数值分析--线性方程组的数值解法
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
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定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
线性方程组的四种数值解法
线性方程组的四种数值解法(电子科技大学物理电子学院，四川 成都 610054)摘要：本文介绍了四种求解线性方程组的数值解法: 雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法、高斯消去法和改进的平方根法的基本原理和算法流程，通过求解具体方程，对四种求解方法进行了对比。
对于雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法，研究了两种算法对求解同一方程组的迭代效率差异，结果表明高斯赛德尔迭代法达到同样精度所需迭代次数较少。
对于高斯消去法，通过选择列主元的方法提高算法的准确度，计算结果表明高斯消去法计算精确，且运算复杂度也不是很高。
对于改进的平方根法，其运算复杂度低，但对于给定的方程组有着严苛的要求。
关键词：雅克比迭代法；高斯赛德尔迭代法；高斯消去法；改进的平方根法；线性方程组引言线性方程组的求解在日常生活和科研中有着极其重要的应用，但在实际运算中，当矩阵的维数较高时，用初等方法求解的计算复杂度随维数的增长非常快，因此，用数值方法求解线性方程组的重要性便显现出来。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
前者例如高斯消去法,改进的平方根法等，后者的例子包括雅克比迭代法，高斯赛德尔迭代法等。
这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。
一般来说，直接法对于阶数比较低的方程组比较有效；而后者对于比较大的方程组更有效。
在实际计算中，几十万甚至几百万个未知数的方程组并不少见。
在这些情况下，迭代法有无可比拟的优势。
另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。
在问题特别大的时候，计算机内存可能无法容纳被操作的矩阵，这给直接法带来很大的挑战。
而对于迭代法，则可以将矩阵的某一部分读入内存进行操作，然后再操作另外部分。
本文使用上述四种算法求解对应的方程组，验证各种算法的精确度和计算速度。
1 算法介绍1.1 雅克比迭代法 1.1.1 算法理论设线性方程组(1)b Ax的系数矩阵A 可逆且主对角元素 均不为零,令并将A 分解成(2)从而(1)可写成令其中. (3)以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5)其中为初始向量.1.1.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta 2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量3判断X 是否满足误差要求，即||X k+1 – X k || < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.2 高斯赛德尔迭代法nna ,...,a ,a 2211()nna ,...,a ,a diag D 2211=()D D A A +-=()b x A D Dx +-=11f x B x +=b D f ,A D I B 1111--=-=()()111f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a ba xnij j )k (j j i iii)k (i21021111==∑-=≠=+()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=1.2.1 算法理论由雅克比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德尔（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用变量表示的形式为(9)1.2.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta2根据高斯赛德尔迭代公式计算出下一组向量()k x ()1+k x ()1+k ix ()()1111+-+k i k x ,...,x 1+k()1+k x()1+k jx U L D A --=()nna ,...,a ,a diag D 2211=U ,L --A ()b Ux x L D +=-22f x B x +=()()b L D f ,U L D B 1212---=-=2B ()()221f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a xi j n i j )k (j ij )k (j ij i ii)k (i21021111111==∑∑--=-=+=++3判断X是否满足误差要求，即||X k+1– X k|| < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.3 高斯消去法1.3.1 算法理论下面三种变换称为初等行变换：1.对调两行；2.以数k≠0乘某一行中的所有元素；3.把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析——线性方程组直接解法Hilbert矩阵
