初中数学二次函数与不等式
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。
二次函数与不等式的关系
二次函数与不等式的关系二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
不等式是数学中的一种比较关系，表示两个数或者两个表达式之间的大小关系。
本文将探讨二次函数与不等式的关系，并分析二次函数不等式的求解方法。
一、二次函数的图像二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线a > 0，开口向下的抛物线a < 0。
当a > 0时，二次函数的最小值存在；当a < 0时，二次函数的最大值存在。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方。
1. 求解开口向上的二次函数不等式当a > 0时，二次函数图像开口向上。
首先，找到二次函数与x轴的交点，即确定二次函数的零点。
设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。
若存在实数x使得x1 < x < x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。
2. 求解开口向下的二次函数不等式当a < 0时，二次函数图像开口向下。
同样地，需要找到二次函数与x轴的交点，并确定二次函数的零点。
设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。
若存在实数x使得x < x1或x > x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。
三、二元二次不等式的解法二元二次不等式是含有两个未知量的不等式，形如ax^2 + by^2 + cx + dy + e > 0或ax^2 + by^2 + cx + dy + e < 0。
解二元二次不等式的方法之一是利用配方将其转化为一元二次不等式。
具体步骤如下：1. 将二元二次不等式化简为一元二次不等式，例如通过平方完成配方；2. 根据一元二次不等式的解法，求解得到满足不等式的区间；3. 将解得的区间带入原二元二次不等式，确定满足不等式的解集。
初中数学专题复习( 二次函数与不等式)
初中数学专题复习（二次函数与不等式）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，答案：D．2．二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x 的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．解：由题意，可大致画出函数图象如下，则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，答案：﹣1＜x＜2．3．小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．21教育名师原创作品（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．答案：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，答案：．4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．5．红红对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函数关于直线x＝2对称．（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程a|x2+bx|+c＝x﹣3的解为：x＝0或x＝3或x＝5．解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为y＝|x2﹣4x|﹣3．（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为函数关于直线x＝2对称．（3）①观察图像可知，直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3故答案为k＞1或k＝﹣3．②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝3或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解为x＝0或x＝3或x＝5，故答案为x＝0或x＝3或x＝5．6．已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．例：解不等式：x2+x﹣2＞0．解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，即4a2﹣8＝0，解得a＝；③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x 轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，①当﹣2≤m≤2时，则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；②当2＜m≤6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；③当m＞6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣m2+2m﹣4，则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，综上，实数m的值为2或6+4．7．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（）A．3≤y2≤7B．3≤y2≤6C．16≤y2≤19D．7≤y2≤19解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，∴c﹣4a＝﹣1，当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，∴c＝3，∴a＝1，∵y2＝﹣ax2+4ax+c∴y2＝﹣x2+4x+3═﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，∵1≤x≤4，∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，∴3≤y2≤7．答案：A．8．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；③当m＝1时，y1≤y2；④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m＝．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①∵y1＝mx2+4mx﹣5m＝m（x+2）2﹣9m，y2＝2x﹣2，当x＞﹣2时，y2随x的增大而增大，当m＜0时，y1随x的增大而减小，故①错误；②令y1＝0，则mx2+4mx﹣5m＝0，x＝1或﹣5，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0），故②正确；【来源：21cnj*y.co*m】③当m＝1时，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m的图象与一次函数y2＝2x﹣2的图象的交点的横坐标为﹣3和1，∴当﹣3≤x≤1时，y1≤y2；故③错误；④∵mx2+4mx﹣5m＝2x﹣2整理得，mx2+（4m﹣2）x+2﹣5m＝0，当△＝（4m﹣2）2﹣4m（2﹣5m）＝0时，函数值y2≤y1成立，解得m＝，故④正确．答案：C．9．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；②∵抛物线开口向下，故a＜0，∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＜0，故②错误，不符合题意；③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故④错误，不符合题意；⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；故正确的有：①③⑤；答案：B．10．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+ax2+k＜n的解集为（）A．﹣2＜x＜5B．x＜﹣2或x＞5C．﹣5＜x＜2D．x＜﹣5或x＞2解：∵y＝mx+n过（﹣2，b），（5，c）两点，∴b＝﹣2m+n，c＝5m+n，当x＝2时，y＝﹣mx+n＝﹣2m+n＝b，当x＝﹣5时，y＝﹣mx+n＝5m+n＝c，∴直线y＝﹣mx+n过（2，b）和（﹣5，c）两点，∵y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，∴根据二次函数图象的对称性质可知，y＝ax2+k的图象过（2，b）和（﹣5，c）两点，如图所示，y＝﹣mx+n与y＝ax2+k的图象交于（2，b）和（﹣5，c）两点，由图象可知，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+k上方时，x＜﹣5或x＞2，∴不等式ax2+k＜﹣mx+n的解集为x＜﹣5或x＞2，即不等式mx+ax2+k＜n的解集为x＜﹣5或x＞2，答案：D．11．已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（）A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2由y2＞y1得y2﹣y1＞0∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0选项A：若﹣2＜a＜0＜b，则1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；选项B：若﹣2＜a＜b＜0，则1﹣a＞1＞0，∵0＜b﹣a＜2，∴△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0故B正确；选项C：若0＜a＜2＜b，则1﹣a无法确定正负，故C错误；选项D：同选项C一样，无法确定1﹣a的正负，故D错误．综上，只有B正确．答案：B．12．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．答案：D．13．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为x≤0或x≥6．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．答案：x≤0或x≥6．14．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1．解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．15．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为x2＜x＜x3．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．答案：x2＜x＜x3．16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b经过点B（1，3），且与直线y＝﹣2x交于点A，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动．（1）求点A的坐标．（2）当抛物线经过点A时，求抛物线的解析式．（3）当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，结合图象，直接写出m的取值范围．解：（1）将点B的坐标代入y＝x+b得：+b＝3，解得：b＝2.5，故y＝x+，联立，解得，故点A的坐标为（﹣1，2）；（2）∵抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动，则n＝﹣2m，则y＝（x﹣m）2﹣2m，将点A的坐标代入上式并解得：m＝±1，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2或y＝（x+1）2+2；（3）设：y＝（x﹣m）2﹣2m，y′＝x+，当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，即y在y′的下方，当x＝﹣1时，y′＝×（﹣1）+＝2，而y＝（﹣1﹣m）2﹣2m＝m2+1，即m2+1＜2，解得：﹣1＜m＜1；当x＝1时，同理可得：y′＝3，y＝m2﹣4m+1，即y＝m2﹣4m+1＜3，解得2﹣≤m≤2+；故m的取值范围为2﹣≤m≤2+．。
二次函数与一元二次方程、不等式洋葱数学
二次函数与一元二次方程、不等式洋葱数学二次函数是数学中的一种函数形式，它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
在二次函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0。
在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式或配方法来求得方程的解。
不等式是数学中另一个重要的概念，它描述了两个数或两个表达式之间的大小关系。
在不等式中，我们通常使用大于、小于、大于等于、小于等于等符号来表示不同的大小关系。
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二次函数和一元二次方程有着密切的关系。
事实上，一元二次方程的解就是二次函数的零点。
当我们求解一元二次方程时，实际上是在求解相应的二次函数在x轴上的交点。
通过求解一元二次方程，我们可以确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。
在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式来求解。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个解可以分别表示为x = (-b +√(b^2 - 4ac))/(2a)和x = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)。
这两个解可以帮助我们确定二次函数的零点。
除了求解一元二次方程，我们还可以利用二次函数的性质来解决一些实际问题。
例如，我们可以利用二次函数的顶点来确定函数的最值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的顶点的横坐标可以表示为x = -b/(2a)，纵坐标可以表示为f(-b/(2a))。
通过求解顶点，我们可以确定二次函数的最值以及最值对应的自变量的取值。
二次函数还有许多其他的性质和应用。
例如，二次函数的图像可以是抛物线，它的开口方向和抛物线的位置与二次函数的系数有关。
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。
他们之
间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。
首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解
它们之间的关系。
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为
ax²+bx+c=0 (a≠0)。
二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程
组合出的不等式表达式。
而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐
标系上表示成曲线。
接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间
的联系。
一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。
二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。
就如，
y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，
前者生成的关系图像就是后者的解的图象。
综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。
它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。
只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。
人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程、不等式
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左 平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y ＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右 平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y ＝a(x－h－n)2＋k.
