第二章_语音产生的声管模型(幻灯讲义)_846509518

∂v( x, tBiblioteka ) ∂p ( x, t ) = − K ⋅ ρ v ( x, t ) ⋅ ∂t ∂x
2 设 K = C0 ，并定义线密度 ρ ( x, t ) =
（2）
ρ v ( x, t ) ⋅ A
则上面的公式（1）可以写成：
ρ ( x, t ) ∂v( x, t ) ∂p ( x, t ) =− ⋅ ∂x A ∂t
Av 周期脉冲 发生器 声门脉冲 模 型 G (z) 声道模型 H (z) 随机噪声 发生器 Au 辐射模型 R(z)
S (n ) 声道参数
图 2-1 语音的产生模型
1
2. 非均匀声管模型
人的发声器官由三部分组成：喉、声带和嘴唇及鼻腔。为了便于理论研究，人们把 发音器官用一种物理模型加以描述，这就产生了声管模型。从声门到嘴唇的声道系统可 以看成是一段面积不均匀的管子。如图 2-2 所示。
⎡V + ( s )⎤ ⎡V ( s)⎤ ⎡1⎤ VM +1 ( s ) = ⎢ M +1 ⎥ = ⎢ L ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ VL ( s ) ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
综合以上结果可得：
⎡ 2 VG ( s ) = ⎢ ⎣1 + μ G − 2μ G ⎤ ⎥⋅ 1 + μG ⎦ 1 ⎡ ⋅⎢ − μ1e −2 sτ ∏ (1 + μ k ) ⎣
令 μ k −1 =
（反射系数）
⇒
14
1 ⎧ + + − ⎪ vk −1 (t − τ ) = 1 + μ ⋅ vk (t ) − μ k −1 ⋅ vk (t ) k −1 ⎪ ⎨ ⎪ − 1 + − ⎪vk −1 (t + τ ) = 1 + μ ⋅ − μ k −1 ⋅ vk (t ) + vk (t ) k −1 ⎩
V1 ( s ) = VG ( s ) −
根据（7） （8）式得：
P ( s) 1 ZG
⇒
VG ( s ) = V1 ( s ) +
P ( s) 1 ZG
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VG ( s ) = V1+ ( s ) − V1− ( s ) + =
Z1 + V1 ( s ) + V1− ( s ) ZG
[
]
（14）
（5）
A ∂ 2 v ( x, t ) ∂ 2 v ( x, t ) =− ⋅ ρ ( x, t )C02 ∂t ⋅ ∂x ∂x 2
由（3）式对 t 求偏导数可得：
ρ ( x, t ) ∂v 2 ( x, t ) ∂ 2 p ( x, t ) =− ⋅ A ∂t 2 ∂x ⋅ ∂t
8
由以上两个式子可以得到：
Δt → 0 Δv → 0
Δm ( x , t ) m ( x , t + Δt ) − m ( x , t ) = K ⋅ lim Δt → 0 ΔV ⋅ Δt ΔS ⋅ Δx ⋅ Δt Δx → 0
= K ⋅ lim
由此推出
− ρv ( x, t ) ⋅ [v( x + Δx, t ) − v( x, t )]⋅ ΔS ⋅ Δt Δx → 0 ΔS ⋅ Δx ⋅ Δt Δt → 0
u-电压 i-电流
ρ / A -声感 A /( ρC 2 ) -声容
L -电感 C -电容
表 2.1 声管和传输线方程的类比
当 ρ (x,t ) 随 x ， t 变化很小时，可将 ρ ( x, t ) 看成常数，这是一种合理的近似。此时： 由（3）式对 x 求偏导数可得：
7
∂ 2 p ( x, t ) ρ ( x, t ) ∂v 2 ( x, t ) =− ⋅ ∂x 2 A ∂t ⋅ ∂x
由（4）式对 t 求偏导数可得：
∂ 2 p ( x, t ) A ∂ 2 v ( x, t ) ⋅ =− ∂t 2 ρ ( x, t )C02 ∂x∂t
由以上两个式子可以得到：
1 ∂ 2 p ( x, t ) ∂ 2 p ( x, t ) = 2⋅ C0 ∂t 2 ∂x 2
同样地，由（4）式对 x 求偏导数可得：
图 2-2 非均匀声管模型
2
3. 均匀声管模型
语音的声管模型就是把不均匀的声道用若干个均匀的声管来近似。 把声道看成是由 若干段不同面积的声管串联组成的。通过研究每个声管的传输特性，从而得出整个声道 的传输函数。——这就是研究声管模型的目的。 最简单的均匀声管模型，如图 2-3(a)所示。
图 2-3(a) 均匀声管
与式（3） （4）可作类比：
p⇔u
v⇔i
，
A ⇔C ρC02
，
ρ
A
⇔L
，
ρC0
A
⇔
L C
(特征阻抗)
以后我们就可以直接利用传输线电路的结论直接写出声管模型中压强和速度的关系。
11
4. 声管模型的级联
