检验和方差分析的原理和基本方法
简述方差分析的基本思路
简述方差分析的基本思路方差分析是一种强大的统计方法，可用于检测抽样结果之间是否存在差异，其基本思想是比较各组之间的方差大小，从而说明结果之间是否存在显著差异。
本文将详细介绍方差分析的基本原理及应用。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是比较多组数据的方差大小。
在许多情况下，可以用方差分析来探究一个决定性变量对结果的影响。
另外，还可以确定这种变量的条件是否会影响结果的显著性。
要想更深入地理解方差分析，需要先了解一些基本概念，例如平均数、样本方差、总体方差和均方差。
平均数（也称为数据点的均值）是样本数据代表的数字，而方差则是衡量数据点与平均数之间的距离。
方差分析假定样本中每个数据点都来自不同的总体，每个总体都有自己的均值和样本方差。
其次，方差分析假定不同总体之间的均方差相等。
如果这两个假设不成立，则结果可能会出现偏差，从而导致方差分析的假设失效。
最后，方差分析还利用F统计量，帮助我们推算出总体均方差的大小，以及多组数据的差异程度。
如果检验的F统计量大于或高于F 检验的关键值，则认为抽样结果之间存在显著差异。
二、方差分析的应用由于其方便性和强大的数据分析能力，方差分析可以用于许多个学科领域，如管理学、经济学、心理学、社会学等。
下面将介绍其具体应用。
（1）实验类在实验类的应用中，方差分析被用于检验一个操作变量或多个操作变量对结果的影响。
通过对比横向对照实验与正向对照实验之间的差异，可以说明操作变量是否对结果产生影响。
（2）回归类在回归类的应用中，研究者可以采用方差分析来检验不同因素或不同条件下回归模型的变化。
此外，还可以从F统计量中获得有用的信息，来评估每个因素对回归模型的贡献。
（3）其他除了上述的应用，方差分析还可以应用于多元分析，用于评估不同因素对结果的影响程度。
例如，研究者可以使用多元方差分析来了解不同的变量如何影响试验的结果。
总之，方差分析是一种非常有效的统计方法，可以帮助研究者比较多组数据之间的差异，验证其是否会对结果产生重大影响。
统计学中的方差分析与卡方检验
方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。
方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。
方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。
在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。
方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。
通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。
方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。
卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。
分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。
卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。
卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。
尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。
首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。
其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。
最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。
如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。
当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。
总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。
方差分析三重复测量资料方差分析
比较不同处理组之间的差 异
通过比较不同处理组之间的差异，可以了解 不同处理因素对实验结果的影响程度。
实验设计
处理因素
确定要研究的处理因素，并确保 其具有科学性和可行性。
重复测量
在相同的实验条件下，对实验对 象进行重复测量，以减少实验误 差，提高实验结果的可靠性。
方差分析三重复测量资料 方差分析
目录
• 引言 • 方差分析基本原理 • 三重复测量资料的方差分析 • 结果解释与结论 • 讨论与展望