数值分析第一次上机实习报告——线性方程组直接解法一、问题描述设 H n = [h ij ] ∈ R n ×n 是 Hilbert 矩阵, 即11ij h i j =+- 对n = 2,3,4，…13,(a) 取11n n x R ⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，及n n b H x =，用Gauss 消去法和Cholesky 分解方法来求解n n H y b =，看看误差有多大.(b) 计算条件数：2()n cond H(c) 使用某种正则化方法改善(a)中的结果.二、方法描述1. Gauss 消去法Gauss 消去法一般用于系数矩阵稠密且没有任何特殊结构的线性方程组。
设H =[h ij ]，y = (y 1,y 2,…，y n )T . 首先对系数矩阵H n 进行LU 分解，对于k=1,2，…n,交替进行计算：1111),,1,,1(),1,2,,k kj kj kr rj r k ik ik ir rk r kk u h l u j k k n l a l u i k k n u -=-=⎧=-=+⎪⎪⎨⎪=-=++⎪⎩∑∑…… 由此可以得到下三角矩阵L=[l ij ]和上三角矩阵U=[u ij ]. 依次求解方程组Ly=b 和Ux=y ，111,1,2,,1(),,1,,1i i i ir r r n i i ir r r i ii y b l y i n x y u x i n n u -==+⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑…… 即可确定最终解。
2. Cholesky 分解法对于系数矩阵对称正定的方程组n n H y b =，存在唯一的对角元素为正数的下三角矩阵L ，使得H=LL T 。
因此，首先对矩阵H n 进行Cholesky 分解，即1122111()1()j jj jj jk k j ij ij ik jk k jj l h l l h l l l -=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 1,i j n =+… L 的元素求出之后，依次求解方程组Ly=b 和L T x=y ，即1111111(),2,3,i i i ik k k ii b y l y b l y i n l -=⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑… 11(),1,2,n n nn n i i ki k k i nn y x l x y l x i n n l =+⎧=⎪⎪⎨⎪=-=--⎪⎩∑…1 由此求得方程组n n H y b =的解。
线性方程组的数值解法及其应用
线性方程组的数值解法及其应用一、问题描述现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。
这些现象大多是用若干个微分方程描述。
用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。
因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
二、基本要求1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法；2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题；3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。
三、测试数据1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];b=[52.90;38.44];2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];四、算法程序及结果1）function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnif RA==RBif RA==ndisp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.')endend测试：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];>> b=[52.90;38.44];>> [RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =2RB =2n =2x =10.00001.00002）function Jacobi(A,b,x0,P,error,max1)[n n]=size(A);x=zeros(n,1);for k=1:max1for j=1;nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);endxerrx=norm(x-x0,P);x0=x;x1=A\b;if(errx<error)disp('迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：')kx1xreturnendendif(errx>=error)disp('请注意：Jacobi迭代次数已经超过最大迭代次数max1.') end测试：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];>>b=[7.2;8.3;4.2];>>x0=[0;0;0];>>Jacobi(A,b,x0,inf,0.001,100)n =3x =0.7200迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：k =2x1 =1.10001.20001.3000x =0.7200五、应用举例1）营养学家配制一种具有1200卡，30g蛋白质及300mg维生素C的配餐。
