检验和方差分析的原理和基本方法
检验和方差分析的原理和基本方法
《管理统计学》导学资料六——2χ检验和方差分析这一讲的内容包括两个部分开平方检验和方差分析，重点是方差分析，在本章的学习
χ检验的作用和用途。学会和掌握方差分析表的使用，中，同学们要了解方差分析的用途，2
了解自由度的计算和F检验的作用，记住方差分析表中的五个等式和含义。
本章的关键术语：
方差分析(Analysis of Variance, 常简称为ANOV A)是用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值总体的方法。
SST-总离差方和(Sum of Square in Total )为各样本观察值与总均值的离差平方和。
SSTR-组间离差方和(Sum of Square Treatment)表示不同的样本组之间，由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。
SSE-组内离差方和(Sum of Square Error)表示同一样本组内，由于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内离差平方和。
本章学完后，你应当能够：
1、掌握用2χ检验来解决独立性检验和拟合性检验的原理和基本方法，能解决最常见的这类检验问题。
2、了解和懂得单因素方差分析的原理和基本方法，能应用计算机解决最常见的方差分析问题。
一、2χ检验
2
χ检验的用途是检验两个变量之间的独立性和检验数据是否服从某个概率分布得拟合检验。
我们经常会遇到受两个或两个以上因素（变量）影响的实验或观察数据，并要求判断两个变量之间是否存在相互联系的问题。如果两个变量之间没有联系则称作是独立的，否则就是不独立的。
χ分布可以检验两个变量之间的独立性问题。此时我们首先将研究对象的观察用2
方差分析原理
方差分析原理
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。它能够帮助我们确定多个
样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景
在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之
间是否存在差异。例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗
效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理
方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值
是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作
是测量误差或个体内部差异。组间变异指的是不同组之间的差异，也
可以理解为组与组之间的差别。我们的目标是判断组间变异是否显著
大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。假设检验
的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤
进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：
1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
方差分析原理
方差分析原理
方差分析原理是一种统计方法，用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异。它基于样本方差的大小来推断总体方差是否相等，从而判断总体均值是否存在差异。方差分析可以应用于多个因素的比较，并且可以探究因素之间的交互作用。
在进行方差分析时，首先需要选取一个因变量和一个或多个自变量。因变量是我们想要比较的关键指标，而自变量是我们所感兴趣的因素。例如，在研究药物的有效性时，因变量可以是病人的治疗效果，而自变量可以是不同的药物剂量。
然后，我们需要将样本数据按照自变量分组，计算每组的均值和方差。根据均值和方差的差异，我们可以计算出组内和组间的方差。组内方差反映了组内样本之间的差异程度，而组间方差反映了不同组别之间的差异程度。
接下来，我们需要计算F值，它是组间方差和组内方差之比。如果组间方差显著大于组内方差，说明不同组间的差异程度较大，即不同自变量的水平对因变量有着显著的影响。
最后，我们可以使用统计软件进行方差分析的假设检验，以确定F值是否显著。如果F值显著小于设定的显著性水平（通
常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为不同组别之间的均值存在显著差异。
需要注意的是，方差分析的结果只能说明组别之间的差异是否显著，不能确定具体哪些组别之间存在差异。如果方差分析结
果显著，我们可以进一步进行事后的多重比较，来确定具体哪些组别之间存在差异。
总之，方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在差异的统计方法。它可以应用于多个因素的比较，并且可以探究因素之间的交互作用。通过计算F值和进行假设检验，我们可以判断不同组别之间的均值是否存在显著差异。
实验设计及数据分析-方差分析