将(－6，0)代入，得
1 0＝2(
－6＋3)2＋h，解得h＝－29，
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
x1<x<x2
无解
无解
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝ a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体 平移方法如图15－1：
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴
的交点个数
判别式Δ＝b2－ 4ac
的符号
方程ax2＋bx＋c ＝0有实根 的个数
2个 1个 没有
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
两个_不__相__等___实根 两个_相__等_____实根
__没__有____实根
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间 的关系
项目 字母
a
b
字母的符号
a>0 a<0 b＝0
ab>0(b与a同号)
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式
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初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
在初中数学中，学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。
下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。
一、二次函数的应用1.抛物线运动问题：抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下，物体受到重力的作用而做抛物线运动。
学生们需要通过二次函数的知识，求解抛物线运动问题中的相关参数，如最高点、飞行时间和落地点等。
2.最值问题：通过二次函数的图像，可以求解最值问题。
学生们需要通过自定义条件，建立二次函数模型，求解二次函数的最值。
3.平方差问题：通过二次函数的知识，可以求解平方差问题。
学生们需要通过二次函数的知识，求出平方差的最小值。
二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法：对于二次函数的方程，学生们需要掌握二次函数的解法。
通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法，求解二次函数的方程。
2.二次函数的不等式：对于二次函数的不等式，学生们需要通过图像的性质，求解二次函数的不等式。
通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点，求解二次函数的不等式。
3.二次函数的应用问题的解法：对于二次函数的应用问题，学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。
通过建立方程或不等式，求解二次函数应用问题中的未知数。
三、解题技巧与误区1.解题技巧：学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，应注意抓住题目的关键信息，建立正确的模型，严格按照问题的要求进行求解。
2.误区：在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，学生们可能会出现以下误区：-不理解题目的意思，导致建立错误的模型；-忽略二次函数的性质，导致求解出错；-求解过程中计算错误，导致答案错误。
四、典型例题1.例题一：设二次函数f(x)的图像经过点(1,2)，其顶点是(-1,3)，求该二次函数的解析式。
要求：写出二次函数的标准方程和一般方程。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)
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⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。
最新人教版初中九年级上册数学【第二十二章 22.2二次函数与不等式】教学课件
＝1 或 ＝2
1＜2
1＜＜2
＜1 或 ＞2
图像
【答疑过程】
例 1 已知二次函数 = − − .
(1) 画出二次函数的图象(如图 1)；
(2)顶点在第______象限；
(3)对称轴为直线_______；
(4)与轴的交点坐标为____________；
(5)方程 − − = 的解为________；
（3）看清不等号方向（大于零还是小于零）；
（4）写出满足不等式的解集.
2.常用的数学方法：
图象法和数形结合法、观察法.
谢谢观看!
（答疑）
【学习目标】
通过对一道例题的深度剖析，进一步
理解解决二次函数与不等式问题过程中，
数形结合思想的运用以及价值。
【教学回顾】
抛物线 1＝2+b+c 与2＝k+b的交点(1,1)，(2,2)(1
＜2)
＞0
＜0
1＞2
＜1 或 ＞2
1＜＜2
1＝2
＝1 或 ＝2
(6)取什么值时，函数值大于 0?
(7)取什么值时，函数值小于 0?
(8)取什么值时，函数值等于 0?
【答疑过程】
【答疑过程】
y＞0
y＜0
【答疑过程】
(1,3)
(-2,-1)
【
课堂小结
1.解题一般步骤：
（1）看图象找交点；
（2）确定交点坐标（关键是横坐标）；
课堂小结
1.解不等式时灵活应用图象法与数形结合
法；
课堂小结
3.解题一般步骤：
（1）看图象找交点；
（2）确定交点坐标（关键是横坐标）；
（3）看清不等号方向（大于零还是小于零）；
第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式
第10讲二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．知识点六一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”，或者利用数轴标根法【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】不等式()()220x x +->的解集是（）A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【例2】记集合{}24M x x =>，{}240N x x x =-≤，则M N = （）A ．{}24x x <≤B ．{0x x ≥或}2x <-C ．{}02x x ≤<D ．{}24x x -<≤【例3】设x ∈R ，则“12x <<”是“2230x x --<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】不等式2230x x -+->的解集是（）A ．RB ．φC ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|31}x x -<<-【例5】不等式22150x x -++≤的解集为（）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【题型专练】1.集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}2340B x x x =+-<，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}32x x -<<D ．{}21x x -<<2.解下列不等式：(1)2430x x ++>；(2)294604x x -+-<.3．不等式2340x x --<的解集为（）A ．(,1)(4,)-∝-+∝U B ．（－4，1）C ．（－1，4）D ．(,4)(1,)-∝-+∝U 4．不等式240x -≤的解集是（）A ．(,5)-∞-B ．[)5,2--C ．[]22-,D ．()2,+∞5.不等式2210x x +->的解集是（）A ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭6.（多选）下列不等式的解集为R 的有（）A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例1】若不等式220ax bx +-<的解集为{21}xx -<<∣，则a b +=（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例2】已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是（）AB．CD．【例3】若不等式220ax x c ++<的解集是11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a -+≤的解集是（）A ．11,23⎡⎤-⎢⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3-D ．[]3,2-【例4】已知函数f （x ）＝x 2+ax +（a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【题型专练】1.已知不等式20x x a -+<的解集为{}23x x -<<，则=a （）A ．6-B ．16-C ．6D ．162.若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______.3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（）A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣4.二次不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，则cb 的值为（）A ．65B ．65-C ．56D ．56-5.若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例1】若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有4个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)3,2--C ．[)(]3,26,7--D ．[]3,7-【例2】解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()0,8B ．()0,∞+C ．()0,2D ．[]28,【例4】设2(1)2y ax a x a =+-+-.(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【例5】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例6】解关于x 的不等式：220ax x a -+<.【题型专练】1.若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-2.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．3.设函数()()211f x ax a x =-++.(1)若2a =，解不等式0y >；(2)若0a >，解关于x 的不等式0y <。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式 (附解析))
2023中考专题训练——二次函数与不等式1．已知二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)m -和(21,0)+m ． （1）求b 和c （用m 的代数式表示）；（2）若在自变量x 的值满足21x -≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为1，求m 的值； （3）已知点2(1,23)A m m ---和点2(2,26)B m m -+．若二次函数2y x bx c =-+-的图象与线段AB 有两个不同的交点，直接写出m 的取值范围．2．在平面直角坐标系xoy 中，直线y ＝4x +4分别与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，点A 在抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)上，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ． （1）求抛物线的顶点坐标；（用含a 的代数式表示）（2）若a=﹣1，当t ﹣1≤x ≤t 时，函数y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)的最大值是3，求t 的值； （3）若抛物线与线段BC 有两个公共点，结合函数图像直接写出a 的取值范围．3．某批发商以6元/千克的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，批发商销售过程中发现，这种蔬菜的销售单价为10元/千克时，每天的销售量为300千克，如果调整价格，销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，设销售价格为x 元/千克，每天的销售量为y 千克． (1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当每天销售单价是多少元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1440元？(3)端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品，这种蔬菜的售价定为多少元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是多少元？4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=-+-y x tx t t ． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；(2)点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1-≤≤+=-t x t x t ． ①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22240y x mx m m =-+->经过点(),A a b ．(1)用含m 的代数式表示抛物线顶点的坐标；(2)若抛物线经过点()0,5B ，且满足24a -<<，求b 的取值范围； (3)若34a ≤≤时，5b ≤，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系中已知抛物线()2322y x m x m =+--+．(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当项点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； (3)已知点()1,1E -，()3,5F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．7．已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,1A -和点()1,1B a +，顶点为C ． （1）求b 、c 的值；（2）若C 的坐标为()1,0，当12t x t -≤≤+时，二次函数2y ax bx c =++有最大值4-，求t 的值； （3）直线1322y x =-与直线3x =-、直线1x =分别相交于M 、N ，若抛物线2y ax bx c =++与线段MN （包含M 、N 两点）有两个公共点，求a 的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣45x +c 与直线y ＝25x +25交于A 、B 两点，已知点B 的横坐标是4，直线y ＝25x +25与x 、y 轴的交点分别为A 、C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在直线y ＝25x +25下方，求△PAC 的最大面积；（3）设M 是抛物线对称轴上的一点，以点A 、B 、P 、M 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线=1x -，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点A ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线=1x -上找一点M ，使点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）如图2，点Q 为直线AC 上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q 坐标.