概率论与数理统计.ppt

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引言
四 概率论与数理统计发展简史
概率论被称为“赌博起家”的理论。 概率论产生于十七世纪中叶
当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢 c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(a<c)，另 一赌徒赢b局(b<c)时终止赌博，问应当如 何分赌本？最初正是一个赌徒将问题求教于 巴斯葛，促使巴斯葛同费尔玛讨论这个问题， 从而他们共同建立了概率论的第一基本概 念——数学期望。
3’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
2019-11-27
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n
Ai
i 1
20
1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
4.事件的积:A，B同时发生，记为A∩B或AB
例如: 检查某圆柱形产 品是否合格 C={产品合格} A={产品长度合格} B={产品直径合格} 则有 C=A ∩ B
2019-11-27
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引言
四 概率论与数理统计发展简史
1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的 解法。
之后，雅科布给出了赌徒输光问题的详尽解 法，并证明了被称为“大数定律”的一个定 理（贝努里定理）
1713年，贝努里发表了历史上第一个有关 概率论论文，这是一篇关于极限定理的论文；
1. A与B发生而C不发生
AB - C或ABC
2. A发生, B与C不发生
A - B - C或AB C
3. 恰有一个事件发生
A B C A BC ABC
4. 恰有两个事件发生
A BC AB C ABC
5. 三个事件都发生
ABC
6. 至少有一个事件发生
A B C或3,4,5之并
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1.1 样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件：在随机试验中对某些现象或某种情况 的陈述,或简称事件.记作A、B、C等
从集合论的观点来看,任何事件均可表示为样本 空间的某个子集.
例如 对于试验E2，以下A 、B、C即为三个随机 事件 A＝“至少出一个正面”＝{HHH, HHT, HTH,
A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3.分配律: (A∪B)∩C= AC∪BC
4.对偶律: A B A B, A B A B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5.
A B AB
6.若AB,则 A∪B=B,AB=A
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1.2 事件的关系和运算
二 事件运算的性质
例：利用事件的 运：利表示下列事件.
E = A1A2+A2A3 +A1A3 .
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练习
写出随机试验E的样本空间、样本点及所列出 的随机事件
（1）掷一颗骰子. A={出现偶数点}； （2）5件产品中有一件废品，从中任取两件.
B={从中任取两件得一件废品}； （3）向xoy面上的单位圆内投点.
C={投点落在单位圆内} 作业：习题一，1，3，4，5
概率论与数理统计
教师: xx
2019-11-27
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教材及参考书目
教材：
《概率统计简明教程》 同济大学应用数学系编 高等教育出版社
参考书：1.《概率论与数理统计》
浙江大学 盛骤 等编
高等教育出版社 2001
2.《概率论与数理统计》
王光锐 等编
西安电子科技大学出版社 2003
2019-11-27
哥洛夫（俄国）、费勒（美国）； 1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时
间中均匀进行着的平稳过程的理论。 1960年，卡尔门（1930—英国）建立了数
字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系 统中的应用；
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引言
四 概率论与数理统计发展简史
1933年，柯尔莫哥洛夫在集合论与测度论 的基础上建立起概率论的公理化体系，从而 使概率论有了严格的理论基础。
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还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有 一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时， 可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何 情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关 系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系 可以用集合之间的关系来描述。
2019-11-27
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数理统计—对随机现象统计规律归纳的研究， 就是利用概率论的结果，深入研究统计资料， 观察这些随机现象并发现其内在的规律性， 进而作出一定精确程度的判断，将这些研究 结果加以归纳整理，形成一定的数学模型;
概率论与数理统计这门学科的应用 （天文、地质、物理、军事、医学）等
2019-11-27
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
1.事件的包含关系:如果事件A发生必然导致事 件B发生，则称B包含了A，或A是B的子事件， 记为AB.
例如: 掷骰子试验
A={出现2点} B={出现偶数点} 则 AB
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
2.事件的相等:若A、B互相包含，即AB， BA同时成立，则称A与B相等.
空间（全集）
不可能事件
空集
ω 基本事件，样本点
元素
A 事件
的子集
ω∈A 事件A出现（发生）
ω是集合A的元素
AB 事件A出现导致事件B出现（发生） A是B的子集
A=B 二事件A，B相等
二集合A,B相等
A∪B 事件A与B中至少有一个发生
集合A与B的并集
A∩B 事件A与B中同时发生
集合A与B的交集
注：基本事件都是互斥的
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
7.对立事件:事件A与事件B必有一个发生，且仅 有一个发生，即A ∪ B= ,且A∩B=
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1.2 事件的关系和运算
二 集合与事件的对应关系
记号
概率论
集合论
必然事件，样本空间
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第一章 随机事件
样本空间和随机事件 事件的关系和运算
2019-11-27
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1.1 样本空间和随机事件
一 基本事件与样本空间
基本事件:随机试验的每一个可能的结果.
