符号法《数学物理方法》课件,完整清晰
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12《数学物理方法》十二讲Delta函数和符号法
(x)
若不求积分，而先求极限，则有：
( x ) lim l ( x ) lim
l 0 l 0
rect (
)
{
0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像 它在 x 0 处为
，在 x 0 处为 0 .它的积分为m
可以让
( x) ( x)
于是：
o
x
------数学物理方法十二讲------
现在以从 t a 持续作用到 t b 的作用力 f ( t ) 为例加以说明。将时间区间 [ a , b ] f f 分为许多小段， 在某一个从 到 d 的短时间段上，力 ( t ) 的冲量是 ( ) d ， 既然 d 很短，可以将这段短时间上的作用力看做瞬时作用力，记作 f ( ) ( t ) d 这许多前后相继的瞬时力的总和就是持续力 f ( t )
于是在严密的基础上证明了 函数的一些重要性质 按照广义函数理论， 函数的确切意义应是在积分 运算下来理解。 将自变量 x 平移 x 0 右图是 ( x x 0 ) 的函数图象， 曲线的峰无限高，但宽度无限窄；曲线下的面积 是有限值 1。
------数学物理方法十二讲------
(x)
f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )
f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0 t0
f ( ) ( t 0 )d f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0
l ( x ) {m /l
0
( x l / 2) ( x l / 2)
即 l (x)
若不求积分，而先求极限，则有：
( x ) lim l ( x ) lim
l 0 l 0
rect (
)
{
0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像 它在 x 0 处为
，在 x 0 处为 0 .它的积分为m
可以让
( x) ( x)
于是：
o
x
------数学物理方法十二讲------
现在以从 t a 持续作用到 t b 的作用力 f ( t ) 为例加以说明。将时间区间 [ a , b ] f f 分为许多小段， 在某一个从 到 d 的短时间段上，力 ( t ) 的冲量是 ( ) d ， 既然 d 很短，可以将这段短时间上的作用力看做瞬时作用力，记作 f ( ) ( t ) d 这许多前后相继的瞬时力的总和就是持续力 f ( t )
于是在严密的基础上证明了 函数的一些重要性质 按照广义函数理论， 函数的确切意义应是在积分 运算下来理解。 将自变量 x 平移 x 0 右图是 ( x x 0 ) 的函数图象， 曲线的峰无限高，但宽度无限窄；曲线下的面积 是有限值 1。
------数学物理方法十二讲------
(x)
f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )
f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0 t0
f ( ) ( t 0 )d f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0
l ( x ) {m /l
0
( x l / 2) ( x l / 2)
即 l (x)
最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT
-2 -1 0
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
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数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
符号法《数学物理方法》课件-完整清晰
故 L[est ] 1 ps
数学物理方法
例 6.1.4 计算 L[test ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
teste pt dt te( ps)t dt
0
0
1 ps
[te( ps)t ]0
e( ps)t dt
dp
dp 0
0 dp
此可见 f ( p) 在上处处可导，因而是解析的。
数学物理方法
（2）当 p ，而 Argp ( 0) 时， f ( p) 存
2 在且满足 lim f ( p) 0 。
p
证明：
f ( p) f (t)e ptdt f (t)e pt dt
Me 0 tdt M
0
, 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质
由 f ( p) f (t)e ptdt 定义的拉氏变换存在如下性质： 0
（1） f ( p) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分 d [ f (t)e pt ]dt ，利用
傅里叶变换，它是一种单 边广义傅里叶变换 。单边指积
分区间为 (0, ) ，广义指它要乘上 et H (t)( 0) 再做
傅里叶变换。
例 6.1.1 计算 L[1] 。
解：在 Re p 0（即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e ptdt 1 (Re p 0)
或者
f ( p) f (t) （6.2.7） f (t)≒ f ( p) (6.2.8) （注：有的书上为 f (t) f ( p) ） 注意：原函数 f (t) 应该理解为 f (t)H (t) ，通常 H (t) 省
《数学物理方法概论》课件