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m =-+-. (1)求抛物线的对称轴(用含m 的式子去表示)；(2)若点()12,m y -，()2,m y ，()33,m y +都在抛物线2221y x mx m =-+-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____ __；(3)直线y x b =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y 轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P ，当OAP ∆为钝角三角形时，求m 的取值范围．11．如图，已知二次函数的图像经过点 A （ 3,3 ），点 B （ 4,0 ）和原点， P 为二次函数图像上的一个动点，过点 P 做 x 轴的垂线，垂足为 D （ m,0), 并与直线 OA 相交于点C(1) 求出二次函数的解析式．(2) 若点 P 在直线 OA 的上方时，用含有 m 的代数式表示线段 PC 的长度，并求线段 PC 的最大值(3)当m＞ 0 时，探索是否存在点P，使△PCO成为等腰三角形，若存在求出点P坐标，不存在，说明理由．12．如图，抛物线()21=-+与x轴相交于,A B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点y x k()0,3C-．P为抛物线上一点，横坐标为m，且0m>．⑴求此抛物线的解析式；⑵当点P位于x轴下方时，求ABP∆面积的最大值；⑶设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当9∆的面积．h=时，直接写出BCP13．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H的坐标；（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴负半轴于点A（﹣1，0），与y轴交于B点．过B点的直线l交抛物线于点C（3，﹣1）．过点C作CD⊥x轴，垂足为D．点P为x轴正半轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交抛物线于点F ．设P 点的横坐标为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）连接OE ，求△POE 面积的最大值；（3）连接DE ，CF ，是否存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与直线332y x =-交于点(0,3)C -，直线332y x =-与x 轴交于点D ． (1)求该抛物线的解析式．(2)点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当PCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标．(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin BEO ∠最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0）与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交抛物线与点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线1交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线M 1：y=x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y=ax 2+bx+c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C （8，m ），且AB=BC ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；（3）在y 轴上找点P ，使得BP+CP 的值最小，求点P 的坐标．18．如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B 两点的坐标．（2）点P 是线段BC 下方的抛物线上的动点，连结PC ，PB ．①是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由．②连结AC ，AP ，AP 交BC 于点F ，当∠CAP＝∠ABC 时，求直线AP 的函数表达式．19．综合与探究如图，已知抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 与y 轴交于点A （0，﹣4），与x 轴交于点B （4，0），点P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）当点P 移动到抛物线的什么位置时，∠PAB ＝90°求出此时点P 的坐标；（3）当点P 从点A 出发，沿线段AB 下方的抛物线向终点B 移动，在移动中，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求t 为何值时S 有最大值，最大值是多少？x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC 20．如图①，抛物线y＝﹣12的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG5的值最小，求出点G的坐标及PG5GE的最小值；（3）将抛物线沿直线AC平移，点A，C平移后的对应点为A′，C'．在平面内有一动点H，当以点B，A'，C'，H为顶点的四边形为平行四边形时，在直线AC上方找一个满足条件的点H，与直线AC下方所有满足条件的点H为顶点的多边形为轴对称图形时，求出点A′的坐标．参考答案：1．（1）31b m =-；2232c m m =--；（2）1m =-（3）m 的取值范围为3243m -<≤-．【分析】（1）二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)m -和(21,0)+m ，可以看成方程20x bx c -+-=的两个实数根为12x m =-，221x m =+，利用根与系数的关系进行求解即可； （2）二次函数图象开口向下，对称轴为312m x -=，分3种情况进行讨论，当3122m -<-、 31212m --≤≤、3112m ->时， 根据二次函数的图像和性质进行求解即可； （3）取临界点，当点A ，点B 在二次函数2y x bx c =-+-上时，求出m 的值，即可求得m 的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，方程20x bx c -+-=的两个实数根为12x m =-，221x m =+． ∴1231b x x m =+=-．∵()()212221232c x x m m m m ==-+=--．（2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为23169,24m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． ①当3122m -<-，即1m <-时， 在自变量x 的值满足21x -≤≤的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而减小．故当2x =-时，()()22423123223y m m m m m =------=--为最大值．∴2231m m --=，解得11m =-和212m =-，1m ，2m 都不合题意，舍去．②当31212m --≤≤，即11m -≤≤时，()21694y m m =++为最大值， ∴()216914m m ++=，解得11m =-，25m =-，2m 不合题意，舍去． ③当3112m ->，即1m >时， 在自变量x 的值满足21x -≤≤的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大．故当1x =时，()2213123226y m m m m m =-+--++=-+为最大值．∴2261m m -+=，解得1m =和2m =，2m 不合题意，舍去．综上所述，1m =- （3）当点2(1,23)A m m ---在二次函数2y x bx c =-+-上时，代入得，2123b c m m ---=--，代入31b m =-；2232c m m =--得23m =-，当点2(2,26)B m m -+在二次函数2y x bx c =-+-上时，代入得，24226b c m m -+-=-+，代入31b m =-；2232c m m =--得34m =-，∵二次函数2y x bx c =-+-的图象与线段AB 有两个不同的交点∴3243m -<≤-．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，二次函数的图像和性质，分类讨论思想等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质以及灵活运用分类讨论思想是解决本题的关键．2．（1）（1，﹣4a ）；（2）t ＝0或 t ＝3；（3）﹣43≤a ＜﹣1．【分析】（1）将()1,0A -代入抛物线得2b a =-，再将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （2）当1a =-时，抛物线顶点坐标为()1,4，然后分情况根据抛物线的性质可解答；（3）先求点B 坐标，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，利用抛物线的顶点坐标求解． 【解析】解：（1）直线y ＝4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ， ∴()1,0A -，()0,4B ，点A 在抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)上， ∴2b a =-，∴抛物线()22314y ax bx a a x a =+-=--；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a ）． （2）∵a ＝﹣1，∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4． 当＜1t 时，2-233t t ++=， 解得：10t =，22t =（舍去）；当-1＞1t 时，即2t ＞，()()2--12-133t t ++=，解得：11t =（舍去），2=3t ； 综上所述可得：t ＝0或 t ＝3．（3）①把0x =代入抛物线，得到3y a =-，当抛物线的顶点不在线段BC 上时，抛物线与线段有两个交点， ∴-34a ≤， ∴43a ≥-②当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点坐标为()1,4， ∴23＞4a a a --， ∴1a -＜．∴a 的取值范围是﹣43≤a ＜﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，结合一次函数的图像特征进行求解是关键． 3．(1)30600y x =-+ (2)14元或12元(3)这种蔬菜的零售价是14元时，每天可获得最大利润，最大利润为1080元 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，列出函数关系式即可；（2）根据利润＝销售量×（销售单价－进价）写出利润W 与x 之间解析式：()()306006W x x =-+-，然后根据利润为1440元，代入求出x 即可；（3）设每天的销售利润为1W 元，根据利润等于每天的销售量乘以每千克的利润，列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． (1)解：()300103030600y x x =--⨯=-+．∴y 与x 之间的函数关系式为：30600y x =-+． (2)设批发商销售这种蔬菜每天的利润为W 元， ∵利润＝销售量×（销售单价－进价）， ∴()()306006W x x =-+-， 当1440W =时，得：()()3060061440x x -+-=，整理方程得：2261680x x -+=， 解得：114x =，212x =，答：当每天销售单价是14元或12元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1440元． (3)设每天获得利润1W 元，∵端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品， ∴每千克的利润为()62x --元， ∴()()13060062W x x =-+--()230141080x =--+，∵300-<， ∴抛物线开口向下，∴当14x =时，1W 有最大值，11080W =最大．答：这种蔬菜的零售价是14元时，每天可获得最大利润，最大利润为1080元．【点评】本题是一次函数与二次函数在销售问题中的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，涉及到一元二次方程的应用及二次函数的性质．理清题中数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．4．(1)(,)t t -(2)①14x =时，1y 的最大值为2；②21t <-或32t > 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可求解；（2）①根据抛物线的性质，对称轴为x t =，开口向上，则当1x t =时，1y 有最小值t -，进而求得t 的值，结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据抛物线开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，分情况讨论结合函数图象即可求解．(1)解：（1）∵2222()=-+-=--y x tx t t x t t ，∴抛物线的顶点坐标为(,)t t -．(2)①∵10a =>，∴抛物线222=-+-y x tx t t 开口向上∴当x t =时，y 有最小值t -．∵112-≤+t x t ，∴当1x t =时，1y 有最小值t -．∴2-=-t ．∴2t =．∴2(2)2y x =--．∵114≤≤x ，∴结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据题意可得，抛物线2()y x t t =--的对称轴为x t =，设P 到对称轴的距离为d ，112t x t -≤≤+，1,2t t t t -<+>()12t t d t t ∴--≤≤+-即12d ≤≤即P 到对称轴距离最大为2，1）当Q 点在P 的右侧，且12y y <，21x t =-，Q ∴到x t =的距离为112t t t --=-12y y <，抛物线开口向上，∴离对称轴越远则，函数值越大，∴122t -> 解得21t <- 2）当Q 点在P 的左侧，且12y y <，同理可得21x t =-，Q ∴到x t =的距离为()121t t t --=-212t ∴-> 解得32t > 综上所述：21t <-或32t >． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5．