方差分析法

(2 1 5)
_
1 p x p r i 1
_ _
1 p xij p r i 1 j 1
r _
( a
j 1
r
i
ij )
(2 1 6) (2 1 7)
1 r 式中： i ij r j 1
1 p p r i 1

j 1
r
ij
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x 是的一个无偏估计量，记作 a i的无偏估计是 xi x，
_ _
_
x
_ _

_
（2－1－8） (2 1 9) (2 1 10)
即 ai xi x
于是(2-1-3)可以改写为： xij ai lij 式中:lij反映了误差
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_
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• 对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据的分解，可 以看到分组因素（温度）影响的大小和试验误差的大 小。（见39页表2-2）
因： 即： 移项： xij aij lij xij x ( xi x) ( xij xi ) ( xij x) ( xi x) ( xij xi )
i ( i ) ai
式中 1 p i p i 1 ai i
(2 1 2)
i 1, 2,......, p
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真实值
处理效应
称为一般平均。a i是i 对于的偏移，为A i的水平效应或主效应。 所以把i 理解为： （一般平均）＋（A i 平均效应） X ij a i ij i 1, 2,......, p (2 1 3)
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2、参数估计
参数估计即通过子样（样本，一组试验数据）算出统计量， 用这些统计量 和{ai }，它们的估计量用 和 a i 表示。 根据子样平均值的定义
_ 1 r 1 r xi xij ( ai ij ) ai i r j 1 r j 1 _
即：X ij （一般平均）＋（A i 平均效应）＋（误差） 显然{a i }之间有关系
a
i=1
p
i
0
(2 1 4)
a i ____ 表示水平A i 对试验结果产生的影响。
该数学模型的意义是：某因数在不同水平下，实验 结果由（2-1-3）式中的三部分组成。
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方差分析的数学模型的几条假定： （1）X ij a i ij （2） ai 0
i=1 p
i 1, 2,......, p j 1, 2,......, r
（3） ij是相互独立且遵从正态分布N（， 2） 由这三条建立的模型叫做线性模型。 建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题： （1）参数估计 （2）统计检验
一、试验数据构造模型
（一）单因素试验方差分析的数学模型
■
■
1、数学模型
设因素A取了p个水平，每个水平重复了r次试验。则水平Ai下j次试验
结果可以分解为： Xij＝i＋ ij 式中：i ______Ai 水平真值；
(2 1 1)
ij______数据中包含的误差值。
试验误差对每一次试验来说是一个不确定的量（数学上 称为随机变量）。但在多次试验中它式有一定规律的。
A 温度(℃) 得 率 (%) 平均得率
_
A1 60 90 92 88 90
A2 65 97 93 92 94
A3 70 96 96 93 95
A4 75 84 83 88 85
A5 80 84 86 82 84
指标
总平均 x 89.6
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总平均 x 89.6
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规律表现在： （） 1 ij正的和负的个数差不多，多个 ij的平均近于零； （2）误差小的比误差大的多； （3）不同试验之间，误差的大小是不相关的，即 ij之间是彼此独立的。 用一句话来说， ij是相互独立的随机变量。遵从正态分布N（， 2） 式(2-1-1)中i 和 ij都是未知的。而真值i可表达为：
根据(2-1-10)对试验数据进行分解，通过数据的分解可看出 水平效应和误差大小。
试验设计的关键：是把水平效应和实验误差分开， 估计它们的值，并进行显著性检验。
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• 例2－1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五 种不同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下： 因素 水平 表2－1测定结果
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(2 1 11)
上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值 之变差以及测量值与组平均值之变差的和。
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方差分析的基本方程式（即方差和的加和性原理）： ( xij x) 的加和 ( xi x) 的加和 ( xij x i ) 2的加和

x 89.6
a1 x1 x 90 89.6 0.4 a2 x2 x 94 89.6 4.4 a3 x3 x 95 89.6 5.4 a4 x4 x 85 89.6 4.6 a5 x5 x 84 89.6 5.6
_
依(2-1-10)式有： l11 x11 a1 90 89.6 0.4 0 l12 x12 a1 92 89.6 0.4 2 l13 x13 a1 88 89.6 0.4 2 这样xij 就可以分解成三个数之和： x11 89.6 0.4 0 x12 89.6 0.4 2 x13 89.6 0.4 2