2014年考研数二真题及答案解析(完整版)
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014年考研数学二真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）83π （10）11=-)(f （11）（12）22ππ+-=x y （13）1120（14）[-2,2]三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】因为y y y x '-='+122，①得到112±==x ,x y y y )y (y x ''-=''+'+2222，01121111222<+-=''⇒''-=''+)(y )(y )(y )(y )(y ，01121111222>+-=-''⇒-''-=-''-+-)(y )(y )(y )(y )(y 。
所以1=x 时，取极大值)(y 1。
1-=x 时，取极小值)(y 1-。
由①可知，C x x y y dx)x (dy )y (+-=+-=+33113322，因为02=)(y ，所以32=C ，323333+-=+x x y y 。
2014年考研数二真题及解析
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2014年考研数学二真题(含解析)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α+，1(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】当0x +→时，ln (12)~(2)x x αα+，1121(1cos )~2x x αα⎛⎫-⎪⎝⎭因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12,1>>αα，即21<<α2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C.（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D4、曲线227,41x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A（B（C）（D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】2223212133222233222242222(24)8(2)2(2)3,1"1(1')(13)1(13)10t t dy dy t dt dx dx tdtt t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k==+==⋅-+-==∴==-∴==++∴==+==Q5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则22limx x ξ→=（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）12（D ）13【答案】D【考点】函数求导、函数求极限 【详解】2()arctan 11f x x x x ξ==+Q.2arctan arctan x xx ξ-∴=.22230arctan arctan limlimlim rctan x x x x x x xx x a x x ξ→→→--∴==⋅22222001111limlim 33(1)3x x x x x x x →→-+===+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】因为22220u u x y ∂∂+=∂∂，故22u A x ∂=∂与22uC y∂=∂异号.又20u B x y ∂=≠∂∂， 则20AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.7、行列式0000000ab a bcd c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】132320000000000000000000000()()()a b b a b a a b a b d c c c r r c dd c a b c dc dc db a a b bc ad ad bc ad bc d c c d↔-↔=⋅=--=--故选B 【解法二】2141332320a 0000000(1)0(1)00000(1)(1)()()b a b c d c d a ba ba c dc bd c d a b a ba d cbcd c da b a b adbc c d c da b bc ad c d ad bc ++++=⨯-+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-=-+=-=--8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=⇒==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，，无关设（即（从而，无关反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、12125dx x x -∞=++⎰ .【答案】π83【考点】无穷限的反常积分 【详解】()11221211125141111221()21113arctan |[()]222428dx dx x x x xd x x πππ-∞-∞-∞-∞=+++++=+++==--=⎰⎰⎰ 10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】()22'2(1)[0,2]()2()(0)00()2[0,2]()4(7)(3)(1)(1)(12)1f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f =-∈∴=-+∴=∴=∴=-∈∴==-=-=--=Q 又是奇函数的周期为11、设(,)z z x y =是由方程22274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz = . 【答案】)(21dy dx +-【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】221111(,)(,)222211(,)2211,022,(2)20(22)2011,221()2yzyz x y z x y z z e y x x x z z e z y y y y z z x y dz dx dy ===∂∂⎧⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩∂∂=-=-∂∂=-+当时，代入方程解得方程两边对分别求偏导得，解得：故12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22r ππθ=处的切线的直角坐标方程是 . 【答案】22ππ+-=x y【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令cos cos sin sin x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩2sin cos cos sin 1022012cos 02sin 22()(0)222dy dy d dx dx d dy dxx y y x y x πθθθθθθθθθπππθθπθπθθππππ=+==-+⋅==--⋅==⎧⎪=⎨==⎪⎩-=--=-+则当时，则切线方程为:化简为: 13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = . 【答案】2011 【考点】质心坐标 【详解】质心横坐标公式：⎰⎰=b aba dxx dx x x x )()(ρρ 所以：43212123201121()(21)4320111201(21)()30x x x x x x dx x x x dx x x x -++-++===-++-++⎰⎰14、设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .【答案】]2,2[-【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】221231213232222221133223322221323322221232(,,)2424()(2)(4)(4)140[2,2]f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x x ax x x a x y y a y a a =-++=++-+-=+--+-=-+--≥∈-若负惯性指数为，则，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）求极限1212[(1)]lim1ln(1)xtx t e t dt x x→+∞--+⎰【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】111221221122200((1))((1))(1)1limlimlim lim (1)111ln(1)1111lim lim 22xxttxx x x x x t t t t t e t dtt e t dtx e x x e xx x x xe t e t x t t ++→+∞→+∞→+∞→+∞→→------===--+⋅---===⎰⎰令16、（本题满分10分）已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值 【详解】22222222333322'1'1'1(1)(1),(1)(1)11332(2)031123331'0,11(,1),'0,(11),'0,(1+),'0,x y y y x y y y dy x dx y dy x dx y y x x c y c y y x x x y x y x y x y x y +=--∴=+∴+=-+=-∴+=-+=∴=∴+=-+-===±+∈-∞-<∈->∈∞<⎰⎰Q 积分得又 令得时函数单调递减，时函数单调递增，时函数单调递减所以函11(1)0,(1)1()1,0x x y y y x =-=-==数在时取得极小值，在时取得极大值由函数方程解得：故：的极大值是极小值是17、（本题满分10分）设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算D.【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮对称行，121sin(2D D D Ddxdy ==+=⎰⎰222011221111sin()d cos()2411cos()|cos()d 44113244d r r r rd r r r r r πθππππ==-=-+=--=-⎰⎰⎰⎰18、（本题满分10分）设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )xz f e y =满足22222(4cos )x x z z z e y e x y∂∂+=+∂∂.若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】 令y e u xcos =xx x xx x x xx x xe u uf y e u f y e u f e y e z yzx z y e u f y e u f y z y e u f y z y e u f y e u f x z y e u f x z 222222222222222222])(4[sin )(cos )()cos 4(cos )(sin )(),sin ()(cos )(cos )(,cos )(+=⋅''+⋅''∴+=∂∂+∂∂⋅'-⋅''=∂∂-⋅'=∂∂⋅'+⋅''=∂∂⋅'=∂∂∴Θ 即：u u f u f =-'')(4)(对应的齐次微分方程的特征方程为：042=-r 解得：2,221-==r r故齐次微分方程的通解为：u u e C e C u f 2221)(-+=设b au u f +=)(*，则0)(,)(**="='u f a u f ，代入微分方程解得：0,41=-=b a ，即u u f 41)(*-= 故u e C e C u f xx 41)(2221-+=-所以uu u u e C e C u f e C e C u f 2221222144)(,4122)(--+=''--='因为(0)0f =，(0)0f '=，代入解得：161,16121-==C C所以22111()16164x x f u e e u -=--19、（本题满分10分）设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】（I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】[][]11111222222()()()0'()()0(),()0()()'()()10()1'()0()()0,()0xaxa h x g t dth a h x g x h x x a b h x h x g t dt x ah x g x g x h x h x h a x a b h x ===≥∴∴∈≥=-+=-≤≤∴≤∴=∴∈≤⎰⎰Q 单调增加当时，单调减少，又当时，（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du +⎰=-⎰⎰()'()()()[()]()()[()]()I (),()()[()]'()0()0()0()()()ba xxaa x axa ba g t dt a aF x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x a g t dt a x a x f x f x f a g t dt F x F x F a F b f x g x dx f x dx+⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦+≤+-=∴≥+∴≥∴=∴≥⎰≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰由（）知又单调增加单调增加又（）即20、（本题满分11分） 设函数()1xf x x=+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【考点】定积分求面积、函数求极限 【详解】1213222(),()()11()(())121112()(())13112(),[0,1]111()0(1)(1)()(0)=0()0[0,1]n n n n n xf x f x f x xxxx f x f f x x x x xxx f x f f x x x x xf x x nxnx nx f x nx nx f x f f x x ==++∴===++++∴===+++=∈++-'==>++∴∴≥∈Q Q Q 由归纳法知：单调递增，，1120021111=(1)=ln(1)1111ln(1)lim lim [ln(1)]1lim ln(1)11lim 1lim 11n n n n n x x x S dx dx n nx n nx n nn nS n n n n nx xx →∞→∞→∞→∞→∞∴=--++++=-+=-+=-=-=+⎰⎰21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】由函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂可知：)(2),(2x y y y x f ϕ++= 又22(,)2()(1)(2)ln f y y y y y y y y ϕ=++=+-- 所以()1(2)ln y y y ϕ=--所以x x y x x y y x y y y x f ln )2()1(ln )2(12)(2),(222--+=--++=++=ϕ 令1+=y z ，则(,)0f x y =对应的曲线方程为：x x z ln )2(2-=，定义域为]2,1[则曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转，即x x z ln )2(2-=绕0=z 旋转，所成的旋转体体积πππππ)452ln 2()412(ln )212()212(ln ln )2(212221221212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-==⎰⎰⎰x x x x x x x xd xdxx dx z V x22、（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】1234100()011101012030011205412301021310013141100126101021310013141A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M M M M M M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数23、（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似.。
2014-2015年考研数学二真题及答案解析
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10)设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
(11)设 是由方程 确定的函数，则 __________.
2014