与工程领域的交叉研究，将为解决实际工程问题提供更加精准和高效的算 法和模型。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
在此添加您的文本16字
数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
《数学物理方法》课件
2
应用于实际问题，帮助学生理解方法 的实际应用。
通过习题解析，培养学生分析和解决
问题的能力，加深对方法的理解。
3
实际应用案例
介绍数学物理方法在实际工程和科学 研究中的应用案例，激发学生对学习 的兴趣。
课程成果
掌握数学物理方法
提升问题解决能力
学生将掌握数学物理方法的基本原理和应用能力， 为未来的学习和研究打下良好基础。
《数学物理方法》PPT课 件
这是《数学物理方法》的PPT课件，旨在与大家分享数学物理方法的知识。 通过引人入胜的内容和精美的图片，让学习过程变得轻松有趣。
ห้องสมุดไป่ตู้
课程介绍
课程背景
探索数学与物理的结合，拓宽科学研究的范围。
课程目标
培养学生分析和解决问题的能力，提升数学物理应用水平。
授课内容概述
涵盖微积分、线性代数、微分方程和矩阵论等数学方法，以及统计力学、量子力学和电磁场 理论等物理方法。
通过课程的实践和习题解析，学生将提升问题解 决和数学建模的能力。
结论和要点
综合数学和物理
《数学物理方法》课程将 数学与物理相结合，帮助 学生更好地理解物理现象 和问题。
培养实践能力
通过课程实践和案例分析， 培养学生分析和解决实际 问题的能力。
激发学习兴趣
优秀的示例分析和实际应 用案例将激发学生对数学 物理方法的学习兴趣。
数学方法
微积分
研究连续变化的量 和其导数，为数学 建模和物理问题分 析提供基础。
线性代数
研究向量、矩阵和 线性变换，为数学 和物理领域的数据 处理与分析提供工 具。
微分方程
研究函数及其导数 的关系方程，为实 际问题的建模和求 解提供数学方法。
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it
1 由于 p i ，有 d dp i 1 i f (t ) f ( p)e pt dp 所以 2 i i
数学物理方法
f (t ) 称为原函数， f ( p) 称为像函数。它们之间可用简
单符号写为
f ( p) L[ f (t )] （6.2.5） f (t ) L1[ f ( p)] （6.2.6）
f ( p) f (t )e pt dt
0
两边分别对 p 求导有
df ( p) f (t )(t )e pt dt 0 dp 从而有 df ( p) f (t )te pt dt L[tf (t )] 0 dp n n n d 推广： L[t f (t )] (1) f ( p) n dp
数学物理方法
U U 1 I 1 1 Lp R Lp 1 R 1 L p
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 R L p L p L p 2 2 3 3 R U R t R t t 2 3 R L L 2! L 3! U {1 e ( R / L )t } R
数学物理方法
6.2.2 拉普拉斯逆变换 从前面拉普拉斯变换的引入， 可知 G ( ) 的傅里叶逆 变换是
1 g (t ) G ( )e d f ( i )eit d 2 1 ( i ) t 即： f (t ) f ( i )e d 2
拉普拉斯变换常用于初始值问题，即知道某个物理量在 初始时刻 t 0 的值 f (0) ，而求解其后任意时刻的变化 情况 f (t ) ，至于初始时刻之前的值，并不感兴趣，不妨 设 f (t ) 0.(t 0) （6.2.1）
数学物理方法
为了获得宽松的变换条件，把 f (t ) 加工为 g (t ) ，
6.2 拉普拉斯变换
数学物理方法
6.2.1 拉普拉斯变换的定义 上一章指出，傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件 是原函数在任意有限区间都满足狄里希利条件，并是绝 对可积的。这是相当强的一个条件，以致于许多常见的 函数（例如多项式、三角函数等）都不满足这条件。 这章介绍另一种常见变换－拉普拉斯变换，其变换 存在的条件要宽松。
0t
则 f ( p ) 在 Re p 0 上存在并解析。
0 称为收敛横标。
证明：
0
f (t )e
pt
dt Me
0
0 t
M dt , 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质 由 f ( p)
0
f (t )e pt dt 定义的拉氏变换存在如下性质：
0
pt
dt
c1 f1 (t )e
0
pt
dt c2 f 2 (t )e pt dt
0
c1 f1 ( p ) c 2 f 2 ( p )
pt
数学物理方法
例 6.1.3
计算 L[est ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
0
e e dt e
st pt 0
( p s )t
dt
1 ( p s )t [e ]0 ps 1 ps
故
1 L[e ] ps
st
g (t ) e
t
t
f (t )
（6.2.2）
这 里 的 e 是 收 敛 因 子 ， 是 为 了 保 证 g (t ) 在 区 间 (, )上绝对可积。于是，对 g (t ) 施展傅里叶变换
1 G ( ) 2
g (t )e
it
1 dt 2
0
f (t )e
序不可交换，
t 1 pf (t ) f '( )d f (t ) f (0) 0 p 1 d t p f (t ) f ( )d f (t ) p dt 0
后来，人们发现符号法和拉普拉斯变换的联系，符号法 才脱离了粗糙的形式而建立在拉普拉斯变换的基础上， 通常称之为运算微积。在运算微积中，字母 p 不再解释 为算符，而代表一个复变数。
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 1 Lp L p L p L p
1 tn 1 n p n! zk ez k 0 k !
