正能量，让学生在无形中提升道德品质．其次，教师对课程思政的认知也很重要，教师要梳理正确的认知，积极关注数学学科中包含的思想政治要素，优化传统教学思路，结合本班学生学习的兴趣，选择适合的策略开展数学课程思政．最后，教师要对数学教材与知识点极为熟悉，光有课程思政意识是不够的，要想科学渗透课程思政，教师需要对数学知识有充分的了解，如数学知识的发展史㊁包含的数学文化与数学思想等，然后才能挖掘出合适的思政元素，让数学的课程思政达到预期效果．基于此，在课程思政理论支撑下数学的教学要重视实践，使数学学科德育真正从理论中来，再到实践中去，在思政课程与课程思政新型课程理念下，力争培养四有新人，为祖国培养全面人才．（三）学生接受课程思政的内容学生作为学习数学知识与课程思政的主体，一节高效的课堂需要教师引导学生主动获取知识．对于课程思政的进行，除了学校与教师，还要学生积极主动学习．所以学生的道德品质成长也与数学知识的吸收并行，实现与课程思政教育目标同步前进．第一，要培养学生的实践能力，尽量发挥学生的主观能动性，在教师高效的课堂教学中，为学生提供更多可支配的时间，让其通过实践践行自己独立的想法，并㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０６在教师指导与总结下，在数学知识的学习中内化思想道德．第二，教师在数学课程思政课堂中引导学生从被动接受知识向主动探究知识转化，在数学课堂中愿意听教师说，如此也会快速达成学习效果．第三，在教学过程中充分调动学生的主动思考积极性，能够主动将一个知识点从薄积累到厚，再从厚读到薄，直到真正掌握此部分知识，自此学生的主动思考能力大大提高．在课堂中当教师引入思想政治部分内容的时候，学生则会主动参与其中，并通过与教师㊁同伴的互相交流答疑解惑，进而提升学习自信心，让学习更上一层楼．二㊁高中数学圆锥曲线教学中课程思政的渗透案例（一）结合课程思政设计圆锥曲线方程的教学目标作为教学设计的灵魂，教师要将教学目标当作数学课堂的出发点与落脚点，教师在教学前制订全面的教学目标是进行圆锥曲线方程单元教学课程思政的主要步骤．所以在课程思政观念下，在圆锥曲线方程单元教学前，教师需要先根据课程思政理念的大方向制订总目标．人教版高中数学教材中的圆锥曲线方程单元，其内容有丰富的背景与运用价值，教师在教学中除了要给学生传输知识与技能之外，还要给学生渗透圆锥曲线的现实背景，帮助学生通过学习了解圆锥曲线方程知识的实用性．然后再联系此部分知识的历史资料，充分发挥圆锥曲线方程知识的育人功能，潜移默化地进行思想政治教育［２］．结合‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“（以下简称‘课程标准“）对圆锥曲线方程的教学要求与课程思政教育理念，文章对圆锥曲线方程单元中的教学目标设计为：第一，学生知道圆锥曲线的方程知识产生的背景，体会现实生活中包含的圆锥曲线内容．让学生能够通过实际生活对有关圆锥曲线的内容，抽象出数学几何圆锥曲线的图像，然后利用主动探究的形式，总结圆锥曲线的几何特征，然后总结出其与方程的关系．以此掌握圆锥曲线的定义㊁几何性质，并能推导出标准方程．教师通过这部分知识的教学培养了学生数形结合思想．第二，学生能够借助交互式电子白板自主探究方程中参数的变化对曲线形状的影响，提高学生的信息技术使用能力．