椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用
例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆
19822=++y k x 的离心率2
1
=e ，求k 的值． 例3 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1c o s s i n
2
2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
例5 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()6432
2
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方
程．
2.焦半径及焦三角的应用
例 1 已知椭圆
13
42
2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离
MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；
若不存在，请说明理由．
例2 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点
为1A ，2A ，焦
点为
1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，
α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表
示）．
3.第二定义应用
例1 椭圆
112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
例2 已知椭圆1422
2
2=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 例3 已知椭圆15
92
2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；
(2) 求
22
3
PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标．
4.参数方程应用
例1 求椭圆1322
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆14
92
2=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐
标原点)，求其离心率e 的取值范围．
5.相交情况下--弦长公式的应用
例1 已知椭圆142
2
=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
10
2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π
的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用
例 1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的
斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1
-=⋅OQ
OP k k ，
求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
例4 已知椭圆13
42
2=+
y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆
19
362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．
椭圆经典例题分类汇总
1.椭圆第一定义的应用
例1 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：
116
42
2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2 已知椭圆
19822=++y k x 的离心率2
1
=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82
+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1
=
e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．
由21=
e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k ．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
例5 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．
∴满足条件的k 的取值范围是53<<k
，且4≠k ．
说明：本题易出现如下错解：由⎩
⎨⎧<-<-,03,
05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．
例6 已知1c o s s i n
2
2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．
解：方程可化为1cos 1sin 122=+α
αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1
cos 1>>-αα． 因此0sin >α
且1tan -<α从而)4
3
,2(ππα∈．
说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1
>-α
，这是容易忽视的地方．
(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α
sin 12
=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件
πα<≤0
例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()6432
2
=+-y x B ：
的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即
8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程：
17
162
2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
2.焦半径及焦三角的应用
例 1 已知椭圆
13
42
2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得
2=a ，3=b ，∴1=c ，2
1
=
e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴
14x MN +=．
又由焦半径公式知：
111212x ex a MF -=-=，11
22
1
2x ex a MF +=+=． ∵
2
12MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+112
12122124x x x ． 整理得04832512
1=++x x ．
解之得41-=x 或5
12
1
-
=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．
例2 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，
θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2
1
=
∆
求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：
2
21F F 2
22
1PF PF +=12PF -·2
24cos c PF
=α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2
得 α
c o s 122
21+=⋅b PF PF ． 故αsin 21212
1PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=
b 2
tan 2α
b =． 3.第二定义应用
例1 椭圆
112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率2
1
=
e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求
MF e
AM 1
+
均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1
=
e ，右准线8=x l ：．
过
A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故
MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即
M 为所求
点，因此3=
M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()
332，M ．
说明：本题关键在于未知式
MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2
1
=
e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
例2 已知椭圆1422
2
2=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由142
222=+b
y b x ，得b a 2=，b c 3=，23
=e ． 由椭圆定义，
b a PF PF 4221==+，得
b b b PF b PF 34421=-=-=．
由椭圆第二定义，
e d PF =1
1，1d 为P 到左准线的距离，
∴b e
PF d 3211==
，
即P 到左准线的距离为b 32．
解法二：∵
e d PF =2
2，2d 为P 到右准线的距离，2
3==
a c e ， ∴
b e
PF d 33222==
．又椭圆两准线的距离为b c a 3
3
822=⋅．
∴P 到左准线的距离为
b b b 323
3
2338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
例3 已知椭圆15
92
2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求
22
3
PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解： (1)如上图，
62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，
2
2AF PF PA -≥，∴
2
6222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
由
22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当
22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
建立A 、2F 的直线方程02=-+
y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+45
95,
022
2
y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214
15
75,2141579(2
-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，
1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值
26+．
(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴3
2
=
e ．由椭圆第二定义知
3
2
2=
=e PQ
PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、
P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为2
9
=
x ． ∴
A 到右准线距离为
2
7
．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5
5
6(
． 说明：求
21
PF e
PA +
的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段． 4.参数方程应用
例1 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.
sin cos 3θθy x ，
设椭圆上的点的坐标为
(
)
θθsin cos 3，，则点到直线的距离为
2
63sin 226sin cos 3+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
+-=
θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
例2 (1)写出椭圆14
92
2=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲
线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1)
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 3y x )(R ∈θ． (2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩
形在第一象限的顶点，)2
0(π<θ<， 则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
例3 椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐
标原点)，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、
A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等
量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑
运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是⎩
⎨⎧==θθ
sin cos b y a x )0(>>b a ，
则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ，
∵AP OP ⊥，∴
1cos sin cos sin -=-⋅a
a b a b θθθθ，
即0cos cos )(2
2
2
2
2
=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2
22
cos b a b -=θ，
∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112
2
2
<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022
<<c
a ，∴22>e ，又10<<e ，∴
122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,2
2
(
，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？ 5.相交情况下--弦长公式的应用
例1 已知椭圆142
2
=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
10
2，求直线的方程．
解：（1）把直线方程
m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142
2=++m x x ，
即012522
=-++m mx x
．()()020*********
≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2
525≤≤-
m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5
221m
x x -=+，51221-=m x x ．
根据弦长公式得 ：5102514521122
2
=-⨯-⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π
的直线交椭圆于
A ，
B 两点，求弦AB 的长．
分析：可以利用弦长公式
]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x
轴上，
所以椭圆方程为
19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132
=⨯++x x ．设
1x ，2x 为方程两根，所以
13
37221-
=+x x ，
13
83621⨯=
x x ，
3
=k ，
从
而
13
48]4))[(1(1212212212=
-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为19
362
2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3
cos
22112
212122π
F F AF F F AF AF -+=，即2
1
362336)
12(22
⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；
所以346-=
m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得3
46+=n ，所以1348
=+=n m AB ．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程0836372132
=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是
A ，
B 的横坐
标． 再根据焦半径
11ex a AF +=，21ex a BF
+=，从而求出11BF AF AB += 6.相交情况下—点差法的应用
例 1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的
斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为12
22=+y a
x ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012
22y a
x y x ，得()021222=-+x a x a ，
∴222112a a x x x M +=+=，2
11
1a x y M M +=-=， 41
12===
a
x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14
22
=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-
2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+．
∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1-=k
．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：
2
12
1x x y y --．
解法二：设过⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
①－②得
02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得
212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1
-．
所求直线方程为0342=-+y x ． 说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1
-=⋅OQ
OP k k ，
求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有
()()022
12
12121=-+++x x y y y y x x ，
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x ．⑤
（1）将21=
x ，2
1
=y 代入⑤，得212121
-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ，04
1
6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．
（2）将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
（3）将
2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222
2=--+y x y x ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ：
()
22
2
2212
221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122
22124y y y y y -=+， ⑨
将⑧⑨代入⑦得：
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12
122
=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例4 已知椭圆13
42
2=+
y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．
利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．
解：(法1)设椭圆上),
(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．
∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=++-=,134,
41
22y
x n x y 消去y 得
0481681322=-+-n nx x ①。

