小量近似方法应用两则
高中物理解题技巧之14.近似法
十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r r a ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度=a R 22υ 其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L 例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有L ∆=θcos x ∆两边同除以t ∆得：θcos tx t L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船= 因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆； 因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆ 将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为πω22R m T = 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ，光滑小球从顶点A 处沿图14—2 图14—2—甲图14—3 图—14—3—甲斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间记为1T ，再从B到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C 所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5，由此能得1T 与2T 的关系. 因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.max t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+ 2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t 于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α 这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得lx =θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kx x l x k x x l l k F x -=---=+--== 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用，设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2 其中L mk 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L k m T ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m.由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动.例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值.解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+ 而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+= ① 按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V S p p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-= 其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T TV V pS V m V V V S p V m V '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT '='ττ，将数值代入得95.0:='ττ 例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQqF 因为a OC OB OA r 33====++=--r xr x21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321a x a Qqk F +-=232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h a x h kQq x h a xh x h a kQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq -+=)233(363x hx a h a Qqk +-= （略去2x 项）)2331(363h xx a h a Qqk +-=)231(33x a aQq k += 因此带电质点所受合力为qx a Q k x aa x q a Q k F F F x 3221239)2336(3-=--=+= 由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反. 即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqam a k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω，同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解. 设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R Eg g g gg=⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R E g g g gg=⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R r R R E gg g g g=⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R相比，电图14—9流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅① 02.5100100I R R E g=+⋅② 08.7101020000I R E g=+⋅ ③ 待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原点都等于r .若在原点O放另一正点电荷P ，其带电量为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ① 根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQ F A ++= ② θcos 222rs s r kqQ F B +-= ③ θθαcos 2cos cos 22rs s r sr +++= ④ θθβcos 2cos cos 22rs s r sr ++-= ⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=图14—10因为s 很小，忽略2s 得： ])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθr s s r rs sr r kqQ F y ---++= 又因为1cos 2,<≤θr s r s 所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得 )]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr s s r r s s r rkqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y 当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的.例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看，水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ）解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源，在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线，由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深. 由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因i r n sin sin =所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中，近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定图14—13图14—14的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看到鸟距离自己又是多远？参考答案1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
2023届高考物理小角度近似专题复习
习中对这一知识作了充分复习准备，
在考场中就不会迷惑失措。
解：离子进入磁场后做圆周运动半径