(1)(),4m -(2)421b -≤<(3)16m ≤≤【分析】（1）将函数解析式化成顶点式求解；（2）将()0,5代入解析式求出m 的值，从而可得抛物线的对称轴，顶点坐标及开口方向，进而求出b 的取值范围；（3）分类讨论a ＝3时b 取最大值和a ＝4时b 取最大值，结合图象求出5b ≤时m 的取值范围．（1）解：∵()222244y x mx m x m =-+-=--，∴抛物线顶点坐标为(),4m -；（2）将()0,5代入2224y x mx m =-+-得：245m -=，解得3m =或3m =-，∵0m >，∴3m =，∴()234y x =--，∴抛物线对称轴为直线3x =，顶点坐标为()3,4-且开口向上，把2x =-代入()234y x =--得21y =，∴421b -≤<；（3）∵抛物线()22240y x mx m m =-+->开口向上，对称轴为直线x ＝m ， 当m ＝72时，点（3，b ）和点（4，b ）关于对称轴对称， 当m 72≥时，直线x ＝3与抛物线交点为最高点， x ＝3时，b ＝265m m -+为最大值，当2655m m -+=时，解得：10m =，26m =，如图，可得06m ≤≤时，5b ≤，又∵m 72≥， ∴762m ≤≤； 当72m <时，直线x ＝4与抛物线交点为最高点， x ＝4时，b ＝2812m m -+，当28125m m -+=时，解得：31m =，47m =，如图，可得17m ≤≤时，5b ≤，又∵m 72<， ∴712m ≤<，综上所述，m 的取值范围为16m ≤≤．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，要学会画出草图利用数形结合的思想解决问题．6．(1)y =x 2+2x ；(2)（-2，0）； (3)3202m --≤≤【分析】（1）将原点坐标代入解析式求出m ，即可得到此时的函数解析式；（2）先求出直线EF 的解析式，进而求出直线与抛物线的交点坐标，由此得到而（-2，0）在直线EF 上，不在线段EF 上，因此若抛物线与线段EF 只有一个交点，则（m ，m +2）必在线段EF 上，由此得到()()1322193225m m m m ⎧---+≤⎪⎨+--+≥⎪⎩，求出13m -≤≤，即可得到抛物线的顶点横坐标的取值范围． （1）解：∵抛物线经过原点（0，0），∴-2m +2=0，解得m =1，∴此时抛物线的解析式为y =x 2+2x ；（2）当项点移到最高处时，纵坐标最大，设顶点纵坐标为t ，则()()()2242231144m m t m ---==-+， 当m =-1时，t 最大为0，∴当顶点移动道最高处时，该抛物线的顶点坐标为（-2，0）；（3）设直线EF 的解析式为y =kx +b ，将E （-1，1），F （3，5）代入， 得135k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =x +2，将y =x +2代入()2322y x m x m =+--+得()2220x m x m +--=，解得x 1=-2，x 2=m ，∴交点坐标为（-2，0），（m ，m +2），而（-2，0）在直线EF 上，不在线段EF 上，∴若抛物线与线段EF 只有一个交点，则（m ，m +2）必在线段EF 上，∴()()1322193225m m m m ⎧---+≤⎪⎨+--+≥⎪⎩，解得13m -≤≤， ∴抛物线的顶点横坐标的取值范围为3202m --≤≤．【点评】此题考查了抛物线的综合知识，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线最大值问题，抛物线与直线的交点问题，熟记抛物线的知识并应用是解题的关键．7．（1）2；-1 （2）-3或4 （3）4998a ≤<或2a ≤- 【分析】（1）A ，B 两点坐标代入即可求得；（2）由（1）可知抛物线解析式，可以求得最大值点的横坐标=1x -或3x =，根据对称轴以及抛物线图象的性质即可求得；（3）分别求出M 、N 两点坐标，根据图象分类讨论并求出MN 函数式，与抛物线联立方程，根据判别式，即可判断取值范围.【解析】解：（1）由于抛物线2y ax bx c =++经过点()0,1A -，点()1,1B a +所以1c -=，1a a b c +=++，所以2b =（2）因为抛物线为221y ax x =+-，又顶点坐标为()1,0 所以212x a=-=，所以1a =- ∵1a <，∴抛物线开口向下，对称轴1x =，∵12t x t -≤≤+时，y 有最大值4-，∴当4y =-时，有2214x x -+-=-，∴=1x -或3x =，①在1x =左侧，y 随x 的增大而增大，∴21x t =+=-时，y 有最大值4-，∴3t =-；②在对称轴1x =右侧，y 随x 增大而减小，∴13x t =-=时，y 有最大值4-；综上所述：3t =-或4t =；（3）1322y x =-与直线3x =-、直线1x =分别相交于M 、N ， ∴()3,3M --，()1,1N -①a<0时，1x =时，1y ≤-，即2a ≤-；②0a >时，3x =-时，3y ≥-，即49a ≥， 直线MN 的解析式为1322y x =-， 抛物线与直线联立：2132122ax x x +-=-， ∴231022ax x ++=， 9204a =->∆，∴98a <， ∴a 的取值范围为4998a ≤<或2a ≤-． 【点评】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握二次函数和一次函数图象的性质和特征，掌握分类讨论的思想是解题的关键.8．（1）y ＝25x 2﹣45x ﹣65；（2）54；（3）点P 的坐标为：（6，425）或（﹣4，425）或（2，﹣65）． 【分析】（1）由直线y ＝25x +25与x 、y 轴的交点分别为A 、C ，得出点A 的坐标，将x=4代入直线y ＝25x +25中求出y 值，即可得出点B 坐标，由点A 、B 两点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设出P 点坐标，表示出H 的坐标，利用分割图形法求面积找出S △PAC 关于x 的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设能，分线段AB 为对角线和边两种情况来考虑，根据平移的性质和中点公式求出P 点的横坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出点P 的坐标．【解析】解：（1）y ＝25x +25，令y ＝0，则x ＝﹣1，故点A （﹣1，0）， ∵B 的横坐标是4，则点B （4，2），将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：405161625a c a c ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得：2565a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故抛物线的表达式为：y ＝25x 2﹣45x ﹣65； （2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P（x，25x2﹣45x﹣65），则点H（x，25x+25）则△P AC面积S＝S△PHA﹣S△PHC＝12PH（xC﹣xA）＝12×（25x+25﹣25x2+45x+65）＝﹣15x2+35x+45，∵15＜0，故S有最大值，当x＝32时，S的最大值为：54；（3）能，理由：设点P的坐标为：（m，n），点M（1，s），而点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，2），①当AB是边时，点A向右平移5个单位、向上平移2个单位得到B，同样，点P（M）向右平移5个单位、向上平移2个单位得到M（P），即1+5＝m或1﹣5＝m，解得：m＝6或﹣4，则n＝425，故点P（6，425）或（﹣4，425）；②当AB是对角线时，由中点公式得：m+1＝4﹣1，解得：m＝2，故点P（2，﹣65）；综上，点P的坐标为：（6，425）或（﹣4，425）或（2，﹣65）．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论，找出关于点P横坐标的一元一次方程．解题时，利用分割图形法求图形面积是难点，在日常练习中应加强该知识点的练习．9．（1）223y x x =--+；（2）当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为1,2；（3）点57,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据对称轴方程可得12b a-=-，把B 、C 坐标代入列方程组求出a 、b 、c 的值即可得答案； （2）根据二次函数的对称性可得A 点坐标，设直线AC 与对称轴=1x -的交点为M ，可得MB=MA ，即可得出MB+MC=MC+MA=AC ，为MB+MC 的最小值，根据A 、C 坐标，利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，把x=-1代入求出y 值，即可得点M 的坐标.（3）设直线BQ 交y 轴于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，利用勾股定理可求出BC 的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM ，利用∠OCB 的正切函数可得CM=3HM ，即可求出CM 、HM 的长，利用勾股定理可求出CH 的长，即可得H 点坐标，利用待定系数法可得直线BH 的解析式，联立直线BQ 与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q 坐标.【解析】（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线=1x -， ∴12b a-=-， ∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点， ∴1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =--+.（2）设直线AC 的解析式为y=mx+n ，∵抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线=1x -，B （0，0），∴点A 坐标为（-3，0），∵C （0，3），∴303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线解析式为3y x ，设直线AC 与对称轴=1x -的交点为M ，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB MC+的值最小，当=1x-时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为1,2. （3）如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM BC⊥于点M，∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3，∴1 tan3OBOCBCO∠==，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HM1 CM3=，∴CM=3HM，∴，解得：HM=∴∴52，∴OH=OC-CH=3-52=12，∴10,2H⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线BH的解析式为：y=kx+b，∴12k bb+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1212kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()BH Q 的表达式为：1122y x =-+， 联立直线BH 与抛物线解析式得2112223y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得：1x =（舍去）或x=52-， 当x=52-时，y=255()2()322---⨯-+=74， ∴点Q 坐标为（52-，74）.【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.10．(1)x m =；(2)312y y y >>；(3)1m >或2m <-.【分析】(1)函数的对称轴为：2b x m a=-=； (2)函数对称轴为x m =，函数开口向上，x m =时函数取得最小值，即可求解；(3)分OPA ∠是钝角、OAP ∠是钝角两种情况，分别求解即可．【解析】(1)函数的对称轴为：2b x m a=-=； (2)函数对称轴为x m =，函数开口向上，x m =时函数取得最小值，故：312y y y >>；(3)把点A 的坐标代入y x b =-+的表达式并解得：3b =，则点()0,3B ，直线表达式为：3y x =-+，当3y =时，22213y x mx m =-+-=，则2x m =±，则点()2,3P m -，则()2229OP m =-+，29OA =，()2259PA m =-+，①当OPA ∠是钝角时，则222OP PA OA +>，即：()()2229599m m -++-+>，解得：m 为任意实数；②当OAP ∠是钝角时，222OA PA OP +>， 解得：1m >或2m <-，即：m 的取值范围为1m >或2m <-.【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、不等式的基本性质、钝角三角形判断的方法等知识点，难度不大．11．（1）24y x x =-+；（2）94；（3）(3+, (3-, （ 5 ， -5 ） ,(4,0) 【分析】（1）利用抛物线过O 、B 可设二次函数解析式为：(4)y ax x =-，将A 点坐标代入即可.（2）利用P 、C 两点的坐标关系和所在的函数图像即可求出PC 与x 的函数关系式，然后求最值即可.（3）利用平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式分类讨论即可.【解析】⑴ 因为O 、B 在x 轴上，抛物线过O 、B 两点，故可设 抛物线的解析式为(4)y ax x =- ，把 A （3,3 ）代入，得33(34)a =-解得 1a =-∴ 24y x x =-+⑵ 设直线 OA （其中O 为原点），故设解析式 y kx '= ，将A 点坐标代入得：33k =解得1k =∴直线 OA 解析式 y x '=，又因为PC ⊥x 轴，故P 、C 横坐标都为m ，分别代入解析式可得24P y m m =-+，y c =m∴PC = P C y y -=24m m m -+-= 23m m -+，当 x =322b a -=时， 代入解析式得：PC 最大值 = 94⑶由上可知：C 的坐标为：（m ，m ）P 点坐标为（m ，24m m -+），PC=23m m -+利用平面直角坐标系内任意两点的距离：故，①当OC =PC 时，23m m -+=，取绝对值得23m m -+=12332,32,0m m m === ，因为m ＞0，故将m=0舍去.代入解析式中此时P 点坐标为(32,122+或 (32,12)-.②当OC =OP 时，因为P 、C 不能重合（等腰三角形）只有C 在一象限，P 在四象限，满足题意 易得OD 垂直平分PC ，∴CD=PD ，∵CD=m ，PD=2244m m m m -+=- ∴24m m m -=，10m =（m ＞0，故舍去），25m =此时将m=5代入解析式中解得：P （ 5 ， -5 ）③当PC =OP 时 ，()()2222234m m m m m -=+- 10m =（m ＞0，故舍去），24m =∴此时将m=4代入解析式中解得p (4,0)综上所述， P 点坐标为(32,122+, (32,12)-, （ 5 ， -5 ） ,(4,0)【点评】此题考查的是①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用二次函数求最值；③平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式.12．（1）2=23y x x --；（2）8；（3）①22h m m =-+（01m <≤），1h =（12m <≤），221h m m =-+（m>2）；②6.