01
引言
目的和背景
探讨不同处理因素对实验 结果的影响
通过方差分析三重复测量资料，可以分析不 同处理因素对实验结果的影响，从而为进一 步的研究提供依据。
提高实验结果的可靠性
方差齐性检验
使用Levene's test或 Bartlett's test检验各组方
差是否齐性。
假设检验
根据方差分析结果，进行 假设检验，判断各组均值
是否存在显著差异。
三重复测量资料的方差分析实例
数据来源
选取某实验组和对照组在不同时间点的观察 值作为三重复测量资料。
数据整理
整理数据，确保数据准确无误。
2
应用范围讨论
三重复测量资料方差分析不仅适用于生 物学、医学等领域的数据分析，还可广 泛应用于心理学、经济学、社会学等领 域。然而，由于该方法对数据的要求较 高，因此在应用时需要根据具体的数据 情况选择合适的数据处理和分析方法， 以确保结果的准确性和可靠性。
3
与其他方法的比较
除了三重复测量资料方差分析外，还有 其他多种统计分析方法可用于处理和分 析实验数据。每种方法都有其特点和适 用范围。在选择合适的分析方法时，需 要根据研究目的、数据特征和研究设计 等因素进行综合考虑。例如，对于非重 复测量数据，可以考虑使用独立样本t检 验或单因素方差分析等方法。
统计学三大检验方法
统计学三大检验方法引言统计学三大检验方法是指假设检验、置信区间估计和方差分析。
这三种方法是统计学中非常重要的工具，用来对样本数据进行分析和推断。
本文将详细介绍这三种方法的原理、应用和步骤。
一、假设检验假设检验是一种基于样本数据对总体参数进行推断的方法。
它的目的是判断样本数据对某一假设的支持程度。
假设检验的步骤可以分为以下几个部分：1.明确研究问题和假设。
首先确定研究的目的和问题，然后提出关于总体参数的假设，包括原假设和备择假设。
2.选择合适的检验统计量。
根据问题和数据的特点，选择适合的检验统计量，如均值差检验的t统计量、比例差检验的z统计量等。
3.设定显著性水平。
显著性水平是在假设检验中用来判断是否拒绝原假设的标准，通常取0.05或0.01。
4.计算检验统计量的观察值。
根据样本数据计算出具体的检验统计量的观察值。
5.给出结论。
通过计算观察值与临界值的比较，得出对原假设的结论，并解释结果的意义。
二、置信区间估计置信区间估计是一种用来对总体参数进行估计的方法。
它通过样本数据计算出的区间，给出了总体参数的一个估计范围。
1.确定置信水平。
置信水平是在置信区间估计中用来描述区间的可靠程度，通常取0.95。
2.选择适合的估计方法。
根据总体参数的类型和样本数据的特点，选择适合的估计方法，如均值估计的t分布、比例估计的正态分布等。
3.计算置信区间。
根据样本数据和所选的估计方法，计算出具体的置信区间，通常采用公式：估计值±临界值×标准差/√n。
4.解释结果。
解释置信区间的意义，并进行合理的解释和讨论。
三、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个组之间差异的方法。
它是通过分解总体方差，分析组内与组间的差异，来判断组间的差异是否显著。
1.确定研究问题。
确定需要比较的组，并明确研究的目的和问题。
2.设定假设。
设定组间差异的原假设和备择假设。
3.计算方差。
计算组内方差和组间方差。
4.计算F统计量。
根据方差计算出F统计量。
卡方检验与方差分析
与邻近行或列中的实际频数合并 删去理论频数太小的格子所对切概率法
42
方差分析
为了进行两组以上均数的比较，通常可 以使用方差分析方法。本部分主要介绍 方差分析基本概念、单因素方差分析及 其在SPSS中的操作。
方差分析是R.A.Fister发明的，用于两 个及两个以上样本均数差别的显著性检 验。
卡方检验
在H0为真时，实际观察数与理论数之差
Ai－Ti 应该比较接近0。
所以在H0为真时，检验统计量
2 P
k i 1
( Ai
Ti )2 Ti
服从自由度为（r-1）×（c-1）的卡方分布。
当
2 P
2 ,v，拒绝H0。
上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问
题的检验，特别最常用的是两个样本率的检验
进一步，在掌握关键影响因素，如品种、施肥量因素等之后，我们 还要对不同的品种、不同的施肥量条件下的产量进行对比分析，研究究 竟哪个品种的产量高，施肥量究竟多少最合适，哪种品种与哪种施肥量 搭配最优，等等。在这些分析研究的基础上，我们就可以计算出各个组 合方案的成本和收益，并选择最合理的种植方案，主动的在农作物种植 过程中对各种影响因素加以准确控制，进而获得最理想的效果。
方差分析分类
单因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析
方差分析概述
方差分析的作用