mv
L
r
sin
qB
r
经过磁场后，离子在y方向偏转距离 y1 r (1 cos )
其中运动半径与磁分析器中相同
r
1 2
2
1
1 L
(sin ) 2 ( ) 2
1.（2020全国高考）
图中 A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆 D 的一端与 M 固连且与镜面垂直，另
一端与弹簧下端相连，PQ 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ 的圆心位于 M
的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水
cos
tan
0.01754
0.99985
0.01745
0.03490
0.99939
0.03492
0.05234
0.99863
0.05241
0.06976
0.99756
0.06993
0.08716
0.99619
0.08749
0.10452
0.99452
0.10510
0.12187
0.99255
2
2
三、教材中出现（或隐含的）实例复习回顾
1.单摆的振动是简谐运动及周期公式的推导
s in tan
3.
2.近轴光入射，观察水中的鱼的视深
小角度近
似处理
3.火车转弯时刚好对内外轨不发生挤压的内外轨高度差
物理竞赛——小量近似方法应用两则
④
由②④两式得
当小球运动方向水平向右时速度最大，此时两分运动速度方向相同
小球距边界AC的距离最大
讨论 那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢？
从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-—无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点的运动轨迹情况，下面来分析这个问题：
如图2，建立平面直角坐标系xoy
设M为车轮圆心，R为半径，车轮以速度v匀速直线行驶。考虑车轮边缘上的某一点P，其初始位置在坐标原点，θ为运动过程中转过的角度，设t时刻位置坐标为（x,y）。
⑵对于m ⑥
对于M ⑦
联立④⑤⑥⑦得
例2长分别为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的m1和m2，如图5所示，原先它们处于静止状态。突然，连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击，短时间内获得水平向右的初速度v0，求这一瞬间连接m2的绳的拉力为多少？
分析与解小球m1受到冲击获得初速度v0，由于受到上端固定在O点的绳L1的牵制，而绕O点做圆周运动，此刻的加速度竖直向上，大小为 。下面的小球m2此刻相对于地面的速度为零，但以m1为参照，m2的速度为v0，方向向左，且绕m1做圆周运动，这时m2受到三个力的作用：竖直向下的重力mg，绳子的拉力T2，惯性力 ，方向竖直向下，如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得
即
故
通过这样两道例题我们可以发现，引入惯性力以后，可以使一些动力学问题的求解变得简单，从而给解题带来很大的方便，因此在学习过程中，我们应该很好地掌握这种方法。
练习如图7所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω转动，细杆与竖直轴夹角θ保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑，求小球滑到细杆下端时的速度。（参考答案： ）
一、欧拉公式
十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底）， 代表绳和桩子之间的摩擦系数， 代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
“小量近似”在高考和竞赛中的应用
“小量近似”在高考和竞赛中的应用作者：余建刚来源：《理科考试研究·高中》2019年第10期摘;要：本文由一道2019年全国高考理科数学题引出“小量近似”在高考和竞赛中的应用，简要地阐述了小量近似的定义及数学来源、小量近似的近似程度及典例说明.关键词：小量近似;物理竞赛;高考2019年全国高考理科数学Ⅱ卷第4题，题目如下：2019年1月3日嫦娥四號探测器成功实现人类历史上首次月球软着陆，我们航空事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为了解决这个问题，发射了嫦娥四号中继卫星“鹊桥”.鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿定律和万有引力定律，r满足方程M1（R+r）2+M2r2=（R+r）M1R3.设α=rR，由于α的值很小，因此近似计算中3α3+3α4+α5（1+α）2≈3α3，则r的近似值为（;）A.M2M1R;B.M22M1R;C.33M2M1R;D.3M23M1R无独有偶，第32届全国中学生物理预赛题也曾有类似的数学处理方法，题目如下：2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后，首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点，在该点，“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.已知太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为，由此解得x≈.（已知当λl时，（1+λ）n≈1+nλ）此二题在计算过程均涉及到小量近似的处理方法，其实小量近似在中学物理竞赛中，是比较普遍的数学处理方法，屡见不鲜.但对普通的高考生而言或许有点陌生.故笔者撰写本文简述“小量近似”在高考和竞赛中的应用，以期达到抛砖引玉之效.1;小量近似的定义及数学来源在数学中，我们把以零为极限（即无限趋近于零但又不为零）的变量，称为无穷小量，即小量.小量近似，就是指在运算中为了简化运算结果，但又不影响结果正确性的前提下，将一些相对较小的项忽略不计的运算方法.数学上，有一个有名的公式称泰勒Taylor展开公式（或称泰勒公式），将任意一个函数写成多项式的形式，各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量…….公式如下：f（x0+Δx）=f（x0）+f ′（x0）Δx+f″（x0）2！Δx2+……+f（n）（x0）n！Δxn+o（Δxn）（注：公式最后一项o（Δxn）表示剩下所有的项，相对于Δxn都是小量.）常见函数在x0=0处的泰勒展开：sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+（-1）kx2k+1（2k+1）！+o（x2k+1）cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+（-1）k（2k）！x2k+o（x2k）.（1+x）μ=1+μx+μ（μ-1）2！x2+…+μ（μ-1）…（μ-n+1）n！xn+o（xn）.11+x=1-x+x2-x3+…+（-1）nxn+o（xn）.ex=1+x+x22！+…+xnn！+o（xn）.ln（1+x）=x-x22+x33-x44+…+（-1）n-1xnn+o（xn）.注：不是所有的函数在所有的位置都可以进行泰勒展开.只有当高阶项越来越小且趋近于0时才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值.高中阶段能够见到的小量近似公式全部可以用泰勒公式展开得到.用泰勒公式展开，忽略高阶小量，只取一阶近似，可得到物理竞赛中常见的如下近似公式：sinx=x;cosx=0;ex=1+x;ln（1+x）=x（1±x）n=1±nx（以上公式中的x均为小量）2;小量近似的方法（1）对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即θ≈sinθ≈tanθ.小角量θ所对应的弧长与弦长也相等.（2）在研究一个普通量时，可以将小量忽略不计.如计算常量A与小量Δ β之和，可以忽略后面小量，结果直接为A.（3）在研究小量时，可以忽略比它阶数高的小量.比如Δβ是小量，Δβ2、Δβ3、Δβ4等都是比Δβ更高阶的小量，我们就可以将其忽略不计.3;小量近似的近似程度在物理竞赛中应用小量近似，应近似到什么程度？物理竞赛中的小量近似，既要体现出小量对函数的影响，又要达到简化运算的目的，所以绝大多数情况，泰勒公式展开后，取一阶近似即可，二阶和更高阶的小量可忽略.但有两种情况例外：（1）若函数本身为小量，为了体现更高阶小量对函数的影响，则可保留更高一阶的小量.（2）若取一阶近似无法体现出小量对函数的影响，则可取更高一阶的近似.比如单由度保守力场中，在平衡位置附近对势能函数的展开，设势能函数为U（x），平衡位置为x0，在平衡位置x0附近展开势能函数则有U（x）=U（x0）+U（1）（x-x0）+12U（2）（x-x0）2+O （x-x0）n由于势能函数的导数值在平衡位置取零，即U（1）（x-x0）=0 ，所以势能函数一阶小量为零，若只取一阶近似，则无法体现出小量对势能函数的影响，于是二阶小量12U（2）（x-x0）2也应保留.4;小量近似的应用典例（1）小角度近似对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即当θ→0时，θ≈sinθ≈tanθ. 譬如，证明小角度近似下单摆可以近似为一个简谐运动.证明如下：证明：如图1，在很小角度下物体受回复力：F回=-mgsinθ≈-mgθ=-mgxL=-kx，具有简谐运动回复力的特征，k=mgL，周期为：T=2πmk=2πLg.又如光学中近轴光学入射，观察水中的鱼或玻璃中物体的视深公式.