数值分析线性方程组的直接解法
数值分析课程实验报告实验名称线性方程组的直接解法_____________________实验目的①掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤；②了解高斯消去法可能遇到的困难。
用文字或图表记录实验过程和结果列主元高斯消去法算法描述将方程组用增广矩阵B=[A：b]=（a j \心申）表示。
步骤1:消兀过程，对k=12|j|, n—1（1）选主元，找i k亡｛k,k+1,川,n｝使得k卜maxi a ikai k，（2）如果a i k,k = 0 ,则矩阵A奇异，程序结束；否则执行（3）。
（3）如果ik^k,则交换第k行与第i k行对应兀素位置，aq㈠a i k j,j=k,IH, n + 1。
（4）消兀，对i = k +1」H,n，计算m k=a k / a kk,对j = k +1,川,n +1，计算a j = a ij — m ik a^.步骤2:回代过程：（1）右a nn -0,则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。
厲（2）nX n =a ng/a nn；对i = n—1川,2,1，计算X j = a,n 出一》a j X j /a H< j4 丿三、练习与思考题分析解答1、解方程组0.10伙2.304X2 3.555X3 =1.183-1.347为3.712X2 4.623X3 = 2.137-2.835X, 1.072X25.643X^3.035（1）编程用顺序高斯消去法求解上述方程组，记下解向量，验证所得到的解向量是否是原方程组的解，若不是原方程组的解，试分析原因，并证实你的分析的正确性!解：采用顺序消元法求得如下结果：请输入一个3行矩阵0.101 2.304 3.555 1.183-1.347 3.712 4.623 2.137-2.835 1.072 5.643 3.0350.101 2.304 3.555 1.1830 34.4396 52.0347 17.91420 0 6.09738 2.0435最后计算得到x =(-0.3982,0.0138,0.3351) T，代入原方程验证可知解向量是原方程组的解。
数值分析讲义——线性方程组的解法
数值分析讲义第三章线性方程组的解法§3.0 引言§3.1 雅可比(Jacobi)迭代法§3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法§3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法§3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法§3.5 高斯消去法§3.9 其它应用§3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析§3 作业讲评3 §3.11 总结§3.0 引言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题.分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法.(a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高.(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b )1基本思想:与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2问题:(a) 如何建立迭代格式？(b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析:考虑解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102.7210321321321x x x x x x x x x (1)其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=84.02.01.083.02.01.072.02.01.0213312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=+++84.02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(23)(2)1(1k k k k k k kk k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0)0(3)0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp迭代次数 x1 x2 x30 0 0 01 0.72 0.83 0.842 0.971 1.07 1.153 1.057 1.1571 1.24824 1.08535 1.18534 1.282825 1.095098 1.195099 1.2941386 1.098338 1.198337 1.2980397 1.099442 1.199442 1.2993358 1.099811 1.199811 1.2997779 1.099936 1.199936 1.29992410 1.099979 1.199979 1.29997511 1.099993 1.199993 1.29999112 1.099998 1.199998 1.29999713 1.099999 1.199999 1.29999914 1.1 1.2 1.315 1.1 1.2 1.34Jocobi迭代公式:设方程组AX=b, 通过分离变量的过程建立Jocobi迭代公式，即),,2,1()(1),,2,1(0,11n i x a b a x n i a b x a n ij j j ij i iii ii ni i j ij =∑-==≠∑=≠== 由此我们可以得到Jacobi 迭代公式：),,2,1()(11)1(n i x a b a xn ij j k i ij i iik i=∑-=≠=+[Jacobi 迭代公式的算法] 1: 初始化. n , (a ij ), (b j ), (x 1) , M . 