在诸多领域的数量分析研究中，找到众多影响因素中重要的影响因 素是非常重要的。比如：在农业生产中，我们总是希望在尽量少的投入 成本下得到较高的农作物产量。这就需要首先分析农作物的产量究竟受 到哪些因素的影响。有许多因素会影响农作物的产量，如种子的品种、 施肥量、气候、地域等，他们都会给农作物的产量带来或多或少的影响。 如果我们能够掌握在众多的影响因素中，哪些因素对农作物的产量起到 了主要的、关键性的作用，我们就可以根据实际情况对这些关键因素加 以控制。
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于比较两个或更多个样本均值是否存在差异。
它通过分析不同组之间的方差来评估组内和组间的变异情况，进而得出结论。
一、方差分析的基本思想方差分析基于以下两个基本假设：1. 原假设（H0）：各总体均值相等，即样本所来自的总体没有差异；2. 备择假设（H1）：各总体均值不相等，即至少存在一个样本来自于与其他样本不同的总体。
二、一元方差分析（One-way ANOVA）一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，它将样本根据自变量分为两个或多个组，然后比较这些组之间的均值差异。
下面以一个简单的案例来说明一元方差分析。
假设我们要研究三种不同肥料对植物生长的影响，我们将随机选取三个试验区，分别施用A、B和C三种不同的肥料，每个试验区都观察到了相应植物的生长情况（例如植物的高度）。
我们的目标是通过方差分析来判断这些不同肥料是否对植物的生长有显著的影响。
在执行一元方差分析之前，我们首先需要验证方差齐性的假设。
如果各组样本的方差相等，我们就可以继续使用方差分析进行比较。
常用的方差齐性检验方法有Bartlett检验和Levene检验。
在通过方差齐性检验后，我们可以进行一元方差分析。
分析结果将提供两个重要的统计量：F值和P值。
F值表示组间均方与组内均方的比值，P值则表示了接受原假设的概率。
如果P值较小，则说明组间的差异是显著的，我们可以拒绝原假设，接受备择假设，即不同肥料对植物生长有显著影响。
三、多元方差分析（Two-way ANOVA）多元方差分析适用于有两个以上自变量的情况，分析对象的均值差异可以归因于两个或多个自变量的相互作用。
这种分析方法常用于研究两个或多个因素对实验结果的影响情况。
以品牌和价格对手机销量的影响为例，我们假设品牌和价格是两个自变量，手机销量是因变量。
我们可以将样本分成不同的组合，比如将不同品牌的手机按不同的价格段进行分类。
统计学中的卡方检验与方差分析
统计学中的卡方检验与方差分析统计学是一门重要的学科，它帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势。
在统计学中，卡方检验和方差分析是两个常用的分析方法，它们在研究中起着重要的作用。
一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联的方法。
它基于观察值和期望值之间的差异来判断变量之间的关系。
在卡方检验中，我们首先需要建立一个假设。
通常情况下，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指两个变量之间不存在关联，备择假设则是指两个变量之间存在关联。
然后，我们会进行观察值和期望值的计算。
观察值是指实际观察到的数据，而期望值是基于原假设计算得出的数据。
接下来，我们会计算卡方统计量。
卡方统计量是观察值和期望值之间差异的度量，它的计算公式是：卡方统计量= Σ((观察值-期望值)^2 / 期望值)最后，我们会根据卡方统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
自由度是指用于计算卡方统计量的独立变量的个数。
卡方检验可以应用于很多领域，比如医学研究、市场调查等。
它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在关联，从而对研究结果进行解释和推断。
二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。
它通过分析样本内部的差异和样本之间的差异来判断均值是否存在显著性差异。
在方差分析中，我们首先需要建立一个假设。
与卡方检验类似，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设是指样本之间的均值没有显著差异，备择假设则是指样本之间的均值存在显著差异。
然后，我们会计算组内方差和组间方差。
组内方差是指样本内部的差异，而组间方差是指样本之间的差异。
接下来，我们会计算F统计量。
F统计量是组间方差与组内方差的比值，它的计算公式是：F统计量 = 组间方差 / 组内方差最后，我们会根据F统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于很多领域，比如教育研究、工程实验等。
它可以帮助我们比较不同组别的均值差异，从而对实验结果进行评估和解释。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
方差分析