为了得到声管级联时的传输函数， 下面考虑语音声管模型级联时的边界条件。 2-4 图 为第 k − 1 和第 k 段声管级联示意图。
Z − ZG − Z1 + Z G + V1 ( s ) + 1 V1 ( s ) ZG ZG
+ Z1 − Z G ⎤ ⎡V1 ( s )⎤ ⎥ ⎥⋅⎢ Z G ⎦ ⎣V1− ( s ) ⎦
⎡ Z + ZG =⎢ 1 ⎣ ZG Z1 − Z G Z1 + Z G
其中： μ G = −
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把唇外的空间看成是一段无限长的第 M + 1 段声管，所以唇端处无反射：
(7)
[
]
(8)
10
在这里 V + 是入射波， V − 是反射波。 [注] 比照无损传输线方程：
∂i ( x, t ) ⎧ ∂u ( x, t ) ⎪ ∂x = − L ∂t ⎪ ⎨ ⎪ ∂i ( x, t ) ∂u ( x, t ) ⎪ ∂x = −C ∂t ⎩
⇒ L ， C 为单位长度的分布电感及分布电容
1 ∂ 2 v ( x, t ) ∂ 2 v ( x, t ) = 2⋅ C0 ∂t 2 ∂x 2
分离变量法来求解。 例如：用分离变量法 v ( x, t ) 的通解为
（6）
[注] 方程式（5） （6）是一个 Laplace 方程（二维偏微分方程） 。在直角坐标系中可以用
v ( x , t ) = f ( x ) ⋅ g (t )
Q 作用于小立方体空气上的合力
F = p ⋅ ΔS − ( p + Δp ) ⋅ ΔS = −ΔS ⋅ Δp
∴
− ΔS ⋅ Δp = m
∂v ∂v = ρ v ⋅ ΔS ⋅ Δx ⋅ ∂t ∂t
在这里 ρ v 是空气的体密度。 令 Δx → 0 得：
∂p ( x, t ) ∂v( x, t ) = − ρv ⋅ ∂x ∂t
⇒
⎧ f ( x) = e ± k1 x = e ± kx 2 / C 0 ⎪ ⎨ ⎪ g ( x) = e ± k 2 t ⎩
（5） （6）两式解的形式为
⎧ + − ⎪ v( x, t ) = v (t − x / C0 ) − v (t + x / C0 ) ⎪ ⎨ ⎪ ρC0 + − ⎪ p ( x, t ) = A v (t − x / C0 ) + v (t + x / C0 ) ⎩
第k − 1段声管
l
第k段声管
l
v k −1 (l , t )
vk (0, t ) pk (0, t )
pk −1 (l , t )
图 2-4
第k
− 1 段和第 k 段声管级联
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设：声道是由 M 段长度为 l 的均匀声管组成。在第 k − 1 段和第 k 段声管的连接处 压强 p 和速度 v 相等，即：
代入式（6）得：
f ′′( x) 1 g ′′(t ) =常数 = ⋅ f ( x) C0 g (t )
（Q方程式的两边一边是 x 的函数，另一边是 t 的函数）
9
⇒
⎧ f ′′( x) 2 ⎪ f ( x) = k1 ⎪ ⎨ ⎪ g ′′(t ) 2 ⎪ g (t ) = k2 ⎩
2 2 ， 其中 k12 = k 2 / C0 ⇒ k1 = ± k2 / C0
[
]
(11)
[
]
(12)
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1 ⎡Vk+ ( s)⎤ ⎡ 令： Vk ( s ) = ⎢ − ⎥ ， Qk ( s ) = ⎢ − 2 sτ ⎣ − μ k ⋅e ⎣Vk ( s) ⎦
则得:
− μk ⎤ e − 2 sτ ⎥ ⎦
Vk −1 ( s) =
e sτ ⋅ Qk −1 ⋅Vk ( s ) 1 + μ k −1
下面我们推导第二个方程。对于理想气体温度恒定时： 有关的常数）
5
（1）
P
ρ
= K 。 K 是一个与温度 （
ρ ( x , t + Δt ) − ρ v ( x , t ) ∂p ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) = K ⋅ lim v =K⋅ v Δt → 0 ∂t ∂t Δt
= K ⋅ lim
图 2-3（a）是一个长度为 l ，面积为 A 的均匀声管，我们考虑其中的一个无限小的立方 体，如图（b）所示。
3
参考方向x轴
Δx
P
P + ΔP
V + ΔV
V
x轴
ΔS
x
x + Δx
图 2-3(b)
声管中的小立方体
4
在图 2-3(b)中， Δx 表示立方体的边长， ΔS 表示正方体的侧面积。 v 、 v + Δv 表 示声速， p 、 p + Δp 表示空气压强。 根据牛顿第二定律： F = ma （以 x 轴的正方向为参考方向）