另外，学生还能借助互联网收集圆锥曲线的历史资料，知道圆锥曲线与方程知识的产生与发展，相关人物与具体事件．第三，学生借助圆锥曲线相关历史资料了解知识点背后包含的思政要素，掌握数学知识与生活之间的关系，建立正确的思想观念㊁数学品格．（二）结合课程思政构思圆锥曲线方程的教学圆锥曲线的方程单元中包括椭圆的标准方程与简单的几何性质㊁双曲线的标准方程与简单几何性质㊁抛物线的标准方程与简单的几何性质．基于此的知识结构如图１．图１圆锥曲线的方程单元是高中数学必修的内容，同时是重难点，连接几何与代数的桥梁，可知圆锥曲线的方程单元有很强的普适性．结合图１中展示的单元知识结构图，再梳理‘课程标准“提出的相关内容，结合教材中的实际问题，选择适合的思政衔接点，总结数学课程思政的教学案例．基于课程思政的圆锥曲线的方程教学构思如表１．表１㊀基于课程思政的圆锥曲线的方程单元教学构思课程内容课表要求核心素养教学片段思政衔接点椭圆双曲线抛物线在不同的情境中构建双曲线㊁椭圆㊁抛物线的标准方程；能够利用数形结合法㊁代数法总结曲线的关系；利用对椭圆㊁双曲线与抛物线的几何性质㊁几何定义㊁标准方程等知识点解决实际问题培养学生数学建模能力㊁抽象概括能力㊁运算求解能力圆锥曲线发展的历史资料，从嫦娥三号发射的事件中，知道嫦娥三号形式的轨道是椭圆的，以此类比出椭圆知识爱国主义教育㊁坚强品质教育数形结合中的数形转换理性思维教育㊁良好个性品质教育古代运河拱桥知识政治信念价值观念教育㊁理性思维教育㊁爱国主义教育（三）结合课程思政实施圆锥曲线方程的教学设计以椭圆及其标准方程第一课时为例．分析本课的教学内容，平面几何领域中圆锥曲线是主要研究的对象，同时是学生学习的主要内容．本节课主要为学生讲解椭圆的几何定义㊁椭圆标准方程的推导过程．教材中本单元的引言联系整个单元的逻辑主线与知识体系，决定了椭圆作为本单元第一课的主导地位，以此为教学起点构建清晰与连贯的教学体系，对学生学习圆锥曲线知识的整体把握起到引导的作用．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０６分析本课的思想政治元素．椭圆作为本单元的重要数学模型，是学生们将来解答相关数学问题的主要工具．在思想元素方面，学生在解答椭圆实际问题的时候，会根据教学目标先了解不同阶段的学习目标，建立良好的思想观念．在政治元素方面，教材在本单元的开始阶段引入的是星星绕太阳运行的轨道是椭圆的内容，并在嫦娥三号卫星运行轨道是椭圆的内容中，让学生感受到我国科技的高度发达，航天事业的蓬勃发展，以此加强学生的民族自豪感，实施爱国主义教育．基于此设置的知识教学目标与思政教学目标要以椭圆的知识为基础，即学生能够借助自己的学习与经验了解椭圆模型，然后经过认真地分析，得到椭圆的几何定义与标准方程．细分教学目标：第一，借助生活实际，在具体情境中，抽象出数学几何知识，构建椭圆模型，以此得到椭圆的几何定义，在此过程中提升学生的数学抽象核心素养．第二，通过上述探究过程，学生能够在教师的引导下通过合作交流的形式推导出椭圆的标准方程，培养学生的逻辑推理素养．第三，经过生活中关于椭圆实际运用的实例，让学生了解我国航天事业中对于椭圆知识的现实运用，渗透思想政治知识，培养学生爱国主义情怀．教学片段：１．以嫦娥探月进行情境导入课堂开始，教师播放２０１３年嫦娥三号成功发射的视频，然后为学生介绍现在是嫦娥三号成功落月十周年，在十年前长征三号组合火箭经历了先圆后椭圆的轨迹，最终到达月球上，标志中国能够依靠自己的科技力量，第一次实施月球软着陆，位居世界前列．