第三章晶格振动与晶体的热学性质

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第三章晶格的振动

i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件：晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个闭合环，它包含有限数目的原子，但实际上第N+1个原子就是第1个原子。只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就局部看仍认为原子排列在一条直线上从而得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2

mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解类似于一维单原子链的讨论

晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应

晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应晶体是由定序排列的原子或分子构成，其内部结构具有周期性的排列方式。

晶体的热学性质与晶体内原子之间的相互作用密切相关。

晶格振动是晶体内原子或分子在其平衡位置周围做微小振动的一种现象。

晶格振动的性质受到晶体的结构、温度和压强等因素的影响。

晶格畸变是指晶格结构由于外界的作用而发生变化，从而影响晶体的热学性质。

本文将探讨晶格振动与晶格畸变效应对晶体热学性质的影响。

一、晶格振动对晶体热导率的影响晶体的热导率是指晶体传导热量的能力。

热导率与晶格中原子或分子振动的频率和振幅相关。

晶格振动的频率与晶体的晶胞结构有关，例如，对于简单晶格结构，振动频率较高；而对于复杂晶格结构，振动频率较低。

当晶格振动频率较高时，晶体内的能量传递速度加快，热导率提高。

相反，当晶格振动频率较低时，能量传递速度减慢，热导率降低。

晶格畸变会改变晶格振动的频率，从而影响晶体的热传导性能。

例如，在晶格畸变中，晶胞间距的改变会导致振动频率的变化，进而影响热导率。

二、晶格振动对晶体热膨胀性的影响晶体的热膨胀性是指在温度变化时晶体尺寸的变化程度。

晶体的热膨胀性与晶格振动也有密切的联系。

晶格振动引起的原子或分子间的相互作用改变会导致晶体发生畸变，从而产生热膨胀。

当晶体受热而振动频率增加时，晶格结构扩展，晶体膨胀。

相反，当晶体受冷而振动频率减小时，晶格结构收缩，晶体收缩。

晶格畸变可以显著影响晶体的热膨胀行为。

例如，在晶体结构的压力或应力下产生的晶格畸变会导致热膨胀性的改变。

三、晶格振动对晶体热容的影响晶体的热容是指单位质量或单位体积的晶体在吸热(或放热)时温度变化的量。

晶体的热容与晶格振动特性也存在一定的关联。

晶格振动的频率和振幅会影响晶体内部能量的分布和传递，从而影响热容。

当晶格振动频率高且振幅大时，晶体内能量的分布较广，热容较大。

反之，当晶格振动频率低且振幅小时，晶体内能量的分布较为局限，热容较小。

晶格畸变会改变晶格振动的特性，进而对晶体的热容产生影响。

晶格振动与晶体的热学性质关系综述

晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。

它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。

本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。

晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。

一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。

这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。

晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。

在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。

而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。

除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。

例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。

由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。

在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。

通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。

例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。

总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。

研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。

随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。

这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。

通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。

此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支声学波。
◇具有N个原胞的晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量：取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播，形成格波。

固体物理第三章

固体物理第三章班级成绩学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质姓名(lattice vibration and its heat characteristics)⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。

［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。

如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。

2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。

格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。

简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。

3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关系？［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为： 11)(/-=Tk i B en ωω即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。

以德拜模型为例。

晶体中的声⼦数⽬为ωωωωd g n N D)()('0=其中令 T k x B ω= 则 123'2/033233-=x TB e dxx C T k V N D θπ在极低温度下，θD ／T →∞，于是 331332332033233)2(23123'T nC T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑∞=∞=-=ππ即在温度极低时，晶体中的声⼦数⽬与T 3成正⽐。

《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质

第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。

固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质

3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性，仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式

a
)

晶格振动与晶体的热学性质

格波：连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解得
第三章晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj

频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n

线性变换系数正交条件：系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj

Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T

系统的总机械能即体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

固体物理基础学：第3章晶格振动与晶体的热学性质

晶格振动在晶体中形成了各种模式的波（格波），这些模式是相互独立的，各模式的波所取的能量是分立的简谐近似下，通过一些数学手段处理，可以用一系列独立的简谐振子来描述这些相互独立、能量分立的振动模式这些谐振子的能量量子，成为声子晶格振动的总体可看做是声子的系宗
3-0 本章导读
热容量热运动在宏观性质的表现
v f （ n1 - n）（ n - n 1） n
平衡位置
牛顿第二定律 F=ma
力与两个原子的位移有关
d 2 n （ n1 - n）（ n - n 1） m dt 2
(1)
非平衡位置
这即是第n个原子的运动方程！
3-2 一维单原子链模型
dv f d
d 2v 其中 ( 2 )a dr
3-1 一维单原子链模型
现考虑第n-1和第n+1个原子对第n个原子的双重作用同样，写出简谐近似后的相互作用势v，如下：
v
1 2 2 （）（） n n 1 n 1 n 2
对位移求偏导，得到力：
杜隆－珀替经验规律：一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量 3Nk＝3R
—— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降爱因斯坦模型与德拜模型
研究晶格振动的意义远不限于热学性质。晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。对晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
其中任意一个简正坐标方程解
Qi Asin(it )
可化为 i
—— ωi是振动的圆频率，当只考察某一个的振动时：
方程

固体物理第三章晶格振动与晶体的热学性质.

方程了，方程解为： nq Aei( tnaq )
2. 格波—解的物理意义连续介质波的解：
i (t 2
Ae
x)
Ae i(t qx )
格波：上述原子振动方程的解与一般连续介质的波有完全类似
的形式，所不同的是只在格点位置上有原子的振动。我们称原
子振动的波为“格波”。
格波与连续介质波的区别：
（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取
将包含N个原胞的有限原子链首位相连，呈封闭环，使链上所有原（胞）子等价。
第n个原（胞）子与第n+N个原子情况完全相同。B-K边界条件也
称周期性边界条件。nq Aei(tnaq)
边界条件要求：eiNaq 1 即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为整数)
Na
q
a
a
N h N , h取N个整数值 2 / a N
(Qi
)
i (Qi
)
解出：
i
(ni
1 2
)hi
ni
i
h
exp(
22)Hni来自()其中
i
h
Qi
系统的本征能量：
，Hni(ξ)是厄米尔多项式。
E
3N i 1
(ni
1 2
)hi
3N
系统的本征函数：
(Q1 ,Q2 ...Q3N )
ni (Q1 )
i 1
只要找出系统的简正坐标，或说是振动模, 晶格振动问题就解决
4. 简正坐标代表所有原子的一种集体运动(而不是哪个原子的位移) 因为原子位移和简正坐标之间存在正交变换关系：
mi i
aij Q j
假设只存在某一个Qi，j 其它的都为0 (即只考察一个Qj振动)，那么，

晶格振动与晶体的热学性质-习题

第三章晶格振动与晶体的热学性质1。

什么是简谐近似？解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。

这个近似即称为简谐近似。

2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义.解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22sinqa qamaqv p βω== (1)2cos qam a dq d v g βω==. 由（1）式及结合上图3。

1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。

但当0→q 时，mav p β=为一常数。

这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3。

1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ,而mav p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。

3。

周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。

固体物理(第3章)讲解

2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i

exp(

2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波波矢的取值和布里渊区相邻原子相位差格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开

第三章晶体振动和晶体的热学性质

第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动
1.晶体振动
晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，
而是为绕其平衡位置作振动。
2.振动的特点
晶体中各原子的振动是相互联系的。
3.振动模式
用格波表述原子的各种振动模式。
1
二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)
1.晶格振动
原子在平衡位置附近的微振动。 2.空位或间隙原子少数原子脱离其格点的振动。 3.熔解
2 q n

q相当于波矢k。

波速：v p / q
不同原子间位相差:
naq naq ( n n)aq
相邻原子的位相差:
( n 1)aq naq aq
12
3. 和q的关系——色散关系(振动频谱)
x n 1 x n 1 2 x n
12
2n sin q a
a 2 2 m
12
qa sin 2
15
q和q表示的是同一个状态。
b 2

b2
2 a

a
O
q0

a
2 a
q0
2 a
q
(2)q的取值范围为了保证和q的一一对应关系，q的取值范围设定为：对于一维布喇菲格子，有：
(1)m(2n+1)原子:
x2 n1 Ae
i q 2 n1 t
d 2 x2 n1 m x2 n 2 x2 n 2 x2 n1 n 1,2,3, N 2 dt
2 m A 2 cosqa B 0
2
①
21
(2)M(2n+2)原子

晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析

晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析晶体是由周期性排列的原子或分子构成的固体物质，其热学性质与晶格振动之间存在着相互的联系和相干性。

本文将对晶体的热学性质和晶格振动的相干性进行分析和探讨。

一、晶体的热学性质晶体的热学性质是指晶体在温度变化下所表现出的性质和特点。

其中，热容、导热性、热膨胀等是最常见的晶体热学性质。

下面将对这些性质进行详细介绍。

1. 热容热容是指单位质量的晶体在温度变化下吸收或释放的热量。

晶体的热容受到晶格振动和晶格缺陷的影响。

晶格振动包括晶格的弹性振动、声子振动等，它们会影响晶体内部的能量传递和分布。

晶格缺陷包括点缺陷、面缺陷等，它们会散射热子和声子，影响晶格的热传导性能。

2. 导热性导热性是指晶体在温度梯度下传导热量的能力。

晶体的导热性与晶格振动的相干性密切相关。

晶格振动的相干性越高，晶体的热导率就越高。

晶体的导热性还受到晶体的宏观结构和缺陷等因素影响。

3. 热膨胀热膨胀是指晶体在温度变化下的尺寸变化。

晶体的热膨胀与晶体中原子的振动有关。

当温度升高时，晶体内原子的振动增强，原子之间的相互作用减弱，晶体的体积就会扩大。

晶体的热膨胀系数与晶格振动的相干性强弱密切相关。

二、晶格振动的相干性晶格振动是晶体中原子或分子围绕平衡位置做小幅振动而引起的能量传递和分布现象。

这些振动以声子的形式进行传递，其相干性对晶体的物理性质有重要影响。

晶格振动的相干性决定了晶格对热量和声波的传递情况。

当声子的相干性较高时，晶体的热导率会增加。

而当声子的相干性较低时，晶体中的散射会增加，导致热传导能力变弱。

因此，晶格振动的相干性是晶体热学性质的重要影响因素。

晶体中振动的相干性主要受到以下因素的影响：1. 晶格结构：不同晶体的晶格结构会影响振动的传播和相干性。

晶格结构越有序，振动的相干性越高。

2. 晶体缺陷：晶体中的缺陷会散射声子，降低振动的相干性。

例如点缺陷、面缺陷等都会对声子的传播和相互作用产生影响。

3. 温度：温度的变化会影响晶格振动的相干性。

《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考03第三章晶体振动和晶体的热学性质

⎧ d 2 xn m = β 2 ( xn +1 − xn ) − β1 ( xn − xn −1 ) ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ 2 ⎪m d xn +1 = β ( x − x ) − β ( x − x ) 1 2 n n+2 n +1 n +1 ⎪ dt 2 ⎩
设格波的解分别为
n i [( ) aq −ωt ] ⎧ ⎪ xn = Ae 2 ⎨ n ⎪ x = Bei[( 2 ) aq + qb −ωt ] ⎩ n +1
A 2β cos qa / m = =0 B 2β / m − 2β / M
由此可知，声学支格波中所有轻原子 m 静止。而在光学支中，重原子 M 与轻原子 m 的振幅之比为
B 2β cos qa / M = =0 A 2β / M − 2β / m
由此可知，光学支格波中所有重原子 M 静止。此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：
v弹 =
ω
q
=
c
ρ
，c = βa ， ρ =
1
⎡ ⎢ v弹 = ⎢ β a ⎛ m+M ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ 2a ⎣
⎤2 1 ⎥ ⎛ 2β ⎞ 2 ⎥ =⎜ ⎟ a ⎞⎥ ⎝m+M ⎠ ⎟ ⎠⎥ ⎦
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。 3.5 设有一维原子链（如图），第 2n 个原子与第 2n + 1 个原子之间的力常数为 β ；而第 2n 个原子与第 2n − 1 个原子的力常数为 β ' （ β ' < β ）。设两种原子的质量相等，最近邻间距均为 a，试求晶格振动的振动谱以及q = 0 和q = ±