证明：如图2，由光的折射定律：1×sini=n×sinr根据小角度近似，有sini≈tani=OAh′，sinr≈tanr=OAh整理，得1×OAh′=n×OAh ，因此，像的位置h′=hn（2）一阶小量近似物理过程运算关系式常以多项式形式出现，这时可以运用以下的近似处理（1±x）n=1±nxx1.其依据就是当要求精度不高的时候，应当略去 x 的高阶小量，而保留 x 的一阶量，泰勒公式展开，略去高阶小量，只保留一阶小量.譬如，本文开篇所提到的32届预赛题，已知拉格朗日点处“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.求该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为和位置x .我们不妨用小量近似求解一下.解：根据万有引力定律和牛顿第二定律，有Gmsm（R+x）2+GmEmx2=mω2（x+R）GmsmER2=mEω2（x+R）联立，得 GmsmR（1+xR）2+GmEmx2=GmsR2（1+xR）由于xR，则（1+xR）-2=1-2xR即mE x2≈ms R2·3xR，解得x = （mE 3ms ）13R（3）二阶小量近似在小量近似处理中，当取一阶近似时，无法体现出小量对所求函数造成的影响，因而要继续去二阶小量近似.譬如下题：一块厚度为 h 的匀质长方形物块，静止地放在半径为 R 的半圆柱顶面上，如图 3（a）所示.设摩擦系数足够大，长方形物块与柱面不发生滑动.求此静止位置为稳定平衡的条件.物体平衡位置为稳定平衡位置的条件是：当此物体稍微偏离平衡位置时，将受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物体回到平衡位置.从势能的角度看，如果物体向两侧移动一个微小的距离，物体的重心提高了，即重力势能增加了，则物体将在重力的作用下回复到平衡位置，为稳定平衡;若重力势能减小则不是稳定平衡.由此依据可得.解：设长方形物体稍微离开平衡位置转过微小角度θ，如图 3（b）.则此时物块重心位置为：y=（R+h2）cosθ+Rθsinθ≈（R+h2）（1-θ22）+Rθ2=（R+h2）+θ22（R-h2）稳定平衡的条件是y>R+h，得θ22（R-h2）>0因此，穩定平衡的条件为R>h2.从上面的解题过程中，当小角度近似时，sinθ≈θ 采用一阶小量近似，而cosθ则采用二阶小量，其原因是cosθ若取一阶小量近似时cosθ≈1，无法体现出小量对所求函数造成影响，因而要继续取二阶小量近似，即cosθ≈1-θ22.。
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则作者：王化银来源：《中学物理·高中》2013年第05期小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的.这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有sinθ=θ，cosθ=1；在研究一个普通量时，可以忽略小量.1欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：F2=F1eμθ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比.若取μ=0.2，θ=12π，则F2F1=1881≈2000.所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物.下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧Δl为研究对象，受力分析如图1所示，F和F+ΔF 为小弧两端所受张力，FN为柱体对绳的压力，f为静摩擦力.根据平衡方程，得故F2=F1eμθ，即两张力之比按包角呈指数变化.儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面.不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟.最后，缆索断了.可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去.理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力.2重力场中光子频率变化已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能.若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为ν′，则差ν′-ν=，已知地球表面附近的重力加速度为g.（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）。
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似方法是一种解决连续性的数值计算问题的有效方法，其原理是将数值问题中的小量忽略不计，从而简化计算。
本文将通过两个实例来阐述小量近似方法的具体应用及其在实际问题中的运用。
实例一：热容计算中的小量近似方法在物理学和化学中，热容是一个重要的物理量，表示物体在吸收或释放热量时对温度的响应能力。
在一些情况下，我们需要计算在某一特定温度下的物质的热容，但是具体的计算公式十分复杂。
在这种情况下，小量近似方法便可发挥其作用，将问题简化。
在化学中，我们通常采用所谓的“高温近似”，即在高温下，热容通常与温度无关，因此热容的计算公式可简化为：C(T) = (3/2)R其中，T表示温度，R表示气体常数。
这种近似方法的一个重要特征是只考虑了高温区间的数据，因此，这种近似一般只适用于高温下的情况，而不能适用于低温下的情况。
实例二：光电效应中的小量近似方法光电效应是一种描述光子与物质相互作用的物理现象，是当前量子力学的重要研究领域。
在光电效应中，光子的能量会转化成电子的能量，这种转换过程可以使用小量近似方法进行简化。
在光子的能量较小的情况下，我们可以使用所谓的“伏特近似”。
即光子的能量E如果比逸出功函数φ小得多，那么出射的光电子的动能K可以近似为：K = E –φ这个近似公式的优点是简单，并且可以延伸至较复杂情况的处理。
而在光子能量足够大的情况下，即E≥φ时，需要采用更精确的计算方法。
结论小量近似方法是一种常用的数值计算方法，其优势在于其优越的计算简便性和可用性。
即使对于复杂的问题，只要涉及到小量，我们也可以使用小量近似方法来简化计算，降低计算难度。
但是需要特别注意的是，我们必须了解其适用范围和局限性，避免出现计算错误和偏差。
因此，在实际使用中，我们需要结合具体需求，谨慎并准确地应用小量近似方法。
物理学小量近似计算公式
物理学小量近似计算公式在物理学中，我们经常需要进行近似计算来简化复杂的问题。
小量近似是一种常见的方法，它可以帮助我们快速而准确地得到问题的解答。
在本文中，我们将介绍一些常见的物理学小量近似计算公式，并讨论它们的应用。
1. 正弦函数的小角近似。
当角度很小时，可以用正弦函数的小角近似公式来计算正弦值：sin(x) ≈ x。
这个公式在很多物理问题中都非常有用，比如在小角度摆动的情况下，可以用这个公式来计算摆动的周期和频率。
2. 余弦函数的小角近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小角度时也可以用近似公式来计算：cos(x) ≈ 1 x^2/2。
这个公式在弹簧振子和简谐振动等问题中经常被使用。
3. 指数函数的小量近似。
当指数的指数项很小时，可以用指数函数的小量近似公式来计算指数值：e^x ≈ 1 + x。
这个公式在电路分析和热传导等问题中经常被使用。
4. 对数函数的小量近似。
当参数接近1时，可以用对数函数的小量近似公式来计算对数值：ln(1+x) ≈ x。
这个公式在化学反应速率和生物学增长模型等问题中经常被使用。
5. 正弦函数的小量级相加近似。
当正弦函数的参数很小时，可以用正弦函数的小量级相加近似公式来计算：sin(x+y) ≈ sin(x) + ycos(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中经常被使用。
6. 余弦函数的小量级相加近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小量级相加时也可以用近似公式来计算：cos(x+y) ≈ cos(x) ysin(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中也经常被使用。
以上是一些常见的物理学小量近似计算公式，它们在物理学的各个领域都有着重要的应用。
通过这些近似计算公式，我们可以快速而准确地得到问题的解答，为复杂的物理问题提供了简化的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和参数选择合适的近似计算公式，从而提高计算的效率和准确性。
除了上述提到的公式外，物理学中还有许多其他的小量近似计算公式，它们都是为了简化复杂问题而产生的重要工具。
小角度近似在高中物理中的应用