实验设计及数据分析-方差分析实验设计及数据分析方差分析
一、方差分析的基本原理
方差分析的核心思想是将观测值的总变异分解为不同来源的变异，然后通过比较不同来源变异的大小来判断因素对观测结果的影响是否显著。
总变异可以分解为组间变异和组内变异。组间变异反映了不同组之间的差异，组内变异则反映了组内个体之间的随机误差。如果组间变异显著大于组内变异，就说明不同组之间的均值存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
二、实验设计要点
1、确定研究因素和水平
首先要明确研究的因素，以及每个因素的不同水平。例如，研究不同肥料对作物产量的影响，肥料种类就是因素，不同的肥料品牌或配方就是水平。
2、选择合适的实验对象
实验对象应具有代表性和随机性，以减少偏差。
3、控制无关变量
在实验过程中，要尽量控制其他可能影响结果的无关变量，以确保结果的准确性。
4、确定样本量
样本量的大小会影响统计检验的效力，一般来说，样本量越大，结果越可靠，但也要考虑实际操作的可行性和成本。
5、随机分组
将实验对象随机分配到不同的组中，以保证各组之间的初始条件相似。
三、方差分析的类型
1、单因素方差分析
只考虑一个因素对观测结果的影响。
2、双因素方差分析
同时考虑两个因素对观测结果的交互作用。
3、多因素方差分析
涉及两个以上因素的情况。
四、数据分析步骤
1、提出假设
零假设（H0）：不同组之间的均值没有显著差异。
备择假设（H1）：不同组之间的均值存在显著差异。
2、计算统计量
根据实验数据，计算出组间平方和、组内平方和、总平方和等，进而得到 F 统计量。
3、确定显著性水平
简述方差分析的基本思路
简述方差分析的基本思路
方差分析是一种强大的统计方法，可用于检测抽样结果之间是否存在差异，其基本思想是比较各组之间的方差大小，从而说明结果之间是否存在显著差异。本文将详细介绍方差分析的基本原理及应用。
一、方差分析的基本原理
方差分析的基本原理是比较多组数据的方差大小。在许多情况下，可以用方差分析来探究一个决定性变量对结果的影响。另外，还可以确定这种变量的条件是否会影响结果的显著性。
要想更深入地理解方差分析，需要先了解一些基本概念，例如平均数、样本方差、总体方差和均方差。平均数（也称为数据点的均值）是样本数据代表的数字，而方差则是衡量数据点与平均数之间的距离。
方差分析假定样本中每个数据点都来自不同的总体，每个总体都有自己的均值和样本方差。
其次，方差分析假定不同总体之间的均方差相等。如果这两个假设不成立，则结果可能会出现偏差，从而导致方差分析的假设失效。
最后，方差分析还利用F统计量，帮助我们推算出总体均方差的大小，以及多组数据的差异程度。如果检验的F统计量大于或高于F 检验的关键值，则认为抽样结果之间存在显著差异。
二、方差分析的应用
由于其方便性和强大的数据分析能力，方差分析可以用于许多个学科领域，如管理学、经济学、心理学、社会学等。下面将介绍其具体应用。
（1）实验类
在实验类的应用中，方差分析被用于检验一个操作变量或多个操作变量对结果的影响。通过对比横向对照实验与正向对照实验之间的差异，可以说明操作变量是否对结果产生影响。
（2）回归类
在回归类的应用中，研究者可以采用方差分析来检验不同因素或不同条件下回归模型的变化。此外，还可以从F统计量中获得有用的信息，来评估每个因素对回归模型的贡献。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法
统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理
方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用
方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析
一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
方差分析的基本原理
方差分析的基本原理
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。其基本原理是通过分析不同因素对于观察结果产生的影响程度，来确定是否存在显著的差异。
在方差分析中，我们将数据分为不同的组别，并计算每个组别内观测值的方差之和。然后，通过比较组内的方差之和与组间的方差之和来判断组别之间的差异是否显著。
方差分析的核心思想是利用样本数据的方差来估计总体的方差，并通过F检验进行统计推断。在进行方差分析时，我们需要
满足以下几个基本假设：
1. 各组别内的观测值是独立同分布的；
2. 各组别内的观测值符合正态分布；
3. 各组别内的观测值具有相同的方差。
方差分析通过计算组间和组内的平均方差来比较他们的差异。当组间的平均方差显著大于组内的平均方差时，我们可以得出结论，不同组别之间存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
方差分析可以应用于各种实验设计和数据类型，例如单因素方差分析、多因素方差分析、重复测量方差分析等。它广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、生物学等，用于比较不同组别或处理之间的差异，并进一步研究因素对样本结果的影响。
anova方差分析
anova方差分析
方差分析是统计学中的一种常用分析方法，用于比较不同组别或