【分析】（1）将点C （0，-3）代入y=（x-1）2+k 即可；（2）易求A （-1，0），B （3，0），抛物线顶点为（1，-4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值；（3）①当0＜m≤1时，h=-3-（m 2-2m-3）=-m 2+2m ；当1＜m≤2时，h=-1-（-4）=1；当m ＞2时，h=m 2-2m-3-（-4）=m 2-2m+1；②当h=9时若-m 2+2m=9，此时△＜0，m 无解；若m 2-2m+1=9，则m=4，则P （4，5），△BCP 的面积=1118451222⨯⨯-⨯⨯-⨯（4+1）×3=6； 【解析】解：（1）因为抛物线()21y x k =-+与y 轴交于点()0,3C -， 把()0,3-代入()21y x k =-+，得 ()2301k -=-+， 解得4k =-，所以此抛物线的解析式为()214y x =--，即2=23y x x --；（2）令0y =，得()2140x --=，解得121,3x x =-=，所以()()1,0,3,0A B -，所以4AB =；解法一：由（1）知，抛物线顶点坐标为()1,4-，由题意，当点P 位于抛物线顶点时，ABP ∆的面积有最大值， 最大值为14482ABP S ∆=⨯⨯=；解法二由题意，得()2,23P m m m --， 所以()214232ABP S m m ∆=⨯⨯-++2246m m =-++()2218m =--+， 所以当1m =时，ABP S ∆有最大值8；（3）①当01m <≤时，()223232h m m m m =----=-+；当12m <≤时，()341h =---=；当m>2时，()2223421h m m m m =----=-+；②当h=9时若-m 2+2m=9，此时△＜0，m 无解；若m 2-2m+1=9，则m=4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，-3），∴△BCP 的面积=1118451222⨯⨯-⨯⨯-⨯（4+1）×3=6； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．13．（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）H （52，﹣354）；（3）P （137，0），Q （0，﹣133） 【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）先求出直线BC 的解析式，进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式，即可求出；（3）利用对称性找出点P ，Q 的位置，进而求出P ，Q 的坐标．【解析】（1）∵点A （﹣1，0），B （5，0）在抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5上，∴50 25550a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得14ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，∴x＝0（舍）或x＝4，∴E（4，﹣5），∴CE＝4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣52）2+254，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF＝12CE•HF＝﹣2（t﹣52）2+252，∴H（52，﹣354）；（3）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K （2，﹣9），∴K 关于y 轴的对称点K '（﹣2，﹣9），∵M （4，m ）在抛物线上，∴M （4，﹣5），∴点M 关于x 轴的对称点M '（4，5），∴直线K 'M '的解析式为y ＝71333x -， ∴P （137，0），Q （0，﹣133）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P ，Q 的位置．14．（1）271721212y x x =--；（2）32；（3）存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【分析】1）将点A 、C 的坐标代入函数解析式，利用解方程组求得系数的值即可；（2）根据三角形的面积公式，函数图象上点的坐标特征求得S △POE =12t•（13t-2）=16（t-3）2-32，所以由二次函数的性质求得答案；（3）根据平行四边形的对边相等的性质和坐标与图形的性质求得答案．【解析】（1）把A （﹣1，0），C （3，﹣1）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得209321a b a b --=⎧⎨+-=-⎩． 解得7121712a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 则该抛物线的解析式为271721212y x x =--； （2）由（1）知，抛物线的解析式为271721212y x x =--，则B （0，﹣2）． 设直线BC 的解析式为：y ＝kx +d （k ≠0）．把B （0，﹣2）、C （3，﹣1）代入，得d 23k d 1=-⎧⎨+=-⎩． 解得132k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 故直线BC 的解析式为 123y x =-．∴E （t ，13t ﹣2） ∴S △POE ＝12t•（13t-2）=16（t-3）2-32． ∴△POE 面积的最大值是32； （3）存在这样的t 值．理由：E （t ，123t -），F （t ，271721212t t --）． 若以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，则EF ＝CD ＝1， 即﹣（271721212t t --）﹣（2﹣13t ）＝1． 整理得：7t 2﹣21t +12＝0．∵△＝（﹣21）2﹣4×7×12＞0，∴方程7t 2﹣21t +12＝0有解．∴存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、平行四边形的性质等知识点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．15．（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣158）；（3）点E 的坐标为（﹣2，32，﹣3. 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x+2）（x-4）=a （x 2-2x-8），即可求解；（2）由S △PCD =S △PDO +S △PCO -S △OCD ，即可求解；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，即可求解．【解析】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38， 则函数的表达式为：233384y x x =--； （2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --）， S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值，此时点P （3，﹣158）； （3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，过圆心F 作HF ⊥x 轴于点H ，则OH ＝12OB ＝2＝OA ，OF ＝EF ＝4，∴HF＝E 的坐标为（﹣2，﹣；同样当点E 在x 轴的上方时，其坐标为（﹣2，；故点E 的坐标为（﹣2，2，﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识，三角函数等，其中（3），正确确定点E 的位置，是本题的难点．16．(1) 213222y x x =--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）【分析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12x 2+bx+c 方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−12m+2)，Q(m ，12m 2−32m−2)，可得MQ=−12m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12m 2+m+4＝4可解得m=2；（3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出。
初中数学一次方程、二次函数与不等式知识
初中数学一次方程、二次函数与不等式知识（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数与不等式
二次函数与不等式
二次函数与不等式是高等数学中的重要概念，它们在科学、工程和经济领域等都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数与不等式的基本概念，以及它们在实际应用中的重要性。
首先，我们来介绍二次函数。
二次函数是指形如 y = ax2
+ bx + c 的多项式函数，其中a、b和c是实数，a不等于
0，x是一个未知变量。
二次函数的极大值或极小值可以
通过求解函数的导数来确定，二次函数的极值点可以求出它的最大值和最小值。
其次，我们来介绍不等式。
不等式是指形如 f(x) < g(x) 或
f(x) > g(x) 的一种数学关系，其中 f(x) 和 g(x) 是两个函数，x
是一个未知变量。
不等式可以帮助我们找出符合条件的 x 的取值范围，从而解决实际问题。
最后，我们来看二次函数与不等式在实际应用中的重要性。
二次函数可以用来拟合各种实际问题，如测量数据和社会统计数据等，从而分析实际问题的特征和趋势。
不等式可以用来确定一个变量的取值范围，从而解决实际问题，如求解线性规划问题、控制系统设计等。
综上所述，二次函数与不等式都是高等数学中重要的概念，它们在实际应用中有着重要的作用。
二次函数可以用来拟合实际问题，不等式可以用来解决实际问题。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式 (4)
2023年中考专题训练——二次函数与不等式1．已知抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)． (1)求此抛物线的解析式；(2)当自变量x 满足13x -≤≤时，求函数值y 的取值范围；(3)将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为5，求m 的值． 2．已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3．(1)用配方法将y ＝x 2﹣2x ﹣3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式．并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y 随x 的增大而减小时，求x 的范围．3．如图，直线28y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式228x bx c x ++>-+的解集；(3)若点1(1,)C y ，2(,)D m y 都在抛物线上，当21y y >时，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，C 点的坐标为（1，0），抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)根据图象写出不等式ax 2+（b -1）x +c ＞2的解集；(3)点P 是抛物线上直线AB 上方的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为Q 点．当PQ P 点的坐标．5．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象过（﹣2，0），（4，0）． (1)求二次函数解析式；(2)求当﹣1≤x ≤5时函数值的取值范围；(3)一次函数y ＝（3+m ）x +6+2m 的图象与y ＝x 2+bx +c 的交点的横坐标分别是x 1，x 2，且x 1＜5＜x 2，求m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于A ，()3,0B 两点，与直线AM ：2y kx b=+交于点A 、()4,5M 两点．(1)求抛物线解析式及顶点C 的坐标．(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式22ax x c kx b -+>+的解集．(3)将直线AM向下平移，在平移过程中与抛物线BC部分图象有交点时(包含B，C端点)，请直接写出b的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．8．如图二次函数2y x bx c=-++的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求ADE∆的面积9．如图，已知抛物线y1＝ax2＋c过点（﹣4，5），（1，54），直线y2＝kx＋2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为第一象限抛物线上一个动点，以点P 为圆心，PC 为半径画圆，求证：x 轴是⊙P 的切线； (3)我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较大者为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．①k ＝2时，求使M ＞y 2的x 的取值范围； ②当k ＝﹣1时，求使M ＝5的x 的值．10．已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象在点B 、C 之间的部分（包含点B 、C ）记为图象G ．已知直线l ：y ＝kx ﹣2k +2总位于图象G 的上方，请直接写出k 的取值范围；（3）如果点P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，求x 12﹣ax 2+6a +4的值．11．已知抛物线22234y mx mx m =++-． （1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点()1,M n y 、()22,N y 在该抛物线上，若12y y >，求n 的取值范围．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点A （0，3），与x 轴交于B （-1，0），C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2） 连接AB ,点P 为抛物线上一点，且ABP ∠45=︒，求点P 的坐标； （3）()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，当11122m x m -≤≤+，22x ≥ 时，总有12y y ≥，请直接写出m 的取值范围．13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22y x x c =-+的过程．（1已知函数过点()1,4，则这个函数的解析式为：______．（2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_______（写出一条即可）．（3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式221x x c x -+≥+的解集．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线=3y -有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上． （1）求出直线l 的解析式；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2＋2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值； （3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，求a 的取值范围．