2: 执行k =1直到M 为止. ① 执行i =1直到n 为止.ii nij j j ij i i a x a b u /)(1∑-←≠= ;② 执行i =1直到n 为止.i i u x ← ;③输出k , (x i ).另外，我们也可以建立Jacobi 迭代公式的矩阵形式. 设方程组AX =b ,其中，A =(a ij )n 为非奇异阵，X =(x 1,x 2,…,x n )T , b =(b 1,b 2,…,b n )T将系数阵A 分解为: A =U +D +L ,U 为上三角矩阵，D 为对角矩阵，L 为下三角矩阵.于是AX =b 可改写为 (U +D +L )X =b⇔ X =D -1b -D -1(U +L )X由此可得矩阵形式的Jocobi 迭代公式： X k +1=BX (k )+f □§3.2 高斯-塞德尔Gauss-Seidel 迭代法注意到利用Jocobi 迭代公式计算)1(+k ix 时，已经计算好)(1)(2)(1,,,k i k k x x x - 的值，而Jocobi 迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，仍用)(1)(2)(1,,,k i k k x x x - .这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到),,2,1()(1111)1()1(n i x a x a b a xn i j k jij i j k j ij i iik i=∑-∑-=+=-=++上式称为Gauss-Seidel 迭代法. 其矩阵形式是X =-(D +L )-1UX +(D +L )-1b , X k +1=BX (k )+f .迭代次数 x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.72 0.902 1.1644 2 1.04308 1.167188 1.282054 3 1.09313 1.195724 1.2977714 1.099126 1.199467 1.2997195 1.09989 1.199933 1.2999656 1.099986 1.199992 1.2999967 1.099998 1.199999 1.2999998 1.1 1.2 1.3§3.3 超松驰迭代法SOR 方法1基本思想:逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method,简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德尔迭代法，是G-S 方法的一种修正或加速.是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一. 2 SOR 算法的构造:设方程组AX =b , 其中，A =(a ij )n 为非奇异阵，X =(x 1,x 2,…,x n )T , b =(b 1,b 2,…,b n )T . 假设已算出x (k )，),,2,1()(1111)1()1(n i x a x a b a xn i j k j ij i j k j ij i iik i=∑-∑-=+=-=++ (1)相当于用高斯-塞德尔方法计算一个分量的公式. 若对某个参数ω，作)1(+k ix与)(k i x 加权的平均,即)()1()()1()()1()(1k i k ik i k ik ik ix xx xxx-+=+-=+++ωωω (2)其中，ω称为松弛因子.用(1)式代入(2)式，就得到解方程组AX =b 的逐次超松弛迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧=∑-∑-=∆∆+==-=++),,2,1()()(11)1()()1(n i x a x a b a x x x x n ij k j ij i j k j ij i iii i k i k i ω (3) 显然，当取ω=1时，式(3)就是高斯-塞德尔迭代公式. 3 例题分析:利用SOR 方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=--3322242024321321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1, 2}. 建立与式(1)相等价的形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=+=132315.05.05.025.05.021*******x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=+=+++132315.05.05.025.05.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(23)(2)1(1k k k k k k kk k x x x x x x x x x (3)利用SOR 算法，取迭代初值1)0(3)0(2)0(1===x x x ,ω=1.5,迭代结果如下表.