k SSE (n 1) Si 2 i 1
均 方 MST MSA MSE F P
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P20
方差分析
方差分析的基本思想是： 通过分析两种不同来源的变异对总变异的贡献大小， 从而确定可控因素对研究结果影响的大小（显着性）。
要解决的问题 – 检定 k 个母体（k个处理）的平均数是否存在差异 – 即检定大母体的变异大小，越集中代表越相似，越 分散代表越不一样
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P14
假设检验
样本
μ 平均值 单样本 Z (σ已知) 单样本 t (σ未知)
双样本 ( σ 12= σ 2 2 ) 配对 (成队检验) 方差分析 F-test ( σ 12= σ 2 2 = σ i 2 )
P3
方差分析理论基础
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P4
请大家思考一些问题：
1、如果有6个总体平均值比较，是否可以通过两两 进行假设检验得出？ 2、如果把样本平均数两两比较一共有多少对？
C62=15对
3、每对都以0.95的置信度得出均值相等的结论,但 由此得出这6个总体均值都相等，这一结论的置信 度是多少？
Percent
70 60 50 40 30 20 10 5
1
9.92
9.94
9.96
9.98 C 机床
10.075
10.00
10.02
10.04
1
9.950
D 机床 本文Minitab 仅供课程讲解使用，如有需求请支持正版
方差分析
• 例题：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。
噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、 弱。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。 随机抽取12名被试，再把他们分到强、中、无 三个实验组。每组被试接受数学测验时戴上耳 机。强噪音组、中噪音组的被试通过耳机分别 接受100、50分贝的噪音； 无噪音组的被试 则没有任何噪音。数学测验完后，计算每位被 试的错误频数。
查F值表进行F检验并作出决断
• 注意：
• 1.确定显著性水平 • 2.明确用单侧检验还是双侧检验
方差齐性检验
• 哈特莱最大F比率法：找出要比较的几个组内 方差中的最大值与最小值代入下式:
F max
S 2 S
2
max min
• 然后查F max临界值表，当算出的 F max小于表中相 应的临界值，就可认为要比较的样本方差两两 之间均无显著差异。
SSB MSB df B
SSW MSW df w
自由度的计算
• 组间自由度
• 组内自由度 • 总自由度
df B =k-1 df w =N-k
dfT
=N-1
• dfT = df B + df w
两个均方值之比为F统计量：
SSB / (k 1) MSB F SSW / (N k ) MSWE0.05来自SE X MS
n
E
• 4 用标准误乘以q的临界值就是对应于某 一个r值的两个平均数相比较时的临界值。
• 临界值,又称阀值，英文称 critical value，是指一个效应能 够产生的最低值或最高值。临界 值在数据分析中常常用来判定差 异情况 。
4、把5个平均数两两之间的差异与相应的 比较。但用这些差数与 q .SE 比较时一定要注意对应 于哪个r值。 例如： X E - X C =4.5，这时r=4-2+1=3，当r=3时 q0.05.SE X =3.49×1.738=6.06，因此应该将4.5与6.06 相比较。
方差分析
二、数学模型
对于由样本估计的线性模型为：
xij =x + ti +eij x －样本平均数 ti －样本处理效应 eij －试验误差 xij =μ + τi +εij
二、数学模型
根据的τi不同假定，可将数学模型分为以下三种：
固定模型
随机模型
混合模型
二、数学模型
(一)固定模型(fixed model) 指各个处理的效应值τi 是固定值，各个的 平均效应τi ＝ μi － μ是一个常量，且∑τi
2.无统一的试验误差，误差估计 的精确性和检验的灵敏性低。 t检验：C42 ＝6次
缺 点
需计算 6个标准误
误差估计不统一
误差估计精确性降低
3.推断的可靠性低，检验时犯α错误 概率大。
t检验： C42 ＝6次 6次检验 相互独立 H0的概率： 1-α ＝0.95
缺 点
例如我们用t检验的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性
T2 x2
… … … … … …
… …
xi1 xi2 … xij … xin
Ti xi
… … … … … …
xk1 xk2 … xkj … xkn
( xi – x )
处理内的变异是 由随机误差引起：
总和 平均
… Tk T=∑xij … xk x