16．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表：（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ． （3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集 ．17．已知抛物线243y x x =-+．（1）该抛物线的对称轴是______ ，顶点坐标______ ；（2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）根据图象，直接写出当0y >时，x 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2224y x mx m =-++-与图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）若点B 的坐标为(3,0)， ①求此时二次函数的解析式；②当2x n ≤≤时，函数值y 的取值范围是13n y --≤≤，求n 的值；（2）将该二次函数图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当21x -≤≤-时，这个新函数的函数值y 随x 的增大而增大，结合函数图象，求m 的取值范围．19．已知函数()()2110b y a x a =-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2m385-…（1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 20．已知函数261y x =+，请根据已学知识探究该函数的图像和性质． （1）列表，写出表中a 、b 、c 的值：=a ______，b =______，c =______．x… 3- 2- 1-0 1 2 3 … y…0.6a3b31.2c…（2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质：______． （3）已知函数2y x =+的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式2621x x ≥++的解集：______．参考答案：1．(1)243y x x =-+； (2)18y -≤≤；(3)m 的值为66【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出x =-1及x =3时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- l ，利用二次函数的性质，当2+m >5， 此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2- 1=5，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1,利用二次函数的性质得到2 - m <l ，此时x =1时，y =5，即(1-2-m ) 2- 1=5，然后分别解关于m 的方程即可． (1)解：∵抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)， ∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-=⎧⎨⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+； (2)当x =-1时，y =1+4+3=8， 当x =3时，y =9-12+3=0， ∵()224321y x x x =-+=--， ∴函数图象的顶点坐标为（2，-1），∴当13x -≤≤时， y 的取值范围是18y -≤≤； (3)设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- 1， ∵当自变量x 满足 1≤x ≤5时，y 的最小值为 5， ∴2+m >5，即m >3，此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2-1=5，解得m 16，m 26 (舍去)； 设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1， ∵当自变量x 满足1≤x ≤5时，y 的最小值为5， ∴2-m <1，即m >1，此时x =1时，y =5， 即(1-2-m ) 2-1=5，解得m 16，m 26 (舍去)， 综上所述，m 的值为66．【点评】题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质． 2．(1)2(1)4y x =--，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)见解析； (3)1x <【分析】（1）配方成顶点式可得；（2）先确定抛物线与x 和y 轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到二次函数的图象； （3）利用函数图象可得； (1)223y x x =--()22113x x +=---()214x =--∴对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，2233y x x =-=--，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y ＝0时，2230x x =--，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； 如图所示：(3)由题（2）图象知，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的三种形式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及函数性质是解题的关键．3．(1)268y x x =-+ (2)0x <或>4x(3)1m <或5m >【分析】（1）先通过直线解析式得到A 、B 的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可；（2）根据图象解答即可；（3）先将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得出1y 的值，再解出当13y =时，方程的解，结合图象，求解即可．(1)令0x =，则8y =(0,8)B ∴令0y =，则4x =(4,0)A ∴将A 、B 分别代入2y x bx c =++得80164c b c =⎧⎨=++⎩ 解得 68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为268y x x =-+； (2)直线28y x =-+与抛物线268y x x =-+交于A 、B 两点0x ∴<或>4x 时，228x bx c x ++>-+；(3)将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得 11683y =-+=21y y >23y ∴>将13y =代入抛物线解析式，得 2368x x =-+解得 121,8x x ==根据图象，当21y y >时，1m <或5m >．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．4．(1)y =-x 2-x +2(2)-2＜x ＜0(3)（-1，2）【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；（2）将不等式2(1)2ax b x c +-+>变形为22ax bx c x ++>+,进而得到二次函数图象在一次函数图象上方即可求解；（3）先证明△PDQ 为等腰直角三角形，利用勾股定理进而求出21PDPQ ，表示PD 的长度列方程求解即可．（1）解：当x =0，y =0+2=2，当y =0时，x +2=0，解得x =-2，∴A （-2，0），B （0，2），把A （-2，0），C （1，0），B （0，2）代入抛物线解析式， 得42002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：y =-x 2-x +2；（2）解：由不等式()212ax b x c +-+>，得22ax bx c x ++>+，由图象可知，二次函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得：不等式()212ax b x c +-+>的解集为20x -<<；（3）解：作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，作PQ ⊥AB 于Q ，在Rt △OAB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，∴PQ=DQ 2，∴PD221PQ DQ+，设点P（x，-x2-x+2），则点D（x，x+2），∴PD=-x2-x+2-（x+2）=-x2-2x，即-x2-2x=1，解得x=-1，∴此时P点的坐标为（-1，2），【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图象法解不等式、点坐标表示线段以及等腰直角三角形的性质等，求出解析式是解题的关键．5．(1)y＝x2﹣2x﹣8；(2)﹣9≤y≤7(3)m＞﹣2【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝1，函数有最小值﹣9；当x＝5时函数有最大值7，进而求得当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围；（3）由题意得x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解方程求得x1＝﹣2，x2＝m+7，根据题意得到m+7＞5，解得m＞﹣2．(1)解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）．∴420 1640b cb c-+=⎧⎨++=⎩，解得：28bc=-⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣8；(2)∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线开口向上，当x＝1时，函数有最小值﹣9，把x＝5代入y＝x2﹣2x﹣8得，y＝25﹣10﹣8＝7，∴当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围为﹣9≤y≤7；(3)∵一次函数y＝（3+m）x+6+2m的图象与y＝x2﹣2x﹣8的交点的横坐标分别是x1，x2，∴x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝m +7，∵x 1＜5＜x 2，∴m +7＞5，解得m ＞﹣2，即m 的取值范围是m ＞﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数化为顶点式，根据自变量的取值范围求得函数值的范围，一次函数与二次函数交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 6．(1)2223(1)4y x x x =--=--，C 的坐标为()1,4-；(2)点()1,0A -，1x <-或>4x ； (3)2134b -≤≤-【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（2）利用抛物线的解析式求得A 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）先利用待定系数法求得直线AM 的解析式，即可得到平移后的解析式为y x b =+，分别代入B 、C 点的坐标，求得b 的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的b 的值，结合图象即可求得．（1） 点30B （，）、M （4，5）是抛物线图象上的点，9601685a c a c -+=⎧∴⎨-+=⎩解得13a c =⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为222314y x x x =--=--（），∴抛物线顶点C 的坐标为14-（，）；（2）对于抛物线2=23y x x --，当0y =时，即2230x x --=，解得1213x x =-=，，∴点A （-1，0）观察函数图象可知，不等式22ax x c kx b -+>+的解集为1x <-或>4x ；（3）点A （-1，0）和点M （4，5）在直线AM ：2y kx b =+的图象上，045k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AM 的解析式为21y x =+．当直线AM 向下平移经过点30B （，）时，直线AM 的解析式为'y x b =+，则3十'0b =，解得'3b =-，当直线AM 平移经过点C （1，-4）时，则1''4b +=- 解得''5b =-，当直线AM 平移后与抛物线2=23y x x --有一个交点时，联立223y x b y x x =+⎧⎨=--⎩化简得2330x x b ---=则94(3)0m ∆=---= 解得214b =-， b ∴的取值范围是2134b -≤≤-． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．7．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1(2)①y =0；②x 1＝a ﹣2(3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2b a求解即可； （2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；②若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意．【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a --＝a ﹣1； （2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a＝0；②当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，∴x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0，∴（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0，∵x 1＜x 2，∴x 1＝a ﹣2；（3）解：①当a ≥﹣1时，∵x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，∴x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况．若x 1＜x 2＜a ﹣1，∵x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意；若x 1＜a ﹣1＜x 2，∵a ﹣1≥﹣2，∴2（a ﹣1）≥﹣4，∵x 1+x 2＜﹣4，∴x 1+x 2＜2（a ﹣1）．∴x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．∵x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意．②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．8．(1)223y x x =--+(2)<2x -或1x >(3)4【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A 、B 、C ，即可解答本题；（2）根据题意可以求得点D 的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE 的面积．