2020-2021常州市天宁区正衡中学九年级数学综合练习一-详细答案版

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2020-2021常州市天一中学九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)

2020-2021常州市天一中学九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（） A ． B ． C ．D ．3．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（） A ．m ＝3，n ＝2 B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 7．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，60B ∠=o ，1BC =，''A B C V 由ABC V 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（）A ．3B ．23C ．4D ． 43 9．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角10．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1611．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．16．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．17．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）18．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．19．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交»AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作»CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .20．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．三、解答题21．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球,其中红球有x个,白球有2x个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜.(1)当x=3时,谁获胜的可能性大?(2)当x为何值时,游戏对双方是公平的?22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）当BC ＝4时，求阴影部分的面积．23．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.24．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n 个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．25．如图，Rt △ABC 中，∠C=90o ，BE 是它的角平分线，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ．（1）试说明：AC 是圆O 的切线；（2）若∠A=30o ，圆O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B 作⊙O 的直径BM ，连接AM ，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C ，∴∠MBA=∠CBD ，过O 作OE ⊥AB 于E ，Rt △OEB 中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan ∠MBA=OE BE =34，因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34，故选D ．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.3．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1，则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方，∴244ac b a＞0，④错误；故选B.4．D解析：D【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．8．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．9．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.10．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．11．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．12．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。

2020-2021常州市天一中学九年级数学上期末第一次模拟试卷(及答案)

【详解】
∵关于的一元二次方程的两根为，
∴ 或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；
22．用你喜欢的方法解方程
（1）x2﹣6x﹣6＝0
（2）2x2﹣x﹣15＝0
23．如图，已知二次函数的图象经过点 .
（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
24．已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1.x2.
A．0，4B．－3，5C．－2，4D．－3，1
5．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（）
A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象
B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象

2020-2021常州市正衡中学九年级数学下期中试卷(及答案)

【详解】
解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴BC：BD=AB：BC，
∴BC：BD=（AD+BD）：BC，
即BC：4=（2+4）：BC，
∴BC=2 .
故答案为：2 .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
23．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）
= = ，C错误；
= = ，D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；

2021-2022学年江苏省常州市天宁区正衡中学中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：①ac＜1；②a+b＜1；③4ac＞b2；④4a+2b+c＜1．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（）A．B．C．D．3．为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）A．0.1 B．0.2C ．0.3D ．0.44．已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（） A ．13B ．11或13C ．11D ．125．计算﹣8+3的结果是（） A ．﹣11B ．﹣5C ．5D ．116．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（） A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°7．下列说法正确的是（）A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是2=0.4S 甲，2=0.6S 乙，则甲的射击成绩较稳定C ．“明天降雨的概率为12”，表示明天有半天都在降雨 D ．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式8．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E ，则阴影部分面积为（）A ．πB ．32π C ．6﹣πD ．23﹣π9．某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查(每人只参加其中的一项活动),调查结果如图所示,根据图形所提供的样本数据,可得学生参加科技活动的频率是( )A ．0.15B ．0.2C ．0.25D ．0.310．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为（）A ．45B ．54C ．43D ．34二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．关于x 的方程2230mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是__________．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，连接AC 、BD ，若S 四边形ABCD ＝18，则BD 的最小值为_________．13．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m 的点B 处，用高为0.8m 的测角仪测得筒仓顶点C 的仰角为63°，则筒仓CD 的高约为______m ．（精确到0.1m ，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）14．如图，▱ABCD 中，AC ⊥CD ，以C 为圆心，CA 为半径作圆弧交BC 于E ，交CD 的延长线于点F ，以AC 上一点O 为圆心OA 为半径的圆与BC 相切于点M ，交AD 于点N ．若AC=9cm ，OA=3cm ，则图中阴影部分的面积为_____cm 1．15．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知，S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.16．若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝_____．17．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．对雾霾了解程度的统计表：对雾霾的了解程度百分比A．非常了解5%B．比较了解mC．基本了解45%D．不了解n请结合统计图表，回答下列问题．（1）本次参与调查的学生共有人，m=，n=；（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；（3）请补全条形统计图；（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．19．（5分）如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C；（2）A的对应点为A1，写出点A1的坐标；（3）求出B旋转到B1的路线长．20．（8分）我市计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？21．（10分）问题：将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，AB ＝5，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整．（1）在AB 边上取点E ，使AE ＝4，连接OA ，OE ；（2）在BC 边上取点F ，使BF ＝______，连接OF ；（3）在CD 边上取点G ，使CG ＝______，连接OG ；（4）在DA 边上取点H ，使DH ＝______，连接OH ．由于AE ＝______＋______＝______＋______＝______＋______＝______．可证S △AOE ＝S 四边形EOFB ＝S 四边形FOGC ＝S 四边形GOHD ＝S △HOA ．22．（10分）已知：如图.D 是ABC 的边AB 上一点，//CN AB ，DN 交AC 于点M ，MA MC =. （1）求证：CD AN =；（2）若2AMD MCD ∠=∠，试判断四边形ADCN 的形状，并说明理由.23．（12分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，点D 是弧BC 中点，过点D 作⊙O 切线DF ，连接AC 并延长交DF 于点E ．（1）求证：AE ⊥EF ；（2）若圆的半径为5，BD ＝6 求AE 的长度．24．（14分）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x ；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、C 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x =1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a >1；该函数图象交于y 轴的负半轴， ∴c <1；0ac <故①正确； ②对称轴12bx a=-=，2,b a ∴=- ∴02ba<， ∴b <1； 20,a b a a a +===-<故②正确；③根据图示知，二次函数与x 轴有两个交点,所以240b ac =->,即24b ac >，故③错误 ④42440,a b c a a c c ++=-+=<故本选项正确．正确的有3项故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系.二次项系数a 决定了开口方向，一次项系数b 和二次项系数a 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了与y 轴的交点位置．2、C【解析】先根据俯视图判断出几何体的形状，再根据主视图是从正面看画出图形即可．【详解】解：由俯视图可知，几何体共有两排，前面一排从左到右分别是1个和2个小正方体搭成两个长方体，后面一排分别有2个、3个、1个小正方体搭成三个长方体，并且这两排右齐，故从正面看到的视图为：．故选：C．【点睛】本题考查几何体三视图，熟记三视图的概念并判断出物体的排列方式是解题的关键．3、B【解析】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40，∴=0.1．故选B．4、B【解析】试题解析：x2-8x+15=0，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，可得x-3=0或x-5=0，解得：x1=3，x2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=1；若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，综上，△ABC的周长为11或1．故选B.考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质．5、B【解析】绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．依此即可求解．【详解】解：−8＋3＝−2．故选B．【点睛】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有1．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．6、C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，故选C．7、B【解析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．【详解】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；C、“明天降雨的概率为12”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B．【点睛】本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．8、C【解析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积是△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积．【详解】由题意可得，BC=CD=4，∠DCB=90°，连接OE，则OE=12 BC，∴OE∥DC，∴∠EOB=∠DCB=90°，∴阴影部分面积为：2••90222360 BC CD OE OBπ⨯⨯--=4422904 22360π⨯⨯⨯⨯--=6-π，故选C．【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9、B【解析】读图可知：参加课外活动的人数共有(15+30+20+35)=100人，其中参加科技活动的有20人，所以参加科技活动的频率是20100=0.2，故选B.10、D【解析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tanA＝BCAC＝34，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、13m<且0m≠【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞1且m≠1，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m＞1且m≠1，∴m＜13且m≠1，故答案为：m＜13且m≠1．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．12、6【解析】过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，先根据“AAS”证明△DAM≌△BAN,再证明四边形AMCN为正方形,可求得AC=6,从而当BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.【详解】如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，则∠MAN＝90°,∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,∴∠DAM＝∠BAN.∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,∴△DAM≌△BAN,∴AM＝AN,∴四边形AMCN为正方形,∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝12AC2,∴AC=6,∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.故答案为：6.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.13、40.0【解析】首先过点A作AE∥BD，交CD于点E，易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，然后Rt△ACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高.【详解】过点A作AE∥BD，交CD于点E，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠BAE＝∠ABD＝∠BDE＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE＝BD＝20m，DE＝AB＝0.8m，在Rt△ACE中，∠CAE＝63°，∴CE＝AE•tan63°＝20×1.96≈39.2（m），∴CD＝CE＋DE＝39.2＋0.8＝40.0（m）．答：筒仓CD的高约40.0m，故答案为：40.0【点睛】此题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14、11π﹣6334．【解析】阴影部分的面积=扇形ECF 的面积-△ACD 的面积-△OCM 的面积-扇形AOM 的面积-弓形AN 的面积．【详解】解：连接OM ，ON .∴OM =3，OC =6，∴30ACM ∠=， ∴33CD AB ==，∴扇形ECF 的面积2120π927π360⋅==； △ACD 的面积2732AC CD =⨯÷= 扇形AOM 的面积2120π33π360⋅==；弓形AN 的面积2120π31393333π360224⋅=-⨯⨯=- △OCM 的面积1933332=⨯⨯= ∴阴影部分的面积=扇形ECF 的面积−△ACD 的面积−△OCM 的面积−扇形AOM 的面积−弓形AN 的面积2633(21π.= 故答案为63321π-【点睛】考查不规则图形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.15、S△AEF S△FMC S△ANF S△AEF S△FGC S△FMC【解析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【详解】S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（S△ANF+S△FCM）．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FG C=S△FMC，可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．故答案分别为S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．16、1【解析】根据判别式的意义得到△＝（﹣8）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【详解】△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．17、AC=BC．【解析】分析：添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．详解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题（共7小题，满分69分）18、解：（1）400；15%；35%．（2）1．（3）∵D等级的人数为：400×35%=140，∴补全条形统计图如图所示：（4）列树状图得：∵从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，∴小明参加的概率为：P（数字之和为奇数）82 123 ==；小刚参加的概率为：P（数字之和为偶数）41 123 ==．∵P（数字之和为奇数）≠P（数字之和为偶数），∴游戏规则不公平．【解析】（1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数：180÷45%=400人．在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值：60m100%15%n15%15%45%35% 400=⨯==---=，．（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D 部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=1°．（3）根据D等级的人数为：400×35%=140，据此补全条形统计图．（4）用树状图或列表列举出所有可能，分别求出小明和小刚参加的概率，若概率相等，游戏规则公平；反之概率不相等，游戏规则不公平．19、（1）画图见解析；（2）A1（0，6）；（3）弧BB1=102π．【解析】(1)根据旋转图形的性质首先得出各点旋转后的点的位置，然后顺次连接各点得出图形；(2)根据图形得出点的坐标；(3)根据弧长的计算公式求出答案．【详解】解：(1)△A1B1C如图所示．(2)A1（0，6）．(3) 221310,BC=+=1901010. 1801802n rBB ππ∴===．【点睛】本题考查了旋转作图和弧长的计算.20、（1）这项工程规定的时间是20天；（2）该工程施工费用是120000元【解析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设这项工程规定的时间是x天根据题意，得1010511.5x x++=解得x＝20经检验，x＝20是原方程的根答：这项工程规定的时间是20天（2）合作完成所需时间111()1220 1.520÷+=⨯（天）（6500＋3500）×12＝120000（元）答：该工程施工费用是120000元【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．21、(1)见解析；（2）3；（3）2；（4）1，EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA【解析】利用菱形四条边相等，分别在四边上进行截取和连接，得出AE=EB+BF=FC+CG+GD+DH=HA，进一步求得S△AOE＝S四边形EOFB＝S四边形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．即可．【详解】（1）在AB边上取点E，使AE＝4，连接OA，OE；（2）在BC边上取点F，使BF＝3，连接OF；（3）在CD边上取点G，使CG＝2，连接OG；（4）在DA边上取点H，使DH＝1，连接OH．由于AE＝EB＋BF＝FC＋CG＝GD＋DH＝HA．可证S△AOE＝S四边形EOFB＝S四边形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．故答案为：3，2，1；EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直是解题的关键.22、（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.【解析】（1）根据平行得出∠DAM＝∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD＝CN，推出四边形ADCN是平行四边形即可；（2）根据∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC求出∠MCD＝∠MDC，推出MD＝MC，求出MD＝MN ＝MA＝MC，推出AC＝DN，根据矩形的判定得出即可．【详解】证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，∵在△AMD和△CMN中，∠DAM＝∠NCMMA＝MC∠DMA＝∠NMC，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；（2）解：四边形ADCN是矩形，理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由（1）知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．23、（1）详见解析；（2）AE＝6.1．【解析】(1)连接OD，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】(1)连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵点D是弧BC中点，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥EA，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，22221068AD AB BD=-=-=，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴AD AE AB AD=，即8108AE=，解得：AE=6.1．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．24、(1) x=2；(2)苗圃园的面积最大为12.5平方米，最小为5平方米；(3) 6≤x≤4.【解析】（1）根据题意得方程求解即可；（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（31-2x）=-2x2+31x，根据二次函数的性质求解即可；（3）由题意得不等式，即可得到结论.【详解】解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31－2x)米．依题意可列方程x(31－2x)＝72，即x2－15x＋36＝1．解得x1＝3，x2＝2．又∵31－2x≤3，即x≥6，∴x=2(2)依题意，得8≤31－2x≤3．解得6≤x≤4．面积S＝x(31－2x)＝－2(x－152)2＋2252(6≤x≤4)．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝4时，S有最小值，S最小＝4×(31－22)＝5．(3)令x(31－2x)＝41，得x2－15x＋51＝1．解得x1＝5，x2＝1∴x的取值范围是5≤x≤4．。