(x- xi )
根据线性可加模型，则有：
(x - x )＝ (x- xi )+ ( xi – x )
4. 方差的同质性检验
二、数学模型
假定有k组观测数据，每组有n个观测值，则共有nk个观测值
处理 重复
1 2 … j … n
1
2
…
i
卡方检验和方差分析
1、卡方检验是对两个或两个以上样本率（构成比）进行差别比较的统计方法，在临床和医学实验中应用十分广泛，特别是临床科研中许多资料是计数资料，就需要用到卡方检验。
资料类型：1、四格表资料;两个样本率比较2、配对四格表：3、行列表资料：多个样本率比较2、方差分析1、定义、目的：用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。
方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。
其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
我们要学习的主要内容包括：2、单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析（one-way ANOVA）：用途：用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其目的是推断各样本所代表的总体均数是否相等。
完全随机设计（completely random design）不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因素，但可以有两个或多个水平，所以亦称单因素实验设计。
在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个处理因素的多个水平中去，然后观察各组的试验效应；在观察研究（调查）中按某个研究因素的不同水平分组，比较该因素的效应。
还可用于方差齐性检验、回归系数假设检验、相关系数假设检验3、两因素方差分析即配伍组设计的方差分析（two-way ANOVA）：用途：用于随机区组设计的多个样本均数比较，其目的是推断各样本所代表的总体均数是否相等。
随机区组设计考虑了个体差异的影响，可分析处理因素和个体差异对实验效应的影响，所以又称两因素实验设计，比完全随机设计的检验效率高。
该设计是将受试对象先按配比条件配成配伍组（如动物实验时，可按同窝别、同性别、体重相近进行配伍），每个配伍组有三个或三个以上受试对象，再按随机化原则分别将各配伍组中的受试对象分配到各个处理组。
值得注意的是，同一受试对象不同时间（或部位）重复多次测量所得到的资料称为重复测量数据（repeated measurement data），对该类资料不能应用随机区组设计的两因素方差分析进行处理，需用重复测量数据的方差分析。
方差分析
例题1
误差平方和计算
周一
张三 李四 王五
6
周二
56 50 61
3 2
周三
47 53 54
66
周四
51 59 58
周五
50 58 52
6
周六
45 49 51
均值
49 54 55
45 55 54
SSe ( x1nSSe49) ((xij2 n i54)2 x3n 2 SS3 246 x x ) 2 SS1 ( SS 55)2
(x
j 1
n
ij
xgg) ( xij xi g) 2 ( xij xi g)( xi g xgg)
2 2 j 1 j 1
n
n
( xi g xgg) 2
j 1
n
( xij xgg) 2 ( xij xi g) 2 ( xi g xgg) 2
第
章 方差分析
主要内容
方差分析的基本原理
相关术语 方差分析的基本原理 数学模型 平方和与自由度的分解 统计假设的显著检验－F检验 多重比较 组内观测次数相等的方差分析 组内观测次数不相等的方差分析
单因素方差分析
主要内容
二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析 具有重复观测值的二因素方差分析 缺失一个数据的估计方法 缺失两个数据的估计方法 方差分析的基本假定 数据转换
随机模型
在随机模型中，各处理的效应值τi 不是固定值，而是随 机因素引起的效应。 随机模型中τi是服从正态分布的随机变量，具有均值0和 方差σ2。 由随机模型得出的结论可推广到多个随机因素的所有水 平上。
09第9讲第六章-方差分析第一节-方差分析的基本原理与步骤
SSt==-∑C nT i 7.4428.1520764378323352335356=-++++ SSe=SST-SSt=603.2-442.7=160.5 进而计算各部分方差：68.11047.4422==t s 7.10155.1602==e s二、F 分布与F 检验1．F 分布设想在一正态总体N （μ，σ2）中随机抽取样本含量为n 的样本k 个，将各样本观测值整理成表6-1的形式。
此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。