逐次超松弛迭代法次数 x1 x2 x3 1 0.625000 0.062500 1.750000 2 0.390625 0.882813 1.468750 3 1.017578 0.516602 1.8085944 0.556885 0.880981 1.7104495 1.023712 0.743423 1.8681036 0.746250 0.908419 1.8387377 0.997715 0.860264 1.9138948 0.864050 0.936742 1.9086059 0.986259 0.922225 1.94552310 0.928110 0.958649 1.94749311 0.985242 0.955944 1.96619812 0.961661 0.973818 1.96952113 0.988103 0.974699 1.97928914 0.979206 0.983746 1.98217215 0.991521 0.985318 1.98741616 0.988509 0.990038 1.98951317 0.994341 0.991414 1.99239718 0.993538 0.993946 1.99380619 0.996367 0.994950 1.99542420 0.996313 0.996342 1.99633121 0.997724 0.997018 1.99725422 0.997871 0.997798 1.99782223 0.998596 0.998234 1.998355GS迭代法须迭代85次得到准确值X*={1, 1, 2};而SOR方法只须55次即得准确值.由此可见，适当地选择松弛因子ω，SOR法具有明显的加速收敛效果. □§3.4 迭代法的收敛性1. 向量和矩阵范数 (a) 向量范数R n 空间的向量范数 || · || ,对任意n R y x ∈,, 满足下列条件：00||||;0||||)1(=⇔=≥x x x (正定性)||||||||||)2(x x⋅=αα (齐次性)||||||||||||)3(y x y x+≤+ （三角不等式）常见的向量范数有： (1) 列范数：(2) 谱范数：(欧几里德范数或向量的长度,模)(3) 行范数：(4) p 范数:上述范数的几何意义是:∞||||x =max(|x 2-x 1|,|y 2-y 1|) ; 1||||x =|x 2-x 1|+|y 2-y 1| ;2122122)()(||||y y x x x -+-=.向量序列}{)(k x依坐标收敛于向量x * 的充要条件是向量序列}{)(k x 依范数收敛于向量x *,即0||||lim *)(=-∞→x x k k .(b) 矩阵范数n m R ⨯空间的向量范数 || ·|| ,对任意 n m R B A ⨯∈,, 满足下列条件：|||||||| || AB || (4)||||||||||||)3(||||||||||)2(00||||;0||||)1(B A B A B A A A A A A ≤+≤+⋅==⇔=≥αα常见的矩阵范数有：∑==∞≤≤nj ij a A ni 1||max ||||1 (行和范数)∑==≤≤ni ij a A nj 11||max ||||1 (列和范数))(||||max 2A A A T λ= (谱范数)若A 对称，则有)()(2max max A A A T λλ=.矩阵A 的谱半径记为)(||||2A A ρ=,ρ(A ) =||max1i ni λ≤≤,其中λi 为A 的特征根。
线性方程组的方法-数值分析-王兵团-北京交通大学
线性⽅程组的⽅法-数值分析-王兵团-北京交通⼤学注解：1.线性代数中线性⽅程组的⽅法：克拉默法则。
线性⽅程组：Ax=b解：x i=D i/D如果A可逆，还可以写成：x=A-1/b⽅程组的解是：系数⾏列式某⼀项换成等式右端常数项/系数⾏列式。
既然可以有这么好的公式，那为何还要学习其它解法呢？答：好多数学的公式⼀旦⽤到计算机⾥⾯，就不⾏了。
有⼈实验过，100万/s的计算量，解算40阶的线性⽅程组的解，要算⼀年。
天⽓预报的话有⼏百万⼏千万的⽅程组，怎样快速解出来？⼤规模集成电路也需要解⼤规模⽅程组的。
⼈们需要快速求解⼤规模的线性⽅程组，这样，理论解就不⾏了。
数值分析讲的是怎样⽤计算机快速求出数学问题的解。
注解：1.如果⽅程组的数量>未知数个数，没有解，或者有最⼩⼆乘解。
2.如果如果⽅程组的数量<未知数个数，没有解，有⽆穷多解。
3.如果如果⽅程组的数量=未知数个数，有唯⼀解。
计算机做的最多的是这种情况：即⽅(阵)的情况。
4.线性⽅程组怎么得来的？答：每次实验得来的。
5.⼀个系统，有n个元器件，x i代表第i个元器件，每个元器件相当于⼀个变量x i,它们之间的变化有⼀定的关系。
每实验⼀次，得到⼀个它们之间相互关系的⽅程。
实验n次，得到n个⽅程。
通过⽅程组，求出n个元器件情况。
注解：1.计算机求的解都是近似解。
2.学⼀个东西，怎样学好？答：通过类⽐去看。
注解：1.简单迭代法是怎样做的？答：注解：1.初值可以给成：[0,0,0,...].2.x是⼀个向量。
注解：1.构造迭代格式所⽤的等价形式⼀定是有的。
2.未必都收敛的意思：⽐如，如果c给的合适，就收敛，如果不合适，就不收敛。
3.前⽂的引例就是example9.注解：1.x k代表第k步的迭代值。
x k是⼀个向量，所以ε(k)也是⼀个向量，是指第k步的迭代误差。
2.红⾊部分的等式是⼀个递推式⼦。
3.。
完全取决于迭代矩阵B，跟初值怎样选择是没有关系的。
数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算
数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算数值分析是一门研究利用计算机数值方法解决数学问题的学科。