数学物理方法
亥维赛取的的成绩使当时的数学家大为吃惊！但亥维赛
1 也作出了一系列计算错误，乃是没有注意到 p 和 的次 p
f ( p) f (t )e pt dt （ p 为复参量）对复平面上某区
0
域 p 收敛，则积分确定的函数
f ( p) f (t )e dt
pt 0
称 为 f (t ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 函 数 。 上 式 中 积 分
0
f (t )e dt 称为拉普拉斯积分， e pt 称为拉氏变换的
（1） f ( p ) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分
0
d [ f (t )e pt ]dt ，利用 dp
f (t ) Me
0t
0
d M pt t [ f (t )e ]dt f (t ) te dt M te ( 0 )t dt 0 0 dp ( 0 )2
0
dt
1 故 L[te ] ( p s)2
st
n! 推广： L[t e ] ( p s ) n 1
n st
数学物理方法
例 6.1.5
分别求 sin t 和 cost 的拉氏变换
解：在 Re p 0 的半平面上
0
sin te
pt
1 it it pt dt (e e )e dt 2i 0 1 ( p i )t 1 ( p i )t e dt e dt 2i 0 2i 0
pt
核。 常用简单符号表示拉氏变换：
f ( p) L[ f (t )]
（6.2.4）
数学物理方法
综合傅里叶变换和拉氏变换，傅氏变换的像函数是 一个实自变量 的复值函数，拉氏变换的像函数则是一 个复自变量 p( i ) 的复值函数。 由前推导可见，拉氏变换实际上是 f (t )e t H (t ) 的 傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积 t 分区间为 (0, ) ， 广义指它要乘上 e H (t )( 0) 再做 傅里叶变换。 例 6.1.1 计算 L[1] 。
领域中有着广泛的应用。
6.1 符号法
数学物理方法
6.1.1 符号法 运算微积的原始形式是符号法。函数 (t ) 的 n 阶导数可
d 以看成求导算符 p 在函数 (t ) 上作用 n 次的结果， dt n d 1 n p (t ) n (t ) 。算符 p 的“倒数” 则解释为积分 dt p t t 1 1 算符， (t ) ( )d ，例如 1 1d t 。依次 0 0 p p
解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e
0
pt
1 dt (Re p 0) p
数学物理方法
例 6.1.2 计算 L[t ] 。 解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
1 te dt td(e pt ) 0 p 0 1 pt 1 pt = [te ]0 e dt p p 0 1 pt 1 = e dt 2 , p 0 p 1 L[t ]= 2 (Re p 0) p n! n 推广： L[t ] n 1 p
数学物理方法
（1）线性定理 若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )] ，则
L[c1 f1 (t ) c2 f2 (t )] c1 f1 ( p) c2 f 2 ( p)
证明：
L[c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )] [c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )]e
类推
1 t 1 n p n!