江苏省常州市天宁区正衡中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

江苏省常州市天宁区正衡中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列四个多项式中，不能因式分解的是（）A ．a 2+a B ．22m n -C ．24x +D ．269a a ++2、（4分）的值为3，那么的值是（）A ．3B ．9C ．－3D ．3或－33、（4分）在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能情况是（）A ．2：7：2：7B ．2：2：7：7C ．2：7：7：2D ．2：3：4：54、（4分）如图，正方形ABCD 中，3DC DF =，连接AF 交对角线BD 于点E ，那么:DEF AEB S S ∆∆=（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:95、（4分）在直角坐标系中，线段A B ''是由线段AB 平移得到的，已知()()()2,3,3,1,3,4,A B A '--则B '的坐标为（）A ．()1,1B ．()2,2C ．()3,3D ．()4,46、（4分）下列由左到右的变形中,属于因式分解的是（）A ．()()24416x x x +-=-B ．()2ax axy ax ax x y ++=+C ．()()222m mn n m n m n -+=+-D ．()()2422a a a -=+-7、（4分）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知在AC 上一点P （2.4，2）平移后的对应点为P 1，点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，则P 2点的坐标为A ．（1.4，－1）B ．（1.5，2）C ．（1.6，1）D ．（2.4，1）8、（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A ．B C D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在AD 上，5,11,AF cm BF cm FBD CBD ==∠=∠，点E 是BC 的中点，若点P 以1厘米/秒的速度从A 点出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2厘米/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 运动，点P 运动到F 停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P 运动时间是_____秒时，以点P Q E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形．10、（4分）在△ABC 中，BC=a ．作BC 边的三等分点C 1，使得CC 1：BC 1=1：2，过点C 1作AC 的平行线交AB 于点A 1，过点A 1作BC 的平行线交AC 于点D 1，作BC 1边的三等分点C 2，使得C 1C 2：BC 2=1：2，过点C 2作AC 的平行线交AB 于点A 2，过点A 2作BC 的平行线交A 1C 1于点D 2；如此进行下去，则线段A n D n 的长度为______________.11、（4分）．12、（4分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，则乙施工队单独完成此项工程需_____天．13、（4分）如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点A （m ，3），则不等式24x ax >+的解集为___________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．（1）求日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？15、（8分）解下列方程：（1）26x x +=（2）11322x x x -=---16、（8分）如图,直线1y x =-+与直线3y x =-，两直线与x 轴的交点分别为A 、B .(1)求两直线交点C 的坐标；(2)求ABC ∆的面积.17、（10分）如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上不同两点，//BE DF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形．18、（10分）如图1，在△ABC 中，AB=BC=5，AC=6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、BE ，且AC 和BE 相交于点O.(1)求证：四边形ABCE 是菱形；(2)如图2,P 是线段BC 上一动点(不与B ．C 重合)，连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，过Q 作QR ⊥BD 交BD 于R.①四边形PQED 的面积是否为定值?若是，请求出其值；若不是，请说明理由；②以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与以点B ．C ．O 为顶点的三角形是否可能相似?若可能，请求出线段BP 的长；若不可能，请说明理由.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．20、（4分）直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若3a =，4b =，则c =__________．21、（4分）如图，在正方形ABCD 中，H 为AD 上一点，∠ABH ＝∠DBH ，BH 交AC 于点G ．若HD ＝2，则线段AD 的长为_____．22、（4分）计算：．学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………23、（4分）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，平面直角坐标系中，点4(0)A ，在y 轴上，点()80B -，在x 轴上.(1)求直线AB 的解析式；(2)若x 轴上有一点P 使得2APO ABO ∠=∠时，求ABP ∆的面积.25、（10分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE （1）求证：CE=CF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？26、（12分）解不等式组1121x x x -+-⎧⎨≥-⎩＞①②参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】逐项分解判断，即可得到答案.【详解】解：A选项a2+a=a（a+1）；B选项22m n-=（m+n）（m-n）；C选项.24x+不能因式分解；D选项.269a a++=（a+3）2.故选C本题解题的观念是理解因式分解的概念和常见的因式分解方法，即：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）.2、D【解析】3x==，∴3x=±．故选D．考点：二次根式的性质．3、A【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：1：2：1．故选：A．此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．4、D【解析】∽S△AEB，再根据相似三角形的面积比为相似比的平方即可得解．根据正方形的性质易证S△DEF【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EDF=∠EBA，∠EFD=∠EAB，AB=DC，∴DEF AEB，∵DC＝3DF，∴DF:AB=1:3：S△AEB＝1：9.∴S△DEF故选：D．本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．5、B【解析】根据点A和点A′的坐标判断出平移方式，根据平移方式可得点B 的坐标．【详解】解：∵点A的坐标为（−2，3），A′的坐标为（3，4），∴线段AB向上平移1个单位，向右平移5个单位得到线段A′B′，∵点B的坐标为（−3，1），∴点B′的坐标为（2，2），故选：B．此题主要考查了坐标与图形变化—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6、D【解析】根据因式分解的定义，逐个判断即可．【详解】解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、ax2+axy+ax=ax（x+y+1），因式分解错误，故本选项不符合题意；C、m2-2mn+n2=（m-n）2，因式分解错误，故本选项不符合题意；D 、属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．7、C 【解析】试题分析：∵A 点坐标为：（2，4），A 1（﹣2，1），∴平移和变化规律是：横坐标减4，纵坐标减1．∴点P （2.4，2）平移后的对应点P 1为：（－1.6，－1）．∵点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，∴点P 1和点P 2关于坐标原点对称．∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P 2点的坐标为：（1.6，1）．故选C ．8、C 【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A =B 102=不是最简二次根式，错误；C 、D 10=不是最简二次根式，错误；故选：C ．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、3或13 3【解析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBD=∠CBD，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=11cm，∵AF=5cm，∴AD=16cm，∵点E是BC的中点，∴CE=12BC=12AD=8cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：①当点Q在EC上时，根据PF=EQ可得:5-t=8-2t，解得：t=3；②当Q在BE上时，根据PF=QE可得：5-t=2t-8，解得：t=13 3．所以，t的值为：t=3或t=13 3．故答案为：3或13 3．本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．10、1 23nna【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A 1D 1=C 1C ，总结规律，根据规律解答．【详解】∵A 1C 1∥AC ，A 1D 1∥BC ，∴四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，∴A 1D 1=C 1C=13a=11123a -，同理，四边形A 2C 2C 1D 2为平行四边形，∴A 2D 2=C 1C 2=29a=21223a -，……∴线段A n D n =123n n a -，故答案为：123n n a -．本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．11、【解析】==．12、2．【解析】求的是工效，工作时间，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作总量+乙22天的工作总量=2．【详解】解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需45x 天．根据题意得：1012+=145x x．解这个方程得：x=3．经检验：x=3是所列方程的解．∴当x=3时，45x=2．故答案为2应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．13、x≥1．5【解析】试题分析：首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x ＞ax+4的解集即可．解：∵函数y=2x过点A（m，3），∴2m=3，解得：m=3 2，∴A（32，3），∴不等式2x＞ax+4的解集为x＞3 2．故答案为x＞3 2．考点：一次函数与一元一次不等式．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2140(4058)82(5871)x xyx x-+⎧=⎨-+<⎩；（2）55元【解析】（1）分情况讨论,利用待定系数法进行求解即可解题,（2）根据收支平衡的含义建立收支之间的等量关系进行求解是解题关键.【详解】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，60），（58，24）代入y ＝kx+b ，得：40605824k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2140k b =-⎧⎨=⎩，∴当40≤x≤58时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x+140；当理可得，当58＜x≤71时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x+1．综上所述：y 与x 之间的函数关系式为2140(4058)82(5871)x x y x x -+⎧=⎨-+<⎩ ．（2）设当天的销售价为x 元时，可出现收支平衡．当40≤x≤58时，依题意，得：（x ﹣40）（﹣2x+140）＝100×3+150，解得：x 1＝x 2＝55；当57＜x≤71时，依题意，得：（x ﹣40）（﹣x+1）＝100×3+150，此方程无解．答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．本题考查了用待定系数法求解一次函数,一次函数的实际应用,中等难度,熟悉待定系数法,根据题意建立等量关系是解题关键.15、(1)123,2x x ==-；（2）无解【解析】（1）移项，再因式分解求解即可.（2）方程变形后去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】（1）260x x --=(3)(2)0x x -+=123,2x x ==-．（2）1(1)3(2)x x =----2x =经检验，2x =是原方程的增根，∴原方程无解本题主要考查了解方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.16、（1）A（1，0），B（3，0）；（2）1【解析】分析：（1）通过解方程组组13y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得到C 点坐标；（2）先确定A 点和B 点坐标，然后根据三角形面积公式求解.详解:(1)由13y x y x =-+⎧⎨=-⎩得21x y =⎧⎨=-⎩∴()2,1C -.(2)在1y x =-+中，当0y =时，1x =∴()1,0A 在3y x =-中，当0y =时，3x =∴()3,0B ∴2AB =∴12112ABC S ∆=⨯⨯=.点睛：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．17、证明见解析.【解析】连接BD 交AC 于O ，根据平行四边形性质得出OA OC =，OB OD =，根据平行线性质得出BEO DFO ∠∠=，根据AAS 证BEO ≌DFO ，推出OE OF =，根据平行四边形的判定推出即可．【详解】连接BD 交AC 于O ，四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OD OB =，BE //DF ，BEO DFO ∠∠∴=，在BEO 和DFO 中，BEO DFO BOE DOF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BEO ∴≌()DFO AAS ，OE OF ∴=，OB OD =，∴四边形BFDE 是平行四边形．本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，对顶角相等，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18、（1）见解析；（2）①24，②；【解析】（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；（2）①首先过E 作EF ⊥BD 交BD 于F ，则∠EFB=90°，证出△QOE ≌△POB ，利用QE=BP ，得出四边形PQED 的面积为定值；②当∠QPR=∠BCO 时，△PQR ∽△CBO ，此时有OP=OC=3，过O 作OG ⊥BC 交BC 于G ，得出△OGC ∽△BOC ，利用相似三角形的性质得出CG 的长，进而得出BP 的长．【详解】(1)证明：∵△ABC 沿BC 方向平移得到△ECD ，∴EC=AB ，AE=BC ，∵AB=BC ，∴EC=AB=BC=AE ，∴四边形ABCE 是菱形；(2)①四边形PQED 的面积是定值，理由如下：过E 作EF ⊥BD 交BD 于F,则∠EFB=90°，∵四边形ABCE 是菱形，∴AE ∥BC ，OB=OE ，OA=OC ，OC ⊥OB ，∵AC=6，∴OC=3，∵BC=5，∴OB=4,sin ∠OBC=，∴BE=8，∴EF=BE ⋅sin ∠OBC=8×，∵AE ∥BC ，∴∠AEO=∠CBO ，四边形PQED 是梯形，在△QOE 和△POB 中，∴△QOE ≌△POB ，∴QE=BP ，∴S =(QE+PD)×EF=(BP+DP)×EF=×BD×EF=×2BC×EF=BC×EF=5×=24；②△PQR 与△CBO 可能相似，∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO ，∴当∠QPR=∠BCO 时,△PQR ∽△CBO ，此时有OP=OC=3.过O 作OG ⊥BC 交BC 于G.∵∠OCB=∠OCB ，∠OGC=∠BOC ，∴△OGC ∽△BOC ，∴CG:CO=CO:BC ，即CG:3=3:5，∴CG=，∴BP=BC−PC=BC−2CG=5−2×=.此题考查相似形综合题,涉及了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，平移的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、15【解析】l 1∥l 2∥l 3,AB DE AB BC EF DE =++,所以6512.5AC =，所以AC =15.或5【解析】根据斜边分类讨论，然后利用勾股定理分别求出c 的值即可．【详解】解：①若b 是斜边长根据勾股定理可得：c ==②若c 是斜边长根据勾股定理可得：5c ==综上所述：c =5或5此题考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．21、2【解析】作HE ⊥BD 交BD 于点E ，在等腰直角三角形DEH 中求出HE 的长，由角平分线的性质可得HE=AH ，即可求出AD 的长.【详解】作HE ⊥BD 交BD 于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,∴△DEH 是等腰直角三角形，∴HE=DE ，∵HE 2+DE 2=DH 2,∴HE=2DH =,∵∠ABH ＝∠DBH ，∠BAD=90°,∠BEH=90°,∴HE=AH=,∴.AD=2+.故答案为2.本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键.22、【解析】23、平行四边形【解析】试题分析：由三角形的中位线的性质，平行与第三边且等于第三边的一半，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.考点：平行四边形的判定二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）142y x =+；（2）ABP ∆的面积为10或22【解析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；（2）设点P 的坐标为（t ，0），分点P 在原点左侧及点P 在原点右侧两种情况考虑：①若点P 在x 轴上原点左侧，当PB=AP 时，∠APO=2∠ABO ，在Rt △APO 中，利用勾股定理可求出t 的值，进而可得出BP 的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABP 的面积；②若点P 在x 轴上原点右侧，由对称性，可得出点P ′的坐标，进而可得出BP ′的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABP ′的面积．综上，此题得解【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为4y kx =+，则：084k =-+解得：12k =∴所求直线AB 的解析式为：142y x =+（2）设点P 为(),0t①若点P 在x 轴上原点左侧，当PB AP =时，2APO ABO ∠=∠在Rt APO ∆中，()88AP BP t t ==--=+，4AO =，PO t =-∴()()22248t t +-=+解得：3t =∴835BP =-=∴154102ABP S ∆=⨯⨯=②若P 点在x 轴上原点右侧，由对称性，得P '点为()30，，此时8311BP '=+=，∴1114222ABP S ∆=⨯⨯=综合上述，ABP ∆的面积为10或22.本题考查了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）分点P 在原点左侧及点P 在原点右侧两种情况，求出△ABP 的面积.25、（1）见解析（2）成立【解析】试题分析：（1）由DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB ≌△CFD ，从而证出CE=CF ．（2）由（1）得，CE=CF ，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF ，故可证得△ECG ≌△FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD 成立．试题解析：（1）在正方形ABCD 中，{BC CDB CDFBE DF∠∠＝＝＝第21页，共21页∴△CBE ≌△CDF （SAS ）．∴CE=CF ．（2）GE=BE+GD 成立．理由是：∵由（1）得：△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD ，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．CE ＝CF ∵∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE=GF ．∴GE=DF+GD=BE+GD ．考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．26、﹣1≤x ＜2【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．【详解】解不等式①，得：x ＜2，解不等式②，得：x≥﹣1，所以不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。

2020-2021常州市正衡中学九年级数学上期中试卷(及答案)