【解析】（1）∵二次函数 2y x bx c =-++过(1,0)B ，(0,3)C∴103b c c -++=⎧⎨=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩所以解析式为：223y x x =--+（2）223y x x =--+∴该函数的对称轴是直线x =-1，∵点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴点D （-2，3），∴一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜-2或x ＞1（3）连结AE ，设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n +=⎧⎨-+=⎩， 解得：11m n =-⎧⎨=⎩， 故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1把x ＝0代入y ＝−x ＋1得，y =1，所以E （0，1），∴OE ＝1，又∵AB ＝4114341422ADB S ∆=⨯⨯-⨯⨯=∴ 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．9．(1)y 214x =+1 (2)见解析(3)①x ＜4﹣5x ＞4＋5②﹣3或4【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a ，c 的值即可得出结论；（2）过点P 作PE ⊥x 中于点E ，PD ⊥y 轴于点D ，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE =PC即可；设P （t ，14t 2＋1），利用勾股定理求出线段PC 的长即可；（3）①当k =2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M ＞y 2的值即为y 1＞y 2的取值范围；②将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M 与x 的关系式，将M =5代入解析式即可求得结论．(1)解：∵抛物线y 1＝ax 2＋c 过点（﹣4，5），（1，54）， ∴16554a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：y 214x =+1． (2)解：过点P 作PE ⊥x 中于点E ，PD ⊥y 轴于点D ，如图，∵直线y 2＝kx ＋2与y 轴交于C 点，令x ＝0，则y ＝2，∴C （0，2）．∴OC ＝2．∵点P 为第一象限抛物线上一个动点，∴P （t ，14t 2＋1）， ∴PE ＝OD 2114t =+，PD ＝t ， ∴CD ＝OD ﹣OC 2114t =-． ∴PC 214t ==+1． ∴PE ＝PC ．∵PE ⊥x 轴，∴x 轴是⊙P 的切线．(3)解：①当k ＝2时，直线y 2＝2x ＋2．∴222114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩． 解得：11451045x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩22425105x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ∴y 214x =+1与y ＝2x ＋2的交点为（4＋510＋54﹣510﹣5． 由图象可知：当x ＜4﹣5x ＞4＋5y 1＞y 2．∵M ＞y 2，∴y 1＞y 2．∴使M ＞y 2的x 的取值范围为x ＜4﹣5x ＞4＋5②当k ＝﹣1时，y ＝﹣x ＋2．∴21142y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩． 解得：112242x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩2222422x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩结合图象可知：当﹣2＋2x ≤﹣2﹣2M ＝﹣x ＋2；当x ＞﹣2＋2x ＜﹣2﹣2M 2114x =+． ∵M ＝5，∴﹣x ＋2＝5，∴x ＝﹣3．∴21154x +=， ∴x ＝±4（﹣4不合题意，舍去）．综上，使M ＝5的x 的值为﹣3或4．【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质，待定系数法求函数的关系式，二次函数与一次函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法判定函数值的大小，利用交点坐标结合图象判定函数值的大小是解题的关键．10．（1）y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k ＜﹣12；（3）8．【分析】（1）代入点A (1,0)和D (4,3)，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l ；y =kx −2k +2=k （x −2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线l ；y =kx −2k +2总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线x=2，点P (x 1，c)和点Q (x 2，c)在函数2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【解析】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得43m n =-⎧⎨=⎩． 故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），∵y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）∵P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上，∴PQ //x 轴，∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又∵x 1＜x 2，PQ ＝2a ，∴x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，∴x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 11．（1）直线=1x -；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当0a >时，4n <-或2n >；当a<0时，42n -<<．【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式． （3）分类讨论当m ＞0时和m ＜0时二次函数的性质，即可求出n 的取值范围． 【解析】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴212mx m=-=-． 故答案为：=1x -．（2）∵抛物线顶点在x 轴上，对称轴为=1x -， ∴顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：()()22012134m m m =-+⨯-+-， 整理得：(1)(34)0m m +-=， 解得：1m =-或43m =．∴抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++； （3）∵对称轴为直线=1x -，∴点()22,N y 关于直线=1x -的对称点为()24,N y '-， 根据二次函数的性质分类讨论．（ⅰ）当m ＞0时，抛物线开口向上，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点NN′外侧，则4n <-或2n >； （ⅱ）当m ＜0时，抛物线开口向下，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点内部，则42n -<<． 【点评】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．12．（1）y =-x 2+2x +3；（2）点P 坐标为（52，74）；（3）m 的取值范围为1322m ≤≤．【分析】（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中即可求得b 、c 的值，进而得到解析式； （2）过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO ≌△MAN ．继而得到点M 坐标，求出直线BM 解析式，联立BM 解析式与抛物线解析式即可得交点P 的坐标；（3）结合抛物线图象，可直观看到当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，得0≤x 1≤2，从而0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式组即可．【解析】解：（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中，得：310c b c =⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴该抛物线解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）过点A 作AM ⊥AB 交BP 于点M ，过点M 作MN ⊥y 轴于点N ．又∠ABP =45°，则△ABM 为等腰直角三角形，AM =AB ，∵∠BAO +∠P AO =∠BAM =90°，∠MAO +∠AMN =90°， ∴∠BAO =∠AMN ， 在△ABO 和△MAN 中，90BAO AMN AOB MNA AB AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△MAN （AAS ），∴AN =BO =1，ON =OA -AN =3-1=2，MN =AO =3， ∴点M 坐标为（3，2）． 设直线BM 解析式为y =kx +n ， 代入点B （-1，0）、M （3，2）得： 032k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1212k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故直线BM 解析式为y =12x +12．解方程12x +12=-x 2+2x +3得：12512x x =-=，，当52x =时，y =1522⨯+12=74， 故点P 坐标为（52，74）；（3）由图可知，当x =2时，y =-x 2+2x +3=-4+4+3=3，当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，即-x 2+2x +3≥3， 解得：0≤x ≤2，即0≤x 1≤2， ∴0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式0≤m −12得：12m ≥，解不等式m +12≤2得：32m ≤，∴m 的取值范围为1322m ≤≤． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键．13．（1）225y x x =-+或223y x x =--；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大；（3）4x ≥或2x ≤【分析】（1）由函数过点()1,4，代入124c -+=，求出5c =或3c =-，可得函数；（2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，（3）利用图像解法不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案 【解析】解：（1）∵函数过点()1,4，124c -+= ∴14c -=， ∴14c -=±， ∴5c =或3c =-，∴225y x x =-+或223y x x =--； 故答案为：225y x x =-+或223y x x =--；（2）列表 x -2 -1 0 1 2 3 4 y=|x+1| 1 0 1 2 3 4 5 y=223x x --53435描点连线性质：（写出一条即可） ①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，故答案为①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大;（3）2251x x x -+=+，()2251x x x -+=±+，22340,60x x x x -+=-+=，都无解，或2231x x x --=+，()2231x x x --=±+，2340x x --=或220x x --=， 解得x=-1，x=2，x=4，不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧，即不等式2251x x x -+≥+或2251x x x -+≥+的解集为4x ≥或2x ≤．．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 14．（1）()1,3-，3c a =-；（2）12t ≥；（3）15a ≤-或15a ≥ 【分析】（1）由题意可得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴上，由此可以得到D 点坐标并求出c 与a 的关系式；（2）分a >0与a <0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解；（3）把MN 用a 表示出来可以得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【解析】解：（1）由题意得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴x 222b aa a-=-=-=1上， ∴D (1-3)，将其代入22y ax ax c =-+得-3=a -2a +c ，化简得c =a -3； （2）当a >0时，二次函数图象开口向上， 如图，抛物线的开口向上，当11t +≤，即0t ≤，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去当0＜t ＜12时，则1＜1t +＜32，如图，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去 当12t ≥时，则321t ≤+，如图，此时：当x t =时，满足3y -≤， 当+1x t =时，函数值最大，则()()22112133t y a t a t a at +=+-++-=- ∴()()2212133a t a t a at +-++-≤-恒成立， 1.2t ∴≥当a <0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值3-，不满足233y at -≤≤-，此情况不存在； 综上12t ≥； （3）|MN |≥1即()223231ax ax a ax a -+---+-≥，即21ax ax a --≥①21ax ax a --≥(x ≥3恒成立要求a ＞0，其对称轴为x 1222b a a a -=-=-=，只需要求x =3时21ax ax a --≥即9a -3a -a ≥1，解得15a ≥；②21ax ax a --≤-(x ≥3恒成立要求a ﹤0)， 只需要求x =3时21ax ax a --≤-即9a -3a -a ≤-1， 解得15a ≤-．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键． 15．