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)下列曲线中有渐近线的是( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。
(9)设 则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数 处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式
其中 注意 ,于是
因此
【解析】
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为 ,所以 其中 为待定函数.
又因为 则 ，从而
.
令 可得 ，当 时， 或 ，从而所求的体积为
(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 .
2014年考研数学二真题与解析_共11页
12．曲线
L
的极坐标方程为
r
，则
L
在点 (r,
)
,
处的切线方程为
．
2 2
x 【详解】先把曲线方程化为参数方程
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
|
2
sin cos cos sin
e 2 yz
x
y2
z
7 4 ， Fx
1, Fy
2ze 2 yz
2 y, Fz
2 ye 2 yz
1，当
x
y
1 时， z 0 ， z
2
x
Fx Fz
1 ， z 2 y
Fy Fz
1 2
，所以
dz
|
11 ,
2 2
1 dx 1 dy ． 22
【详解】若向量1, 2 ,3 线性无关，则
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
1 （1 k3 ， 2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0
k
0 1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
（D） y x 2 sin 1 x
【详解】对于 y x sin 1 ，可知 lim y 1且 lim( y x) lim sin 1 0 ，所以有斜渐近线 y x
2014-2015年考研数学二真题及答案解析
精选文档2014 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题 :1 8 小题,每题 4分,共 32 分 . 以下每题给出的四个选项中 , 只有一个选项切合题 目要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定地点上 .．．．1(1) 当 x 0时，若 ln (1 2x) ，(1 cos x) 均是比 x 高阶的无量小， 则的取值范围是 ( ) (A) (2,)(B) (1,2)(C)(1,1)(D)(0, 1)22(2) 以下曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x(B) y x 2 sin x(C) yxsin1(D)y x 2sin1xx(3) 设函数 f ( x) 拥有 2 阶导数， g( x)f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间 [0,1] 上（）(A) 当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x) (B) 当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x)(C) 当 f ( x) 0 时， f (x) g ( x) (D) 当 f ( x)0 时， f (x)g ( x)(4) x t 2 7 上对应于 t1 的点处的曲率半径是（）曲线t 2 4ty 1(A)10(B)10(C) 10 10(D) 5 1050100设函数 f ( x)arctan x ，若 f ( x)xf ( ) ，则 mil2(5) 0x 2（）x(A)1(B) 2(C) 1(D)1323(6) 设函数 u( x, y) 在有界闭地区D 上连续， 在 D 的内部拥有 22u阶连续偏导数， 且知足x y及2u 2u0 ，则（）x2y2(A) u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的界限上获得精选文档(C) u(x, y) 的最大值在 D 的内部获得，最小值在 D 的界限上获得(D) u(x, y) 的最小值在 D 的内部获得，最大值在D 的界限上获得0 a b 0(7)a 0 0b 队列式c d 0 （）c 0 0 d(A) (adbc) 2(B)(adbc)2(C) a 2d2b 2c 2(D) b 2 c 2a 2d 2(8) 设 1, 2,3均为 3 维向量， 则对随意常数k, l ，向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性没关是向量组1, 2,3 线性没关的（ ）(A) 必需非充足条件(B) 充足非必需条件(C) 充足必需条件(D) 既非充足也非必需条件二、填空题： 914小题,每题 4 分,共 24 分 . 请将答案写在答题纸 指定地点上 .1．．．((9)1dx__________.x 2 2x5(10) 设 f ( x) 是周期为 4 的可导奇函数， 且 f (x)2( x 1),x [0, 2] ，则 f 7)(__________.(11) 设 zz(x, y) 是由方程 e2 yzx y2z7确立的函数，则dz( 1 , 1 )__________.42 2(12) 曲线 rr ( ) 的极坐标方程是 r，则 L 在点 (r , )( , ) 处的切线的直角坐标方程是 __________.2 2(13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上 , 若其线密度 xx 22x 1, 则该细棒的质心坐标 x__________.(14) 设二次型 fx 1 , x 2 , x 3 x 12 x 2 2 2ax 1x 3 4x 2x 3 的负惯性指数为1，则 a 的取值范围为_______.三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸 指定地点上 . 解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤 . (15)( 此题满分 10 分)精选文档x 12e t 1 t dtt1求极限 lim x2 ln 1 .x 1x(16)( 此题满分10 分)已知函数 y y x 知足微分方程x2 y2 y 1 y ，且y 2 0 ，求 y x 的极大值与极小值 .(17)( 此题满分10 分)设平面地区 D x, y 1 x2 y2 4, x 0, y 0 , 计算x sin x2 y2dxdy.x yD(18)( 此题满分 10 分)设函数 f (u) 拥有二阶连续导数，z f (e x cosy) 知足 2 z 2z (4 z e x cos y) e2x，若x2 y2f (0) 0, f ' (0) 0，求 f (u) 的表达式.(19)( 此题满分 10 分)设函数 f ( x), g (x) 的区间 [a,b] 上连续，且 f (x) 单一增添， 0 g( x) 1.证明：(I) 0 xx a, x [ a, b] , g(t )dtaa bbg(t ) dtf (x)d x f ( x)g( x)dx .(II) aa a(20)( 此题满分 11 分)设函数 f (x) x , x 0,1 ，定义函数列 f ( x) f ( x), f ( x) f ( f (x)),,1 x 12 1f n (x) f ( f n 1 (x)), ，记 S n是由曲线 y f n ( x) ，直线x 1 及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限 lim nS n.n(21)( 此题满分 11 分)已知函数 f ( x, y) 知足 f 2( y 1) ，且 f ( y, y) ( y 1) 2 (2 y)ln y, 求曲线 f ( x, y) 0y所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积.精选文档(22)( 此题满分 11 分)1 2 34 设矩阵A 0 11 1 ， E 为三阶单位矩阵 . 1 23(I) 求方程组 (II) 求知足Ax 0的一个基础解系；AB E 的全部矩阵 .(23)( 此题满分 11 分)1 1 1 0 0 1 1 110 2证明 n 阶矩阵与相像 .1 1 1 0 0 n2014 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题答案一、选择题 :1 8 小题,每题 4 分,共 32 分 . 以下每题给出的四个选项中 , 只有一个选项切合题 目要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定地点上 .．．．