A．3
B． 2 3
C．4
D． 4 3
7．如图，直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴交
于 A、B 两点，其对称轴为直线 x=1，且 OA=OD．直线 y=kx+c 与 x 轴交于点 C（点 C 在点 B
的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）
中，
，是
的外接圆，点 P 在直径 BD 的延长线
上，且
．
求证：PA 是的切线；
若
，求图中阴影部分的面积结果保留和根号
25．已知关于 x 的方程 x2 ax a 2 0 .
（1）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
23．如图，在 ABC 中， AB 6cm，BC 7cm，ABC 30 , 点 P 从 A 点出发,以 1cm / s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm / s 的速度向 C 点移动．如果 P，Q 两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 4cm2 ?
24．如图，在
19．如图， O 的半径为 2，切线 AB 的长为 2 3 ，点 P 是 O 上的动点，则 AP 的长的
取值范围是_________．
20．如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，F 是 CD 弧的中点，则∠CBF 的度数为_____．
三、解答题
21．（2016 内蒙古包头市）一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3：2．设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2．（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

正衡中学初三数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，是正数的是（）A. -3B. 0C. 1.5D. -2.3答案：C2. 如果a < b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 < b + 2B. a - 2 > b - 2C. a / 2 < b / 2D. a 2 > b 2答案：A3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 圆答案：C4. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，那么它的对角线长是（）A. 13cmB. 15cmC. 10cm答案：A5. 下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y = 3x + 2B. y = x^2 - 4x + 3C. y = 2x^3 - 5x + 1D. y = 5x - 2答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x + y = 7，x - y = 3，则x = ______，y = ______。

答案：x = 5，y = 27. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其两个根的和为 ______，两个根的积为 ______。

答案：5，68. 若直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，则该三角形的边长比为 ______。

答案：1：√3：29. 一个圆的半径增加了20%，则其面积增加了 ______%。

答案：44%10. 若一个数的平方根是-2，则这个数是 ______。

答案：4三、解答题（共45分）11. （10分）解下列方程：（1）2x - 3 = 5（2）3(x + 2) - 2x = 11（1）x = 4（2）x = 712. （15分）计算下列各式的值：（1）(a - b)^2 + 2ab（2）(x^2 + 3x - 4) / (x - 2)答案：（1）a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2（2）x + 513. （20分）已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 10cm，AC = 6cm，求BC 的长度。

2024年江苏省常州市中考一模数学试题(含解析)

九年级教学情况调研测试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．的倒数是（）A ．B ．4C ．D ．2．截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约辆，其中可用科学记数法表示为（）A ．B ．C ．D ．3．计算的结果是（）A ．B ．C ．D ．4．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是 A ．B ．C ．D ．5．一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．当x ＝2时，代数式ax 3+bx +1的值为6，那么当x ＝﹣2时，这个代数式的值是（）A ．1B ．﹣4C ．6D ．﹣57．如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（）14-4-1414-664500664500466.4510⨯60.664510⨯56.64510⨯46.64510⨯()233xy -266x y 259x y 269x y -269x y ()A B C D E F 、、、、、OA．B ．1C ．D ．8．小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．4的算术平方根是．10有意义的x 的取值范围是．11．分解因式：x 2y -4y = ．12．点关于直线对称的点的坐标是．13．已知反比例函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是．14．已知扇形的圆心角为．15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝，则tanA ＝．16．如图，是的直径，是的切线，交于点，连结，若，则的大小为．17．如图，正方形的边长为，，，，则线段的长为．122913()2,3P -1x =5m y x-=0x >y x m 120︒S =45AB O AC O OC O D BD 26C ∠=︒B ∠︒ABCD 102CF =5BE AB =GE CB ∥GE18．如图，正方形的边长为6，为正方形对角线的中点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，点为的中点，连接，当时，线段的长为．三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）19．计算(2)20．解方程和不等式(1)解方程：(2)解不等式组：21．为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．ABCD O AC E AB 2BE =F BC EF G EF OG BG 、BG OG =EF ()06tan603π︒-+-()()()233232x y x y x y --+-12133x x+=--21512x x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩(1)学生甲第一次成绩是分，则该生第二次成绩是分．(2)两次成绩均达到或高于分的学生有个．(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，），在的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是．(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数．22．2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀．(1)小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是______；(2)小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率．23．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的周长．70906065x ≤<6570x ≤<7075x ≤<7580x ≤<8085x ≤<8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤7580x ≤<ABCD AC BD O C CE BD ∥D DE AC ∥CE DE E CODE 10AB =12AC =CODE24．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、羊各值多少两银子？(2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．25．如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点．(1)求和的值．(2)过点作轴，与双曲线交于点，求的面积．26．定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”．(1)在，，，四点中，点______是点的“值友好点”．(2)设点是点的“值友好点”．①当时，求的值．②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值．27．如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交52192516502090AOB ∠=︒tan 12A =()20y x x =-<()2,B a -()0k y x x =>A a k B BC x ∥k y x=C OAC a b a b ''、、、22a ka b kb =+'='+、k 0k ≠xOy (),a b (),a b ''k ()3,0()1,2-()3,5-()2,3()1,4-()1,3()1,1P -k (),Q x y ()1,1P -k 2PQ OP =k A ()6,445AQP ∠=︒Q k 211:34C y x x =+-2C x A B 、A B y轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．(1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式．(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点．①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标．②请求出的最大值．28．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接．(1)当为等腰直角三角形时，的大小为______．(2)图2，延长，交射线于点．①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为______，此时______．参考答案与解析C 2C 1C 2C ACD 2C ,BD AC BD 、AC P PE x ⊥E PE CP =P DP BPABC AB BC =120ABC ∠=︒D AC E AD A D BC BE BF AF ABF △ABE ∠︒FA BE G G ∠G ∠4AB =BFG AE =1．A【分析】本题考查倒数的定义，掌握乘积等于1的两个数互为倒数，即可解题．【详解】解：的倒数是，故选：A ．2．C【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选：C ．3．D【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．【详解】解：，故选：D ．4．A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示，故选A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．5．B【详解】解：根据题意得：△=，则方程有两个不相等的实数根．故选：B6．B 14-4-10n a ⨯110a ≤<n n a n 15664500 6.64510=⨯3226(3)9xy x y -=()2342110--⨯⨯=>【分析】根据题意可得，再将x ＝﹣2代入代数式，即可求解．【详解】解：∵当x ＝2时，代数式ax 3+bx +1的值为6，∴ ，∴，当x ＝﹣2时，．故选：B【点睛】本题主要考查了求代数的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．7．B【分析】本题主要考查了几何概率，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，可得甲乙两人所画的三角形一定全等，据此可得答案．【详解】解；∵为的六等分点，∴由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，∴甲乙两人所画的三角形一定全等，∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1，故选：B ．8．B【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【详解】解：汽车经历：加速−匀速−减速到站−加速−匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0.观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B 选项符合.故选B.9．2【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；825a b +=8216a b ++=825a b +=()31821821514ax bx a b a b ++=--+=-++=-+=-A B C D E F 、、、、、O根据算术平方根的概念即可求出结果．【详解】解：，4的算术平方根是2，故答案为：2．10．【详解】由条件得：3x ﹣1≥0，解得：x ≥，故答案为x ≥．11．y (x +2)(x -2)【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．12．【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解．【详解】设点关于直线对称的点为，∴，解得，，∴．故答案为：．13．##【分析】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当，时，随增大而减小列不等式求解即可．224= ∴13x ≥1313()0,3-()2,3P -1x =(),3P a '-212a +=()2,3P -1x =(),3P a '-212a +=0a =()0,3P '-()0,3-5m >5m<k y x=0x >0k >y x【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而减小，，解得．故答案为：．14．【分析】本题考查了扇形面积的计算，直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：依题意，，故答案为：．15．【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．【详解】由sinA ＝知，可设a ＝4x ，则c ＝5x ，b ＝3x ，∴tanA ＝=．故答案为．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．16．【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，利用切线的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求出．【详解】解：是的直径，是的切线，，，，，，， 5m y x-=0x >y x 50m ∴->5m >5m >π2360n R S π⋅⋅=120ππ360S =⋅=π4345a 4x b 3x =434332OAC ∠AOC ∠B ∠AB O AC O AB AC ∴⊥90OAC ∴∠=︒26C ∠=︒ 9064AOC C ∴∠=︒-∠=︒OB OD = B ODB ∴∠=∠，，故答案为：．17．【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得出，得出，则，可得，进而列出比例式，代入数据，即可求解．【详解】解：∵正方形的边长为，，，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，∴∴，∴∴∴解得：，故答案为：．18．【分析】连接，根据已知得出四点共圆，则是直径，进而证明是等腰直角三角形，，得出，则，勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，264AOC B ODB B ∠=∠+∠=∠=︒ 164322B ∴∠=⨯︒=︒3275GE CB ∥GE AD ∥G DAF ∠=∠90G B D ∠=∠=∠=︒AGE FAD ∽ABCD 102CF =5BE AB =8,10,660DF AD AE AB BE AB ===+==ABCD AD BC ∥90D ABC ∠=∠=︒GE CB ∥GE AD∥G DAF ∠=∠90G B D ∠=∠=∠=︒AGE FAD∽AD DF GE AE =10860GE =75GE =75,,OE OB OF ,,,O E B F EF EOF EOB FOC ≌△△2FC EB ==4BF =EF ,,OE OB OF∵四边形是正方形，∴，∵点为的中点，∴当时，∴四点共圆，∵∴是直径∴∵为正方形对角线的中点，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴在中，∴∴∴在中，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证ABCD 90EBF ∠=︒G EF BG EF FG==OG BG =,,,O E B F 90EBF ∠=︒EF 90EOF ∠=︒O AC 45OFE OBE ∠=∠=︒OB OC =90BOC ∠=︒EOF OE OF =90EOF ∠=︒EOB FOC∠=∠,EOB FOC EO FO EOB FOCBO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EOB FOC≌△△2FC EB ==624BF BC FC =-=-=Rt BEF △EF ===明是解题的关键．19．(1)(2)【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算；（1）根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1（2）20．(1)(2)【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组；（1）先去分母，然后化为整式方程，解方程并检验，即可求解；（2）分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解．【详解】（1）解：∴解得：经检验，是原方程的根，∴原方程的根为（2）解：解不等式①得：EOB FOC ≌△△1-256y xy-()06tan603π︒+-1=-1=-()()()233232x y x y x y --+-()22229694x xy y x y =-+--256y xy=-2x =13x -<≤12133x x+=--123x -=-2x =2x =2x =21512x x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②1x >-解不等式②得：∴不等式组的解集为：．21．(1)75(2)8(3)79(4)1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人．【分析】（1）找到横坐标为时，对应的纵坐标的值即可得解；（2）找到横纵坐标均大于等于的点的个数，即可得解；（3）将数据进行排序后，找到第15和第16位数据，两个数据的平均值，即为中位数；（4）利用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可得解．【详解】（1）解：由图1可知，横坐标为时，对应的纵坐标为，∴该生第二次成绩是75分；故答案为：75；（2）由图1可知：横纵坐标均大于等于的点的个数为个，∴两次成绩均达到或高于分的学生有8个；故答案为：8；（3）解：将平均成绩按从低到高排序，可知，中位数为第15个和第16个数据的平均数，∴中位数位于这一组数据中，第15个和第16个数据均为，∴中位数为79；（4）解：由直方图可知，两次活动平均成绩不低于90分的学生人数有：人，∴1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：人；答：1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人．【点睛】本题考查统计图，频数分布直方图，中位数，以及利用样本估计总体，解题的关键是从统计图和频数分布直方图中，有效的获取信息．22．(1)3x ≤13x -<≤70907075908907580x ≤<79549+=9120036030⨯=34(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有3种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有：，，，共种，抽到这张牌是奇数的概率为．故答案为：．（2）列表如下：共有种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是的倍数的结果有：，，，，，，，，，共种，他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是的倍数的概率为23．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题．9163793∴343436793()3,3()3,6()3,7()3,96()6,3()6,6()6,7()6,97()7,3()7,6()7,7()7,99()9,3()9,6()9,7()9,9163()3,3()3,6()3,9()6,3()6,6()6,9()9,3()9,6()9,99∴3916．28CODE 90DOC ∠=︒（2）如图，首先证明，；运用勾股定理求出，即可解决问题．【详解】（1）证：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形∴，∴四边形是矩形；（2）解：∵四边形为菱形，∴，，，由勾股定理得：，而，∴，由（1）得四边形是矩形，∴四边形的周长．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用．24．(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子；(2)有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买头牛，则购买只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，由题意得：，6CO AO ==90AOB ∠=︒BO CE BD ∥DE AC ∥CODE ABCD 90DOC ∠=︒CODE ABCD 162AO OC AC ===OD OB =90AOB ∠=︒222BO AB AO =-10AB=8BO ==CODE CODE ()26828=⨯+=323713812911x y 52192516m ()20m -5020x y 52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：，答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；（2）设购买头牛，则购买只羊，依题意得：，解得：，为整数，，，，有商人种购买方案：①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．25．(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式（1）根据条件可得，利用一线三垂在得到，利用相似比求出点坐标即可解得值；（2）根据轴可得点的坐标为，，可得，依据代入数据计算即可．【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，，即，，，如图所示，作轴，轴，垂足分别为，32x y =⎧⎨=⎩32m ()20m -32(20)50202m m m m+-<⎧⎨-≤⎩20310m ≤<m 7m ∴=89∴371381291181k a ==，15k 1a =BOD OAE ∽A k BC x ∥C ()8,112,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭154AF =OAC ACF OAF S S S =+ 2y x=-()2,B a -22a ∴-=-1a =1BD ∴=2OD =BD x ⊥AE x ⊥,D E，，，，，，点的坐标为，将点坐标代入得，．（2）轴，，将代入中，得，点的坐标为，所在的直线为，当时，即，，26．(1)(2)①；②时，，时，【分析】（1）根据“k 值友好点”的定义代入验证即可；BOD OAE ∠=∠ BDO OEA ∠=∠BOD OAE ∴ ∽ 1tan 2OB A OA ==∴12OB BD OD OA OE AE ===22OE BD ∴==24AE OD ==∴A ()2,4∴A k y x =42k =8k ∴= BC x ∥1c B y y ==1yc =8y x =8xc =∴C ()8,1OC ∴18y x =2x =14y =12,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭115444AF =-=OAC ACF OAF S S S =+ ()1122C F AF OE AF x x =⋅+⋅-()1151152822424=⨯⨯+⨯⨯-15=()1,31k =()9,5Q -7k =()3,7Q -5k =-（2）①先求得得出，根据点是点的“值友好点”．得出，进而根据即可求解．②设的中点为，则即，作轴，轴，交于点，则，根据圆周角定理可得，进而根据，建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：若是的“k 值友好点”，则，不合题意；若是的“k 值友好点”，则，不合题意；若是的“k 值友好点”，则，不合题意，若是的“k 值友好点”，则，符合题意，故答案为：；（2）①∵∴∵∴∵点是点的“值友好点”．∴ ∴即解得：②∵，设的中点为，则即如图所示，作轴，轴，交于点，则OP ==2PQ OP =PQ =(),Q x y ()1,1P -k (22)Q k k +-+，PQ =,A P B 1641,22B +-⎛⎫ ⎪⎝⎭73,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭AC x ∥PC y ∥,AC PC C ()6,1C -1452AQP C ∠=∠=︒5CQ CA ==()3,5-()1,1P -325211k ---=≠-()2,3()1,1P -223211k --=≠-()1,4-()1,1P -124211k ---=≠-()1,3()1,1P -1232111k --===--()1,3()1,1P -OP ==2PQ OP=PQ =(),Q x y ()1,1P -k 2,2x k y k =+=-+(22)Q k k +-+，=2210k k -+=121k k ==()6,4A ()1,1P -,A P B 1641,22B +-⎛⎫ ⎪⎝⎭73,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭AC x ∥PC y ∥,AC PC C ()6,1C -∴是直角三角形，∴，且，以为圆心为半径作圆，∴∴∵，∴解得：（舍去）或∴同理可得当以为圆心时，，综上所述，时，，时，．【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，勾股定理，圆周角定理，理解新定义是解题的关键．27．(1)，；(2)①P②的最大值为：．【分析】（1）根据中心对称的性质可得的表达式，再令，求解，的坐标即可；ACP △90ACP ∠=︒5AC PC ==C AC 1452AQP C ∠=∠=︒5CQ CA ==(22)Q k k +-+，()6,1C -()()22226215k k +-+-++=0k =7k =()9,5Q -()1,4D 5k =-()3,7Q -()9,5Q -7k =()3,7Q -5k =-2134y x x =-++132y x =-+DP BP 9162C 0y =A B（2）①如图，连接，设，而，求解直线为，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函数的模型解题即可．【详解】（1）解：∵抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．∴抛物线为：，∴，当，解得：，，∴，；∵，当时，，∴，设为，∴，解得：，∴为；（2）①如图，连接，设，而，设直线为，∴，BC 21,34D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()2,0B -BD 1313422y m x m ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭2244,88m m P m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭2,08m E m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭PC PE =DH EP ⊥H BE PE ⊥DHP BEP ∽DH DP BE BP =211:34C y x x =+-2C 1C 2C ()2134y x x -=---2134y x x =-++21304y x x =-++=12x =-26x =()6,0A ()2,0B -2134y x x =-++0x =3y =()0,3C AC 3y kx =+630k +=12k =-AC 132y x =-+BC 21,34D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()2,0B -BD 11y k x b =+1121120134k b mk b m m -+=⎧⎪⎨+=-++⎪⎩解得：，∴直线为，∴，解得：，∴，，∵，∴∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴∴P②作于，而，∴，111342132k m b m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩BD 1313422y m x m ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭1321313422y x y m x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎩282448m x m m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩2244,88m m P m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭2,08m E m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭PC PE =22222442443888m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222244888m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭m =28m m ==-DH EP ⊥H BE PE ⊥DH BE ∥∴，∴，∵，，∵，，∴，∵，，∴当时，的最大值为：．【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解函数的解析式以及交点坐标，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键．28．(1)(2)①；②【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案；（2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案；②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则，DHP BEP ∽DH DP BE BP=2244,88m m P m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭2,08m E m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22688m m m HD m m m-=-=--216288m BE m m =+=--2261316168DP DH m m m m BP BE -===-+06m <<1016a =-<3831216m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭DP BP 21393316816-⨯+⨯=1530︒8+4210ABF ABC ∠+∠=︒EBF EBC ∠=∠ABE EBF ABF ∠=∠-∠ABE ∠,x 120,EBC x ∠=︒-G BF 30︒O OH BF ⊥H BG F 'G 'OB BG GF =G 'G BFG BGF E EK AB ⊥K 12EK AE =，，，得出，再由，即可求得．【详解】（1）解：为等腰直角三角形，，，，边关于对称的线段为，，；故答案为：；（2）的大小不变，始终为．设的大小为则关于的对称线段为，，＝＝，是的外角，；②由①知：，，点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接，AK =AE 75BFG FBG CBG ∠=∠=∠=︒45ABE ABC CBG ∠=∠-∠=︒12BK EK AE ==AK BK AB +=AE ABF 90ABF ∴∠=︒120ABC ∠=︒ 90120210ABF ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒ BC BE BF 12101052EBF EBC ∴∠=∠=⨯︒=︒1059015ABE EBF ABF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒15G ∠30︒ABE ∠,x 120,EBC x ∠=︒-BC BE BF 120,FBE CBE x ∴∠=∠=︒-1202,FBA FBG ABE x ∴∠=∠-∠=︒-AB FB = F ∴∠FAB ∠()11802FBA ︒-∠()18012022x ︒-︒-=30x =︒+FAB ∠ ABG 30G FAB ABG ∴∠=∠-∠=︒30BGF ∠=︒4BF AB == ∴G BF 30︒O OH BF ⊥H BG F 'G 'OB当时，即点位于点时，的面积最大，弦，，即垂直平分，，，，，，，面积最大值是此时，点的位置如图所示，过点作于，则，，，，是等腰直角三角形，，，BG GF =G G 'BFGOH ⊥ BF BH FH ∴=OH BH ∴BG FG ''=111522BG H BG F G ''∠=∠=∠=︒ OG OB '=∴OBG OG B ''∠=∠30BOH OBG OG B ''∴∠=∠+∠=︒24OB BH BF ∴===OH =∴(1144822BFG S BF G H '=⋅=⨯⨯+=+' BGF ∴ 8+E E EK AB ⊥K 12EK AE =AK =AE 75BFG FBG CBG ∠=∠=∠=︒1207545ABE ABC CBG ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BEK ∴ 12BK EK AE ∴==AK BK AB +=，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键．142AE AE +=∴4AE =8+4-。