（1）1322y x =-；（2）m =-3或m =3；（3）49≤a ＜98或a ≤-2； 【分析】（1）用待定系数法直接将点A 和B 代入直线l 中然后得到关于k 和b 的二元一次方程没然后解方程即可得到k 和b 的值，然后得到l 的解析式；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1，当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4，x =-1或x =3； ①在x =1左侧，y 随x 的增大而增大，x =m +2=-1时，y 有最大值-4，m =-3； ②在对称轴x =1右侧，y 随x 增大而减小，x =m =3时，y 有最大值-4； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y =12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=x -32，△=94-2a ＞0，则a ＜98，即可求a 的范围；【解析】解：（1）点A （-3，-3），B （1，-1）代入y =kx +b 可得： 3=31k b k b --+⎧⎨-=+⎩解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴l 的解析式为：1322y x =-； （2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =1， ∵m ≤x ≤m +2时，y 有最大值-4， ∴当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4， ∴x =-1或x =3，①在对称轴直线x =1左侧，y 随x 的增大而增大， ∴x =m +2=-1时，y 有最大值-4， ∴m =-3；②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小，∴x=m=3时，y有最大值-4；综上所述：m=-3或m=3；（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2；②a＞0时，x=-3时，y≥-3，即a≥49，直线AB的解析式为y=12x-32，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=12x-32，∴ax2+32x+12=0，△=94-2a＞0，∴a＜98，∴a的取值范围为49≤a＜98或a≤-2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．16．(1) y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2)函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；x x【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴1222 4221b cb c-+-=-⎧⎨++-=⎩，∴13bc=-⎧⎨=⎩，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；补全表格如图，x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 7 2﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2； （3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ， 解得，155x +=255x -55-x 55+ 当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ， 解得，315x -+，415x --=15--x 15-+ ∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 55-x 55+15--≤x 15-+【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．17．（1）x =2，(2,-1)；（2）答案见解析；（3）x <1或x >3【分析】（1）根据对称轴是2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得答案；（2）根据对称轴，可在对称轴的左边选两个，右边选两个，它们要关于对称轴对称，可填上表格，根据描点法，可得函数图象；（3）根据函数与不等式的关系，可得答案． 【解析】解：（1）抛物线243y xx =-+的对称轴是4222b x a -=-=-=， 4222b x a -=-=-=，()224344144ac b y a ⨯---===-∴顶点坐标是(2,-1)， 故答案为x =2，(2,-1)；（2）列表：连线：（3）观察图象，函数图象在x 轴上方的部分的相应的自变量的取值范围为x <1或x >3， 即当x <1或x >3时，0y >．【点评】本题考查了二次函数图象与性质，函数与不等式的关系．熟悉掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是解（1）题的关键，会用描点法画函数图象是解（2）题的关键；了解函数与不等式的关系是解（3）题的关键． 18．（1）①223y x x =-++，②4n =；（2）32m -≤≤-或m 1≥【分析】（1）①令x =3，则y=−x 2+2mx+4−m 2=0，解方程即可得到m 的值，从而得到二次函数的解析式；②由①可得二次函数的对称轴为x=1，然后根据二次函数的增减性可以得解；（2）令y =0，可以得到二次函数图象与x 轴交点，然后根据二次函数的增减性可以得解． 【解析】（1）①二次函数为2()4y x m =--+，对称轴为x m =． 令3x =有：2(3)40m --+=，解得：1m =或5m =． ∵(3,0)B 为该二次函数图象与x 轴靠右侧的交点， ∴点B 在对称轴右侧， ∴3m <，故1m =．∴二次函数解析式为223y x x =-++． ②由于二次函数开口向下，且对称轴为1x =． ∴2x n ≤≤时，函数值y 随x 的增大而减小； ∴当2x =时，函数取得最大值3；当x n =时，函数取得最小值2231n n n -++=--，∴在2n >范围内解得4n =．（2）令0y =，得2()40x m --+=，解得12x m =-，2x m 2=+，将函数图象在x 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：当2x m ≤-时，y 随x 的增大而增大，当2m x m -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2m x m ≤≤+时，y 随ⅹ的增大而增大，当2x m ≥+时，y 随x 的增大而减小．因此，若当21x -≤≤-时，y 随x 的增大而增大，结合图象有：①12m -≤-，即m 1≥时符合题意；②2m ≤-且12m -≤+，即32m -≤≤-时符合题意．综上，m 的取值范围是32m -≤≤-或m 1≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数的对称轴与增减性是解题关键 ．19．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见解析；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2． 【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【解析】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x---+（a≠0）， 当x=4时，m=131791244-⨯-+=-； （2）如图所示，。
初中数学知识点二次函数的方程与不等式
初中数学知识点二次函数的方程与不等式初中数学知识点：二次函数的方程与不等式二次函数在初中数学中是一个重要的知识点，它在数学中的应用非常广泛。
本文将介绍二次函数的方程与不等式，让我们一起来深入了解这个知识点。
一、二次函数的方程二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
为了求解二次函数的方程，我们需要先将其转化为标准形式。
标准形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
求解二次函数的方程的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，解出方程的根；4. 根据所求得的根，画出函数的图像。
举个例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们按照上述步骤来求解方程：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，方程的根为x = -1；4. 根据所求得的根，我们可以在坐标系中以(-1, 0)为顶点画出函数的图像。
二、二次函数的不等式求解二次函数的不等式时，我们需要先将其转化为标准形式，然后利用图像的特征来解决问题。
解决二次函数的不等式的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，确定函数的凹凸性；4. 根据图像的凹凸性和所给条件，判断不等式的解集。
继续上面的例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，并求解不等式f(x) > 0：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，函数是开口向上的，也就是凹函数；4. 根据图像的凹性和不等式f(x) > 0，我们可以判断当x < -1或x > -1时，不等式成立。
2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式(含解析)
2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式1．已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值．（2）如图，一次函数y2=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．2．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2−3(a≠0)的图象相交于点P(3,k)，Q两点.（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x>ax2−3；（3）解关于x的不等式：|ax2−3|>1.3．定义：对于给定函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y={ax2+bx+c,(x≥0)ax2−bx−c,(x<0)为函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G.（1）已知函数y=−x2+2x−1.①写出这个函数的“相依函数”；②当−1≤x≤1时，此相依函数的最大值为；（2）若直线y=m与函数y=−x2+2x−1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设函数y=−12x2+nx+1(n>0)的相依函数的图象G在−4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y≤9时，求出n的取值范围.4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是−1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y=−x+3与抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为点P(x1,y1)，当−2≤x1<−1时，求a的取值范围．5．如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围.6．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．7．某商场出售一款速干毛巾，其成本为20元/条，销售中发现，该商品每天的销售量y（条）与销售单价x（元/条）之间存在如图所示的关系。
二次函数与不等式知识点总结
二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数与不等式是非常重要的知识点，它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也常常能帮助我们解决各种问题。
下面就来对二次函数与不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的基本概念二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
＄｜a|＄越大，开口越小。
＄b$和$a$一起决定了对称轴的位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
＄c$是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝ c$。
二、二次函数的图象和性质1、图象二次函数的图象是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，有最高点。
2、顶点坐标顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄，其中$x_1$和$x_2$是二次函数与$x$轴交点的横坐标四、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）表示两个数或表达式之间关系的式子。
五、一元二次不等式形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$（或< 0、≥ 0、≤ 0）（＄a ＼neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。
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二次函数与不等式
班级____________ 姓名___________________
1、二次函数的图象如图，则不 式<0的解
22--=x x y 22--x x 集x 的范围是______________;
2、函数的图象如图，那么：c bx x a y ++=2（1）方程=2的根是________________;c bx x a ++2（2）不等式>2的解集是______________;c bx x a ++2（3）不等式<2的解集是_____________;c bx x a ++2
3、已知关于x 的一元二次方程的两根分
02=++n mx x 别为x 1=a,x 2=b （a<b),则二次函数中，当y<0时，x 的取值范围是（
n mx x y ++=2）
A.x<a
B.x>b
C.a<x<b
D.x<a 或x>b
4、若二次函数f
kx y c bx x a y +=++=221与一次函数的图象如图，当y 1 <y 2 时，关于x 的取值范围可能是下列（ ）
⎩⎨⎧〉-〈⎩⎨⎧〉-〉⎩⎨
⎧〈-〉⎩⎨
⎧〈-〈11.11.1
1.11
.x x D x x C x x B x x A 5、已知关于x 的不等式组无解，则二次函数
⎩
⎨⎧-≤-≥a x a x 5153
的图象与x 轴（ ）
()4
1
22+
--=x x a y A.没有交点 B.相交两点
C.相交一点
D.相交一点或没有交点
6、如图一次函数的
c bx x a y n kx y ++=+=221与二次函数图象相交于A （-1，5），B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥的解集是（
）
a c bx x ++2A.-1≤x≤9 B.-1≤x <9
B.-1<x≤9 D.x≤-1或x≥9
7、若一元二次方程无实数根,则二次函数的图象最低022=--k x x k k x y +++=)1(2点在第____________象限
.
8、如图二次函数的图象,则使y≤1422++-=x x y 成立的x 的取值范围是___________;9、如图是二次函数的部分图象，c bx x a y ++=2由图象可知不等式<0的解集是______c bx x a ++210、如图，抛物线与坐标轴分别322--=x x y 交于A 、B 、C ，一次函数的图象与二次函数的图象交于B 、C 两点，求：（1）一次函数的解析式；
（2）当自变时为何值时，两个函数值都随x 的增大而增大？
（3）当自变量X 为何值时，一次函数值大于二次函数值；
（4）当自变量x 为何值时，两个函数值的积小于0
？。