1(1) 当 x0 时，若 ln (1 2x) ，(1 cos x) 均是比 x 高阶的无量小， 则 的取值范围是 ( )(A)(2, )(B) (1,2)(C)(1,1) (D) (0, 1)【答案】 B22【分析】由定义lim ln (1 2x) lim (2 x)lim 2 x 1x 0x xxx 01 0 1 .所以，故精选文档12x2当 x0 时， (1 cos x) ~ 1 是比 x 的高阶无量小，所以10，即2.2应选 B(2) 以下曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x(B) y x 2 sin x(C)y x sin1(D) yx2sin1xx【答案】 C11x sinsin【分析】对于 C 选项： limxlim1 lim x 1 0 1 .xxx xxlim[ x sin1x] limsin 1 0 ，所以 y x sin 1存在斜渐近线 yx .xxxx x应选 C(3) 设函数 f ( x) 拥有 2 阶导数， g( x)f (0)(1 x)f (1)x ，则在区间 [0,1] 上（）(A) 当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x)(B) 当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x)(C) 当 f ( x) 0 时， f (x)g ( x)(D) 当 f ( x) 0 时， f (x)g ( x)【答案】 D【分析】令 F ( x) g (x) f ( x)f (0)(1 x) f (1)x f ( x) ，则F (0) F (1) 0 ,F ( x) f (0) f (1) f ( x) , F ( x)f ( x) .若 f ( x) 0 ，则 F (x) 0 ， F (x) 在 [0,1] 上为凸的 .又 F(0) F (1) 0 ，所以当 x [0,1] 时， F (x) 0 ，进而 g(x)f ( x) .应选 D.(4) 曲线x t 2 7上对应于 t1 的点处的曲率半径是（）y t 2 4t 1(A)10(B)10(C) 10 10(D) 5 1050100【答案】 C精选文档【分析】dy t 12t 4 3dx 2t t 1d 2 ydy ' 2t 2 12 t 1dxt 12tt 1dxky ''1,R 1 10 10y '233k121 q 2应选 C2(5) 设函数 f ( x) arctan x ，若 f (x) xf ( ) ，则 milx2x(A) 1(B) 2(C) 1(D)13 23【答案】 D【分析】因为f ( x)f ' ( )1 2 ，所以 2x f (x) x1f (x)2x f (x)x arctanx1111 x 2lim lim lim lim x22 f ( x)2 arctanx 3x 23x 0 x 0 x x 0 x x 0应选 D.(6) 设函数 u( x, y) 在有界闭地区D 上连续， 在 D 的内部拥有 2 阶连续偏导数， 且知足2u2u0 ，则及y 2x 2(A) u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的界限上获得 (B) u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的内部上获得（ ）2ux y（）(C) u(x, y) 的最大值在 D 的内部获得，最小值在 D 的界限上获得(D) u(x, y) 的最小值在D 的内部获得，最大值在D 的界限上获得精选文档【答案】 A【分析】记 A2u 2 , B2u ,C2u2 , B 0, A, C 相反数xx yy则 =AC-B2 0 , 所以 u(x, y) 在 D 内无极值，则极值在界限处获得 .应选 A0 a b 0(7) a 0 0 b ( )队列式c d 0 0c 0 0 d(A) ( ad bc )2 (B) ( ad bc)2(C) a 2d 2 b 2 c 2(D) b 2c 2a 2 d 2【答案】 B【分析】由队列式的睁开定理睁开第一列0 a b 0 a b 0 a b 0 a 0 0 b a cd 0c 0 0 b 0 cd 0 0 0 dc dc0 0 dad (ad bc) bc(ad bc)(ad bc) 2 .(8) 设 a 1 , a 2 , a 3 均为三维向量，则对随意常数 k, l , 向量组 a 1 ka 3 , a 2 la 3 线性没关是向量组a 1, a 2 ,a 3 线性没关的( )(A) 必需非充足条件 (B) 充足非必需条件(C) 充足必需条件 (D) 既非充足也非必需条件【答案】 A1 0【分析】1k32l31231 .k l1 0) 记 A1k32l3 ，B123 ，C0 1.若1,2, 3 线性无k l精选文档关，则 r ( A) r ( BC ) r (C ) 2 ，故1k3,2l 3 线性没关 .) 举反例.令30 ，则1,2 线性没关，但此时1,2, 3 却线性有关 .综上所述， 对随意常数 k ,l ，向量1k3,2l 3 线性没关是向量1, 2,3 线性没关的必要非充足条件 . 应选 A二、填空题： 914 小题 , 每题 4 分, 共 24 分 . 请将答案写在答题纸 指定地点上 .．．．(9)11 dx __________.x 22x5【答案】38【分析】111x 1 111x 2dxx 1 2dx arctan 2 2 x 542132 428(10) 设 f ( x) 是周期为 4 的可导奇函数， 且 f (x) 2( x 1), x [0, 2] ，则 f 7)(__________.【答案】 1【分析】 f ' x 2 x 1 ， x0,2 且为偶函数则 f ' x 2 x 1 ，x 2,0又 fxx 2 2x c 且为奇函数，故 c=0f xx 2 2x ，x2,0又f x 的周期为 4，f7 f1 1(11) 设 zz(x, y) 是由方程 e 2 yz x y 2z7 确立的函数，则 dz1 1)__________.4( ,2 2 【答案】1(dx dy)27【分析】对 e 2 yz x y 2z方程两边同时对 x, y 求偏导4精选文档e 2 yz2y z 1 zx xe 2 yz (2z 2 y z ) 2 yz 0y y当 x11z, y时 ,22故z1 11 , z 1 11 x ( 2,2)2 y ( 2 , 2 )2故dz1 11dx (1)dy1(dx dy)2 2222( , )(12) 曲线 lim nS n 的极坐标方程是 r，则 L 在点 (r , ) ( ,) 处的切线的直角坐标方程是n2 2__________.【答案】 y2 x2【分析】由直角坐标和极坐标的关系x r cos cosy r sin，sin于是 r ,, 2 , 对应于 x, y 0,,22切线斜率 dydycos sin dy ddx dxcossindxd20,2所以切线方程为 y2x 022x即y=2(13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上 , 若其线密度x x 2 2x 1, 则该细棒的质心坐标 x __________.【答案】1120精选文档1x dxx【分析】质心横坐标 x1 x dx1 1 x 2x 3 x 2 10 5x dx=2x 1 dxx3 311 2x 4 2 3 x 2 1 11 xx dx= x x2x 1 dx x 0 04 3 21211x 12=115203(13) 设二次型 f x 1 , x 2 , x 3x 1 2x 22 2ax 1 x 3 4x 2 x 3 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围_________.【答案】2,2f x 1, x 2 , x 3x 12a 2 x 32 x 224x 32【分析】配方法：ax 32x 3因为二次型负惯性指数为 1，所以 4 a 20 ，故 2 a 2.三、解答题： 15～ 23 小题,共 94 分 . 请将解答写在答题纸 指定地点上 . 解答应写出文字说明、证 ．．． 明过程或演算步骤 .(15)( 此题满分 10 分)x 2 1et1 t dtt1求极限 lim1 .xx 2ln 1xx1dtx1dt【分析】1t 2 (e t 1) tlim1 t 2(e t 1) tlim1 )1xx 2ln(1xx2xx1lim[ x 2 (e x 1) x]x1 tttxlime1 t lim e1 lim t1 .tt 2t 02t t 0 2t 2(16)( 此题满分 10 分)精选文档已知函数 y y x 知足微分方程x2 y2 y 1 y ，且y 2 0 ，求 y x 的极大值与极小值 .【分析】由 x2 y2 y 1 y ，得( y2 1) y 1 x2①此时上边方程为变量可分别方程，解的通解为1y3y x 1 x3 c3 3由 y(2) 0 得 c 2321 x当 y (x) 0 时，x 1 ，且有：x1, y ( x)01 x 1,y ( x)0x 1, y ( x)0所以 y(x) 在x 1 处获得极小值，在x 1 处获得极大值y( 1) 0, y(1) 1即： y(x) 的极大值为1，极小值为0.