2020-2021常州市天一中学九年级数学下期末第一次模拟试卷(及答案)

2020-2021常州市天一中学九年级数学下期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＜0；③2a +b ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．定义一种新运算：1a n n n b n xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252m x dx --=-⎰，则m =（）A ．-2B ．25-C ．2D ．253．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A ．19B ．16C ．13D ．234．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．75．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12B ．15C ．12或15D ．187．如图,菱形ABCD 的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD 的周长是( )A ．24B ．16C ．413D ．23 8．估计10+1的值应在（）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A ．18B ．13 C ．24 D ．0.310．已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．511．已知实数a ，b ，若a ＞b ，则下列结论错误的是A ．a-7＞b-7B ．6+a ＞b+6C ．55ab ＞ D ．-3a ＞-3b12．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．如果a 是不为1的有理数,我们把11a -称为a 的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推,则 2019a =___________ ．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =k x的图象上，则k 的值为________.15．若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．16．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是．17．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数kyx 在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．18．使分式的值为0，这时x=_____．19．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝32，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD ＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题21．为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 °；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．22．矩形ABCD 的对角线相交于点O ．DE ∥AC ，CE ∥BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的而积为83，求AC 的长．23．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？24．如图，在平面直角坐标系中，直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -，双曲线(0)m y x x=>经过点B ．（1）求直线10y kx =-和双曲线m y x =的函数表达式；（2）点C 从点A 出发，沿过点A 与y 轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C 的运动时间为t （0＜t ＜12），连接BC ，作BD ⊥BC 交x 轴于点D ，连接CD ， ①当点C 在双曲线上时，求t 的值；②在0＜t ＜6范围内，∠BCD 的大小如果发生变化，求tan ∠BCD 的变化范围；如果不发生变化，求tan ∠BCD 的值；③当136112DC =时，请直接写出t 的值．25．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．26．某市某中学积极响应创建全国文明城市活动，举办了以“校园文明”为主题的手抄报比赛.所有参赛作品均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，将获奖结果绘制成如右两幅统计图.请你根据图中所给信息解答意）（1）等奖所占的百分比是________；三等奖的人数是________人；（2）据统计，在获得一等奖的学生中，男生与女生的人数比为11:，学校计划选派1名男生和1名女生参加市手抄报比赛，请求出所选2位同学恰是1名男生和1名女生的概率；（3）学校计划从获得二等奖的同学中选取一部分人进行集训使其提升为一等奖，要使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，那么至少选取多少人进行集训？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由图像可知a ＞0，对称轴x=-2b a=1，即2a +b =0，c ＜0，根据抛物线的对称性得x=-1时y=0，抛物线与x 轴有2个交点，故△＝b 2﹣4ac ＞0，由此即可判断.【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∵x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b +c ＝0，所以②错误；∵b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，所以③错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以④正确．故选B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义. 2．B解析：B【解析】【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，5211m 11(5)25mx dx m m m m---⎰-=-=-=-，则25m =-，经检验，25m =-是方程的解，故选B.【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.4．C解析：C【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，中位数为：5．故选C．考点：众数；中位数.5．D解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．7．C解析：C【解析】【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，∴菱形的周长为故选C．8．B解析：B【解析】解：∵34<<，∴415<<．故选B ．的取值范围是解题关键．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】AB 3C =D =10 故选B ． 10．D解析：D【解析】∵方程2x +a ﹣9=0的解是x =2，∴2×2+a ﹣9=0，解得a =5．故选D ．11．D解析：D【解析】A.∵a ＞b ，∴a-7＞b-7，∴选项A 正确；B.∵a ＞b ，∴6+a ＞b+6，∴选项B 正确；C.∵a ＞b ，∴55a b ＞，∴选项C 正确；D.∵a ＞b ，∴-3a ＜-3b ，∴选项D 错误.故选D. 12．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意，C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．二、填空题13．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a2019 解析：34. 【解析】【分析】利用规定的运算方法，分别算得a 1，a 2，a 3，a 4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a 1=4a 2=11111143a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭=---， a 4=31143114a ==--， …数列以4,−1334，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673， ∴a 2019=a 3=34，故答案为：34. 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.14．-6【解析】因为四边形OABC 是菱形所以对角线互相垂直平分则点A 和点C 关于y 轴对称点C 在反比例函数上设点C 的坐标为(x)则点A 的坐标为(－x)点B 的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等解析：-6【解析】因为四边形OABC 是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A 和点C 关于y 轴对称,点C 在反比例函数上,设点C 的坐标为(x ,k x ),则点A 的坐标为(－x ,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: ()OABC 122122k S x x=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =- 15．【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】若一个数的平方等于5则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义解题的关键是熟知平方根的性质解析：【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解.【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质.16．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式解析：3.【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．考点：概率公式．17．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E ∴2x ＝x+2 解析：12x x 【解析】【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【详解】解：设D（x，2）则E（x+2，1），∵反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点D、点E，∴2x＝x+2，解得x＝2，∴D（2，2），∴OA＝AD＝2，∴2222,OD OA OD=+=故答案为:2 2.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．18．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法19．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD可得BD=BA再根据AM⊥BDDN⊥AB即可得到DN=AM=3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB∠ABD=∠P+∠BAP即可得到△APM 是等腰直角三角形进而得到解析：6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到2，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到2AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴2，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP=2AM=6，故答案为6．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题21．（1）2000，108；（2）作图见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．试题解析：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．22．（1）证明见解析；（2）8．【解析】【分析】（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．【详解】解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴AO＝OC＝BO＝OD∴四边形OCED是菱形（2）∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°又∵OD＝OC∴△OCD是等边三角形过D作DF⊥OC于F，则CF=12OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．在Rt△DFC中，tan60°=DF FC，∴3．∴3．∴x=2．∴AC=4×2=8．【点睛】本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．23．20元/束．【解析】【分析】设第一批花每束的进价是x 元/束，则第一批进的数量是：4000x，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程．【详解】设第一批花每束的进价是x 元/束，依题意得：4000x ×1.5=45005x -，解得x =20．经检验x =20是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是20元/束．【点睛】本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程．24．（1）直线的表达式为5106y x =-，双曲线的表达式为30y x =-；（2）①52；②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，tan BCD ∠的值为56；③t 的值为52或152．【解析】【分析】（1）由点(12,0)A 利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；（2）①先求出点C 的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C 的纵坐标，从而即可得出t 的值；②如图1（见解析），设直线AB 交y 轴于M ，则(0,10)M -，取CD 的中点K ，连接AK 、BK ．利用直角三角形的性质证明A 、D 、B 、C 四点共圆，再根据圆周角定理可得BCD DAB ∠=∠，从而得出tan tan OM BCD DAB OA∠=∠=，即可解决问题；③如图2（见解析），过点B 作⊥BM OA 于M ，先求出点D 与点M 重合的临界位置时t 的值，据此分05t <<和512t ≤<两种情况讨论：根据,,A B C 三点坐标求出,,AM BM AC 的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM 的长，最后在Rt ACD ∆中，利用勾股定理即可得出答案．【详解】（1）∵直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -∴将点(12,0)A 代入得12100k -= 解得56k = 故直线的表达式为5106y x =- 将点(,5)B a -代入直线的表达式得51056a -=- 解得6a =(6,5)B ∴- ∵双曲线(0)m y x x=>经过点(6,5)B - 56m ∴=-，解得30m =- 故双曲线的表达式为30y x =-；（2）①//AC y Q 轴，点A 的坐标为(12,0)A∴点C 的横坐标为12 将其代入双曲线的表达式得305122y =-=- ∴C 的纵坐标为52-，即52AC = 由题意得512t AC ⋅==，解得52t = 故当点C 在双曲线上时，t 的值为52； ②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，求解过程如下：若点D 与点A 重合由题意知，点C 坐标为(12,)t -由两点距离公式得：222(612)(50)61AB =-+--= 2222(126)(5)36(5)BC t t =-+-+=+-+22AC t =由勾股定理得222AB BC AC +=，即226136(5)t t ++-+=解得12.2t =因此，在06t <<范围内，点D 与点A 不重合，且在点A 左侧如图1，设直线AB 交y 轴于M ，取CD 的中点K ，连接AK 、BK由（1）知，直线AB 的表达式为5106y x =- 令0x =得10y =-，则(0,10)M -，即10OM =Q 点K 为CD 的中点，BD BC ⊥12BK DK CK CD ∴===（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）同理可得：12AK DK CK CD === BK DK CK AK ∴===∴A 、D 、B 、C 四点共圆，点K 为圆心BCD DAB ∴∠=∠（圆周角定理）105tan tan 126OM BCD DAB OA ∴∠=∠===；③过点B 作⊥BM OA 于M由题意和②可知，点D 在点A 左侧，与点M 重合是一个临界位置此时，四边形ACBD 是矩形，则5AC BD ==，即5t =因此，分以下2种情况讨论：如图2，当05t <<时，过点C 作CN BM ⊥于N(6,5(1),2,0),(12,)B A t C --Q12,6,6,5,OA OM AM OA OM BM AC t ∴===-===90CBN DBM BDM DBM ∠+∠=∠+∠=︒QCBN BDM ∴∠=∠又90CNB BMD ∠=∠=︒QCNB BMD ∴∆~∆CN BN BM DM ∴= AM BM AC BM DM -∴=，即655t DM-= 5(5)6DM t ∴=- 56(5)6AD AM DM t ∴=+=+- 由勾股定理得222AD AC CD +=即222513616(5)()612t t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦解得52t =或152t =（不符题设，舍去）当512t ≤<时，同理可得：222513616(5)()612t t ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦解得152t =或52t =（不符题设，舍去）综上所述，t 的值为52或152．【点睛】本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 25．（1）600（2）见解析（3）3200（4）【解析】（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）（2）如图；…（5分）（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D 粽的人有3200人．…（7分）（4）如图；（列表方法略，参照给分）．…（8分）P （C 粽）==．答：他第二个吃到的恰好是C 粽的概率是．…（10分）26．（1）8%，16;（2）P （1名男生和1名女生）23=;（3）至少需要选取6人进行集训. 【解析】【分析】（1）一等奖所占的百分比=1减去其它奖项的百分比即可求解；根据优秀奖比例和人数可计算总数，进而计算出三等奖人数.（2）求出一等奖男女各有多少人，然后列表或画树形图即可解；（3）设需要选取x 人进行集训，依据使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，列不等式解答即可.【详解】（1）一等奖所占的百分比=1-40%-30%-32=8%；总人数=20÷40%=50（人），三等奖的人数是=50×32%=16（人）；（2）一等奖的人数=508%4⨯=，男女都有的人数14211⨯=+，列表得：∴一等奖有两位男生两位女生，一共有12种等可能结果，其中恰是一男一女的结果数是8，∴P （1名男生和1名女生）82123==. （3）设需要选取x 人进行集训，根据题意得：()4210x x +≥-，解得 163x ≥，因为x 是整数，所以x 取6.答：至少需要选取6人进行集训.【点睛】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图以及求随机事件的概率，不等式的应用，解题的关键是能从条形统计图及扇形统计图得出相关数据．列表或画出树形图解答.。

