数字信号处理

数字信号处理

陈斌

A19140297

电信1403班

2.15 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统（用MATLAB 求解）。

)1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y

（1）求这个系统的系统函数，画出零极点图并指出收敛区域；

（2）求此系统的单位抽样响应；

（3）此系统是一个不稳定系统，请找出一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。

解：

（1）对上式进行Z 变换得)()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++=，因此系统函数为

1

1)()()(2211--=--==---z z z z z z z X z Y z H 绘制零极点图代码如下：

b=[0 1 0];

a=[1 -1 -1];

zplane(b,a)

结果如下：

零点为

0=z ，∞=z

极点为

2511+=z ，2

512-=z -1-0.500.5

1 1.5

Real Part I m a g i n a r y P a r t

已知系统是因果系统，因此收敛域为2

51+>

z 。 （2）因为 ][1))(()(2

12121a z z a z z a a a z a z z z H ----=--= ][1]1111[10

20121121121∑∑∞=-∞=-----=

----=

n n n n n n z a z a a a z a z a a a 所以 )()(1)(2121n u a a a a n h n n --=

式中

2511+=a ，2

512-=a 绘制单位抽样图代码如下：

b=[0 1 0];

a=[1 -1 -1];

n=[0:20];

x=[1,zeros(1,20)];

h=filter(b,a,x);

stem(n,h,'.','linewidth',2);

xlabel('n');ylabel('h(n)');axis([0,21,0,7000]);

grid on

结果如下：

（3）若要使系统稳定，则收敛域应包括单位圆，因此选)(z H 的收敛区域为21a z a <<，即2

51251-<<+z ，则 ][1)(2

121a z z a z z a a z H ----= 式中第一项对应一个非因果序列，第二项对应一个因果序列，所以

][1)(0

21121∑∑∞=---∞=----=n n n n n n z a z a a a z H 有

)]()1([1)(212

1n u a n u a a a n h n n +---= )]()62.0()1()62.1[(447.0n u n u n n -+--⨯-=

此系统稳定，但非因果。

n h (n )