(17)( 此题满分10 分)设平面地区【分析】 D对于x, y 1 x2 y2x sin x2 y2D 4, x 0, y 0 , 计算x ydxdy .Dy x 对称，知足轮换对称性，则：xsin( x2 y2 ) ysin( x2 y2 )x y dxdyx ydxdyD DIxsin( x2 y2 ) 1 x sin( x2 y2 ) ysin( x2 y2 ) x ydxdy2 x y x ydxdy D D1 sin( x2 y2 )dxdy2 D精选文档1d2rdr2sin r 21 )1r(rd cos24 11 cos r r |122 cos rdr4 11 2 1 1sin r |124 34(18)( 此题满分 10 分)设函数 f (u) 拥有二阶连续导数，zxcosy) 知足2z 2z(4 z e xcos y) e 2x，若f (e 2y 2xf (0)0, f ' (0) 0，求 f (u) 的表达式 .【分析】由 zfe x cos y , zf (e x cos y) e xcos y, zf (e x cos y)e x sin yxy2zf (e x cos y) e x cos y e x cos y f (e x cos y) e x cos y ，x 22 zf xxxsin yf (e xcos y)xcos yy 2( e cos y)e sin ye e2z2zxcos y e 2x由2+y 24z e，代入得，xfe x cos y e 2x[4 f e x cos y e x cos y]e 2 x即f e x cos y 4 f e x cos y e x cos y ，令 e x cos y=t , 得 f t 4 f tt特点方程24 0,2得齐次方程通解y c 1e 2tc 2e 2t精选文档设特解 y * at b ，代入方程得 a1 , b 0 ，特解 y * 1 t4 1 t4则原方程通解为 y=f tc 1e 2t c 2 e 2t4由 f0, f '0 0 ，得 c 11 ,c 21, 则16 16y=f u1 e2 u 1 e 2 u 1u . (19)(10 分)16 164此题满分设函数 f ( x), g( x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f ( x) 单一增添， 0g ( x) 1 ，证明： （ I ）xxa, x [ a,b] ,g(t) dt aab bg (t )dtf ( x)d xf ( x)g( x)dx.（II ）aaa【分析】（ I ）由积分中值定理x dt gxa ,[ a, x]g ta0 g x 1 ，0 gx ax ax t dtxaga（ II ）直接由 0 g x1，获得x dtx1dt = x ag t aauau（ II ）令 F u f x g x dxaaaF ' u f u g uf aug t dtaug t dtf x dxg ug uf uf ag t dta由（ I ）知 0uu aaau g t dtg t d t uaa又因为 fx 单增，所以 fuf au0 g t dtaF ' u0， F u 单一不减， F uF a取 ub ，得 F b 0 ，即（ II ）建立 .(20)( 此题满分 11 分)设函数 f (x)x, x 0,1 ，定义函数列1 xf 1 ( x) f ( x), f 2 ( x) f ( f 1 ( x)), , f n ( x) f ( f n 1( x)),及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim nS n .n【分析】 f 1 (x)x, f 2 ( x)x, f 3 ( x)x,1 x1 2x 1 3x精选文档，记 S n 是由曲线 y f n ( x) ，直线 x 1, f n ( x)x, 1 nxxx1 1S n 1 f n ( x) dx1 dx1n ndx11nxnx111 1 111 ln(11n1dxn1dx n n 2 nx) 0nx112 ln(1 n) n nlim nS n 1lim ln(1n) 1lim ln(1x) 1 lim1 1 0 1nnnxxx1 x(21)( 此题满分 11 分)已 知 函 数 f ( x, y) 满 足f 2 (y 1 ，) 且 f ( y, y)( y 2 1 )( 2y )求yl n 曲 线,yf ( x, y) 0 所围成的图形绕直线 y1 旋转所成的旋转体的体积 .【分析】因为f 2( y 1) ,所以 f ( x, y) y 2 2 y ( x), 此中 ( x) 为待定函数 .y又因为 f ( y, y)( y 1)22 y ln y, 则 ( y) 12 y ln y ，进而f ( x, y) y 2 2y 12 x ln x ( y 1)22 x ln x .令 f ( x, y)0, 可得 ( y 1)22 x ln x ，当 y1时， x 1 或 x 2 ，进而所求的体积为V2 y 1 22 2 x ln xdx1 dx12x 2ln xd2x12x 2 22ln x(2x )12 12ln 2 (2x x2 ) 124 (22)( 此题满分11 分)精选文档2xdx22ln 2 5 2ln 25.4 41 2 3 4设矩阵A 0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵.1 2 0 3(I)求方程组(II)求知足【分析】Ax 0的一个基础解系；AB E 的全部矩阵 B .1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0A E 01 110 1 0 01 110 1 01 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 1 0 11 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 10 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 3 1 ,0 0 1 3 1 4 1 0 0 1 3 1 4 1(I) Ax 0 的基础解系为1,2,3,1T(II) e1T T0,0,1T 1,0,0 , e2 0,1,0 , e3Ax e1的通解为x k1 2, 1, 1,0 T 2 k1, 1 2k1 , 1 3k1, k1 TAx e2的通解为x k2 6, 3, 4,0 T6 k2 , 3 2k2 , 4T3k2 , k2Ax e3的通解为x k3T1 k3,1 2k3,1T 1,1,1,0 3k3 , k32 k1 6 k2 1 k3B 1 2k1 3 2k2 1 2k3（k1 , k2 , k3为随意常数）1 3k1 4 3k2 1 3k3k1 k2 k3(23)( 此题满分11 分)1 1 1 0 0 11 1 1 0 0 2相像 .证明 n 阶矩阵与1 1 1 0 0 n11 【分析】已知 A1 1 21 ，，B =01n则 A 的特点值为 n ， 0 ( n 1重 ).A 属于n 的特点向量为 (1,1, ,1)T ； r ( A) 1 ，故 Ax 0 基础解系有 n1个线性没关的解向量，即 An=属 于0 有 n 1 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ； 故 A 相 似 于 对 角 阵.B 的特点值为 n ， 0 ( n 1重 ) ，同理 B 属于0 有 n 1 个线性没关的特点向量，故 B 相似于对角阵.由相像关系的传达性，A 相像于B .2015 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题及答案分析一、选择题：（ 1~ 8 小题 , 每题 4 分，共 32 分。
2014年考研数学二真题及答案解析
(9)
1
x2
1 2x
5
dx
__________.
【答案】 3 8
【解析】
1
x2
1 2x
5
dx
1
x
1
12
4
dx
1 2
arctan
x 1 2
1
1 2
4
2
3 8
(10) 设 f (x) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7) __________.
(A)
50
【答案】C
10
(B)
100
(C)10 10
5
(D) 5 10
【解析】
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
dy dx
t1
2t 2t
4
t 1
3
d2y dx2
t1
dy ' dx
2
t1
t2 2t
1
t 1
k
y '' 1 y'2
3 2
1
3
1 q2
, R
1 k
10
10
故选 C
) 举反例. 令3 0 ，则1,2 线性无关，但此时1,2 ,3 却线性相关.
综上所述，对任意常数 k, l ，向量1 k3 ,2 l3 线性无关是向量1,2 ,3 线性无关的必
要非充分条件.