2021年江苏省常州市中考数学全真模拟试卷附解析_1

2021年江苏省常州市中考数学全真模拟试卷 _1 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知数据13、2-、0.618、125、34-，随意抽取一个数是负数的概率为（）A．20％B．40％C．60％D．80％2．如图，在⊙O中，∠B=37°，则劣弧AB的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°3．在下图中，反比例函数y＝k2+1x的图象大致是（）4．以下可以用来证明命题“若x+2y=0，则x=y=0”是假命题的反例的是（）A．x=1，y=1 B．x=2，y=0 C．x=-l，y=2 D．x=2，y=-l5．在共有15人参加的的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差6．如图，0是直线AB上一点，OD是∠BOC的平分线，0E是∠AOC的平分线，在下列说法中错误的是（）A．∠00D与∠COE互余 B．∠COE与∠BOE互补C．∠EOC与∠BOD互余 D．∠BOD与∠BOE互补7．张颖同学把自己一周的支出情况，用如图所示的统计图来表示．则从图中可以看出（）A．一周支出的总金额B．一周各项支出的金额C．一周内各项支出金额占总支出的百分比D．各项支出金额在一周中的变化情况8．一根长为3．8 m的铁丝被分成两段，各围成一个正方形和长方形，已知正方形的边长比长方形的长少0．1 m，长方形的长和宽之比为2：1，则正方形和长方形的面积分别是（）A C D OB A ．2．5 m 2和1．8 m 2 B ．0．25 m 2和0．18 m 2C ．1．6 m 2和2 m 2D ．0．16 m 2 和0．2 m 29．下列各组数中，互为倒数的是（）A ． -1与-1B ． 0.1与 1C ．-2与 0.5D ．-43与4310．若-2减去一个有理数的差是-5，则-2乘这个有理数的积是（）A ．10B ．-10C ．6D ．-6二、填空题11．如图□OABCD 中,点E 为边 CD 上一点，AE 的延长线交 BC 的延长线于点 F. 请写出图中的一对相似三角形△ ∽△ ．(只使用图中已知字母，不再添加埔助线)12．如图，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ．二次函数23y x bx =++的对称轴为2x =，则b = ． 13．已知14．如图，⊙O 中，∠AOB= ∠COD ，写出一个正确结论： (半径相等除外).15．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 (不要求写出自变量x 的取值范围）．16．如图3，长方形AOCD 中，顶点C 、D 的坐标为C （6，0），D （6，4），已知P （0，7），则过P 点且把矩形AOCD 面积二等分的直线解析式为．17．如图是4×4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．18．设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成右边四个图形，则其中是中心对称图形的是 (填序号)．19．定理“到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的逆定理是．20．若矩形的短边长为6 cm，两条对角线的夹角为60°，则对角线的长为 cm．21．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转 28°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角为．22．如图，如果 AB∥CD，∠1 = 57°，那么∠AEC= ．23． 1、2、3、4、5、6、7、8、9，哪些数字在镜子中看到的与原数字是一模一样的呢？ . 你还能举出这种例子吗？ .24．据报道：某省2003年中小学共装备计算机16．42万台，平均每42名中小学生拥有一台计算机；2004年在校学生数不变的情况下，计划平均每35名中小学生拥有一台计算机，则还需装备计算机万台．25．某商品的价格为 x 元，那么代数式(1-20%)x 可以解释为．三、解答题26．点M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN，点0是正八边形的中心，求∠MON的度数．27．某市的A县和B县春季育苗，分别急需化肥90 t和60 t，该市的C县和D县分别储化肥l00 t和50 t，全部调配给A县和B县，已知C、D两县化肥到A、B两县的运费(元／吨)如下表所示：(1)设C县运到A县的化肥为x(t)，求总运费W(元)与x(t)的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．28．李明家住在河岸边(如图所示)，其房子和小树在河中的倒影构成一幅美丽的画面，你能画出它们的倒影吗?29．（1）已知两个数的和是17-，其中一个加数是37-，求另一个加数.(2)求45-的绝对值的相反数与265的相反数的差.30．如图所示，(1)请找出图中哪些线段是互相平行的，并用字母把它们表示出来；(2)你能否画出与DE平行的线段?若能画，则在图中画出与DE平行的线段；若不能画，请说明理由．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．D4．D5．A6．D7．C8．B9．A10．D二、填空题ADE ，FCE12． 40 13．4- 14．⌒AB =⌒CD15．x x y 15212+-= 16． y ＝－53x ＋7 17．18．②19．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 20．12 cm21．28°22．57°23．1,8；0，11，88等24．3．28425．某商品价格为x 元，降价 20% 后的价格是 (1-20%)x 元三、解答题26．45°27．(1)W=10x+4800(40≤x ≤90)；(2)C 县运到A 县40 t ，运到B 县60 t ；D 县运到A 县50 t略29．(1)27(2)35530．(1)HI∥FG，LM∥ON (2)能。