本环节通过视频的播放，让学生初步接触圆锥曲线，提升学习的兴趣．在政治思想渗透方面，渗透爱国主义教育，即利用回顾航天事业发展的视频，让学生建立民族自豪感，建立爱国主义情怀．２．以章节导语引导学生整体认知教师在教学导入后，让学生自主阅读教材，初步认知圆锥曲线．然后教师再提出下面的问题：第一，你知道什么是圆锥曲线吗？圆锥曲线是怎么来的？利用动态数学软件为学生呈现圆锥图形，然后从不同的角度截取图形，获得不同的截图，以此获得椭圆㊁双曲线㊁抛物线，让学生了解到圆锥曲线的由来．接着为学生讲解圆锥曲线是怎么被发现的．本环节通过动态数学软件，为学生展示圆锥曲线的由来，在史料的引入中加深对学生的认知，扩展其学习经验．思想政治渗透方面，本环节可以培养学生良好的个性品质，通过数学史的引入能够帮助学生掌握圆锥曲线的发展过程，知道数学知识是在长时间的探索与摸索中产生的，以此能够快速培养学生的科学人文素养，形成吃苦耐劳的品质精神．第二，你知道现实生活有哪些关于圆锥曲线的运用呢？请举几个例子．在学生们的讨论中，教师一一在网络中找寻对应的图片在班级中播放，如探照灯的反射镜面是抛物线㊁发电厂冷却塔的外形线是双曲线㊁行星绕太阳运行的轨道是椭圆．通过此环节的设计让学生在教材引言的阅读与图片的观察中，知道什么是圆锥曲线，也建立了学习图案追曲线的决心．３．以小羊吃草探究椭圆定义探究１：在一片草地上有固定在一点的１０米的绳子，另一端拴着小羊，请问小羊最大活动的边界是什么曲线？探究２：在一片草地上有一根１０米的绳子，两端固定在相距６米的柱子上，绳子上有一个小环，环上拴着一只小羊，请问小羊的最大活动边界是什么曲线？让学生通过小组实践进行解答，先使用提前准备好的木板㊁白纸㊁图钉与短绳制作模型，小组中交流讨论如何画图，教师巡查指导，在学生们都完成后请小组派代表在班级中做展示．经过这两个探究活动，让学生通过圆的定义类比出椭圆的定义，以此帮助学生建立椭圆形成的认知，对椭圆的定义有深入了解．同样运用小组合作的形式鼓励学生之间互相讨论与实践，总结圆锥曲线中，椭圆的定理与性质，抽象出椭圆的几何定义．本环节包含的思想品质要素为良好的个性品质教育．通过小组合作的形式增进学生间的感情，建立集体意识，形成互帮互助的良好品质．结㊀语综上所述，文章以落实立德树人根本任务，对高中一线教师开展课程思政进行一系列的尝试，现在面向课堂教育的研究成果方法并不多，供高中数学教师教学的理论与实践经验匮乏，所以文章对高中数学教学中渗透课程思政有着重要意义，有效落实育人功能，为高中数学课程思政视域下实施实践教学提供可借鉴的教育模式．ʌ参考文献ɔ［１］李红玲．从数学文化角度分析课程思政设计基于省一流高数课程的教学探索［Ｊ］．高教学刊，２０２３（０２）：２５－２８．［２］李永林．高中数学教材课程思政元素挖掘与实施路径［Ｊ］．教学与管理，２０２２（３４）：７４－７７．［３］罗凤军，刘锐．试论高中数学教师在高中与大学数学衔接中的作用［Ｊ］．数学教育学报，２０２２（０５）：４１－４７．［４］张宏礼，揭育瑞，欧阳芷雅，等．数学师范专业数学建模课程中课程思政要素的挖掘［Ｊ］．岭南师范学院学报，２０２２（０２）：１１４－１１８．［５］林清龙．渗透课程思政的中学数学教学策略探究以人教版‘高中数学㊃必修一㊃第一册“教材为例［Ｊ］．福建教育学院学报，２０２１（１１）：１５－１６．。