因此，由上式算出的2t S 和2e S 都是误差方差2σ的估计量。
以2e S 为分母，2t S 为分子，求其比值。
统计学上把两个方差之比值称为F 值。
即 22/e t S S F =F 具有两个自由度：)1(,121-==-==n k df k df e t νν。
F 值所具有的概率分布称为F 分布。
F 分布密度曲线是随自由度df 1、df 2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df 1、df 2的增大逐渐趋于对称，如下图所示。
F 分布的取值范围是（0，+∞），其平均值F μ=1。
用)(F f 表示F 分布的概率密度函数，则其分布函数)(αF F 为：⎰0=<=αααF dF F f F F P F F )()()(因而F 分布右尾从αF 到+∞的概率为：⎰+∞=-=≥αααFdF F f F F F F P )()(1)(附表F 值表列出的是不同1ν和2ν下，P (F ≥αF )=0.05和P (F ≥αF )=0.01时的F 值，即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F 0.05，F 0.01。
如查F 值表，当v 1=3，v 2=18时，F 0.05=3.16，F 0.01=5.09，表示如以v 1=df t =3，v 2=df e =18在同一正态总体中连续抽样，则所得F 值大于3.16的仅为5%，而大于5.09的仅为1%。
2．F 测验F 值表是专门为检验2t S 代表的总体方差是否比2e S 代表的总体方差大而设计的。
方差分析
（1.2）
27 May 2020
方差分析
一、单因素方差分析的统计模型：
yij
诸 ij
i ij , j 1, 2,..., mi , i
相互独立，且都服从N
1,（21,..3.）., r,
(0, 2 )
总均值与效应的概念:
1）称诸 i 的平均
为总均值(或一般平均).
2）称第 ia水i=平i -下的为均A值i 的效i 与应总。均1n值ir1m的i 差i :
27 May 2020
方差分析
第26页
➢ 由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间 的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间
偏差平方和 SA r mi ( yi• y )2 表示，也称为 i 1
因子A的偏差平方和(或称为因子A的效应平方 和) ，其自由度为 fA=r1；
27 May 2020
27 May 2020
方差分析
第11页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为 此，我们把饲料称为因素，记为A，而三种不同的配方称为因素A的三 个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表 示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此， 需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用 方差分析的方法进行解决。
27 May 2020
方差分析
第15页
为对假设（1.1）进行检验，需要从每一水平下的
r
总体抽取样本，设n从 i第1 mi i个水平下的总体获得mi个试验结
果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如
假设检验与方差分析
决策:
拒绝H0
拒绝 H0
.025
结论:
有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异
-1.96
0
1.96
Z
总体均值的检验
(2未知小样本)
• 1. 假定条件
– 总体为正态分布 2未知，且小样本
• 2. 使用t 统计量
t
X 0 S n
~ t (n 1)
2 未知小样本均值的检验
t 检验
（单尾和双尾）
Z 检验
（单尾和双尾）
2检验
（单尾和双尾）
总体均值检验
总体均值的检验
(检验统计量)
是
总体 是否已知 ？
否
小 样本容量 n
用样本标 准差S代替
大
z 检验
z 检验
t 检验
Z
X 0
Z
X 0 S n
t
X 0 S n
n
总体均值的检验
(2 已知或2未知大样本)
独立样本 配对样本
比例
方差
Z 检验
(大样本)
t 检验
(小样本)
t 检验
(小样本)
Z 检验
F 检验
两个独立样本的均值检验
两个独立样本之差的抽样分布
总体1
1
1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
计算每一对样本 的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
决策:
拒绝 H0
. 205
在 = 0.05的水平上不能拒绝H0
结论:
不能否定研究者的估计