2021年江苏省常州市中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年江苏省常州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.(2021·湖北省黄冈市·历年真题)−3的相反数是()A. 3B. −3C. 13D. −132.(2019·浙江省杭州市·月考试卷)若二次根式√x−2有意义，则x的取值范围是()A. x<2B. x≠2C. x≤2D. x≥23.(2021·江苏省常州市·模拟题)下列运算正确的是()A. a+2a=2a2B. a2⋅a3=a5C. (ab)3=ab3D. (−a3)2=−a64.(2021·甘肃省·期末考试)下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是()A. B. C. D.5.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，数轴上点M、N对应的数分别为m、n，则下列不等式正确的是()A. m>nB. m+n<0C. −2m>−2nD. mn<06.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=44°时，∠1的大小为()A. 56°B. 46°C. 36°D. 34°7.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，等边△ABC中，AB=6，点P是BC边上一点，则AP的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 3√38.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→B→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点F运动时，△FDC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为()A. √5B. 3C. 2√5D. 5二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.(2019·浙江省湖州市·期中考试)计算：|−3|+√4=______ ．10.(2021·江苏省常州市·模拟题)若∠α=40°，则∠α的余角等于______ °.11.(2021·江苏省常州市·模拟题)已知点P(−1,3)，则点P到原点的距离是______ ．12.(2021·北京市·其他类型)分解因式：ax2−ay2=______．13.(2021·江苏省常州市·模拟题)截至2021年2月3日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过450000000公里，将数据450000000用科学记数法表示为______ ．14.(2021·江苏省常州市·模拟题)若x=2是关于x的方程2x2−mx+1=0的一个解，则m的值为______ ．15.(2021·浙江省·单元测试)若二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ ．16.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠ABC=62°，则∠BOC=______ °.17.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，菱形ABCD中，∠A=120°，点E是AD的中点，连接BE，则sin∠CBE=______ ．18.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B(4,2).P是x轴负半轴上一点，OP=OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE.当△POD与△ABE相似时，则CE的长为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.(2021·江苏省常州市·模拟题)先化简，再求值：(x−2)(x+1)−(x−1)2，其中x=−12．20.(2021·江苏省常州市·模拟题)解方程和不等式：(1)1x−2+x2−x=1；(2)解不等式组：{x>4−x①1−x2≥−1②．21.(2021·江苏省常州市·模拟题)小明为了了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查(每名学生必须只能选择一门课程).将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽取了______ 名学生，m的值是______ ．(2)请根据以上信息补全条形统计图；(3)若该校九年级共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有对数学感兴趣的学生人数．22.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，将等边三角形、圆、平行四边形这三种图形分别画在3张大小、质地均相同的正方形小纸板上，将这3张正方形小纸板放入一只不透明的袋子中．(1)搅匀后从中摸出一张小纸板，摸出的纸板上的图形是中心对称图形的概率是______ ；(2)搅匀后从中摸出一张小纸板，记下纸板上图形的名称后放回袋子中，再从中摸出一张小纸板，求两次摸出的小纸板上的图形都是轴对称图形的概率．23.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E是BC边上不重合的两点，BD=CE．(1)求证：AD=AE；(2)若DA⊥AE，∠B=26°，求∠BAD的大小．24.(2021·江苏省常州市·模拟题)某学校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍，如果购买1副羽毛球拍与1副乒乓球拍，那么总费用为160元；如果购买3副羽毛球拍与2副乒乓球拍，那么总费用为420元．(1)求购买1副羽毛球拍、1副乒乓球拍的费用分别是多少元？(2)若该学校计划购买此类羽毛球拍和乒乓球拍共50副，并且总价格不超过3800元，最多能购买多少副羽毛球拍？25.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,4)作y轴垂(k>0)图象于点B.在AB延长线上取点C，连接OC，交反比线交反比例函数y=kx(x>0)图象于点D，连接OB，S△ABO=6．例函数y=kx(1)求k的值；(2)在x轴正半轴上取点E，当OD平分∠BOE时，求点D的坐标．26.(2021·江苏省常州市·模拟题)△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB边上的动点，连接CD．(1)如图1，当△DCB是以CD为腰的等腰三角形时，AD长为______ ；(2)如图2，作DE⊥AC于点E，作BF⊥BC交DE于点F，且S△BFD−S△AED=6，求AE的长；(3)将△ACD沿CD翻折得△PCD，若PD//BC，求AD的值．BD27.(2021·江苏省常州市·模拟题)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是√10，A，B为⊙O外两点，AB=2√2.给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦(点A′，B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值成为线段AB 到⊙O的“优距离”．(1)如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______ ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______ 的线段长度等于线段AB 到⊙O的“优距离”；(2)若点A(0,7)，B(2,5)，线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为______ ；(3)如图2，若A，B是直线y=−x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是______ ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．x2+ 28.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12 bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．(1)b=______ ；c=______ ；(2)若直线l经过点C，点A关于直线l的对称点A′恰好在线段BC上，直线AA′与抛物线交于另一点E．①求点E的坐标；x2+bx+c②点P(x0,y0)是直线BE上一点，若对于在第一象限内的抛物线y=−12上的动点Q，始终有S△QCA′≤S△PCA′，直接写出x0的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】相反数【解析】【分析】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：−3的相反数是3．故选A．2.【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得，x≥2，故选：D．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．3.【答案】B【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：∵a+2a=3a，∴A选项不正确；∵a2⋅a3=a2+3=a5，∴B选项正确；∵(ab)3=a3b3，∴C选项不正确；∵(−a3)2=a6，∴D选项不正确；综上，正确选项为：B．故选：B．利用相关法则对每个选项进行判断，指出错误，得出正确选项．本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，正确使用上述法则是解题的关键．4.【答案】C【知识点】作图-三视图、简单几何体的三视图【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．5.【答案】C【知识点】数轴、不等式的基本性质【解析】解：由图易知：m<n，故A错误；∵原点位置不确定，∴B、D错误，∵m<n，∴由不等式性质易得：−2m>−2n，故C正确，故选：C．通过观察数轴上m、n的位置结合不等式的性质即可选出正确答案．本题考查数轴上点的特征，熟练掌握数轴上点的特征以及不等式的基本性质是解题关键．6.【答案】B【知识点】平行线的性质【解析】解：∵直尺的对边互相平行，∠2=44°，∴∠2=∠3=44°，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=46°，故选：B．根据平行线的性质，可以得到∠2和∠3的关系，从而可以得到∠3的度数，然后根据∠1+∠3=90°，即可得到∠1的度数．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．7.【答案】D【知识点】垂线段最短、等边三角形的性质【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，BC=3，∴BH=CH=12∴AH=√62−32=3√3，当P点与H点重合时，AP的值最小，∴AP的最小值是3√3．故选：D．过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质得到BH=CH=3，利用勾股定理计算出AH=3√3，然后根据垂线段最短解决问题．本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了垂线段最短．8.【答案】D【知识点】动点问题的函数图象【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E，由图象可知，点F从点A到B用as，△FDC的面积为2acm2．∴AB=a，∴12AB⋅DE=12a⋅DE=2a，∴DE=4，当F从B到D时，用2√5s，∴BD=2√5，Rt△DBE中，BE=√BD2−DE2=√(2√5)2−42=2，∵ABCD是菱形，∴EC=a−2，DC=a，Rt△DEC中，a2=42+(a−2)2，解得a=5．故选：D．通过分析图象，点F从点A到B用as，此时，△FDC的面积为2a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=2√5，应用勾股定理即可求出a的值．本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．9.【答案】5【知识点】实数的运算【解析】解：原式=3+2=5．故答案为：5．直接利用算术平方根以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．10.【答案】50【知识点】余角和补角【解析】解：∵∠a=40°，∴∠a的余角=90°−40°=50°．故答案为：50．根据互为余角的两角之和为90°，即可得出答案．本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互为余角的两角之和为90°．11.【答案】√10【知识点】两点间的距离公式*、勾股定理【解析】解：∵P(−1,3)，点O为坐标原点，∴OP=√(−1)2+32=√10．∴点P到原点的距离是√10．故答案为：√10．直接根据勾股定理进行解答即可．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．12.【答案】a(x+y)(x−y)【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：ax2−ay2=a(x2−y2)=a(x+y)(x−y)．故答案为：a(x+y)(x−y)．应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．13.【答案】4.5×108【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：将450000000用科学记数法表示为：4.5×108．故答案为：4.5×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.【答案】92【知识点】一元二次方程的解【解析】解：依题意，得2×22−2m+1=0，，解得：m=92．故答案为：92把x=2代入方程2x2−mx+1=0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15.【答案】m<1【知识点】二次函数与一元二次方程【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴有两个交点，∴△>0，∴4−4m>0，∴m<1．故答案为m<1根据△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△>0⇔抛物线与x轴有两个交点，△<0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．16.【答案】112【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外接圆与外心【解析】解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=62°，∴∠A=180°−∠ACB−∠ABC=56°，∴∠BOC=2∠A=112°，故答案为：112．根据等腰三角形的性质得到∠A=180°−∠ACB−∠ABC=56°，根据圆周角定理即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．17.【答案】√217【知识点】菱形的性质、解直角三角形【解析】解：作BF⊥DA交DA的延长线于点F，∵∠BAE=120°，∴∠BAF=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD//BC，∴∠CBE=∠FEB，∵E是AD的中点，∴AE=DE，设AE=x，则AB=2x，∴AF=12AB=x，∴BF=√AB2−AF2=√3x，EF=2x，∴BE=√EF2+BF2=√(2x)2+(√3x)2=√7x，∵∠EFB=90°，∴sin∠FEB=BFBE =√3x√7x=√217，∴sin∠CBE=√217．故答案为√217．作BF⊥DA交DA的延长线于点F，由菱形的性质得出AB=AD，AD//BC，由平行线的性质得出∠CBE=∠FEB，设AE=x，则AB=2x，由勾股定理求出BF=√3x，BE=√7x，由锐角三角函数的定义可求出答案．本题考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18.【答案】1或√5+1【知识点】坐标与图形性质、相似三角形的判定、矩形的性质【解析】解：①当∠ABE∽△DOP时，∠AEB=∠DPO，∵BC//AP，∴∠EAP=∠AEB，∴∠EPA=∠EAP，∴EP=EA，∴点E的横坐标为1，∴CE=1．②当△ABE∽△POD时，过点E作EH⊥PA于H．∵∠BAE=∠EPA，∠BAE+∠EAP=90°，∴∠EPA+∠EAP=90°，∴∠AEP=90°，∵EH⊥AP，∴∠EHP=∠EHA=90°，∴∠PEH+∠EPH=90°，∠PEH+∠AEH=90°，∴∠EPH =∠AEH ，∴△PHE∽△EHA ，∴EH 2=PH ⋅AH ，设AH =x ，则PH =6−x ，∴x(6−x)=4，∴x 2−6x +4=0，∴x =3−√5或3+√5(舍弃)，∴EC =√5+1．综上所述，满足条件的EC 的值为1或√5+1．分两种情形：当∠ABE∽△DOP 时，∠AEB =∠DPO ，证明EP =EA ，求出点E 的横坐标即可解决问题．②当△ABE∽△POD 时，过点E 作EH ⊥PA 于H.证明△PHE∽△EHA ，可得EH 2=PH ⋅AH ，设AH =x ，则PH =6−x ，构建方程求出x ，即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(x −2)(x +1)−(x −1)2=x 2−2x +x −2−x 2+2x −1=x −3，当x =−12时，原式=−12−3=−72．【知识点】整式的混合运算【解析】根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20.【答案】解：(1)方程两边都乘以x −2，得1−x =x −2，解得：x =32，检验：当x =32时，x −2≠0，所以x =32是原方程的解，即原方程的解是x =32；(2)解不等式①，得x >2，解不等式②，得x ≤3，所以不等式组的解集是2<x≤3．【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的一般解法、分式方程的解【解析】(1)方程两边都乘以x−2得出1−x=x−2，求出方程的解，再进行检验即可；(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解(2)的关键．21.【答案】50 18【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图【解析】解：(1)10÷20%=50(人)，9÷50=0.18=18%，即m=18，故答案为：50，18；(2)50−9−5−8−10−3=15(人)，补全条形统计图如图所示：=450(人)，(3)1500×1550答：该校九年级学生中对数学感兴趣的学生大约有450人．(1)根据“化学”的频数和所占的百分比即可求出调查人数，进而求出“语文”所占的百分比，确定m的值；(2)求出“数学”的人数即可补全条形统计图；(3)求出“数学”所占的百分比即可求出整体中“数学”的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量关系是正确解答的前提．22.【答案】23【知识点】中心对称图形、轴对称图形、用列举法求概率(列表法与树状图法)、概率公式【解析】解：(1)等边三角形是轴对称图形，圆既是轴对称图形也是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，则摸出的纸板上的图形是中心对称图形的概率是23，故答案为：23；(2)把画有等边三角形、圆、平行四边形的正方形小纸板上分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，两次摸出的小纸板上的图形都是轴对称图形的结果有4个，∴两次摸出的小纸板上的图形都是轴对称图形的概率为49．(1)直接由概率公式求解即可；(2)画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形和中心对称图形23.【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，{AB=AC ∠B=∠C BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE；(2)∵∠C=∠B=26°，∴∠BAC=180°−(26°+26°)=128°，∵∠BAC=128°，∠DAE=90°，∴∠BAD+∠CAE=128°−90°=38°，∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAD=38°÷2=19°．【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】(1)由“SAS ”可证△ABD≌△ACE ，可得AD =AE ；(2)由全等三角形的性质可得∠BAD =∠CAE ，由三角形内角和定理可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．24.【答案】解：(1)设购买1副羽毛球拍的费用为x 元，购买1副乒乓球拍的费用为y 元，依题意得：{x +y =1603x +2y =420，解得：{x =100y =60．答：购买1副羽毛球拍的费用为100元，购买1副乒乓球拍的费用为60元．(2)设购买m 副羽毛球拍，则购买(50−m)副乒乓球拍，依题意得：100m +60(50−m)≤3800，解得：m ≤20．答：最多能购买20副羽毛球拍．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用【解析】(1)设购买1副羽毛球拍的费用为x 元，购买1副乒乓球拍的费用为y 元，根据“如果购买1副羽毛球拍与1副乒乓球拍，那么总费用为160元；如果购买3副羽毛球拍与2副乒乓球拍，那么总费用为420元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买m 副羽毛球拍，则购买(50−m)副乒乓球拍，根据总价=单价×数量，结合总价格不超过3800元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：(1)∵S △ABO =6，AB ⊥y 轴，∴12k =6，∴k =12；(2)由(1)知，k =12，∴反比例函数的解析式为y =12x ①，∵AB⊥y轴，A(0,4)，∴B(3,4)，在Rt△ABO中，AB=3，OA=4，∴OB=√OA2+AB2=5∵OD平分∠OBE，∴∠BOC=∠COE，∵AB⊥y轴，∴AB//x轴，∴∠COE=∠C，∴∠BOC=∠C，∴OB=BC=5，∴C(8,4)，设直线CD的解析式为y=mx，将(8,4)代入y=mx中，得4=8m，∴m=1．2x②，∴直线CD的解析式为y=12联立①②解得，x=±2√6，∵点D在第一象限内，∴D(2√6,√6).【知识点】反比例函数综合【解析】(1)直接利用反比例函数的性质建立方程求出k的值；(2)先求出OB=5，再判断出BC=OB=5，进而求出点C的坐标，进而求出直线CD 的解析式，再联立反比例函数解析式，求解，即可得出结论．此题时反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的性质，勾股定理，角平分线，等腰三角形的判定，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】5或145【知识点】几何变换综合【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB=√AC2+BC2=√36+64=10，∵CD是△DCB的腰，∴CD=BD或CD=BC，当CD=BD时，如图1−1，过点D作DH⊥BC交BC于点H，∵CD=BD，DH⊥BC，∴BH=CH=3，∵DH⊥BC，∠ABC=90°，∴DH//AC，∴△ABC∽△DBH，∵BDAB =BHBC；∴BD10=36．∴BD=5；∴AD=AB−BD=5．当CD=BC时，如图1−2，过点C作CM⊥AB交AB于点M．∵CM⊥AB，∴∠CMB=∠ACB=90°．∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBM，∴ABBC =BCBM；∴BC2=AB⋅BM；∴BM=BC2AB =185．∵CD=BC，CM⊥AB，∴BM=DM，∴BD=365，∵AD=AB−BD，∴AD=145，综上所述：AD=5或145，故答案为：5或145；(2)如图2，设AE=x，∵∠AED=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴AEAC =DEBC；∴DE=3x4，∵∠C=∠F=∠CEF=90°，∴四边形CBFE是矩形，∴EF=BC=6，∴DF=6−3x4，∵CE=8−x，∴BF=CE=8−x，∵S△AED=12⋅AE⋅DE=3x28，S△BDF=12⋅BF⋅DF=3x28−6x+24，且S△BDF−S△AED=6，∴3x28−6x+24−3x28=6．解得：x=3．∴AE=3；(3)如图3，设CP交AB于点Q，∵翻折；∴∠A=∠P，AD=DP，∵DP//BC，∴∠PDB=∠B，△DPQ∽△BCQ，∵∠A+∠B=90°，∴∠P+∠PDQ=90°，∴∠PQD=∠BQC=90°=∠ACB，∴△CQB∽△ACB，∴ABBC =BCBQ，∴BQ=185，∵∠P=∠A，∠DQP=∠ACB，∴△PDQ∽△ABC，∴DPAB =DQBC，∴DQ=35DP，设AD=m，∴DP=AD=m，∴DQ=3m5，∵AB=AD+DQ+BQ，∴10=m+3m5+185．解得：m=4．∴BD=6∴ADBD =23．(1)分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；(2)AE=x，利用相似三角形的性质分别求出DE，DF，BF的长，由面积关系列出方程，可求解；(3)设AD =m ，由相似三角形的性质分别求出BQ =185，DQ =3m 5，列出方程可求m 的值，即可求解．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 27.【答案】平行 P 2 (1,3) √2【知识点】圆的综合【解析】解：(1)∵AB 平移得到P 1P 2，∴AB//P 1P 2，同理，AB//P 3P 4，∴P 1P 2//P 3P 4，由图可得，连接点A 与点P 2的线段长度等于线段AB 到⊙O 的“优距离”，故答案为：平行，P 2，；(2)如图1，过B 作BG ⊥y 轴于G ，则G(0,5)，∴AG =BG =2，∠GAB =∠GBA =45°，∴AB =√2BG =2√2，设直线AB 为y =kx +7，代入点B ，得k =−1，∴直线AB 为y =−x +7，设直线AB 交x 轴于M ，∵BG ⊥y 轴，∴BG//x 轴，∴∠AMO =∠GBA =45°，由(1)可得，平移AB ，使对应点落在⊙上，此时AB//A′B′，且AB =A′B′，这样的对应线段有两条，分别位于圆心O 点两侧，所以当A′在如图位置时，线段AA′的长度是AB 到⊙O 的“优距离”，过O 作OH ⊥A′B′，分别交A′B′于H ，交AM 于T∵A′B′//AM ，∴∠OHB′=∠OTM =90°，∴∠TOM =90°−∠AMO =45°，连接A′O ，∵OH ⊥A′B′，∴A′H=B′H=12A′B′=√2，在Rt△A′OH中，OH=√A′O2−A′H2=2√2，过H作HE⊥x轴于E，∵sin∠TOM=sin45°= HEOH =√22，∴HE=OE=2，∴H(2,2)，∵AB//A′B′，∴设直线A′B′为y=−x+m，代入点H，得m=4，∴直线A′B′为y=−x+4，设A′(a,−a+4)，过A′作A′F⊥x轴于F，在Rt△A′OF中，A′O2=OF2+A′F2，∴a2+(−a+4)2=10，∴a=1或3，∵−√10<a<√10，∴a=1，∴A′(1,3)，故答案为：(1,3)；(3)由(2)可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB//A′B′，AB=A′B′，符合条件的A′B′只有两条，并且位于O点两侧，如图2，根据垂线段最短，当AA′⊥AB时，d最小，∵AB//A′B′，AB=A′B′，∴四边形AA′B′B为平行四边形，∵AA′⊥AB，∴▱AA′B′B为矩形，∴A′B′=AB=2√2，令x=0，则y=−x+6=6，∴N(0,6)，同理，M(6,0)，∴OM=ON=6，∴△MON为等腰直角三角形，过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AB于T，连接OA′，∴A′H=B′H=√2，在Rt△A′OH中，OH=√A′O2−A′H2=2√2，∵AB//A′B′，∴∠OTM=∠OHB′=90°，∴OT⊥MN，又△MON是等腰直角三角形，∴OT=12MN=12√OM2+ON2=3√2，∴HT=OT−OH=√2，∵A′A⊥AB，OT⊥AB，∴AA′//OT，又AB//A′B′，∴四边形A′ATH为平行四边形，∴d=AA′=HT=√2，即d的最小值为√2．(1)根据平移的性质，可以得到AB//P1P2//P3P4，由图可以得到AP2的长度等于线段AB 到⊙O的“优距离”；(2)根据定义和(1)提示，可以知道，平移AB，使对应点落在圆上，即在圆上满足AB//A′B′，AB=A′B′，这样的A′B′只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图1的位置，线段AA′是线段AB到⊙O的优距离，利用A和B坐标，求出直线AB解析式，从而得到直线A′B′的比例系数k=−1，同时可以得到△AOM为等腰直角三角形，因为A′B′=2√2，过O作OH⊥A′B′，利用垂径定理和勾股定理，求出OH=2√2，利用∠AMO=45，得到△OTM为等腰直角三角形，过H作HE⊥x轴于E点，从而可以求得H(2,2)，得到直线A′B′解析式为y=−x+4，设A′(a,−a+4)，过A′作A′F⊥x轴于F，在Rt△A′OF中，利用勾股定理，列出方程即可求解；(3)由(2)可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB//A′B′，AB=A′B′，符合条件的A′B′只有两条，并且位于O点两侧，如图2，根据垂线段最短，当AA′⊥AB时，d最小，过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AB于T，用(2)中方法求解OH和OT，得到HT的长度，即可解决．本题是以圆为背景的新定义题目，能在题目中提炼出定义的内容，是本题的突破口，借助特殊三角形和勾股定理，垂径定理，求解相关的线段和角度，是解决此类问题的基本功．28.【答案】32 2【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)将点A(−1,0)，B(4,0)代入y =−12x 2+bx +c 得： {−12−b +c =0−8+4b +c =0，解得b =32，c =2，故答案为：32，2；(2)①如图：∵A 和A′关于直线l 的对称点，∴AC =A′C ，由抛物线y =−12x 2+32x +2得C(0,2)，∴AC =√5，设直线BC 解析式为y =mx +n ，将B(4,0)，C(0,2)代入得： {0=4m +n 2=n ，解得{m =−12n =2， ∴直线BC 为y =−12x +2，设A′(a,−12a +2)，∴a 2+(−12a +2−2)2=5，解得a 1=2，a 2=−2(不在线段BC 上，舍去)，∴A′(2,1)，由A(−1,0)，A′(2,1)可得直线AA′为：y =13x +13，由{y =13x +13y =−12x 2+32x +2解得：{x 1=103y 1=139，{x 2=−1y 2=0(舍去)，∴E(103,139)；②如图：由①知；直线BC的解析式：y=−12x+2，设直线BC的平行线l′=−12x+n；当直线l′与抛物线y=−12x2+32x+2相切时，设切点为Q，此时△QCA′的面积达到最大值，联立直线l′与抛物线解析式可得−12x+n=−12x2+32x+2，整理得：−12x2+2x+2−n=0，当二者相切时，判别式△=4+4⋅12⋅(2−n)=8−2n=0；解得n=4，∴直线l′的解析式为y=−12x+4；设直线BE的解析式为y=k2x+b2，将B(4,0)，E(103,139)代入得：{4k2+b2=0103k2+b2=139，解得：k2=−136,b2=263；∴直线BE：y=−136x+263，设直线BE与直线l′交于点P′，联立两直线解析式得：x=145,y=135，此时P′(145,135)，此时S△P′CA′=S△QCA′max，为使S△P′CA′≥S△QCA′max，x0≤145，根据对称性，当直线l′与直线BC的距离等于直线l′′与直线BC的距离时，直线l′′解析式为y=−12x，同理可得P′′(265,−135)，为使S△P′CA′≥S△QCA′max，此时x0≥265，综上所述，x0≤145或x0≥265．(1)用待定系数法直接求出二次函数的解析式即可；(2)①根据对称性求出点A的坐标，再求出AA′的解析式，即可求出E点；②先求出△QCA′面积的最大值，再求出直线BE的解析式，得到△PCA′的面积等于△QCA′面积的最大值时P′的坐标，即得到x0的值，数形结合即求出此时x0的范围，根据对称性可得P′′坐标，即可得到满足条件的x0的范围．本题主要考查二次函数的性质，其中用待定系数法求解析式是基础，一定要掌握，对称性的性质也要掌握，包括等腰三角形等在二次函数的综合题里都经常考．第31页，共31页。

