2014年考研数学一真题

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+ （C ）1sin
y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+ （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x '≤时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x '≤时，()()f x g x ≤ （3）设(,)f x y 是连续函数，则2
1
10
1(,)y
y dy f x y dx ---=⎰
⎰
（ ）
（A ）2
11
10
010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰
⎰⎰
（B ）
2
1
100
1
1(,)(,)x
x dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰
⎰⎰
（C ）
11
2
cos sin 0
2
(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr π
π
θθπθθθθθθ++⎰
⎰
⎰⎰
（D ）
11
2cos sin 0
2
(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π
πθθπθθθθθθ++⎰
⎰
⎰⎰
（4）若函数
{}
2211,(cos sin )min
(cos sin )a b R
x a x b x dx x a x b x dx π
π
π
π
-
-∈--=--⎰⎰
，则
11cos sin a x b x +=（ ）
（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π
（5）行列式
0000000
a
b a b
c
d c
d
=（ ）
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2
2
22
a d
b
c - （D ）22
2
2
b c a d -
（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为
)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([2
1
)(211y f y f y f Y +=，随机变量
)(2
1
212X X Y +=，则
（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （B ）2121,DY DY EY EY >=
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(2
2
x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为
（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f
（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3
)1(e y =的解为=
y
（12）设L 是柱面12
2
=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时
针方向，则曲线积分⎰
=
+L
ydz zdx
（13）设二次型32312
22132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范
围是
（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其他,0
2,32),(2θθθθx x
x f ，其中θ是未知参数，
n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=n
i i X c 12为2θ的无偏估计，则
=
c
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求极限)
1
1ln(])1([lim
21
1
2
x
x dt
t e t
x
t
x +--⎰+∞
→
（16）（本题满分10分）
设函数)(x f y =是由方程062
2
3
=+++xy y x y 确定，求)(x f 的极值 （17）（本题满分10分）
设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足
x x e y e z y
z
x z 22222)cos (4+=∂∂+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）
设∑为曲面)1(2
2
≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分
dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑
（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,2
0,2
0=-<
<<
<π
π
，且级数1
n n b ∞
=∑收敛.
（I ）证明：;0lim =∞
→n n a
（II ）证明：级数
∑∞
=1n n
n
b a 收敛. （20）（本题满分11分）
设E A ,302111104321⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=为3阶单位矩阵.
（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . （21）（本题满分11分）
证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛111111
111
与⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 相似
（22）（本题满分11分）
设随机变量X 的概率分布为2
1
}2{}1{=
===X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，
（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY
（23）（本题满分11分） 设总体X 的分布函数
2
1,0(;),
0x e x F x x θ
θθ-
⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，其中θ是未知参数且大于零，12,,
,n X X X 为来自总体X 的
简单随机样本. （1）求EX 与2
EX ；
（2）求θ的最大似然估计量ˆn
θ； （3）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}
ˆlim 0n
n P a θε→∞
-≥=？。