线性方程组是数值分析领域中常见的问题之一，而矩阵计算则是解决线性方程组的关键。
一、线性方程组的数值解线性方程组指的是由一系列线性方程组成的方程组。
在数值分析中，往往会遇到大规模的线性方程组，解它们的解析解是困难且耗时的，因此需要采用数值方法来求解。
1.1 直接法直接法是一种通过有限次数的运算，得到给定线性方程组的精确解的方法。
其中最常用的方法是高斯消元法和LU分解法。
高斯消元法通过将线性方程组的增广矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求解得到解向量。
LU分解法则将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过迭代求解来得到解向量。
1.2 迭代法迭代法是一种通过迭代逼近的方式，不断改进解的近似值，直到满足精度要求为止。
其中最常用的方法是雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
雅可比迭代法通过将线性方程组的每个方程都表示为未知数的显式函数，并通过迭代公式逐步逼近解向量。
高斯-赛德尔迭代法则在雅可比迭代法的基础上，通过使用每次迭代后的更新值来改善近似解的质量。
二、矩阵计算矩阵计算在数值分析中扮演着至关重要的角色，它们是线性方程组求解的基础。
2.1 矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
在数值分析中，矩阵乘法常常用于表示线性方程组的系数矩阵与解向量的乘法，以及迭代法中的更新矩阵与解向量的乘法。
2.2 矩阵求逆矩阵求逆是指找到一个矩阵的逆矩阵，使得将该矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
在数值分析中，矩阵求逆常常用于直接法中的LU分解和迭代法中的雅可比迭代法。
2.3 特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，也是矩阵计算中的重要内容。
特征值表示矩阵对应的线性变换在某个向量上的缩放因子，而特征向量则表示在该缩放因子下不变的向量。
在数值分析中，特征值和特征向量常常用于求解线性方程组的特殊解，以及判断矩阵的性质和稳定性。
计算方法线性方程组数值解法
d
2
a3b3c3
x3
d3
an
1bn1cn
1
xn
1
d
n
1
anbn xn dn
其系数矩阵为三对角形，元素满足以下条件：
|b1|>|c1|>0
|bi|≥|ai|+|ci|，且aici≠0 i=2，3，……n-1; |bn|≥|an|>0。
可以采用追赶法求解
4
线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵 的特征值及特征向量的数值方法。
5
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2a2nxnb2 an1x1 an2x2 annxn bn
式中，aij，bi为已知常数，xi为待求的未知量。记
u
2
2
u 2 n
u n 1,n 1u n 1,n
u n n
10
若uii≠0（i=1,2,……n）,则由下至上依次回代得
xn yn / unn
xn1 ( yn1 xi yi
un1,n xn ) / un1,n1
n
uij x j ) / uii
0
a
( 2
2 2
)
a
( 2
2) ,k 1
a
( 2
2) ,k
a
( 2
2) ,n
a
( 2
2) ,n 1
0 A(k)
0 0
a
( k
k) ,k
a
( k
k) ,k 1
a
k
k ,n
a
( k
k) 1,n
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数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
数值分析-第二章小结
第二章 线性方程组的数值解法-------学习小结姓名 班级 学号 一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了线性方程组的不同解法，切实体会到了不同的计算方法对计算结果的影响。
求解线性方程组的方法可分为两大类：直接方法和迭代方法。
直接方法在解一般的线性方程组的时候比较简便，使用此方法经过有限次运算就可得到方程组的解。
然而迭代法是要构造一个无限的向量序列，其极限是方程组的解向量，它适用于求解大型稀疏线性方程组。
总的来说，直接方法和迭代法各有优点与不足，在解线性方程组的时候，我们要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的解法，这样我们才能快速准确的得到方程组的解。
因此，我们要熟悉书中介绍的各类线性方程组的解法，同时要善于思考、总结，在使用各种方法求解的同时尽量提出自己独特的见解，通过不断练习计算，使自己的能力得到提高。
二、本章知识梳理线性方程组的求解方法分为直接法和迭代法两种，Gramer （克莱姆）法是直接法的一种，但由于其计算量比较大，在世界工作中其效率比较低、经济效益差，所以此方法我们很少使用，本章主要介绍其他的计算方法。
2.1 Gauss 消去法Gauss （高斯）消去法由消元和回代两个过程组成。
消元过程就是对方程组的增广矩阵做有限次的初等行变换，使它的系数矩阵部分变换为上三角阵。
所用的初等行变换主要有两种：第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。
回代过程就是先由方程组的最后一个方程解出n x ，然后通过逐步回代，依次求出1n x -，2n x -，…，1x 。
这种Gauss 消去法可分为Gauss 消去法和列主元素Gauss 消去法两种。