江苏省常州市中考数学模拟试卷(一)

常州市2020～2021学年度中考模拟试卷（一）九年级数学一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．在，，，，中，负数的个数有（） A ．个B ．个C ．个D ．个 2．下列选项正确的是（）A 9 3B 2(2)-﹣2C ．﹣1的算术平方根是1D 3125﹣5 3．若a b >，则下列不等式成立的是（）A ．a c b c -<-B ．2a b b +>C ．33a b ->-D ．22a b < 4．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的正方体个数最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．如果20n ÷a=22n ，那么a 等于（）A ．10nB ．5nC ．4nD ．2n6．将一条等宽的纸条按图中方式折叠，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°7．如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，90AFC ∠=︒，BC 10cm =，AC 6cm =，则DF 的长为（）A ．3cmB ．5cmC ．2cmD ．1cm8．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y =k x （x ＞0）与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD =3AD ，且△ODE 的面积是9，则k =（） A ．247 B ．9 C ．245 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．若代数式2a +在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围__________．10．人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061m ，用科学记数法可将0.0000061表示为__________．11．把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．12．已知正比例函数()2y m x =-的图象上两点()()1122,,,A x y B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是_______．13．已知x=－1是方程2x 2＋x ＋m=0的一个根，则m=_______．14．已知x ＝5﹣y ，xy ＝2，计算3x +3y ﹣4xy 的值为．15．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠C ＝2∠A ，则cos A ＝_____．16．某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕定点O 旋转到DC 位置，已知栏杆AB 的长为3.5,m OA 的长为3,m C 点到AB 的距离为0.3m .支柱OE 的高为0.5m ，则栏杆D 端离地面的距离为__________．17．若关于x 的一元一次不等式组{x −1＞02x −a ＜0有2个整数解，则a 的取值范围是． 18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC =√2，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19． (2x ＋y)2＋(x －y)(x ＋y)－5x(x －y)．20．先化简，再求值．22221 121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值从不等式组 ()2153211x x x -<⎧⎨--≥⎩的整数解中选取．21．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2017年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D 表示）实行每辆．．3万元的补助，小刘对该省2017年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A 、B 、C 表示）和“插电式混合动力汽车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．（1）补全条形统计图；（2）求出“D ”所在扇形的圆心角的度数；（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？22．一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中摸出1个球，请用树状图或列表法列出所有的等可能结果，并求至少摸到1个红球的概率．23．已知1y -与2x +成正比例，并且当2x =时，4y =．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当6x =时，求y 的值．24．如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，△ABC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到△DCE ，（1）求证：DE 垂直平分BC ；（2）F 是DE 中点，连接BF ，CF ，若2AC =，求四边形ACFB 的面积．25．为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地生产厂A B甲20 25 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元．求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m 元（0＜m ≤15且m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m 的最小值．̂于点D，过点D作DE 26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．27．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2√3，求FH的长．28．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．。

2021年江苏省常州市中考数学综合性测试试卷附解析

2021年江苏省常州市中考数学综合性测试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列说法中正确的个数有（）①直径不是弦②三点确定一个圆③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于2y x =，下列判断正确的是（） A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．在每一个象限内，y 随x 的增大而增大D ．在每一个象限内，y 随x 的增大而减小3．下列各数中，可以用来证明“奇数是素数”是假命题的反例是（）A ． 9B ． 7C ． 5D ． 3 4．已知两条线段的长分别为 3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为（）A ． 5B C D ．55．式x ＋4x －2中，x 的取值范围是（） A ．x≥－4B ．x ＞2C ．x≥－4且x≠2D ．x>－4且x≠2 6．某居民区月底统计用电情况,其中用电45度的有3户，用电50度的有5户，用电42度的有6户，则平（） 7．计算32)(x x ⋅-所得的结果是（）A ．5xB ．5x -C ．6xD ．6x -8．如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由左下角的圆柱体经过平移得到的．下列说法错误．．的是（） A ．先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度B ．先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度C ．先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右平移7个单位长度D ．直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度9．下列说法正确的是（）A ．周长相等的两个三角形全等B ．面积相等的两个三角形全等C ．三个角对应相等的两个三角形全等D ．三条边对应相等的两个三角形全等 10．巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是（）A ．垂线段最短B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线11．若长方形的一边长等于32a b +，另一边比它小a b -，那么这个长方形的周长是（）A ．106a b +B ．73a b +C ．1010a b +D ．128a b + 12．下列各组两个式子中，是同类项的是（） A ．34ab 与3a bB ．1n n a bc +-与2235n n a bc C ．210()()x y x y -+-与2()()x y x y -+D ．235mn 与28nm13．下列叙述中，正确的是（）A ．有理数中有最大的数B ．是整数中最小的数C ．有理数中有绝对值最小的数D ．若一个数的平方与立方结果相等，则这个数一定是0 二、填空题14．如图，⊙O 的圆心坐标为(04)，，若⊙O 的半径为3，则直线y x =与⊙O 的位置关系是．15．掷一枚质地均匀的小正方体，它的六个面上分别标有数宇 1、2、3、4、5、6，则朝上一面的数字是小于 6 的概率是．16．如图，AB 是⊙O 的直径，C DE ，，是⊙O 上的点，则12∠+∠=． 17．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是_______cm.18．如图：点 A ．B 、G 、D 是以 AB 为直径的同一圆上的四点，若∠DAB =55°，则∠B = ，∠C= ．19．如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC= ． 20．在△ABC 中，点D 是BC 上，∠BAD=80°，AB=AD=DC ，则∠C= ．21．已知直线y=kx+2(k 为常数，且k≠0)，则k= 时，该直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于1．22．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点8200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，则该河流的宽度为．23．一年期存款的年利率为 p ，利息个人所得税的税率为 20%. 某人存入的本金为 a 元，则到期支出时实得本利和为元．三、解答题24．已知一个长方形的长为 5 cm ，宽和长之比为黄金比，用尺规作图作出这个长方形．25．判断下列定义是否正确?如果不正确，请给出正确的定义．(1)不相交的两条直线叫做平行线；(2)两点之间线段最短．26．先化简)11(122xx x x -⋅-+，然后自选一个你喜欢的x 值，求原式的值．27．先阅读下面材料：如图①所示，把△ABC沿直线BC平移BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图②所示，以BC为对称轴把△ABC翻转180°，可以变到△DBC的位置；如图③所示，以A点为旋转中心，把△ABC旋转l80°，可以变到△AED的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、轴对称、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．再回答问题：(1)如图④所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上的一点，且AF=12AB．则△ABE变到△ADF的位置，可通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法?答：．(2)指出图中的线段BE与DF之间的位置关系和大小关系．28．数学兴趣小组的同学想利用树影测树高，在阳光下他们测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m．此刻测量树影，发现树的影子不全落在地上，有一部分影子落在墙壁上，如图所示，同学们测得地面上的影子长为3．6 m，墙壁上的影子长为0．9 m．又知以树和地面上的树影为边的三角形与同一时刻以竹竿和地面上的影子为边的三角形是一个相似变换，求这棵树的实际高度．29．已知222B a b c=-++，且A+B+C= 0，求C的代数式.423=+-，222A a b c30．如图，OD是∠AOB 的平分线，∠AOC=2∠BOC，∠COD=21°30′，求∠AOB的度数.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．D3．A4．D5．B6．C7．A8．D9．D10．B11．CC13．C二、填空题14．相交15． 5616． 90 17．518．35°,35°19．90o20．25°21．±222．480 m23．125ap a三、解答题24．如图，AB = 5 cm ，四边形 ABCD 是所求的矩形．25．(1)不正确，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；(2)正确化简得：2+x ，但x 不能取0和1．27．(1)旋转；(2)EB ⊥DF 且EB=DF28．4．9m29．222222222()(423)332C a b c a b c a b c =-+---++=--30．设∠BOC=x ，则∠AOC=2∠BOC=2x .因为 OD 是∠AOB 的平分线，∠COD= 21°30′，∴∠AOC-21°30′=∠BOC+21°30′，即2x -21°30′=x +21°30′，∴x =43°，∴∠AOB=3x =129°。