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题天台中学张丽君教学目标：（1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。

（2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力；（3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。

教学重点与难点：（1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。

（2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。

教学内容：一．解读高考高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：（1）以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。

（2）以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。

二．热身训练练习1. 已知A,B 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，对于椭圆C 上异于A,B 的点P ，则=⋅PB PA k k （ C ）A. 22a bB. 22b aC. 22a b -D. 22ba - 分析：由答案的唯一性，P 取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。

变式（1）若椭圆上的点 A,B 关于原点O 对称； ( C )（2）椭圆改为双曲线12222=-by a x 。

（ P 趋向无穷远处，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 有异于原点O 的两个不同的交点A, B.若=⋅OB OA k k -1，则直线L 必过定点——分析：由对称性知，定点必为X 轴上一点，再取L 垂直X 轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。

浅谈圆锥曲线中的数形结合思想

浅谈圆锥曲线中的数形结合思想“数形结合”是一种源自中国文化的思想，它强调思维应当与感觉相结合，以达到更好的结果。

自古以来，这种思想就被认为是数学的根本，在圆锥曲线（conic sections）中发挥了重要作用。

本文将围绕圆锥曲线中的数形结合思想展开，探讨它对圆锥曲线的形成及其对现代数学的开拓等方面的影响。

首先，我们谈谈圆锥曲线的形成。

圆锥曲线可以从几何角度分析。

圆锥是一个立体几何形体，形成它的关键是利用椭圆和双曲线和它们之间的关系。

椭圆是一条由两个同心圆在不同高度截取后产生的曲线；双曲线是由两个同心椭圆在不同高度截取后产生的曲线；而圆锥曲线则是由圆锥截取后产生的曲线。

数形结合思想在圆锥曲线中的作用及影响，体现在以下几个方面：首先，数形结合思想促进了圆锥曲线的几何研究，使其在几何上得到了显著的进步。

数学家们深入研究几何图形，使我们明白了椭圆、双曲线与圆锥之间的关系，并可以通过几何方法确定圆锥曲线的确切形状。

其次，数形结合思想也开拓了现代数学的发展。

运用它，数学家们能够将数学的思维与感官表达结合起来。

例如，应用数形结合思想可以帮助数学家们以一种视觉的方式理解和解决数学问题，从而促进了现代数学发展。

最后，数形结合思想也对数学史上的重大发明和发现起到了重要作用。

例如，法国数学家埃尔斯特拉塞尔的双曲线理论，以及英国数学家斯蒂芬斯莱特和美国数学家约翰特拉亚诺的圆锥曲线理论，都是圆锥曲线研究的重要标志。

总之，圆锥曲线在数学上具有重要的地位和意义，而数形结合思想也是圆锥曲线的重要组成部分。

它不仅促进了圆锥曲线几何研究和发展，而且也开拓了现代数学思想，促进了数学史上的重大发明和发现。

专题七解析几何第二讲圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮

③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。

高中数学圆锥曲线重要结论.总结

圆锥曲线重要结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

数形结合解决圆锥曲线问题

数形结合解决圆锥曲线问题1．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4 B.－1 C．6－2 D.答案A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝＝5.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.2.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(，－1) B．(，1) C．(1,2) D．(1，－2)答案A解析定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(，－1)．3.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y ＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．解:从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S Rt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2. ∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第三章圆锥曲线的方程内容安排〗