1 小角度近似在高中物理中的应用“微元法解题思想”是历年高考考查的重点和热点之一，也是《考纲》中应用数学知识处理物理问题能力要求的一个重要方面，中学物理中渗透“微元”思想有两个方面内容：一是变化率；二是无限小变化量.现就第二种情况中的“小角度近似”进行说明，当θ角很小时，有sin tan θθθ≈≈，这个关系在高中物理中有以下应用：1、 单摆问题【例1】试证明：在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.【证明】如图1所示，在一根质量不计、不能伸长的细线下端系一小球（看作质点），把它拉离平衡位置O 让它开始振动.设小球运动到任一点P 时，摆线与竖直方向的夹角为α，受力情况如图1所示.把重力G 分解为沿摆线方向的分力F ’和沿圆弧切线方向的分力F. F ’跟拉力T 的合力，沿着摆线指向圆心（悬挂点），是小球运动时的向心力，它只改变小球运动的方向，不改变运动的快慢.因此，在研究小球振动过程中位置变 图1化时，不需要考虑向心力，而只考虑重力沿圆弧切线方向的分力F ，这个分力F 就是小球振动时的回复力.由于重力G=mg 沿圆弧切线的分力F=mgsin α.当α很小时（50以下），圆弧可以近似的看成直线，分力F 可以近似地看作沿这条直线作用，OP 就是小球偏离平衡位置的位移x.设摆长为l ，因为sin α≈x l ，所以F= -mg x l .由于m 、g 、l 都有一定的数值，mg l 可以用一个常数k 来代替，所以上式可以写成F=-Kx. 负号表示力F 跟位移x 的方向相反.可见，在摆角很小的情况下，单摆振动时的回复力跟位移成正比而方向相反，它的振动是简谐振动.2、视深问题【例2】某水池实际深度为h,垂直于水面往下看，视深度是多少（设水的折射率为n ）?【解析】.设水池底部有一点光源S ，它到水面的距离为h ，从s 发出的光线中选取两条入射光线SO 和SA ，其中SO 垂直于水面MN ，由O 点射出；SA 与SO 成极小角度，由A 点折射到空气中.因入射角极小，故折射角也极小，那么进入人眼中的两条折射光线的反向延长线将交于S ’点，该点即为我们看到的水池底部点光源S 的虚像点.设S ’点到水面的距离（视深度）为h ’. 如图2所示可以看出视深度小于实际深度.由图2知tan 1θ=AO h ,tan 2θ='AO h , ① 因为1θ、2θ很小，所以tan 1θ≈sin 1θ ；tan 2θ≈sin 2θ.② 图2 由①②知12sin sin θθ≈12tan 'tan h hθθ=.③ 又因折射率n=21sin sin θθ.④ 由③④知h ’=1h n .即视深度为实际深度的1n.。
物理竞赛——小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。
这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。
一、欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
若取2.0=μ，πθ12=，则2000188112≈=F F 。
所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。
下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧l ∆为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ∆+为小弧两端所受张力，N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。
根据平衡方程，得：()2sin2sinθθ∆∆++∆=F F F F N （1） ()f F F F +∆=∆∆+2cos 2cos θθ （2）临界情况N F f μ= （3）θ∆很小，有22sin θθ∆=∆，12cos =∆θ所以 θ∆=F F Nf F =∆即 θμ∆=∆F F 或θμ∆=∆FF两边求和θμ∆∑=∆∑FFθμ∑∆=∑∆F lnμθ=-12ln ln F F或 μθ=12lnF F 故 μθeF F 12=即两张力之比按包角呈指数变化。
儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。
不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。
他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。
高考物理热点：近似法
2021年高考物理【热点·重点·难点】专练(新高考专用)热点06 近似法【热点解读】在物理实验中，影响物理量的因素往往较多，为了分析认识所研究问题的本质属性，需要突出实际问题的主要因素，而忽略某些次要因素，进行近似处理的方法叫做近似法。
近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，在中学物理实验中具有广泛的应用。
在运用近似法设计的实验中，为了提高实验的精度，减小误差，应将实验条件控制在一定要求中，如用“伏安法”测电阻时，应根据待测电阻、电流表和伏特表内阻的大小关系，合理选择连接方式。
用“半值法”测电流表内阻时，应保证滑动变阻器电阻远大于电阻箱电阻。
在验证牛顿第二定律的实验中，应保证小车和砝码的总质量远大于砂桶的质量。
在用油膜法估测分子大小的实验中，采取大于半格的算一格，小于半格的舍弃等。
【限时检测】(建议用时：20分钟)1．在“测量某未知材料的电阻率”的实验中，需要用伏安法测定这段材料两端的电压和通过其的电流，以及这段金属材料的长度和直径。
(1)如下图所示：甲图中用20分度的游标卡尺测量金属材料的长度为______cm；乙图中用螺旋测微器测量金属材料的直径为______mm；(2)实验中，先将电压表接a点，读得两表示数分别为U1=3.0V，I1=3.0mA，然后将电压表改接在b 点，读得两表示数分别为U2=2.4V，I2=3.2mA，则下列说法正确的有(________)A．电压表接到b点误差较小B．待测电阻的准确值是750ΩC．待测电阻的准确值大于1000ΩD．待测电阻的阻值介于750Ω到1000Ω之间2．在“测定金属丝的电阻率”的实验中，某同学进行了如下测量：(1)用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属丝的有效长度。
测量3次，求出其平均值L。
其中一次测量结果如图甲所示，金属丝的另一端与刻度尺的零刻线对齐，图中读数为___________cm。
用螺旋测微器测量金属丝的直径，选不同的位置测量3次，求出其平均值d。
例谈小量近似法在解决高中物理问题
近似思想在解决物理问题中最普遍的应用就是小量的近似计算，主要体现在物理量趋向于无穷小、物理量呈现线性变化的关系以及小角度的几何计算等方面.这些内容均属于教学的难点，是近年来物理选考以及竞赛的重点考查内容，也是学生不容易理解与掌握的知识要点.本文从比值定义法、图像法以及三角的几何关系来对教材中所涉及的小量计算进行一定的分析说明，从近似关系的应用上结合数学工具对几个常见的涉及小量计算的问题加以探讨，体现出小量近似法在解决具体物理问题中的重要性.1比值定义法中的小量近似计算1.1教材中比值定义法的体现与应用人教版物理必修1教材中写道：平均速度只能粗略地描述物体的快慢.为了描述精确些，可以把Δt取得小一些，物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异性就小一些.Δt越小，运动的描述就越精确.当Δt非常小时，我们就把ΔxΔt称作物体在时刻t时的瞬时速度[1].此处所说的“Δt非常小”渗透了无穷小的数学思想，但是对于学生而言，可能存在疑惑.首先，瞬时速度描述的是某一时刻的运动快慢，而不是一段时间里的运动快慢，即便是Δt非常小，还是一段时间；再者，瞬时速度描述的是某一时刻的速度，其对应的应该是该时刻物体所处的一个位置坐标，而非位移，显然不满足速度的比值定义法.事实上，物体运动经过某一个位置，虽然这个位置固定不动，但是运动的物体不是停留在这一点，只是经过这一点.所以在这一点的速度应该理解为在该位置附近很短时间内ΔxΔt的值[2].为了加深学生的认识与理解，结合数学计算的工具，可以设置这样的一个问题：假定一个物体做变速直线运动，其位置坐标随时间变化的关系为x=t2，求物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度.例谈小量近似法在解决高中物理问题中的体现与运用浙江省湖州市菱湖中学沈卫313018摘要：小量近似思想作为一种重要的思想方法在高中物理教学中具有重要的作用，在教学过程中针对学生的实际情况适时地对小量近似计算的方法进行一定的渗透讲解有助于发展学生思考难点、解决难题的思维与能力.本文将从比值法、图像法与几何关系的角度出发，来对教学中涉及小量近似运算的典型例子进行一定的分析说明.关键词：小量近似；比值定义法；图像面积；几何关系F 0Δm gΔx在极短的一段时间Δt 内被加速到v 0并被提起的长为Δx 的绳子体元经过理论推导，可得到在这段时间间隔内的平均速度满足：v =Δx Δt =(t +Δt )2-t 2Δt==t 2+2t Δt +Δt 2-t 2Δt=2t +Δt .当Δt 趋向于0时，计算所得的平均速度就会趋向于一个确定的速度2t .因此从近似计算的角度，当时间间隔Δt 取趋向于0的小量时，利用速度的比值定义法v =Δx Δt就可以求解物体在t时刻的瞬时速度.1.2利用比值定义法解决小量计算的具体问题问题呈现1：如图1所示，光滑水平桌面上盘绕着长为L ，质量为m 的均质柔软细绳，绳子的一端以恒定的速度v 0被匀速向上提起，当绳子被提起l 的长度时，上端作用力F 有多大？分析：对于这个问题，多数学生只以为是一个简单的平衡问题，既不会考虑小量也不会考虑近似，更加不会把它和比值定义挂上钩.因为在对绳子进行受力分析后得出的结论是：提起的长为l 的绳子，受到自身重力与向上的拉力的作用，且绳子处于匀速运动状态，由受力平衡得出F =m g lL.这种分析方式忽略了绳子被提起时由静到动所需要的作用力F 0，如图2所示，这个作用力使未被提起的绳子由静止加速到v 0，同时又保证被提起部分达到受力平衡的状态.因此解决这个问题就应该从这两个方面考虑.解析：①对于被提起的长为l 的绳子，根据匀速运动的平衡关系可以得到F =F 0+m g lL，显然F 0未知，无法根据这个关系直接得出拉力F 的大小.②设该段绳子的线密度为λ，则有λ=m L，其中盘绕在水平桌面上的绳子在极短的一段时间Δt （Δt 趋向于0）内，有很短的一段绳子体元Δx 会被加速到v 0的速度并被提起.该过程中的加速度满足牛顿第二定律：F 0-Δm g =Δma ，由于Δm =λΔx ，Δt 趋向于0，根据近似思想可略去小量Δm g ，因此该动力学方程可转化为F 0=λΔxa ，同时在Δt 时间内，绳子做匀速直线运动而被提起的长度Δx =v 0Δt ，根据加速度的比值定义法：a =Δv Δt =v 0-0Δt =v 0Δt.结合上述各式可以得到F 0=λv 0Δt v 0Δt=mv 20L .