故选 A
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
lim x0
1
1
1 x
2
3x2
1 3
2014年考研数学二真题及答案
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）B （2）B （3）D
（4）C （5）D （6）A
（7）B
（8）A
二、填空题：9 14小题，每小题 4 分，共 24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
x
ex cos y
令 ex cos y u ，
则 f (u) 4f(u) u，
故 f(u) 由 f(0)
C1e2u C2e 2u 0, f ( 0 ) 0,得
u 4
,(C1,C 为为 为为为
2
)
f ( u ) e2u e 2u u 16 16 4
（19）【答案】
证明：1）因为 0
g( x ) 1，所以有定积分比较定理可知， x 0dt
因为 y( 2 ) 0 ，所以C
2 y3 3， 3
y
x x3 3
2 3
。
所以 x 1 时，取极大值 y(1) 1。 x 1 时，取极小值 y( 1) 0 。
（17）【答案】
2 d 2 cos sin
d
0
cos sin
1 cos
2
d 2 sin d
0 cos sin
1
1
cos
2
d 2 d cos
0 cos sin
a
x g(t )dt
a
x1dt ，
a
即
0 x g(t )dt a
2）令
x a。
F( x ) x f ( t )g( t )dt a
2014年考研数学二真题及解析
（
）
2 3
(C)
1 2
(D)
1 3 2u 0 xy
（ ）
(6) 设函数 u ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续， 在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足
2u 2u 及 2 2 0， 则 x y
(A) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得
1
)
(A) (2, )
(B) (1, 2)
(C) ( ,1)
1 2
(D) (0, ) ( )
1 2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y x sin x (C) y x sin (B) y x sin x (D) y x sin
2 2
1 x
1 x
（ ）
(3) 设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数，g ( x ) f (0)(1 x ) f (1) x ， 则在区间 [0,1] 上 (A) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (C) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (B) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) (D) 当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
x t 2 7 (4) 曲线 上对应于 t 1 的点处的曲率半径是 2 y t 4t 1
(A)
（
）
10 50
(B)
10 100
(C) 10 10
(D) 5 10
2 (5) 设函数 f ( x ) arctan x ， 若 f ( x ) xf ( ) ， 则 lim 2 x 0 x
2014数二考研真题答案
2014数二考研真题答案2014年数学二考研真题答案一、选择题1. 题目：解方程组 $\begin{cases}2x + 3y - z = 5 \\x + 2y + z = 9 \\3x + 4y + \mu z = 1\end{cases}$ 有解，则 $\mu$ 的取值范围是（）答案：D. $(-\infty, 5]$2. 题目：设函数$f(x,y)=x^2+y^2-4x+2$，则曲线$f(x,y)=k$ 表示（）答案：B. 半径为 $\sqrt{k+2}$，圆心为 $(2,0)$ 的圆3. 题目：已知函数 $f(x)=e^x+e^{-x}$，则 $f'(x)=$答案：C. $e^x-e^{-x}$4. 题目：若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则函数 $F(x)= \begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} & \text{当} x \neq x_0 \\ f'(x_0) & \text{当} x =x_0 \end{cases}$ 在 $x=x_0$ 处（）答案：B. 连续5. 题目：已知数列 $\{a_n \}$ 的通项公式为 $a_n = 2n+1$，则$\sum_{n=1}^{10}a_n=$答案：C. 1106. 题目：求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n^2}$ 的收敛域。
答案：A. 收敛于 $x \in (-1,1]$，发散于 $x \geq 1$7. 题目：设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，且 $AA^T=E$，则 $A^T A=$答案：B. $E$8. 题目：设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，且 $f'(0)=1, f''(0)=2$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(e^x)-f(\cos x)}{x^2}=$答案：A. 59. 题目：设 $z = \ln (x^2 +y^2)$，则 $\frac{z^2}{x^2+y^2}$ 等于（）答案：C. 110. 题目：设函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(x)|_{x=0}=0,f'(x)|_{x=0}=1, f''(x)|_{x=0}=-1$，则当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的指数阶为（）答案：D. $\frac{1}{2}$二、填空题11. 题目：方程 $x^3-y^3-3xy(x-y)=0$ 的一组解为 $x-y=$ \underline{3}，则其对应的黎曼矩阵为 $\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$。
2014年数学二真题+答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 : 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上•(1) 当x(A) (2, ) (B) (1,2)(2) 下列曲线中有渐近线的是(A) y x sin x1(C) y x sinx⑶设函数f (x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1(A)〔当f (x) 0时，f(x) g(x) (B)〔当f (x) 0时，f(x) g(x)(C)〔当f (x) 0时， f (x) g(x) (D) I当f (x) 0时， f (x) g(x)(C)中)(D) 1(0,：)2 ( )(B) 2y x sin x2 .1(D) y x sinxx) f (1)x，则⑷在区间[0,1] 上()的取值范围是()0时，若In (1 2x) , (1 cosx)均是比x高阶的无穷小，则x曲线t2t2上对应于t1的点处的曲率半径是(A)10 50⑸设函数f(x)(A) 1 4t(B)远100arctan x，若f (x)(B)2(C) 10 .10 (D) 5'、10xf ()，则limx 0 x2(C)丄()(呜⑹设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数, 且满足2(C) u(x, y)的最大值在D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 (D) u(x, y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得行列式((9)(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上,若其线密度 x x 2 2x 1,则该细棒的质心坐标x ____________ .(14) 设二次型f x ,，X 2，x 3 N 2 x 22 2ax 1x 3 4x 2x 3的负惯性指数为1，则a 的取值范围为三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤•(15) (本题满分10分)(A) (ad be)2(B)2(ad be)(C) 2 j 2a db 2c 2(D) .2 2 2 . 2b e a d设1 , 2, 3均为3维向量， 则对任意常数k,l ,向量组 1 k 3, 2l 3线性无关是向量组2,3线性无关的((A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件填空题：9 :14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上•(8) )1?1(10)f(x)是周期为4的可导奇函数, f (x) 2(x 1), x [0,2]，则 f(7)(11)设z z(x, y)是由方程e 2yzz -确定的函数，贝U d4(12) 曲线r r()的极坐标方程是,则L 在点(r, )(3,?)处的切线的直角坐标方程是1 x 2t 2 d 1 t dt 1求极限lim —x(16)(本题满分10分)f(0) 0, f (0) 0,求 f(u)的表达式.