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汽车基地 http://www.qcbase.com 主机厂与供应商的信息、服务、交流中心! 海量管理资料下载，请登录：汽车基地 http://www.qcbase.com 《管理统计学》导学资料六——2检验和方差分析 这一讲的内容包括两个部分开平方检验和方差分析，重点是方差分析，在本章的学习中，同学们要了解方差分析的用途，2检验的作用和用途。学会和掌握方差分析表的使用，了解自由度的计算和F检验的作用，记住方差分析表中的五个等式和含义。 本章的关键术语： 方差分析(Analysis of Variance, 常简称为ANOVA)是用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值总体的方法。 SST-总离差方和(Sum of Square in Total )为各样本观察值与总均值的离差平方和。 SSTR-组间离差方和(Sum of Square Treatment)表示不同的样本组之间，由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。 SSE-组内离差方和(Sum of Square Error)表示同一样本组内，由于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内离差平方和。
本章学完后，你应当能够： 1、掌握用 2检验来解决独立性检验和拟合性检验的原理和基本方法，能解决最常见的这类检验问题。 2、了解和懂得单因素方差分析的原理和基本方法，能应用计算机解决最常见的方差分析问题。
一、2检验
2
检验的用途是检验两个变量之间的独立性和检验数据是否服从某个概率分布得拟
合检验。 我们经常会遇到受两个或两个以上因素（变量）影响的实验或观察数据，并要求判断两个变量之间是否存在相互联系的问题。如果两个变量之间没有联系则称作是独立的，否则就是不独立的。
用2 分布可以检验两个变量之间的独立性问题。此时我们首先将研究对象的观察数据按两个变量分别进行分类。。例如，按行对第一个变量进行分类，按列对第二个变量进行分类。按这种方法把所有的试验观察数据排列成的表称为列联表。
2
独立性检验的程序和前面介绍的参数假设检验一样，首先也要建立假设，然后
计算检验统计量的值。这次采用的检验统计这次采用的检验统计量就是2 ，再根据问题规定的显著性水平 查2 分布表，得到当原假设成立时检验统计量 允许的最大临界值，与计算所得的 2值作比较，得出接受或拒绝原假设的结论。具体步骤如下： 1. 提出假设 0H：两个变量是独立的，即相互之间没有影响， 汽车基地 http://www.qcbase.com 主机厂与供应商的信息、服务、交流中心! 海量管理资料下载，请登录：汽车基地 http://www.qcbase.com 1H：两个变量是不独立的，即相互之间有影响。 检验的结果如果接受原假设0H就说明不能推翻两个变量是独立的假设；反之，拒绝 ，接受1H
2将观测数据分类，计算检验统计量2
：
我们要将需要检验的变量分类，只作如下的表格： 变量B的分类 变量A的类别 1 2 ….. m 行总和 1 O11 O12 ….. O1m O1. 2 O21 O22 ….. O2m O2. ….. ….. ….. ….. ….. k Ok1 Ok2 ….. Okm Ok. 列总和 O.1 O.2 O.m n 这里,Oij表示具有第ij属性的观测的数量，i=1,2,..k,j=1,2,…m, Oi.表示第i行的观测书的总值，O.j表示第j列的观测数的总数。注意，这里Oij是实际观测到的数据分类得到的。我们在后面还要计算在原假设成立的是观测的理论数值。这里n是观测的总数。
定义2=2()OijEijEij，这里Oij是上边分类得到的实际观测数，Eij是与之相
应的位置上的期望值。Eij是根据概率计算的，在原假设下两个变量独立，因而有： 如果两事件独立，则它们的联合概率就等于它们分别概率的乘积，即落入第i j格的概率等于落入第i 行的概率与落入第j 列的概率的乘积。由此可得到当总的观察值的和为n 时，与观察值 相对应的期望值 可按下式计算得到。
Eij=n（.Oin）（.Ojn）=
..OiOj
n
利用上面的公式可以计算出相应的个各个位置上的期望值。如果计算所得到的期望值过小，则最后得到的检验统计量 就会估计过大，导致原假设被拒绝的概率过高。因此，实际检验中一般要求所有计算得到的期望值都不小于5。如果某些位置上的期望值小于5就可以把相邻的类别合并，使得结果计算得到的期望值都不小于5。3计算2检验
我们在上边计算的2值，就是反映两个变量独立性程度的变量。如果2=0，那么这两个变量独立，当2不等于0，2越大两个变量独立的可能性越小，当2达到一定的程度时我们就可以拒绝两个变量独立的假设。 为了确定这个临界值，我们就需要使用2分布。首先我们需要确定2的自由度，由于在计算期望值的时候，每行总数和每列总数的总和是确定的，因此自由度是行数-1和列数-1的乘积。如果第一个分类变量有r类，第二个分类变量有c类，那么自由度就是： 汽车基地 http://www.qcbase.com 主机厂与供应商的信息、服务、交流中心! 海量管理资料下载，请登录：汽车基地 http://www.qcbase.com (1)(1)dfrc，