因此，当绳子被提起l 长度时，上端的作用力F =m g l L +mv 20L.其中mv20L即为提起的绳子部分与桌面绳子部分的相互作用力，而小量近似下的比值定义法能够很好地解决这个相互作用力，并且容易被学生所接受与理解.2物理量呈线性变化下的小量运算问题2.1变力做功问题——弹簧弹力做功的求解在必修2教材中，针对弹簧弹力这个变l F图1FF 0m g lL被提起的长为l 的绳子部分图2Δl 1Δl 2Δl 3Δl 4Δl 5F 1F 2F 3F 4F 5力做功的求解，所采用的方法是将弹簧拉长的过程细分成无穷多的小段Δl ，且这些小段足够的小以至于在这些小段上可近似认为弹簧的弹力是恒定不变的，从而达到化变为恒的效果，如图3所示.可以得到弹簧被拉长过程中弹簧弹力做的总功为W =F 1Δl 1+F 2Δl 2+F 3Δl 3+F 4Δl 4……由于弹簧弹力的公式满足胡克定律F =kL ，类比于应用v -t 图像中的图形面积求解匀加速直线运动的位移，在这里也可以利用F -L 图像（弹簧弹力—弹簧伸长量的图像）的图形面积求解弹簧弹力在弹簧被拉长过程中所做的功，如图4所示.2.2运用图像法求解非匀变速直线运动的时间问题呈现2：如图5，水平面内有一固定金属导轨，其MN 、PQ 边的电阻不计，MP边的电阻阻值R =1.5Ω，MN 与MP 的夹角为135°，PQ 与MP 垂直，MP 边长度小于1m.将质量m =2kg 、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平行，棒与轨道间动摩擦因数μ=0.1.棒与MN 、PQ 交点G 、H 间的距离L =4m ，空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B =0.5T .在与棒垂直的水平拉力作用下，棒由GH 处以一定的初速度水平向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等.问：若初速度v 0=3m/s ，求导体棒向左移动距离2m 到达EF 所需时间Δt .分析：导体棒的切割速度在不断增大，但是运动并不是匀加速直线运动，因此运用匀变速直线运动的平均速度公式无法求解该过程的时间.由导轨的几何条件可以知道，当导体棒左移x 的距离，其切割的有效长度也变为L -x ，且切割长度随前进的距离呈现线性变化.回路中电流强度不变可知导体棒切割的感应电动势不变，由此在变化的物理过程中建立起恒定不变的物理关系BLv 0=B (L -x )v .依据小量近似思想，取极短的一段时间Δt ，对应导体棒运动了距离Δx ，此过程中导体棒的运动近似看成是匀速直线运动且导体棒切割的有效长度不变.解析：根据分析说明，可以得出v =Δx Δt，Lv 0=(L -x )v =(L -x )Δx Δt，因此有Δt =L -x Lv 0Δx ，代入数据得Δt =(13-x 12)Δx .取t (x )=13-x 12，可作出t (x )-x 图像如图6所示.显然图中阴FOLOLF以小矩形面积表示一小段位移内弹力做的功，矩形面积之和可以粗略表示整个过程的位移如果位移分得非常细，他们的面积就等于图线与两个坐标轴围成的梯形的面积图4图3MR PFHQEGN图5影部分的梯形面积表示的就是导体棒左移2m距离所需的时间，大小为Δt=0.5s.虽然对于该题的解法还可以根据电流大小恒定不变,采用电磁感应中的电荷量与磁通变化量的关系式及电流的定义式来解决，但是运用小量近似结合图像法解决问题也不失为一种可行的方式.在平时的教学实践与问题解决的过程中依据问题的条件适时地引入小量近似法可突出化变为恒、数形结合的基本思想，从而有助于锻炼学生的思维，拓宽学生考虑问题的思路与角度.3几何近似极限下的小角度运算3.1向心加速度公式推导过程中的小角度近似运算如图7所示，在一个小时间段Δt→0内，Δθ→0.根据图中的几何关系，在弧度制下，速度的改变量Δv=v·Δθ，则向心加速度a=ΔvΔt=vΔθΔt=vω=ω2r=v2r[3].这种推导过程简单明了，充分体现出了小量近似思想在物理模型运算与解析中的作用，也说明这是帮助学生理解教材内容，透析概念与规律的良好方式与途径.3.2运用几何法的三角近似关系解决实际问题问题呈现3：如图8所示，两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一个质量为m 的小物块.平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳的长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放，证明小物块做简谐运动.分析：当物体处于平衡状态下，可以设弹性绳的形变量为Δl，因此有2kΔl sinα0=m g，如果物体在下拉一段微小的距离x并放手后物体做的是简谐运动，那么该处就是平衡位置，而x则属于位移小量，左边的弹性绳在物体下拉后的形变如图9所示，假定弹性绳的形变量变为Δl′，则Δl′=Δl+x sinα，这个关系的得出取决于x是微小量，因此做BC垂直于AD，那么∠DBC近似等于α0.取竖直向下为物体运动的正方向，由小物块的受力条件可以得出其所受的合力F=m g-2kΔl′sin(α+α0).由二角和公式sin(α+α0)=sinαcosα0+cosαsinα0.物体被下拉微小距离x导致弹性绳与水平面的夹角变化也是极小的，所以角度变化量α属于小量且趋向于0，如此不妨取α= 0，则有cosα=1，sinα=α.在无穷小近似的情况下，圆弧的弧长近似等于圆弧上两点间的弦长，如图9的△ABC可近似看成以A 为圆心，l0为半径的扇形，在弧度制下有||BC=||BD cosα0=x cosα0，sinα=α=x sinα0l0.解析：在分析过程中渗透的小量近似计算的思想，解决了模型构建的数学分析t(x)13O24x/m图6vΔθvΔθv′图7l0α0图8α0αα0ABDC x图9问题.对于小物块是否做简谐运动，只需要证明小物块所受的回复力F满足F=-kx 即可.根据分析所得的结果，可以得到小物块在被下拉微小距离x之后所受合力F 的关系式为F=m g-2k(Δl+x sinα0)⋅(sinα0+x cos2α0 l0)，整理之后得F=m g-(2kΔl sinα+2kΔlx cos2αl0+2kx sin2α+2kx2sinα0cos2α0l0),由x的无穷小量特征，略去x的高阶无穷小，且2kΔl sinα0=m g，故有F=-(m g cos2α0 l0sinα0+2k sin2α)x，满足回复力公式，故证明物块的运动为简谐运动.4结束语思想的体现与方法的运用要依托于具体的问题载体，因此在教学中教师要善于整理、归纳、总结，对于常见的问题载体与对应方法的运用进行提炼、加工、深化，从而基于有限的问题资源将方法运用的物理实质加以呈现，突出思想与方法在解决不同问题时所具备的共性，从而引导学生在掌握解决问题方法的同时提升自身的思维能力.小量近似的思想与计算方法在教材中的体现颇多，是高中物理学科中所运用到的重要思想与方法，如果能够在平时的教学实践与问题解决中加以深化拓展，对于提升学生解决问题的能力、培养学生建立严谨科学的思维模式可以起到重要的作用.参考文献[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理必修1[M].北京：人民教育出版社，2010：16.[2]魏佳兵.“瞬时速度”的概念教学宜逐步推进[J].物理教学探讨，2011，29（09）:24-25. [3]胡杨洋，石尧.显化科学方法的高中物理教材编写研究[J].中学物理教学参考，2015，44（05）：16-17.解析：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n 2时，an =Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.a1也满足an=n，故数列{}a n的通项公式为an=n.（2）由（1）知bn=2n+(-1)n⋅n.当n为偶数时，Tn=(21+22+⋯+2n)+[-1+2-3+4-⋯-(n-1)+n]=2(1-2n)1-2+n2=2n+1+n2-2；当n为奇数时，Tn =（21＋22＋…＋2n）＋[-1+2-3+4-⋯-(n-2)+(n-1)-n]=2n+1-2+n-12-n=2n+1-n2-52.所以T n=ìíîïï2n+1+n2-2(n为偶数)2n+1-n2-52(n为奇数)．点评：在求前n项和时，一般是先求出n为偶数时的和，而当n为奇数时，则前面的n-1项和可仿照前面n为偶数时的求和，然后再加上最后的第n项得到．(上接第19页)。
等价无穷小量的运用
无穷观下等价无穷小量的运用摘要：本文简要介绍了无穷观思想的发展历程及等价无穷小量出现的背景，了解相关的数学史有助于更深入的学习无穷观的思想。
掌握等价无穷小量的性质，可以在求解极限和判断正项级数的敛散性中灵活运用。
本文通过对不同条件下等价无穷小量的应用的举例，切实体会到运用等价无穷小量是使复杂问题简单化的有效手段。
同时还要避免错误的利用等价无穷小量。
关键词：无穷观；等价无穷小；极限Abstract:This paper briefly introduces the development progress of infinite views and the background of equivalence infinitesimal, knowing the relevant math history is beneficial for the deep learning of the infinite views and grasping the qualities of equivalence infinitesimal contributes to the flexible application in solving the limitation and judging the positive series. According to the applied examples of infinitesimal in different conditions, we realize that using the equivalence infinitesimal is the equivalence infinitesimal is the effective way to make complex problems simplified.And at the same time we should avoid using the equivalence infinitesimal mistakenly.Key words: the infinite view;equivalence infinitesimal;limit史鉴使人明智，诗歌使人巧慧，数学使人精细，博物使人深沉，伦理之学使人庄重，逻辑与修辞使人善变。