n
(6.1.1)
数学物理方法
亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大的推广 了符号法的应用。例如，电阻 R 和自感串联 L 电路的微 分方程为：
d ( L R) I U dt
亥维赛把上式改写为
（6.1.2）
U I 1. Lp R
（6.1.3）
上式中算符出现在分母中本没有意义，但亥维赛把上式 展开，并逐项应用(6.1.1)，得到
p
2
( 0) 时， f ( p ) 存
证明：
f ( p)
0
f (t )e
pt
dt
0
f (t )e pt dt
M M e dt 0 0 M 0 ，得证。 因而积分收敛，且 lim p 0
( 0 ) t
6.2 拉普拉斯变换的性质
数学物理方法
例 6.1.4
解：在 Re p Re s 的半平面上
计算 L[test ] ， s 为常数
( p s )t
0
te e dt te
st pt
1 1 ( p s )t ( p s )t [te ]0 e dt 2 0 ps ( p s)
1 由于 p i ，有 d dp i 1 i f (t ) f ( p)e pt dp 所以 2 i i
数学物理方法
f (t ) 称为原函数， f ( p) 称为像函数。它们之间可用简
单符号写为
f ( p) L[ f (t )] （6.2.5） f (t ) L1[ f ( p)] （6.2.6）
f ( p) f (t )e pt dt
0
两边分别对 p 求导有
df ( p) f (t )(t )e pt dt 0 dp 从而有 df ( p) f (t )te pt dt L[tf (t )] 0 dp n n n d 推广： L[t f (t )] (1) f ( p) n dp
数学物理方法
U U 1 I 1 1 Lp R Lp 1 R 1 L p
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 R L p L p L p 2 2 3 3 R U R t R t t 2 3 R L L 2! L 3! U {1 e ( R / L )t } R
数学物理方法
6.2.2 拉普拉斯逆变换 从前面拉普拉斯变换的引入， 可知 G ( ) 的傅里叶逆 变换是
1 g (t ) G ( )e d f ( i )eit d 2 1 ( i ) t 即： f (t ) f ( i )e d 2
拉普拉斯变换常用于初始值问题，即知道某个物理量在 初始时刻 t 0 的值 f (0) ，而求解其后任意时刻的变化 情况 f (t ) ，至于初始时刻之前的值，并不感兴趣，不妨 设 f (t ) 0.(t 0) （6.2.1）
数学物理方法
为了获得宽松的变换条件，把 f (t ) 加工为 g (t ) ，
6.2 拉普拉斯变换
数学物理方法
6.2.1 拉普拉斯变换的定义 上一章指出，傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件 是原函数在任意有限区间都满足狄里希利条件，并是绝 对可积的。这是相当强的一个条件，以致于许多常见的 函数（例如多项式、三角函数等）都不满足这条件。 这章介绍另一种常见变换－拉普拉斯变换，其变换 存在的条件要宽松。
0t
则 f ( p ) 在 Re p 0 上存在并解析。
0 称为收敛横标。
证明：
0
f (t )e
pt
dt Me
0
0 t
M dt , 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质 由 f ( p)
0
f (t )e pt dt 定义的拉氏变换存在如下性质：
0
pt
dt
c1 f1 (t )e
0
pt
dt c2 f 2 (t )e pt dt
0
c1 f1 ( p ) c 2 f 2 ( p )
pt
数学物理方法
例 6.1.3
计算 L[est ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
0
e e dt e
st pt 0
( p s )t
dt
1 ( p s )t [e ]0 ps 1 ps
故
1 L[e ] ps
st
g (t ) e
t
t
f (t )
（6.2.2）
这 里 的 e 是 收 敛 因 子 ， 是 为 了 保 证 g (t ) 在 区 间 (, )上绝对可积。于是，对 g (t ) 施展傅里叶变换
1 G ( ) 2
g (t )e
it
1 dt 2
0
f (t )e
序不可交换，
t 1 pf (t ) f '( )d f (t ) f (0) 0 p 1 d t p f (t ) f ( )d f (t ) p dt 0
后来，人们发现符号法和拉普拉斯变换的联系，符号法 才脱离了粗糙的形式而建立在拉普拉斯变换的基础上， 通常称之为运算微积。在运算微积中，字母 p 不再解释 为算符，而代表一个复变数。
R 1 R 2 1 R3 1 U 2 2 3 3 1 1 Lp L p L p L p
1 tn 1 n p n! zk ez k 0 k !