(19)(本题满分10分)0,1，定义函数列 f 1(x) f(x), f 2(x) f (f 1 (x)), L ,f n (x) f(f n1(X )),L ，记S n 是由曲线目f n (X )，直线X 1及X 轴所围成平面图形的面积， 求极限 lim nS n .nn(21)(本题满分11分)已知函数 f (x, y)满足一^2(y 1)，且 f (y, y) (y 1)2 (2 y)ln y,求曲线 f (x, y) 0y1旋转所成的旋转体的体积•x 2ln 1 1x已知函数y y x 满足微分方程 x 22y y 1 y ，且 y 20，求y x 的极大值与极小值•(17)(本题满分10分)设平面区域 D x, y 14,x 0, y 0 ,计算D:.2 2xsin x ydxdy .(18)(本题满分 10分)设函数f(u)具有二阶连续导数,2xzf (e cosy)满足 rX2Zx . 2x2(4z e cos y) e ，右y设函数 f (x), g (x)的区间［a,b ］上连续，且f (x)单调增加,g(x) 1.证明:(I) 0a(II)a xg(t)dt x a,xabg(t)dtbaf(x)d x a[a,b],f(x)g(x)dx .(20)(本题满分11分)设函数f(x) —,x1 x所围成的图形绕直线 y1 1 L 1 0 L 0 1― 1 1 L 1 - 0 L 0 2丄，证明n阶矩阵与相似M M M M M M M M1 1 L 1 0 L 0 n2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有-个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸~~指定位置上•(2)下列曲线中有渐近线的是(A) y x sin x (B)y 2x sin x(C) y .1 x sinx(D)y 2 . 1 x sinx【答案】 C.1 x sinsin 1【解析】关于C 选项：limxlim1 lim x10 1.xx xx xlim ［x • 1 ］ sinx ］ 1limsin 0，所以y x sin1存在斜渐近线y xxxxx x 故选C⑶设函数f (x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 (A)当 f (x) 0时， f(x) g(x)(C)当 f (x)0时， f (x)g(x)【答案】D【解析】令 F(x)g(x) f(x) f(0)(1 x) x) f (1)x ，则在区间［0,1］上((B)当 f (x) 0 时，f(x) g(x)(D)当 f (x) 0 时，f (x) g(x)f(1)x f(x)，则F(0)F(1) 0,f (0) f (1) f (x),F (x) f (x). 若 f (x)0,则 F (x)0，F(x)在［0,1］上为凸的.(1)当 X 0时，若In (1 2x) , (1 cosx)均是比x 高阶的无穷小，则的取值范围是()(A) (2,)(B) (1,2)1(C)(丁)1(D)(%)【解析】由定义In lim - (1 2x)lim (2x) -lim 2 x 1x 0xx 0xx 0 所以10，故1.2当x 0时，(11cosx)~ x_是比 x 的高阶无穷小，所以0，即2.2F (x)【答案】B 故选B2 1又F(0) F(1) 0 ,所以当x ［0,1］时，F(x) 0，从而g(x) f(X). 故选D.x⑷曲线yt2t24t上对应于t11的点处的曲率半径是(A)50 (B)込100 (C) 10、、10(D) 5、、10【答案】【解析】d ydx 2t 2td2y dx2故选C dyx2t72t⑸设函数f (x) arctanx，若f(x) xf ((A)(B)3 (C)i【答案】【解析】因为f(x) 2 x f(x) f(x)lim飞x 0x故选D.x f(x)lim 2x 0 x f(x)x arcta n xlim —x 0 x arctanx1limx 011 x23x2⑹设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二2-2 0，则 yu(x, y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 u(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得【答案】【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列a b 0a b 0a c d0 c 0 0 b0 0 dcd 0a i , a 2,a 3线性无关的(A)必要非充分条件(C) u(x, y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 (D) u(x, y)的最小值在D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得(8)设a i ,a 2,a 3均为三维向量，则对任意常数k,l ,向量组 a i ka 3, a 2 la 3线性无关是向量组(A) (B) 【解析】 24,Bx 则二AC-B故选A22—,C -42, B 0, A,C 相反数x y y0 ,所以u(x, y)在D 内无极值，则极值在边界处取得(7)行列式2(A) (ad bc)(B) (adbc)2 (C) a 2d 2 b 2c 2 ()(D) b 2c 2 a 2d 2ad (ad be) bc(ad bc)(B)充分非必要条件1【解析】 1 k 3 2 l 3 1230 1 .kl1 0)记 A 1 k 3 2 l 3， B123， C0 1 .若1, 2, 3线性无k l关，则 r(A) r(BC) r(C) 2，故 1 k 3, 2l 3线性无关.(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A )举反例•令3 0,则1, 2线性无关，但此时 1, 2, 3却线性相关综上所述，对任意常数k,l ，向量1 k 3, 2 l 3线性无关是向量 1, 2, 3线性无关的必 要非充分条件. 故选A 二、填空题：9：14小题,每小题 4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 1 1 (9) 2 dx _________ x 2x 53【答案】3 8 【解析】 1 dx 2x 5 11 x 1 1------ 2 ---- dx - arctan x 124 -- 2 --- 2(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) 2(x 1), x [0,2]，则 f(7)【答案】1 【解析】f x 2 x 1 ，x 0,2且为偶函数则 f ' x 2 x 1，x 2,0 x 2 2x c 且为奇函数，故c=02f x x 2x, x 2,0e2yz2y，则L在点(r,)(-,-)处的切线的直角坐标方程是2【答案】y —x —2【解析】由直角坐标和极坐标的关系于是r, J,对应于x, y 0,—,2 2 2屯切线斜率dy d cos sin dy 2 dxdx cos sin dx 0, 2d(11)设z z(x, y)是由方程e2yz x 7确定的函数，则d【答案】丄(dx2dy)【解析】对e2yz4方程两边同时对x, y求偏导e2yz(2z 2y 二)y2y(2勺1 z2, y 1 1 (丄丄)2 2故dz(第)2 2 2dx 1 1(3)dy 3(dx dy)(12)曲线lim nS h的极坐标方程是rnx r cos cosy r sin sin所以切线方程为y -2 2x 0(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上,若其线密度x 2 2x 1,则该细棒的质心坐标X _ 11 【答案】 20 【解析】质心横坐标1 x x dxdx1 dx=2x dx X 31dx= xx 22x1 dx11 121112 = 11 5 =20 3(13) 设二次型 f 2 X 1 2X 2 2ax 1X 3 4X 2X 3的负惯性指数是 1，贝U a 的取值范围 【答案】 2,2 【解析】配方法: f X 1，X 2，X 3 x 1 由于二次型负惯性指数为 1，所以 三、解答题： 2 ax 3 2a 0，故 2 a 2.2 2a X s X 2 2X 3 2 4x f15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤• (15)(本题满分10分) X t 21求极限lim --------- X 1 e t 1 t dt x 2l n 1 1x已知函数y满足微分方程值•【解析】由x2(y2 1)y此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为1 33y y由y(2)即：y(x)的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)xsin2 21 X y 4,x 0, y 0 ,计算----------D【解析】D关于y x对称,满足轮换对称性，则:ySin( x2 y2)dxdy【解析】limX X 11 t2(e T 1) t dtX2ln(1limXx 11 t2(e r 1) t dt(16)(本题满分10分)lim[X1tXlim1(e' 1)e t 1 tX]limt 0e t 12tlimt 0t2t又由①可得y (X)当y (x) 0 时，x1,y(x) 0x 1,y (x)1,y(x) 0 1 x21，且有:x所以y(x)在x y( 1) 0, y(1)1处取得极小值，在X 1处取得极大值1 y，且y 求y x的极大值与极小2y y1 x2设平面区域D x, y2 2x y ---- dxdy.