处理之间的差异。通过对观测数据的方差进行分析，我们可以得出不
同组别之间是否存在显著差异，从而对不同组别进行比较和推断。本
文将介绍方差分析的基本原理、应用场景和操作步骤，以帮助读者更
好地理解和应用该方法。
1. 方差分析的基本原理
方差分析是通过比较组内差异与组间差异的大小来判断组别之间是否
存在显著差异。在进行方差分析之前，我们需要明确一个因变量和一
个自变量。因变量是我们想要比较的特征或结果，而自变量是我们进
行比较的不同组别或处理。
2. 方差分析的应用场景
方差分析广泛应用于各行各业，例如医学研究、市场调查、教育科研
等领域。举个例子，假设我们想要比较不同教学方法对学生成绩的影响，我们可以将学生分为几个组，每个组采用不同的教学方法，然后
通过方差分析来判断不同组别之间是否存在显著差异。
3. 方差分析的操作步骤
3.1 数据收集
首先，我们需要收集相关的观测数据。对于方差分析来说，我们需要
收集因变量和自变量的数据。例如，在上述的教学方法比较中，我们
需要收集学生的成绩数据和相应的教学方法信息。
3.2 方差假设检验
接下来，我们需要对观测数据进行方差假设检验。方差假设检验通常
包括三个步骤：计算组内方差、计算组间方差和计算F值。
3.2.1 计算组内方差
组内方差是反映组内差异的度量，可以表示为各组别内观测值与组内
平均值之差的平方和的均值。计算组内方差可以使用计算公式来完成。
3.2.2 计算组间方差
组间方差是反映组别间差异的度量，可以表示为各组别平均值与总体
统计学中的方差分析算法简介
统计学中的方差分析算法简介
统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，方差分析是其中一种常用的统计方法。方差分析算法是通过比较不同组之间的差异来判断它们是否具有统计显著性。本文将简要介绍方差分析算法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理
方差分析的基本原理是通过计算和比较组内变异和组间变异的大小来判断不同组之间的差异是否显著。组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。方差分析算法基于假设，即组内变异是随机的，而组间变异是由于不同组之间的差异所导致的。
二、单因素方差分析算法
单因素方差分析算法是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。该算法基于以下假设：各组之间的观测值服从正态分布，且具有相同的方差。算法的步骤如下：
1. 计算各组的平均值和总体平均值；
2. 计算各组的平方和；
3. 计算组内平方和；
4. 计算组间平方和；
5. 计算均方（平方和除以自由度）；
6. 计算F值（组间均方除以组内均方）；
7. 根据F分布表确定显著性水平。
三、多因素方差分析算法
多因素方差分析算法适用于有多个自变量（因素）的情况。该算法可以分为两
种类型：二因素方差分析和多因素方差分析。在二因素方差分析中，我们可以研究两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们可以同时研究多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析算法的步骤和单因素方差分析类似，但需要进行更多的计算和
比较。首先，需要计算各组的平均值和总体平均值，然后计算各组的平方和、组内平方和和组间平方和。接下来，需要计算均方和F值，并根据F分布表确定显著
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析
引言：
正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。
一、正交检验的极差分析
1.1 基本原理
正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。
1.2 应用方法
首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。
1.3 实例分析
以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，
通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。
然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。
接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。
最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。
二、方差分析
2.1 基本原理
方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。
方差分析的基本原理
3
4
5
6
0.319 0.328 0.335 0.341
0.431 0.441 0.450 0.457
5%
1%
第一节 方差分析的基本原理
例5.4： p
2
3
4
5
6
7
LSR0.05 11.40 11.94 12.30 12.57 12.81 12.92
总变异
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理