这时，我们查自由度为(1)(1)dfrc的2分布，和前面一样计算0.95得分位数，就得到显著性水平为5%的临界值2((1)(1))rc，如果我们在第2布计算的2
2
((1)(1))rc，那么我们就要拒绝原假设，不能接受两个变量独立。
此外， 2分布也可以用来检验数据是否服从某个分布，如正态分布，泊松分布，二项分布等。这时的检验也成为拟和优度检验。这种检验的方法也是先将变量分类，计算理论值和观测值，在计算统计量和自由度。具体的操作办法感兴趣的同学可以参看课本和课件。
二、方差分析
方差分析主要用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异是否显著时是非常有用的。我们在前边的假设检验中，已经说明过了如何检验两个总体的均值是否相等的各种情况。方差分析的作用就是可以检验多个样本的均值是否相等。 1、问题的提出 例：为了比较三种不同材料对产品寿命的影响，试验人员分别对三种不同材料所制造的一组产品的寿命进行了测试，所得结果如下表所示 （为简化计算，以各取4个样本为例）。 3三种材料使用寿命的抽样统计表 材料种类 实验1 实验2 实验3 实验4 A 115 116 98 83 B 103 107 118 116 C 73 89 85 97 现要求根据上述试验结果，在显著性水平为某一特定值的条件下，检验所选用的材料对最终产品的使用寿命的影响是否显著。从统计的角度看，就是要检验三种不同的材料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。 通常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。否则就称为多因素方差分析。这里主要介绍单因素方差分析。 在本例中，因素就是可能影响产品使用寿命的材料。因素的不同选择方案称之为因素的水平。例中材料有三种不同的选择就说因素有三个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者是因素的分组，例如，可以在包装、质量、价格和销售区域等方面取不同的值或分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是当因素选不同的水平时，对结果有无显著的影响。若无显著影响，则随便选择哪一种材料都无所谓。否则就要选择最终产品寿命最长的一种材料。 汽车基地 http://www.qcbase.com 主机厂与供应商的信息、服务、交流中心! 海量管理资料下载，请登录：汽车基地 http://www.qcbase.com 一般地，我们假定所检验的结果受某一因素A的影响，它可以取K个不同的水平：1,2,3,…K。对于因素的每一个水平i都进行n次试验，结果分别为1iX ，2iX，。。。inX ，
我们把这一组样本记作假定iX ，inX2(,iN）即对于因素的每一个水平，所得到的结果都服从正态分布，且方差相等。 用统计的语言来表达，要检验的假设就是：
0:H01.....k
1:H不是所有的i 都相等 （1,2,3,...iK）。
由此可见，方差分析是研究一个或多个可分组的变量（称为自变量）与一个连续变量（因变量）之间的统计关系，并测定自变量在取各种不同水平时对因变量的影响和作用的一种统计分析方法。方差分析通过比较和检验在因素的不同水平下均值之间是否存在显著的统计差异的方法来测定因素的不同水平对因变量的影响和作用的差异。 2、方差分析的基本原理和步骤 方差分析的基本思路是一方面确定因素的不同水平下均值之间的方差，把它作为对由所有试验数据所组成的全部总体的方差的一个估计值。另一方面，再考虑在同一水平下不同试验数据对于这一水平均值的方差。由此，计算出对由所有试验数据所组成的全部数据的总体方差的第二个估计值；最后，比较上述两个估计值。如果这两个方差的估计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大，就接受零假设。否则，就说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大，就接受备择假设。 根据上述思路我们可以得到方差分析的方法和步骤。 （1）. 提出假设：
0:H01.....k
1:H不是所有的i 都相等 （1,2,3,...iK）。
（2）. 方差分解 我们先定义总离差平方和为各样本观察值与总均值的离差平方和。
记作211()KnkjkjSSTxx，，其中x时样本平均值，x11KnkjkjxN，这里NnK是全部观测的总数。
将总离差平方和分解为两部分：211()KnkjkjSSTxx
211()Knkjikjxx21*()Kkknxx