数学物理方法
亥维赛取的的成绩使当时的数学家大为吃惊！但亥维赛
1 也作出了一系列计算错误，乃是没有注意到 p 和 的次 p
f ( p) f (t )e pt dt （ p 为复参量）对复平面上某区
0
域 p 收敛，则积分确定的函数
f ( p) f (t )e dt
pt 0
称 为 f (t ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 函 数 。 上 式 中 积 分
0
f (t )e dt 称为拉普拉斯积分， e pt 称为拉氏变换的
（1） f ( p ) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分
0
d [ f (t )e pt ]dt ，利用 dp
f (t ) Me
0t
0
d M pt t [ f (t )e ]dt f (t ) te dt M te ( 0 )t dt 0 0 dp ( 0 )2
0
dt
1 故 L[te ] ( p s)2
st
n! 推广： L[t e ] ( p s ) n 1
n st
数学物理方法
例 6.1.5
分别求 sin t 和 cost 的拉氏变换
解：在 Re p 0 的半平面上
0
sin te
pt
1 it it pt dt (e e )e dt 2i 0 1 ( p i )t 1 ( p i )t e dt e dt 2i 0 2i 0
pt
核。 常用简单符号表示拉氏变换：
f ( p) L[ f (t )]
（6.2.4）
数学物理方法
综合傅里叶变换和拉氏变换，傅氏变换的像函数是 一个实自变量 的复值函数，拉氏变换的像函数则是一 个复自变量 p( i ) 的复值函数。 由前推导可见，拉氏变换实际上是 f (t )e t H (t ) 的 傅里叶变换，它是一种单边广义傅里叶变换。单边指积 t 分区间为 (0, ) ， 广义指它要乘上 e H (t )( 0) 再做 傅里叶变换。 例 6.1.1 计算 L[1] 。
领域中有着广泛的应用。
6.1 符号法
数学物理方法
6.1.1 符号法 运算微积的原始形式是符号法。函数 (t ) 的 n 阶导数可
d 以看成求导算符 p 在函数 (t ) 上作用 n 次的结果， dt n d 1 n p (t ) n (t ) 。算符 p 的“倒数” 则解释为积分 dt p t t 1 1 算符， (t ) ( )d ，例如 1 1d t 。依次 0 0 p p
解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e
0
pt
1 dt (Re p 0) p
数学物理方法
例 6.1.2 计算 L[t ] 。 解：在 Re p 0 （即 0 ）的半平面上
1 te dt td(e pt ) 0 p 0 1 pt 1 pt = [te ]0 e dt p p 0 1 pt 1 = e dt 2 , p 0 p 1 L[t ]= 2 (Re p 0) p n! n 推广： L[t ] n 1 p
数学物理方法
（1）线性定理 若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )] ，则
L[c1 f1 (t ) c2 f2 (t )] c1 f1 ( p) c2 f 2 ( p)
证明：
L[c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )] [c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )]e
类推
1 t 1 n p n!
n
(6.1.1)
数学物理方法
亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大的推广 了符号法的应用。例如，电阻 R 和自感串联 L 电路的微 分方程为：
d ( L R) I U dt
亥维赛把上式改写为
（6.1.2）
U I 1. Lp R
（6.1.3）
上式中算符出现在分母中本没有意义，但亥维赛把上式 展开，并逐项应用(6.1.1)，得到
p
2
( 0) 时， f ( p ) 存
证明：
f ( p)
0
f (t )e
pt
dt
0
f (t )e pt dt
M M e dt 0 0 M 0 ，得证。 因而积分收敛，且 lim p 0
( 0 ) t
6.2 拉普拉斯变换的性质
数学物理方法
例 6.1.4
解：在 Re p Re s 的半平面上
计算 L[test ] ， s 为常数
( p s )t
0
te e dt te
st pt
1 1 ( p s )t ( p s )t [te ]0 e dt 2 0 ps ( p s)