2. 对处理间变异和误差变异分别作出数量估计，确定这两者各自在总变 异中所占的重要程度。
处理间变异 误差变异
相差不大，说明试验处理对指标影响不大。
相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明 试验处理影响是很大的，不可忽视。
第一节 方差分析的基本原理
第一节 方差分析的基本原理
二、多重比较结果的表示方法
1. 梯形表示法
处理 D
平均数Xi 24
Xi- 18 6*
B
23
5
A
19
1
C
18
2. 字母标记法
Xi- 19 5 4
Xi- 23 1
第一节 方差分析的基本原理
(1)将全部平均数由大到小依次排列，然后在最大的平均数上标上字母a； (2)将该平均数与以下各平均数相比，凡差异不显著的都标上a，直到某个
统计学三大检验方法
统计学三大检验方法
一、前言
在数据分析中，我们经常需要对样本数据进行检验以判断其是否符合某些假设或推断。统计学三大检验方法包括t检验、方差分析和卡方检验，是数据分析中常用的方法之一。
二、t检验
1.概述
t检验是一种用于比较两个样本均值是否显著不同的方法。它可以用于两个样本的独立样本t检验和配对样本t检验。
2.独立样本t检验
独立样本t检验适用于两个不相关的样本。它的基本思想是通过比较两个组别的平均值来判断它们是否有显著性差异。
具体步骤如下：
（1）建立假设：假设两个组别的总体均值相等；
（2）确定显著性水平：通常选择0.05作为显著性水平；
（3）计算统计量：根据公式计算出t值；
（4）查找临界值：根据自由度和显著性水平查找临界值；
（5）作出结论：比较计算得到的t值与临界值，如果计算得到的t值小于临界值，则接受原假设，否则拒绝原假设。
3.配对样本t检验
配对样本t检验适用于两个相关的样本。它的基本思想是比较两个组别的差异是否显著。
具体步骤如下：
（1）建立假设：假设两个组别的总体均值相等；
（2）确定显著性水平：通常选择0.05作为显著性水平；
（3）计算统计量：根据公式计算出t值；
（4）查找临界值：根据自由度和显著性水平查找临界值；
（5）作出结论：比较计算得到的t值与临界值，如果计算得到的t值小于临界值，则接受原假设，否则拒绝原假设。
三、方差分析
1.概述
方差分析是一种用于比较三个或以上样本均值是否显著不同的方法。它可以用于单因素方差分析和双因素方差分析。
2.单因素方差分析
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。它的基本思想是通过比较各组之间的离散程度来判断它们是否有显著性差异。
方差分析的基本概念与原理
方差分析的基本概念与原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。它通过将总体的方差划分为不同的组内方差和组间方差，来检验不同处理或因素对观测结果的影响程度。
一、方差分析的基本概念
方差分析有三个基本概念：因素、水平和观测值。
因素（Factor）指的是我们希望研究的变量或处理，例如一个市场调研中的广告方式、销售地区等。
水平（Level）是指因素的具体取值，例如广告方式这个因素可以有电视、广播、报纸等不同的水平。
观测值（Observation）是指在每个因素水平下所测得的数据，例如某一广告方式在不同销售地区下的销售额。
二、方差分析的原理
方差分析的原理基于一个重要的假设，即各个总体的观测值是独立的、正态分布且具有相同的方差。在此基础上，我们可以通过计算组内方差和组间方差来进行统计判断。
组内方差（Within-group variance）是指各个组内观测值之间的变异程度。如果组内方差较大，说明各组间存在较大的差异，这可能是由于因素对观测值有显著影响。
组间方差（Between-group variance）是指不同组的均值之间的差异。如果组间方差较大，说明各组之间的均值存在显著差异，这可能是因
为不同因素水平对观测值产生了不同的影响。
方差分析的核心思想在于比较组间方差与组内方差的大小。如果组
间方差显著大于组内方差，可以推断不同因素水平对观测值具有显著
影响；反之，则说明不同因素水平对观测值影响不明显。
三、方差分析的步骤
方差分析的统计原理
方差分析的统计原理
方差分析是一种用于比较三个或多个总体均值是否具有显著差异的统计方法。在进行方差分析时，我们假设所比较的各组数据是来自于正态分布总体的简单随机样本。
方差分析的基本原理是比较组间差异与组内差异的大小。组间差异反映不同组别之间的均值差异，而组内差异反映各组内观察值与各组均值之间的差异。
具体而言，方差分析通过计算组间的均方（组间平方和除以自由度）与组内的均方（组内平方和除以自由度）来进行比较。如果组间均方较大，且组内均方较小，就说明组间差异较显著，即存在组别之间的均值差异。利用F检验可以判断组间均方
和组内均方是否具有显著差异。
在进行方差分析时，需要检验一些假设，包括总体均值相等的原假设和各组之间均值相等的原假设。通过计算方差分析所得到的F值与临界F值进行比较，可以判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于许多实际问题，例如比较不同药物治疗组的效果、不同教学方法对学生成绩的影响等。方差分析的主要优点是可以同时比较多个组别的差异，适用于研究多因素对结果的影响。而且，方差分析结果也可以提供各组均值之间的比较信息，进一步帮助我们理解差异的来源和性质。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析