小量近似
小量及其小量近似1.小量及小量近似的定义1.1 小量在数学中，我们把以零为极限（即无限趋近于零但又不为零）的变量，称为无穷小量，也就是我们所说的小量。
1.2小量近似小量近似，就是指在运算中为了简化运算结果，但又不影响结果正确性的前提下，将一些相对较小的项忽略不计的运算方法。
2.小量近似的方法2.1小量的性质（1）有限个小量的代数和是小量。
（2）常量与小量的乘积是小量。
（3）有限个小量的乘积是小量。
2.2小量近似的方法（1）对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即θ=sin θ=tan θ;小角量θ所对应的弧长与弦长也相等。
（2）在研究一个普通量时，可以将小量忽略不计。
如计算常量A 与小量Δ β之和，可以忽略后面小量，结果直接为A 。
（3）在研究小量时，可以忽略比它阶数高的小量。
比如β∆是小量，()2β∆、()3β∆、()4β∆等都是比β∆更高阶的小量，我们就可以将其忽略不计，因此利用二项式公式展开以下式子，就可以得到以下结论 ()()()211112N N N N N ββββ-+∆=+∆+∆+⋅⋅⋅=+∆ 。
3.小量近似在物理中的应用例举在物理中，平常在小量前加上Δ（间隔量），如对速度的定义x v t∆=∆，我们把x ∆、t ∆称为位移和时间的小量；对加速度的定义v a t ∆=∆，我们把 v ∆ 、t ∆称为速度和时间的小量等。
小量近似作为一种简化的运算方法，不仅可以用来推导新的物理量，而且可以用来解决物理问题，无论是力学、热学、光学，还是电学。
3.1利用小量近似推导其它物理量设质点在做匀速圆周运动，在t ∆时间内有位置1运动到位置2，对应的圆心角w t θ∆=∆，对应的弧长s R R w t θ∆=∆=∆。
当时间很小时，对应的弧长与弦长相等，依据三角形相似原理，可知：v s R w t v R R ∆∆∆==，计算可得匀速圆周运动的向心加速度：22v a v w R w R ===。
“小量近似”在高考和竞赛中的应用
公式如下：
f（ x0 + Δx）
= f （ x0 ）
+
f
'（
x0 ）
Δx
+
f″（ x0 ） 2！
Δx2
+
……
+
f（
n） （ x0 ） n！
Δxn
+
o（
Δx n ）
（ 注： 公式最后一项 o （ Δxn ） 表示剩下所有的项，
相对于 Δxn 都是小量． ）
常见函数在 x0 = 0 处的泰勒展开：
sinx = x － x3 + x5 － x7 + … + （ － 1） xk 2k + 1 + o
关键词： 小量近似； 物理竞赛； 高考
2019 年全国高考理科数学Ⅱ卷第 4 题，题目如下：
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历
史上首次月球软着陆，我们航空事业取得又一重大成
就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问
题是地面与探测器的通讯联系． 为了解决这个问题，发
射了嫦娥四号中继卫星“鹊桥”． 鹊桥沿着围绕地月拉
3 小量近似的近似程度
在物理竞赛 中 应 用 小 量 近 似，应 近 似 到 什 么 程
度？ 物理竞赛中的小量近似，既要体现出小量对函数
的影响，又要 达 到 简 化 运 算 的 目 的，所 以 绝 大 多 数 情
况，泰勒公式展开后，取一阶近似即可，二阶和更高阶
的小量可忽略． 但有两种情况例外：
（ 1） 若函数本身为小量，为了体现更高阶小量对
函数的影响，则可保留更高一阶的小量．
（ 2） 若取一阶近似无法体现出小量对函数的影
微元法
高中奥微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲微元隔离、小量累计、小量近似例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R 2，求弹性绳圈的劲度系数k.例6：一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.小量关联（小量近视）例1：如图3—1所示，一个身高为h的人在灯小以速度v沿水平直线行走。
设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。
例12：如图3—11所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠AOO′=α时，环O的速度.3．如图3—21所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进，当绳AO段也水平恰成α角时，物体M的速度多大？4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A 和B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C 球的两绳的夹角为θ，设A 、B 两球此时下落的速度为v ，则C 球上升的速度多大？小量比值：例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A 和水平面上B 点的水平距离为s.现在修一条冰道ACB ，其中AC 为斜面，冰道光滑，物体从A 点由静止释放，用最短时间经C 到B ，不计过C 点的能量损失.问AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？。
14.近似法
十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬 以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处， 猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变， 故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加 速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？图14—1图14—2—甲解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 L ∆=θcos x ∆ 两边同除以t ∆得：θcos txt L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船=因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈， 以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆；因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自 由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由图14—3图—14—3—甲若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5， 由此能得1T 与2T 的关系.因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.m ax t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧， 它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端 点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状 态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？ 解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）. 以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得 lx=θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kxx l x k x x l l k F x -=---=+--== 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动. 例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动. 解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道 给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用， 设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足 条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2其中Lm k 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L kmT ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m. 