列」Edxdy xsi n( x2y2) ysi n( x2y2)dxdysin(D2)dxdy2sin1rdr2rd coscos ■2r r 1 2cos1rdr^sin rI：34(18)(本题满分10分)设函数f(u)具有二阶连续导数, f (e x cosy)满足24 (4zyx 2xe cos y) e ，右f(0) 0, f (0) 0 ,求f (u)的表达式【解析】zcosy , 一xf (e x cosy) e x cosy,—Z f (e x cosy)yxe sin y 2zf (e x cos y) e x cos y xe cosyf (e x cosy) e x cos y2z2y2zx xe cos y) e sin yx4z e cosy2xe ，代入得,xe sin yf (e x cosy) e x cosyxf e cosy 2xe [4f e x cosy e x cosy]e2x即令 e x cosy=t,得 ft 4f tx0 g(t)dt x a,x [a,b],aabg(t)dt b（II ）aaf (x)d xa f(x)g(x)dx .x【解析】（I ）1由积分中值定理agt dt gx a ,[a,x]Q0g x 1，0 gx ax ax agt dt x a（II ） 直接由0 g x 1,得到xxg t dt1dt= x aaauuag t dt（II ） 令Fuf x gax dxaf x dxa1uF u f u g u f a agt dt g ug u fuu f ag at dtuu由(I )知 0 g t dt u aa a g t dt uaax xf e cosy 4f e cosyxe cosy ,特征方程 24 0,2得齐次方程通解— 2ty qe2tc 2e设特解y atb ，代入方程得a -,b 0，4 特解it 4则原方程通解为 y=f t 2tc 1e2tc 2e 由 f 00, f得C i1 16，C2 y=f u1t 4丄，则16 1 2u e 161 e 162u（19）（本题满分 10分)设函数f （x ）, g （x ）在区间 [a,b]上连续，且f （x ）单调增加，0g （x ） 1，证明：（I ）u 0, F u 单调不减， F u Fa b ，得F b 0,即(II )成立.本题满分11分)设函数f(x) —,x1 x及x 轴所围成平面图形的面积，求极限Iim nS n •nn又由于f x 单增，所以f u fau agtdt 0(20)( 0,1，定义函数列f 1(x) f(x), f 2(X )f(f 1(x)), L , f n (x) f ( f n 1(X ))丄，记S n 是由曲线y f n (X )，直线X 1【解析】 f 1(x) x r?f 2(x)10 f n (x)dx11dx 0n 1 2In(1n1x ——dx 01 nx11 1 dx — 01 nx nn)Iim nS n 1 n (21)(本题满分 ..In(1 n)Iim nn11分)已知函数f (x, y)满足f(x, y) 0所围成的图形绕直线x ,f 3(X )1 2x1 3x1 11x「dx1 nx x丄，f n (x)x1 nx1 21 n(1 nx) nIimxIn(1 x) x2(y 1)，1 Iimx且 f (y,y) (y 1)2 (2 y)1n y,求曲线1旋转所成的旋转体的体积【解析】因为T(y 1),所以f (x, y) y 2y (x),其中(x)为待定函数. y又因为 f (y,y) (y 1)2y In y,则(y) 12 y I n y ，从而f(x, y) y 2 2y 12In x (y 1)22 x In x .o令 f (x, y) 0,可得(y 1)1时，x 1或x 2，从而所求的体积为E 为三阶单位矩阵1 2 3 4 1 0 0 12 3 4 1 0 0A E0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 01 20 3 0 0 10 4 3 11 0 11 234 10 01 0 0 12 60 11 1 0 1 00 1 0 2 1 30 01314 10 1314(I) Ax 0的基础解系为1,2,3,1TT TT(II) e.1,0,0 ,e 2 0,1,0 0,0,1Ax ei 的通解为x k 1 2, 1, 1,0T2 k 1, 1 2K,1 3k 1, k 1TAx e 2的通解为x k 26, 3, 4,0 T6 k 2, 3 2k 2, 4 3k 2, k 2TTTAx e 3的通解为x k 31,1,1,01 k 3,12k 3,1 3k 3, k 32 k 16 k 2 1 k 3「1 2k 1 3 2k2 12k 3B(k 1,k 2, k 3为任意常数)1 3k 14 3k 2 1 泳31 1 1k 1k 20的一个基础解系;E 的所有矩阵B .(I) 求方程组 (II) 求满足 【解析】(23)(本题满分11分)(22)(本题满分11 分)121 dxx In xdx2 In xd 12x22In x(2x —)2ln 2(2x 1 2y)42ln 2dx 2ln 2设矩阵AAx AB1 1 L 1 0 L 0 11 1 L 1 - 0 L 0 2丄，证明n阶矩阵与相似•M M M M M M M M1 1 L 1 0 L 0 n1 1【解析】已知A M1 L L 1 B =2 0 0 L 1，M M1 n则A的特征值为n ,0( n 1重).A属于n的特征向量为(1,1L ,1)T；r(A) 1，故Ax 0基础解系有n 1个线性无关的解向量，即A属于0有n 1个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵n_ 0OB的特征值为n , 0(n 1重)，同理B属于0有n 1个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵•由相似关系的传递性，A相似于B.2 2及一2 —2 0，则x y(A) u(x, y)的最大值和最小值都在D的边界上取得(B) u(x, y)的最大值和最小值都在D的内部上取得。
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin += 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x , 上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→220x x ξlim （ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u 及02222=∂∂+∂∂yu x u ，则（ ）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．7．行列式dc d cb a b a 00000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ． 12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim x x dt t e t x t x 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++D dxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)c o s (y e f z x=满足x x e y e z y z x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa ,,)(∈-≤≤⎰0； （2） ⎰⎰≤⎰+ba dt t g a a dx x g x f dx x f ba )()()()(． 20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xx x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系；（2） 求满足E AB =的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100 相似．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有 ( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I <<(5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y ∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( ) (A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <>(6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰ ( ) (A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx == .(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = . (13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为22的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=， (I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe +-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题。
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（17）【答案】
（18）【答案】
令 ，
则 ，
故
由 得
（19）【答案】
证明：1）因为 ，所以有定积分比较定理可知， ，即
。
2）令
由1）可知 ，
所以 。
由 是单调递增，可知
由因为 ，所以 ， 单调递增，所以 ，得证。
（20）【答案】
因为
所以
所以
（21）【答案】
（22）【答案】① ②
（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）[-2,2]
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
（16）【答案】
因为
，①
得到
，
， 。
所以 时，取极大值 。
时，取极小值 。由①可Fra bibliotek，，因为 ，所以 ， 。
所以 时，取极大值 。
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）B
（2）B
（3）D
（4）C
（5）D
（6）A
（7）B
（8）A
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.