统计学是研究人类活动中涉及到随机事件和不确定性因素的科学。方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计学方法，可用于比较两个或多个组之间的差异。本文将介绍方差分析的基
本概念和原理。
一、方差分析的基本概念
方差分析是指基于数据的方差计算和分析，以确定比较两组或
更多组数据差异的方法。在方差分析中，被比较的组称为因素，
因素又可分为单因素和多因素。单因素方差分析包括一组数据，
而多因素方差分析包括两个及以上的组数据。
方差分析的目的是确定不同组的平均值（即均数）的变异程度。当平均数之间的差异大于各组内部个体数据的方差时，方差分析
可以用来检测这种变异，而不是寻找单一的差异。方差分析通过
比较组之间的方差和误差方差来确定组之间的显著性差异性。
二、方差分析的原理
方差分析的原理是基于样本和总体的假设。以单因素方差分析为例，假设总体是由不同平均数的正态分布组成，且方差相等（即方差齐性）。然后，从每组中随机地取样本，计算每组的均数和样本方差。接下来，计算每组的平均数之间的方差（即组间方差）和每组内部样本方差之间的平均数（即组内方差）。
根据方差分析的原理，如果组间方差显著大于组内方差，则说明组间的差异显著，即这些组之间存在显著差异。否则，如果组间方差与组内方差相等或组内方差超过组间方差，则说明差异不显著。
三、方差分析的步骤
通常包括以下步骤：
1、获取数据：数据必须充分、均匀，且符合正态分布。
2、检验方差齐性：检验各组数据的方差是否相等。
3、建立假设：建立总体假设和样本假设。
统计学——方差分析概念和方法
统计学——方差分析概念和方法
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断
这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。
方差分析主要包括以下几个概念和方法：
1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和
自变量。因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。
2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有
显著差异，即为零假设（H0）。然后，我们通过方差分析来检验零假设是
否成立。
3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以
分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。单因素方差分析
适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的
情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。
4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。在
方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。通过比较F值与给定的显
著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。
5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假
设检验：
a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本
的均值存在显著差异）；
b.计算各个组的均值；
c.计算组间方差和组内方差；
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《管理统计学》导学资料六——2χ检验和方差分析这一讲的内容包括两个部分开平方检验和方差分析，重点是方差分析，在本章的学习
χ检验的作用和用途。学会和掌握方差分析表的使用，中，同学们要了解方差分析的用途，2
了解自由度的计算和F检验的作用，记住方差分析表中的五个等式和含义。
本章的关键术语：
方差分析(Analysis of Variance, 常简称为ANOV A)是用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值总体的方法。
SST-总离差方和(Sum of Square in Total )为各样本观察值与总均值的离差平方和。
SSTR-组间离差方和(Sum of Square Treatment)表示不同的样本组之间，由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。
SSE-组内离差方和(Sum of Square Error)表示同一样本组内，由于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内离差平方和。
本章学完后，你应当能够：
1、掌握用2χ检验来解决独立性检验和拟合性检验的原理和基本方法，能解决最常见的这类检验问题。
2、了解和懂得单因素方差分析的原理和基本方法，能应用计算机解决最常见的方差分析问题。