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动. 例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量 为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩 擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别 是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平 衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动. 容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值. 解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+=①按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V S p p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-=其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T T V V pS V mV V V S p V mV '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT '='ττ，将数值代入得95.0:='ττ例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中 三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正 电质点，O 点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某 一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求 其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明 该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复 力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键 是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表 达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图 14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQq F因为a OC OB OA r 33==== ++=--r xr x 21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321ax a Qq k F +-= 232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h ax h kQq x h ax h x h akQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq-+=)233(363x hx a h aQq k+-= （略去2x 项） )2331(363h x x a h a Qq k+-=)231(33x a aQq k+= 因此带电质点所受合力为qx a Qk x a ax q a Q kF F F x 3221239)2336(3-=--=+=由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反.即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqama k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与 电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二 次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω， 同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的 示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻 R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R E gg g g g =⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R Egggg g =⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R rR R Eggggg =⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R 相比，电流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅ ①02.5100100I R R E g=+⋅ ②图14—908.7101020000I R E g=+⋅ ③待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷 A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原 点都等于r .若在原点O 放另一正点电荷P ，其带电量 为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在 原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ①根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQF A ++=② θcos 222rs s r kqQF B +-=③θθαcos 2cos cos 22rs s r s r +++=④θθβcos 2cos cos 22rs s r s r ++-=⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=因为s 很小，忽略2s 得：])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθrssr rss r r kqQF y ---++=又因为1cos 2,<≤θrsr s所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得图14—10)]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr ss r r s s r r kqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的. 例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ） 解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源， 在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线， 由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光 线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深.由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因irn sin sin = 所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度 为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为 V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在 U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假 定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中， 近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处 的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看 到鸟距离自己又是多远？图14—13图14—14参考答案十一、图象法1．A 2．A 、D 3．C4．5．21t t > 6．乙图中小球先到底端 7．)21(2-+=n n n sa v B =)13(n as - 8．13.64s9．2:1 10．D 11．FG f F gfs v f f F g sFG t m )(2)(2-=-=十二、类比法1．223/32Gt LR 2．2222)(R a aR kQ - 3．22222)()(R a aR kQ a q Q a R kQ --+ 4．F C AB μ9.2= 5．F C AB μ6=6．（1）C C 215-=' （2）C C '=总 （3）C C 215-=' 7．])([)(2tf f t H t H L N --+∆=λ（注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“L ∆”.在“f t > 处放置一个”与“单色点光源”之间加“波长为λ的”.）8．（1）m a 3105.0-⨯= （2）m d 4=十三、降维法1．0.288×103N ≤F ≤0.577×103N 2．(1)7.2N （2）0.8m/s 23．5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53 °4．2R R AB =5．R R AB 94= 6．（1）r R AG 65= （2）r R AD 127=十四、近似法1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