例1、抛一枚硬币的试验中，“出现正面”和 “出 现反面”是基本事件；
例2、掷骰子试验中，“出现1点”、“出现2
处理方法：概率论与数理统计
2019-11-27
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引言
二 随机试验
试验：将观察和试验统称为试验 E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的
情况； E2 ：将一枚硬币连抛掷三次，观察正面H，反
面T出现的情况； E3 ：抛一颗骰子，观察出现的点数； E4 ：记录某电话在一天内接到呼唤的次数； E5 ：记录一昼夜的最高温度和最低温度；
(1) A={第一次和第三次均抽到合格品} A＝A1A3 (2) B={只有第一次抽到合格品} B = A1A2A3;
(3) C={只有一次抽到合格品}
C = A1A2A3 +A1A2A3 +A1A 2A 3;
(4) D={至少有一次抽到合格品} D = A1 + A2 + A3
(5) E={至多有一次抽到合格品}
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引言
必然现象与随机现象 随机试验 概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计发展简史
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引言
一 必然现象与随机现象
向上抛一块石子，石子必然下落； 在标准大气压下将水加热到100℃，水必然会
沸腾； 同性电荷必然相互排斥、异性电荷必然相互吸
A-B 事件A发生而与B不发生
集合A与B的差集
Ā A的对立事件
集合A对的余（补）集
A∩B= 事件A与事件B互不相容（互斥） 集合A与B不相交
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1.2 事件的关系和运算
二 事件运算的性质
1.交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A
2.结合律: A∪B∪C=(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
THH，HTT，THT，TTH}；
B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
两个特殊事件:必然事件S 、不可能事件
2019-11-27
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1.1 样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为 样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更 便于今后计算概率
例如: 掷骰子试验 A={出现偶数点} B={出现2,4,6点} A=B
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
3.事件的和:事件A与B至少有发生一个,记作 A∪B.
例如: 检查某圆柱形产 品是否合格 A={产品长度不合格} B={产品直径不合格} C={产品不合格} 则有 C=A ∪ B
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引言
二 随机试验
具有以下特征的试验称为随机试验：
1. 可以在相同的条件下重复进行； 2. 试验所有可能的结果是已知的或者是可以
确定的； 3. 每次试验究竟将会发生什么结果是事先无
法预知的.
2019-11-27
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引言
三 概率论与数理统计的研究对象
概率论—研究和揭示随机现象的统计规律性 的科学;
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
5.事件的差:事件A发生而B不发生，称为A与B 的差事件，记为A－B.
2019-11-27
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1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
6.互不相容事件:如果两个事件A,B不能同时 发生，即A,B同时发生是不可能事件，记为 A∩B= .
7. A, B, C都不发生
A BC
8. A, B, C不都发生
ABC
9. A, B, C不多于一个发生
ABC AB C AB C ABC
2019-11-27
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例2 对一批产品进行不放回的抽样检查, 每次取
一件, 连续抽取3次, Ai(i=1,2,3) 表示第 i 次 抽到合格品. 试用A1、A2、A3 表示下列事件:
样 本
E2 ：将一枚硬币连抛掷三次，观察正面H，反面T出现的
空 间
情况；Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
E3 ：抛一颗骰子，观察出现的点数；Ω3={1,2,3,4,5,6}
可列样 本空间
E4 ：记录某电话在一天内接到呼唤的次数； Ω4={0,1,2,3…}
无 本穷空20样间19-11-2E75Ω：5=记{x录,y一|T昼0≤夜x的<y最≤高感T谢1}温你的度阅读和最低温度；
1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率论》 中给出概率明确的定义，并且还建立了观察 误差理论和最小二乘法估计法；
2019-11-27
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引言
四 概率论与数理统计发展简史
1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922） 提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型，对
发展随机过程理论做出贡献的还有柯尔莫
引；
必然现象：在一定的条件下必然会发生的现象。
处理方法：代数、几何、微积分
2019-11-27
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引言
一 必然现象与随机现象
从一大批同类产品中任意抽取一个产品，抽 到的是合格品还是不合格品；
抛掷一枚硬币，结果是正面还是背面朝上； 用同一门炮向同一目标射击，各次弹点不尽
相同；
随机现象：在一定的条件下可能发生也可能 不发生的现象
点”、 “出现3点” …都是基本事件；
2019-11-27
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1.1 样本空间和随机事件 一 基本事件与样本空间
样本空间：由全体基本事件组成的集合. 通常 用字母Ω表示.
Ω中的元素即基本事件,也称样本点，用ω表示.
简 单
E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况； Ω1={正,反}