一、2χ检验
2
χ检验的用途是检验两个变量之间的独立性和检验数据是否服从某个概率分布得拟合检验。
我们经常会遇到受两个或两个以上因素（变量）影响的实验或观察数据，并要求判断两个变量之间是否存在相互联系的问题。如果两个变量之间没有联系则称作是独立的，否则就是不独立的。
χ分布可以检验两个变量之间的独立性问题。此时我们首先将研究对象的观察用2
数据按两个变量分别进行分类。。例如，按行对第一个变量进行分类，按列对第二个变量进行分类。按这种方法把所有的试验观察数据排列成的表称为列联表。
2
χ独立性检验的程序和前面介绍的参数假设检验一样，首先也要建立假设，然后
χ，再根据问计算检验统计量的值。这次采用的检验统计这次采用的检验统计量就是2
χ分布表，得到当原假设成立时检验统计量允许的最大临界题规定的显著性水平查2
χ值作比较，得出接受或拒绝原假设的结论。具体步骤如下：
值，与计算所得的2
1.提出假设
H：两个变量是独立的，即相互之间没有影响，
1H ：两个变量是不独立的，即相互之间有影响。
检验的结果如果接受原假设0H 就说明不能推翻两个变量是独立的假设；反之，
拒绝 ，接受1H
2将观测数据分类，计算检验统计量2χ：
书的总值，O.j 表示第j 列的观测数的总数。注意，这里Oij 是实际观测到的数据分类得
到的。我们在后面还要计算在原假设成立的是观测的理论数值。这里n 是观测的总数。
定义2
χ=2
()Oij Eij Eij -∑∑，这里Oij 是上边分类得到的实际观测数，Eij 是与之相应的位置上的期望值。Eij 是根据概率计算的，在原假设下两个变量独立，因而有：
如果两事件独立，则它们的联合概率就等于它们分别概率的乘积，即落入第i j 格的概
率等于落入第i 行的概率与落入第j 列的概率的乘积。由此可得到当总的观察值的和为
n 时，与观察值 相对应的期望值 可按下式计算得到。
Eij =n （.Oi n ）（.O j n ）=..Oi O j n
利用上面的公式可以计算出相应的个各个位置上的期望值。如果计算所得到的期望
值过小，则最后得到的检验统计量 就会估计过大，导致原假设被拒绝的概率过高。因
此，实际检验中一般要求所有计算得到的期望值都不小于5。如果某些位置上的期望值
小于5就可以把相邻的类别合并，使得结果计算得到的期望值都不小于5。
3计算2
χ检验
我们在上边计算的2χ值，就是反映两个变量独立性程度的变量。如果2χ=0，那么这
两个变量独立，当2χ不等于0，2χ越大两个变量独立的可能性越小，当2χ达到一定的程
度时我们就可以拒绝两个变量独立的假设。
为了确定这个临界值，我们就需要使用2χ分布。首先我们需要确定2χ的自由度，由
于在计算期望值的时候，每行总数和每列总数的总和是确定的，因此自由度是行数-1和列
数-1的乘积。如果第一个分类变量有r 类，第二个分类变量有c 类，那么自由度就是：
(1)(1)df r c =--，
这时，我们查自由度为(1)(1)df r c =--的2χ分布，和前面一样计算0.95得分位数，
就得到显著性水平为5%的临界值2((1)(1))r c αχ--，如果我们在第2布计算的
2χ>2((1)(1))r c αχ--，那么我们就要拒绝原假设，不能接受两个变量独立。
此外， 2χ分布也可以用来检验数据是否服从某个分布，如正态分布，泊松分布，二
项分布等。这时的检验也成为拟和优度检验。这种检验的方法也是先将变量分类，计算理论
值和观测值，在计算统计量和自由度。具体的操作办法感兴趣的同学可以参看课本和课件。
二、方差分析
方差分析主要用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是
否抽自具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量
的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异
是否显著时是非常有用的。我们在前边的假设检验中，已经说明过了如何检验两个总体
的均值是否相等的各种情况。方差分析的作用就是可以检验多个样本的均值是否相等。
1、问题的提出
例：为了比较三种不同材料对产品寿命的影响，试验人员分别对三种不同材料所制造的
一组产品的寿命进行了测试，所得结果如下表所示 （为简化计算，以各取4个样本为
例）。
料对最终产品的使用寿命的影响是否显著。从统计的角度看，就是要检验三种不同的材
料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。
通常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如
果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。否
则就称为多因素方差分析。这里主要介绍单因素方差分析。
在本例中，因素就是可能影响产品使用寿命的材料。因素的不同选择方案称之为因
素的水平。例中材料有三种不同的选择就说因素有三个水平。因素的水平实际上就是因
素的取值或者是因素的分组，例如，可以在包装、质量、价格和销售区域等方面取不同
的值或分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是当因素
选不同的水平时，对结果有无显著的影响。若无显著影响，则随便选择哪一种材料都无
所谓。否则就要选择最终产品寿命最长的一种材料。