小量近似方法在竞赛中的应用
第２３卷总第２５４期 ２００５年第１０期（下半月）
理教学探讨
ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
Ｖｏｌｔ ２３ Ｎｏ．２５４ （Ｘ） １０．２００５ ．３９
角动量守恒定律在解物理竞赛题中的应用
陈宏
枝江第一中学校，湖北省枝江市４４３２００
当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动 量保持不变，此即为角动量守恒定律。该定律适 用于物体、物体组或质点系当不受外力矩或所受 合外力矩为零的情况。角动量守恒定律在解物理 题竞赛题中有许多应用，本文对角动量守恒定律 在解物理竞赛题中的应用进行分类解析，供同学 们学习时参考。 １ 利用角动量守恒定律求解质点在有心力场中 的运动问题
解 （１）由于将透镜的平面镀银，其作用等 效于一个焦虎是３０ｃｍ的凹面镜，所以此等效凹 面镜的曲率半径是６０ｃｍ，根据凹面镜的性质，当 物点置于曲率中心Ｃ，处时，经凹面镜反射应原 路返回，物像重合（图７）。因从Ｃ。点射出的光要 原路返回，所以此光经凸面折射后必须垂直于平 面，因为ｉ和ｒ都是小角，所以有
“。一ｕ２ ２／ｐ 如图２所示，在△￡时间内，狐狸和猎犬分别 到达了Ｆ７和Ｄ’处，猎犬的运动方向转过的角度
万方数据
口一ＤＤ’／ｏ—ｕ２ ｚＳｔ／ｏ
因为Ａｔ很小，所以狐狸运动的距离ｕ，Ａｔ—ａ
·Ｌ
因此Ａｔ／ｐ一７３１Ａｔ／Ｌ
ｐ—Ｌｖ２／ｖｌ
所以ａ。一ｕ２ ２／ｏ一口１耽／Ｌ ２ 在热学中的应用
例２ 在一个横截面积为Ｓ的密闭容器中，
第２３卷总第２５４期 ２００５年第１０期（下半月）
理教学探讨
ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
Ｖ０１．２３ Ｎｏ。２５４ （Ｘ） ｌＯ．２００５ ．３７．
小量近似方法在竞赛中的应用
专题02 近似计算法(解析版).docx
专题02近似值计算法目录一、近似物理模型导致的近似值 (1)二、数学方法近似导致的近似值 (3)近似计算是中学物理问题中一种常用的估算方法,由此求出的物理量是近似值。
近似值的背后潜藏着一个确定的真实值,近似值是对物理问题近似的描述,近似值与真实值存在着差值。
一类差值来源于物理模型的近似,另一类差值来源于数学方法的近似。
如果我们拨开包围在真实值周围的层层迷雾,就可以找寻出近似值背后的真实值。
一、近似物理模型导致的近似值近似值与真实值之间误差的第一种来源是物理模型的近似。
物理模型是对物理问题的简化与抽象,物理模型包括对象模型、过程模型、状态模型。
由于学生的知识结构的限制,在构建物理模型时,对研究对象做太多的简化,所构建的物理模型不能一步到位,把不该忽略的问题忽略了,导致了物理模型的缺陷,也是一种近似模型。
应用这样的物理模型进行估算求出近似解也无不可,如果从精确计算来说,却不够至臻完善。
典例1. （19年全国1卷）最近,我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功,这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。
若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s,产生的推力约为4.8×106 N,则它在1 s时间内喷射的气体质量约为（）A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg【参考答案】B【解析】设该发动机在t s时间内,喷射出的气体质量为m,根据动量定理,Ft mv=,可知,在1s内喷射出的气体质量634.8101.6103000m Fm kg kgt v⨯====⨯,故本题选B。
【总结与点评】本题中构建物理模型非常关键,以在t s时间内喷射出这部分气体作为研究对象,忽略气体的重力,不计这部分流体与其他流体之间的相互作用,这样的物理模型是一种近似描述喷出气体运动过程的的物理模型。
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引用本文格式：王化银 小量近似方法应用两则[期刊论文]-中学物理（高中版） 2013(5)
，Ｉ
矿
所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘 轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大 的重物． 下面就欧拉公式作一证 明：取一小段弧△ｌ为研究对
。．
而 则
聊２＝助’。
ｂ＝∥＋和，ｙ’一ｙ一多’．
这与题给参考答案似乎有点矛盾ｐ’一ｐ＝一哆！
Ｆ。
象，受力分析如图１所示，，和
，＋△Ｆ为小弧两端所受张力，
ｎ为柱体对绳的压力，为静
摩擦力．根据平衡方程，得
图ｌ
就不难理解以上两个结论是相同的，即 （１） （２） （３）
匕芦捌Ｃ２＝器Ｏ
其实只要注意到
ｌ，’
（３．×８）２
。…。 １０小１
ｎ
ｏ－１２《ｌ， …’
ＦⅣ：风ｉｎ竽＋（ｎ△Ｆ）ｓｉｎ竽
（Ｆ＋△Ｆ）ｃｏｓ掣：Ｆｃ∞竽＋，
临界情况 ，＝—～
ｐ’一ｐ＝一哆Ｃ，＝一啤Ｃ
．５０．
卜蔷‰引一番叫一譬引， 其中譬＝等兰署…矿ｍ引，
所以
ｙ’一ｙ＝一争案＝一争
万方数据
小量近似方法应用两则
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 王化银 淮北市第一中 学安徽淮北235000 中学物理（高中版） ZHONGXUE WULI(GAOZHONG BAN) 2013,31(5)
在桩子上的圈数之间的关系：，２＝Ｆ。，，其中Ｆｌ代表我们所 用的力，疋代表我们所要对抗的力，ｅ代表数２．７１８…（自然 对数的底），弘代表绳和桩子之间的摩擦系数，０代表绕转角， 也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比．
参考答案一岛
解析ｄ远小于地球半径，由能量守恒得
ｈｖ＝＾ｌ，’＋，，‘ｇｄ，
若取弘＝ｏ．２，０＝１２１ｒ，则子＝１８８１—２０００．
２
重力场中光子频率变化 已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力
势能．若从地面上某处将一束频率为ｌ，的光射向其正上方相 距为ｄ的空间站，ｄ远小于地球半径，令空间站接收到的光的
频率为ｙ’，则差矽’一ｙ＝——，已知地球表面附近的重力加
速度为ｇ．（第２９届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题 第８小题）
２０１３年５月
Ｖ０１．３１
Ｎｏ．０９
中学物理
小量近似方法应用两则
王化银
（淮北市第一中学安徽淮北２３５０００）
小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重 要的方法，在解决问题时是非常有用的．这里以两则应用为 例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量０来说，有
ｓｉｎ０＝０，ｃｏｓ０＝１；在研究一个普通量时，可以忽略小量． １欧拉公式 十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕 不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力．
化的。同样也有眦２＝ｈｖ’＝ｈｖ．
事实上，能量守恒式子ｂ＝＾ｌ，’＋ｍｇｄ中的ｍ也是在变 本题可以从引力势能角度考虑，思路会更加清晰： 由能量守恒得
的很小，有
所以
ｓｉｎｉ／ｔＯ：下／ｔＯ，ｃｏｓ掣：１，
ＦＮ＝彪口，ＡＦ＝ｆ，
¨Ｇ警岫’一Ｇ瑞，
利用Ｔｎ，ｃ２＝＾ｌ，，ｒ／ｉ，７ｃ２＝＾ｙ’，ＧＭ
２
ｌｌｐＡＦ：出口’或
肌’…一矽拦一。，一ＩＲ＋ｄ，
‘
儿ｙｉ正Ｃ’
（Ｒ＋ｄ）ｃ２ （Ｒ＋ｄ）ｃ‘
１一哗
丝一琏—Ｌ
（Ｒ＋ｄ）ｃ２
注意到ｄ《Ｒ，则鬲毛一旦Ｒ，
索大约有十秒钟．最后，缆索断了．可是这十秒钟时间已经很
足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇， 就向前驶了开去． 理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并
两边求和
ＡｉＦ：出口，
Ｊ莹萨，
有
∑Ａ了Ｆ＝∑出ｐ， ∑ＡｌｎＦ＝ｐ∑／ｔＯ，ｌ幔一ｌｎＦｌ＝矽，
Ｆ
¨譬・等岫’一燕・等，
变形得
或
Ｉｎ等＝加，
‘Ｉ
故Ｂ＝Ｅ∥，即两张力之比按包角呈指数变化．
儒勒・凡尔纳在＜马蒂斯・桑多尔夫＞这部小说里，叙述 竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科 罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住 了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子 弯得接近了地面．不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里 的铁桩上．他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