二分查找算法详解

二分查找算法详解

二分查找算法，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

注意两点：

(1)有序：查找之前元素必须是有序的，可以是数字值有序，也可以是字典序。为什么必须有序呢？如果部分有序或循环有序可以吗？

(2)数组：所有逻辑相邻的元素在物理存储上也是相邻的，确保可以随机存取。

算法思想：

搜素过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

这里我们可以看到:

(1) 如果查找值和中间值不相等的时候，我们可以确保可以下次的搜索范围可以缩小一半，正是由于所有元素都是有序的这一先决条件

(2) 我们每次查找的范围都是理应包含查找值的区间，当搜索停止时，如果仍未查找到，那么此时的搜索位置就应该是查找值应该处于的位置，只是该值不在数组中而已算法实现及各种变形：

1. 非降序数组A, 查找任一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

2. 非降序数组A, 查找第一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素最后一个小于val 值的位置)

3. 非降序数组A, 查找最后一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素第一个大于val 值的位置)

4. 非降序数组A, 查找任一值为val的元素，保证插入该元素后数组仍然有序，返回可以插入的任一位置

5. 非降序数组A, 查找任一值为val的元素，保证插入该元素后数组仍然有序，返回可以插入的第一个位置

6. 非降序数组A, 查找任一值为val的元素，保证插入该元素后数组仍然有序，返回可以插入的最后一个位置

7. 非降序数组A, 查找任一个值==val的元素，若找到则返回一组下标区间(该区间所有值==val)，若未找到则返回-1

8. 非降序字符串数组A, 查找任一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1(类似：未找到时返回应该插入点)

9. 循环有序数组中查找== val 的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

1. 非降序数组A, 查找任一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

1 int binary_search(int* a, int len, int val)

2 {

3 assert(a != NULL && len > 0);

4 int low = 0;

5 int high = len - 1;

6 while (low <= high) {

7 int mid = low + (high - low) / 2;

8 if (val < a[mid]) {

9 high = mid - 1;

10 } else if (val > a[mid]) {

11 low = mid + 1;

12 } else {

13 return mid;

14 }

15 }

16 return -1;

17 }

注意：

(1) 使用assert对函数输入进行合法性检查

(2) while 循环的条件是low<=high，这里如果查找值未找到，则此时一定low = high + 1

(3) 对val 和a[mid] 做比较时，首先考虑不等情况，最后考虑相等情况，如果随机分布的话不等的概率肯定大于相等的概率

2. 非降序数组A, 查找第一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素最后一个小于val 值的位置)

因为数组中可能有重复元素，所以数组中是有可能存在多个值与val 相等的，我们对普通二分进行变形：

当val < a[mid] 时，接下来的搜索范围减半 high = mid - 1

当val > a[mid] 时，接下来的搜索范围减半 low = mid + 1

当val == a[mid] 时，这个时候就不能简单的返回了，我们要求的是第一个== val 的值，什么条件下是第一个呢？

当mid == 0 那当然是第一个

当mid > 1 && a[mid - 1] != val 这个时候也是第一个

其他情况下，这个时候查找到的值不是第一个，此时我们应该继续搜索，而不是返回，搜索范围是什么呢？因为是查找第一个，那么接下来肯定应该在

此时位置的左边继续搜索，即high = mid - 1

1 int search_first(int* a, int len, int val)

2 {

3 assert(a != NULL && len > 1);

4 int low = 0;

5 int high = len - 1;

6 while (low <= high) {

7 int mid = low + (high - low) / 2;

8 if (val < a[mid]) {

9 high = mid - 1;

10 } else if (val > a[mid]) {

11 low = mid + 1;

12 } else {

13 if (mid == 0) return mid;

14 if (mid > 0 && a[mid-1] != val) return mid;

15 high = mid - 1;

16 }

17 }

18 return -1;

19 }

3. 非降序数组A, 查找最后一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素第一个大于val 值的位置)

算法思想与第2题相同

1 int search_last(int* a, int len, int val)

2 {

3 assert(a != NULL && len > 1);

4 int low = 0;

5 int high = len - 1;

6 while (low <= high) {

7 int mid = low + (high - low) / 2;

8 if (val < a[mid]) {

9 high = mid - 1;

10 } else if (val > a[mid]) {

11 low = mid + 1;

12 } else {

13 if (mid == (len - 1)) return mid;

14 if (mid < (len - 1) && a[mid+1] != val) return mid;

15 low = mid + 1;

16 }

17 }

18 return -1;

19 }

4. 非降序数组A, 查找任一值为val的元素，保证插入该元素后数组仍然有序，返回可以插入的任一位置

当a[mid] == val 则返回mid，因为在该位置插入val 数组一定保证有序

当循环结束后仍未查找到val值，我们之前说过，此时一定有high = low + 1，其实查找值永远都应该在low和high组成的区间内，现在区间内没空位了，所以可以宣告该值没有查找到，

如果仍然有空位，则val一定在该区间内。也就是说此时的low 和high 这两个值就是val 应该处于的位置，因为通常都是在位置之前插入，所以此时直接返回low 即可

1 int insert(int* a, int len, int val)

2 {

3 assert(a != NULL && len > 0);

4 int low = 0;

5 int high = len - 1;

6 while (low <= high) {

7 int mid = low + (high - low) / 2;

8 if (val < a[mid]) {