内容安排第一，本章的研究对象是圆锥曲线（几何图形），在研究过程中，数形结合思想和坐标法统领全局．教科书按椭圆、双曲线、抛物线的顺序安排，因为它们的研究内容、过程和方法是"同构"的，所以对每一种圆锥曲线都按照"曲线的几何特征一一曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用"的过程展开，并把椭圆作为重点，强调它的典壁示范作用，注重数学思想和基本方法的引领性，双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成．第二，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，与前一章内容的处理方式一样，本章仍然采取在建立圆锥曲线的标准方程后，就这方程的建立过程讨论"曲线上点的坐标都满足方程""以方程的解为坐标的点都在曲线上"．这样处理，既不失科学性，又不让学生感到过于抽象，可以使学生在潜移默化中体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步理解通过方程研究曲线性质的合理性，使理性思维得到培养．第三，圆锥曲线是解析几何中的核心内容，是平面几何没有涉及的．根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了"先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决"的策略，对于每一种圆锥曲线，都加强了概念的抽象过程，强调在探索、明确其几何特征（主要是对称性）的基础上，再利用几何特征建立坐标系、求出标准方程，然后通过方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，从而促进学生的直观想象，数学运算等素养的发展．第四，圆锥曲线的统一定义表明三种曲线之间的内在联系，是非常重要的，而"个性定义"的几何特征非常突出．特别是，我们可以根据椭圆的定义方便地得到其图形，通过直观就能发现椭圆的基本特征——对称性．因此，与以往的处理方式一样，教科书以三种曲线的"个性特征"为明线，分别定义三种曲线．同时，为了使学生能了解统一定义，教科书以"具体例子拓展性素材"的方式进行渗透和明确，并在引出抛物线概念时进行适当归纳．第五，教科书虽然没有明确给出求曲线的方程的一般步骤，但在求圆锥曲线的方程时进行了渗透：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（，）表示曲线上任意一点M的坐标：（2）写出适合条件的集合 |）}；（3）用坐标表示条件），列出方程(),0f x y =；（4）化方程(),0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．同时，通过"思考""探究"等栏目，让学生自己推出不同坐标系下的标准方程，达到既熟练推导过程又加强代数运算的训练，并使学生把握标准方程的多样性表示．第六，在研究圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率等性质时，教科书特别注意发挥"几何图形的性质指什么""如何利用方程研究几何图形的性质""先直观感知图形的性质，再用方程进行论证"等一般观念的引领作用，通过栏目、边注等作出明确提示，将坐标法具体结合到几何性质的研究过程中去．在增强教科书的思想性的同时，也为直观想象、逻辑推理等素养的培养和理性思维的发展提供了载体．对于椭圆的离心率，教科书要求学生探究怎样利用"基本量"刻画椭圆的扁平程度；对于双曲线的渐近线，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，以增强直观性和操作性，使学生在信息技术的帮助下体会"渐近"的含义．第七，用坐标法解决几何问题，其基础是利用坐标系将点表示为有序数组，建立起平面内点与有序数组之间的一一对应，由此可以将曲线表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题；然后借助于代数运算和逻辑推理，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论；最后再把讨论的结果利用坐标系"翻译"成相应的几何结论．这就是我们熟悉的三步曲：几何问题"翻译"为代数问题一代数运算与推理一代数结论"翻译"为几何结论，与圆锥曲线相关的主要问题是：（1）求有某种几何特征的曲线方程；（2）根据曲线的方程，用代数方法证明（或讨论）曲线的几何性质；（3）赋予代数方程以几何意义，用几何方法研究它的代数性质，例如通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系等．为此，教科书在解决（1）（2）两个问题后，通过例题，习题解决问题（3）．教科书特别注意把圆锥曲线丰富多彩的性质选作例题和习题，不仅使题目的思想内涵得到增强，而且通过这些题目加强了知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识．例如，椭圆的例题中，就包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等，这些题目的"数学含金量"是非常高的．另外，这些题目的可拓展性也是很强的．第八，教科书在三种圆锥曲线中都注意安排实际应用问题，并通过拓展性资源对"圆锥曲线的光学性质及其应用"进行归纳总结，以落实"通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用"的要求．同时，教科书特别注意发挥信息技术的作用，在正文中明确提出利用信息技术进行探究的要求，而且安排了利用信息技术探究圆锥曲线性质的栏目、拓展性材料等．另外，还安排了"文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展"，要求学生查阅与解析几何有关的文献，了解解析几何形成与发展的过程，以及解析几何对人类文明的主要贡献，以体现本章内容在数学文化中的特殊作用．根据以上分析，本章知识结构如下：。

圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程

圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。

一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。

二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。

为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。

如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。