∴13821n x x =
+．于是1342210n x x x =+=，13
124100n
n x y =+-=， 即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +⨯=1344．解得m n 4
13
-=． ②
将式②代入式①得04816926132
2
=-++m mx x ③
∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2
2>-⨯-=∆m m ．解得13
13
213132<<-
m ． (法2)同解法1得出m n 413-
=，∴m m x -=-=)4
13
(1340， m m m m x y 34
13
)(414134100-=--⨯-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．
∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴13
)3(4)(22<-+-m m ．解得1313
213132<<-m ． (法3)设),
(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．
∵
A ，B
在椭圆上，∴
13
42
121=+y
x ，13
42
222=+y
x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，
即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ．∴
)(43210
0212
1x x y x x x y y ≠-=--．
又∵直线l AB ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，∴14430
-=⋅-
y x ，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。

由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2. 说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等
式： (1)利用直线
AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的
判别式0>∆，建立参数方程．
(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12
02
0<+b
y
a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等
式．
例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆
19
362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去
y (或x )，得到关于x (或y )
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得
036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①
设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴1
4)
24(82
21+-=
+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=
k k k x x ，2
1
-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵
A ，
B 在椭圆上，∴3642
12
1=+y x ，3642
22
2=+y x 两式相减得0)(4)(2
2212221=-+-y y x x ，
即
0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴
2
1
)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为
082=-+y x ．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．
∵A 、B 在椭圆上，∴3642
2
=+y x ①。

36)4(4)8(2
2
=-+-y x ② 从而
A ，
B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为
082=-+y x ．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．
若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？。