2.1.1 顺序Gauss 消去法在Gauss 消去法的消元过程中对方程组的增广矩阵只做前述的第二种初等行变换就形成了顺序Gauss 消去法，其算法如下：记(1)ij ij a a = （i ，j=1，2，…，n ）i i 1、 消元过程对于k=1,2，…，n-1执行 （1）如果()0k kka =，则算法失效，停止计算；否则转（2）。
线性方程组的数值解法-安振华-2012011837
实验5：线性方程组的数值解法化学工程系分2 安振华2012011837【实验目的】1、掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。
2、体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。
3、加深对数值计算误差的理解。
4、学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。
5、学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。
【实验容】【实验五：习题9】种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应保持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n，当年年龄k的种群数量记作x k，繁殖率记作b k（每个雌性个体在1年繁殖的数量），自然存活率记作s k（s k=1-d k，d k为1年的死亡率），收获量记作h k，则来年年龄k的种群数量k x应为：111,(1,2,,1)n k k k k k k k x b x x s x h k n +===-=⋅⋅⋅-∑要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使(1,2,,)k k x x k n ==⋅⋅⋅（1） 若b k ，s k 已知，给定收获量h k ，建立求各年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵向量表示）（2） 设n=5，b 1=b 2=b 5=0，b 3=5，b 4=3，s 1=s 4=0.4，s 2=s 3=0.6，如果要求h 1~h 5为500,400,200,100,100,求x 1~x 5 （3） 要使h 1~h 5均为500，如何达到？ 【分析】为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
我们并且有以下的假设：(1)雌性个体的繁殖率和存活率在特定的时间是不变的。
(2)人工饲养的种群在质量和数量上是不受外界环境和资源的限制的。
(3)模型中不考虑人为的或是自然的灾害所造成的种群数量、繁殖率和存活率的变动。
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题目1 线性方程组的数值解法
1．1 题目的主要研究内容及预期达到的目标
（1）实现雅可比迭代算法
（2）求得给定线性方程组的解
1．2 题目研究的工作基础或实验条件
（1）笔记本
（2）C-Free 5应用开发平台
1．3 设计思想
将线性方程组的系数矩阵A分成三部分D、L和U,其中满足A=D-L-U(具体关系参考教材P188)。
由Ax=b和雅可比迭代法思想可以推导得出最终的计算公式，然后根据公式和算法思想即可编写程序实现。
1．4 流程图
1．5 主要程序代码(要求必须有注释)
#include<iostream>
#include<Windows.h>
using namespace std;
void JacobiIteration(){
int n,k;
cout<<"输入你将输入的系数矩阵阶数n=";
cin>>n;
double e,w[n];
double Matrix[n][n],b[n];
ZeroMemory(Matrix,sizeof(Matrix));//初始化系数矩阵，元素置零
cout<<"输入系数矩阵(类似：\na1 a2 a3\nb1 b2 b3\nc1 c2 c3):"<<endl;
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<n;++j)
cin>>Matrix[i][j];
cout<<"依次输入"<<n<<"个线性方程组的右式值：";
for(int i=0;i<n;++i)
cin>>b[i];
double x[n];
for(int i=0;i<n;++i)
x[i]=0;
cout<<'\n'<<"输入迭代次数k=";
cin>>k;
for(int i=0;i<k;++i)
{
for(int m=0;m<n;++m)
w[m]=0;//清零，以便记录累加和
for(int m=0;m<n;++m)
{
for(int l=0;l<n;++l)
{
if(l!=m)
w[m]+=Matrix[m][l]*x[l];
}
}
for(int j=0;j<n;++j)
{
x[j]=(b[j]-w[j])/Matrix[j][j];
}
}
cout<<"该线性方程组经雅可比迭代法求解得："<<endl;
for(int i=0;i<n;++i)
{
cout<<"x"<<i+1<<"="<<x[i]<<endl;//输出最终求解结果
}
}
int main()
{
JacobiIteration();
}
1．6 运行结果及分析
所用测试范例为教材P180的例1，最终求得结果同教材所给结果相同。
1．7 心得体会
通过本次实验，我加深了对雅可比迭代法的理解。
通过将数学模型简化成一系列算术和逻辑运算并上机实现其数值求解的过程中，在增强了编程能力的同时，我还进一步掌握了利用计算机实现求解方程组的思想。