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2020-2021常州市天宁区正衡中学九年级数学综合练习一一、选择题1.计算2a a •的结果是（）【A 】3a【B 】2a【C 】3a【D 】22a 【答案】A【分析】本题主要考查了幂的运算2．同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（）【A 】36×106【B 】0.36×108【C 】3.6×106【D 】3.6×107【答案】C【分析】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10,n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值3．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．【A 】2【B 】3【C 】4【D 】5【答案】B【分析】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故正确；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确．故选：B ．4.已知a ，b 满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝42a ＋3b ＝6，则a+b 的值为（）【A 】ab>0【B 】a −b>0【C 】a+b>0【D 】a 2+b>0【答案】A【分析】此题考查了二元一次方程组的整体思想【解答】解： ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝4①2a ＋3b ＝6②， ①+②得：5a+5b=10，则a+b=2，故选：A ．5.如图,AB ∥CD,AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°,则∠AED 度数为（）【A 】110°【B 】125°【C 】135°【D 】140°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，【解答】解：∵AB ∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∵∠C=70°,∴∠CAB=110°,∵AE 平分∠CAB,∴∠CAE=12∠CBA=55°,∴∠AED=∠C+∠CAE=70°+55°=125°,故选：B ．6.若一次函数y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0）的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx+b>1的解集为（）【A】x＜0【B】x＞0【C】x＜1【D】x＞1【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．【解答】解：如图所示：不等式kx+b>1的解为：x＞1．故选：D．7.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于（）A．60°B．65°C．70°D．75°【A】60°【B】65°【C】70°【D】75°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．【解答】解：连接BD ，如图所示．∵点D 是弧AC 的中点，∴∠ABD=∠CBD ．∵∠ABC=50°,AB 是半圆的直径，∴∠ABD=12∠ABC=25°,∠ADB=90°,∴∠DAB=180°-∠ABD -∠ADB=65°．故选：B ．8.如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG,DE 和FG相交于点O ．设AB=a,CG=b(a>b)．下列结论：①△BCG ≌△DCE;②BG ⊥DE;③DG GC =GO CE ;④(a -b)2﹒S △EFO =b 2﹒S △DGO ．其中结论正确的个数是（）【A 】4个【B 】3个【C 】2个【D 】1个【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，根据正方形的性质，即可得【解答】解：①∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,CD ∥EF,∴∠BCG=∠DCE ．在△BCG 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC∠BCG ＝∠DCE CG ＝CE，∴△BCG ≌△DCE(SAS), 故①正确;②延长BG 交DE 于点H ，如图所示：∵△BCG ≌△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BGC=90°,∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠DHG=90°,∴BH ⊥DE;∴BG ⊥DE ．故②正确；③∵四边形GCEF 是正方形，∴GF ∥CE,∴DG DC ＝GO CE ,DG GC ＝GO CE 是错误的．故③错误；④∵DC ∥EF,∴△EFO ∽△DGO,∴S △EFO S △DGO =⎝ ⎛⎭⎪⎫ EF DG 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫ b a -b 2=b 2(a -b)2, ∴(a -b)2﹒S △EFO =b 2﹒S △DGO ．故④正确；正确的有3个，故选：B ．二、填空题（每题2分，共20分）9.在比例尺为1：80000的常州市城区地图上，清凉路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为________千米．【答案】28【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺．【解答】解：设它的实际长度为x 厘米，根据题意得35x =180000,解得x=2800000(cm),2800000cm=28千米．故答案为28．10.若关于x 的方程kx 2-4x -2=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】k ≥-2且k ≠0．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．【解答】解：（1）根据题意得△=(-4)2-4k ﹒(-2)≥0且k ≠0，解得k ≥-2且k ≠0；11.在实数范围内定义一种运算"*",其规则为a*b=a 2-b 2,根据这个规则，方程(x+1)*3=0的解为________．【答案】x 1=2,x 2=-4．【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成x 2=p 的形式，那么可得x=±p ；如果方程能化成(nx+m)2=p(p ≥0)的形式，那么nx+m=±p ．【解答】解：∵(x+1)*3=0，∴(x+1)2-32=0，∴(x+1)2=9，x+1=±3，所以x 1=2,x 2=-4．故答案为x 1=2,x 2=-4．12.已知α，β是方程x 2+2016x+1=0的两个根，则()1+2018α+α2()1+2018β+β2的值为________【答案】4【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解找出αβ=1,α2+2016α=-1,β2+2016β=-1是解题的关键．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2016x+1=0的两个根，∴αβ=1,α2+2016α=-1,β2+2016β=-1，∴()1+2018α+α2()1+2018β+β2=(1+2α-1)(1+2β-1)=4αβ=4．13 .将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE 的值是_______【答案】33 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：设AC=AB=x ，则CD=AC tanD =x 33=3x, ∵∠BAC=∠ACD=90°,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴AB ∥CD,∴△ABE ∽△DCE, ∴BE CE ＝AB CD =x 3x=33,14.一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C 恰好落在量角器的直径MN 上，顶点A ，B 恰好落在量角器的圆弧上，且AB ∥MN ．若AB=8，则量角器的直径MN=________．【答案】4 7．【分析】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．【解答】解：作CD ⊥AB 于点D ，取圆心O ，连接OA ，作OE ⊥AB 于点E ．在直角△ABC 中，∠A=30°,则BC=12AB=4，在直角△BCD 中，∠B=90°-∠A=60°,∴CD=BC ﹒sinB=4× 32=2 3,∴OE=CD=2 3,在△AOE 中，AE=12AB=4，则OA=AE 2+OE 2=16+12=27, 则MN=2OA=47．故答案是：4 7．15. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AE ．若∠D=72°,则∠BAE=________°．【答案】36【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D=72°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=54°,∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=72°,∴∠BAE=180°-72°-72°=36°, 故答案为：3616.如图，点G 是△ABC 的重心,GE ∥AB 交BC 于点E,GF ∥AC 交BC 于点F ，若△GEF 的周长是2，则△ABC 的周长为________．【答案】6【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．【解答】解：如图,∵G 是△ABC 的重心， ∴AG GD =2，∴GD DA =1 3,∵GE ∥AB,∴△DGE ∽△DAB, ∴GE AB =DE DB =DG DA =13,∴AB=3GE,DB=3ED,同理可得AC=3GF,DC=3DF,∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3(GE+GF+EF)=3×2=6．故答案为6．17. 如图，已知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点B 圆心的⊙B 经过原点O,BC ⊥x 轴于点C ，点D 为⊙B 上一动点，E 为AD 的中点，则线段CE 长度的最大值为________．【答案】5+ 132．【分析】本题考查坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．【解答】解：如图，作点A 关于点C 的对称点A ′，连接BA ′,BD,DA ′．由题意AC=CA ′=2,BC=3,BD=OB=32+42=5，∴BA ′=32+22=13, ∵AC=CA ′,DE=EA ，∴EC=12DA ′,∵DA ′≤BD+BA ′,∴DA ′≤5+13, ∴DA ′的最大值为5+13,∴EC 的最大值为5+ 132, 故答案为5+ 132．18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm,F 是弦BC 的中点,∠ABC=60°,若动点E 以1c m s 的速度从A 点出发在AB 上沿着A →B →A 运动，设运动时间为t(s)(0≤t<16),连接EF ，当∠FEB 是直角时,t(s)的值为________．【答案】7s 或9s【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当∠FEB 是直角时,∠FEB=90°,∵AB 是直径，∴∠FEB=∠C=90°,∵∠B=∠B ，∴△FEB ∽△ACB,∴EB BC =BF AB ,在Rt △ACB 中，∵BC=4,∠B=60°,∴AB=2BC=8，∵F 是弦BC 的中点，∴BF=CF=2，∴EB 4=28,∴EB=1，∴AE=AB -BE=7，∴t 的值为7s 或9s 时,∠FEB 是直角．三、解答题19.计算：（12|1|(-+【答案】12+【分析】本题考察了实数的运算（2）2361, 其中3369x x x x x ⎛⎫-÷-=- ⎪+++⎝⎭【答案】13x +【分析】本题考查分式的运算20.解方程和不等式组：（1）()()2131x x +=+ （2）152(4)37x x x ⎧+<⎨+>+⎩ 【答案】（1）121,2x x =-= （2）＜1x【分析】本题考察了一元二次方程，一元一次不等式组的解法21.某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；(2)m=________，n=________；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？（4）分别用A 、B 、C 、D 表示“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”，小明和小红从中各选取一个小组，请用树状图法或列表法求出“两人选择小组不同”的概率．【答案】（1）如图所示（2）36、16；（3）192 （4）34．【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150(人），航模的人数为150-(30+54+24)=42（人），补全图形如下：（2）m%=54150×100%=36%,n%=24150×100%=16%,即m=36,n=16，故答案为：36、16；（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%=192(人）；（4）根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中“两人选择小组不同”的有12种，则“两人选择小组不同”的概率是1216=34．22.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________．【答案】见试题解答内容【分析】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1,点C 1的坐标是(2,-2);（2）如图所示，以B 为位似中心，画出△A 2B 2C 2,使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是(1,0),故答案为：(1)(2,-2);(2)(1,0)23.在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．【答案】（1）60；（2）24【分析】本题主要考查分式方程的应用，考查学生对方程知识的应用能力，属于中难度题．【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得：10x +⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1x + 140×20=1，解之得：x=60，经检验，x=60是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意得：⎝ ⎛⎭⎪⎫ 140+ 160y=1，解之得：y=24．答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．24.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y=m x (x<0)的图象交于点B(-2,n),过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D(3-3n,1)是该反比例函数图象上一点．（1）求m 的值；（2）若∠DBC=∠ABC,求一次函数y=kx+b 的表达式．【答案】（1）y=- 6x ,（2）∴y=- 12x+2．【分析】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：（1）∵点B(-2,n)、D(3-3n,1)在反比例函数y=m x (x<0)的图象上，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＝m 3－3n ＝m ，解得： ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ＝－6．（2）由（1）知反比例函数解析式为y=- 6x ,∵n=3，∴点B(-2,3)、D(-6,1),如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，延长DE 交AB 于点F ，在△DBE 和△FBE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FBEBE ＝BE ∠BED ＝∠BEF ＝90°，∴△DBE ≌△FBE(ASA), ∴DE=FE=4，∴点F(2,1),将点B(-2,3)、F(2,1)代入y=kx+b,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝32k ＋b ＝1，∴y=- 12x+2．25.已知：如图⊙O 是以等腰三角形ABC 的底边BC 为直径的外接圆，BD 平分∠ABC 交⊙O 于D ，且BD 与OA 、AC 分别交于点E 、F 延长BA 、CD 交于G ．（1）试证明：BF=CG ．（2）线段CD 与BF 有什么数量关系？为什么？（3）试比较线段CD 与BE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2CD=BF ；（3）BE>CD ．【分析】此题主要考查了圆周角定理以及全等三角形的判定和等腰三角形的性质等知识，根据已知连接EC 利用等腰三角形的性质得出是解题关键．【解答】(1)证明：∵⊙O 是以等腰三角形ABC 的底边BC 为直径的外接圆，∴AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD=∠DCA,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠GCAAB ＝AC ∠BAC ＝∠GAC，∴△ABF ≌△ACG,(ASA)∴BF=CG ；（2）线段2CD=BF ，证明：∵BD 平分∠ABC 交⊙O 于D ，∴∠GBD=∠CBD,∵BC 为直径，∴∠BDC=90°,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧∠GBD ＝∠CBDBD ＝BD ∠GDB ＝∠BDC， ∴△BDG ≌△BDC,(ASA)∴GD=CD ，∵BF=CG ；∴CD CG =12,即CD BF =12,∴2CD=BF ；（3）证明：连接EC,∵△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，且BO=CO ，∴AO ⊥BC(等腰三角形三线合一），∴BE=EC ，∵∠EDC=90°,在△EDC 中所对斜边为EC ，∴EC>CD(直角三角形中斜边大与直角边长），∴BE>CD ．26.定义：如图1,D,E 在△ABC 的边BC 上，若△ADE 是等边三角形则称△ABC 可内嵌,△ADE 叫做△ABC 的内嵌三角形．（1）直角三角形________可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）（2）如图2，在△ABC 中,∠BAC=120°,△ADE 是△ABC 的内嵌三角形，试说明AB 2=BD ﹒BC 是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．（3）在（2）的条件下，如果AB=1,AC=2，求△ABC 的内嵌△ADE 的边长【答案】（1）不一定；（2）AB 2=BD ﹒BC ．（3）是2 77．【分析】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【解答】解：（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，∴直角三角形不一定可内嵌．（2）∵△ADE 是△ABC 的内嵌三角形，∴△ADE 是正三角形，∴∠ADE=60°,在△ADB 和△BAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠BAC ＝120°∠B ＝∠B∴△BDA ∽△BAC,∴AB BC =BD AB , 即AB 2=BD ﹒BC ．（3）设BD=x ，∵△BDA ∽△BAC,△AEC ∽△BAC,∴△BDA ∽△AEC,∴AB AC =BD AE ,∴12=x DE ,即DE=2x ，同理CE=4x ，∴12=x ﹒7x,∴7x 2=1，解得x=77,∴DE=2 77,∴△ABC 的内嵌△ADE 的边长是2 77．27.如图,Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥AP 交AB 于Q ，连接AP 交CD 于点E ．（1）求证：△ACE ∽△PBQ; （2）若AC=6,BC=8,CP=x, PE PQ =y ，试用含x 的式子表示y ；（3）在（2）的条件下，若△CPE 为等腰三角形，请直接写出CP 的长．【答案】（1）见解析（2）即y=4x 24-3x ．（3） CP 的长为3或92或74．【分析】本题考查相似三角形综合题、勾股定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【解答】（1）证明：∵CD ⊥AB,∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ACE=90°,∠B+∠CAD=90°,∴∠ACE=∠B ，∵AP ⊥PQ,∴∠BPQ+∠APC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠APC=90°,∴∠BPQ=∠CAE,∴△ACE ∽△PBQ;（2）解：过点A 作AK ∥BC 交CD 的延长线于点K ．∵∠ACD=∠B,∠CAK=∠ACB=90°,∴△ACK ∽△CBA,∴AK AC =AC BC ,∴AK 6=68,∴AK=92,∵AK ∥BC,∵CP=x ，∴△CPE ∽△KAE,∴CP AK =EP EA =2x 9,∴EP=2x 9EA, ∵△ACE ∽△BPQ,∴AEPQ=ACPB=68-x,∵PEPQ=y，∴y=2x9EAPQ=2x9﹒EAPQ=2x9﹒68-x=4x24-3x,即y=4x24-3x．（3）解：①当CE=PE=x时，∵PEPQ=y，∴CEPQ=y=4x24-3x,∵△ACE∽△BPQ,∴CEPQ=ACBP,∴4x24-3x=68-x,解得x=92．②当CE=CP=x时，在Rt△ACB中，AC=6,BC=8，∴AB=62+82=10，∵CE=CP，∴∠CEP=∠CPE,∵∠CEP=∠ACD+∠CAE,∠CPE=∠B+∠PAB,∵∠ACD=∠B，∴∠CAE=∠PAB,∴△AEC∽△APB,∴CEBP=ACAB,即x8-x=610,解得x=3．③当CP=EP时,∠CEP=∠DCB,∵∠CEP=∠CAE+∠ACD,∠DCB=∠CAD=∠CAE+∠PAB,∴∠ACD=∠PAB,∵∠ACD=∠B，∴∠PAB=∠B，∴AP=BP=8-x,在Rt△ACP中,AC2+PC2=AP2,∴62+x2=(8-x)2,解得x=7 4,综上所述，当△CPE是等腰三角形时，CP的长为3或92或74．。