初等数论第一次作业
初等数论1
第一次网络作业一、填空1.（525，231）的最大公因数为 1、212.2160的正约数的个数为 40个3. 求所有正约数的和等于15的最小正数为 84.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 28个5.35！的标准分解式为 2^5*3^3*5^2*7*11*13*17*19*23*29*31二、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n是任意整数。
证明：n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)而 n-1 n n+1是连续的三个整数，其中必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数所以（n-1)n(n+1)是6的倍数同理 n(n+1)(n+2)也是6的倍数他们的和 n(n+1)(2n+1)也是6的倍数三、假如(a,b)=1，那末(a-b,a+b)=1或2因为(a,b)=1所以存在u,v使得ua+vb=1所以u(a+b)+(u-v)(-b)=1v(a+b)+(u-v)a=1把以上两式相加得(u+v)(a+b)+(u-v)(a-b)=2如果a+b被2整除，那么a-b也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=2如果u+v被2整除，那么u-v也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=1；如果a+b不被2整除,u+v不被2整除，那么a-b也不被2整除，u-v也不被2整除，此时必然u,v,a,b均为奇数，这与ua+vb=1矛盾四、求证(21n+4)/(14n+3)是不可约分数，这里n是任意正整数。
证明：-.-(21n+4)/(14n+3)=1+(7n+1)/(14n+3)又(14n+3)/(7n+1)=2+1/(7n+1)则1/(7n+1)不可约所以(14n+3)/(7n+1)不可约所以(21n+4)/(14n+3)也是不可约。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，那么( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，那么15〔〕n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数〔〕.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,那么A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),那么不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 〔8分〕四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔唯一的〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?〔8分〕解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] ------------(4分)= 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------〔4分〕2、求解不定方程144219=+y x .〔8分〕解：因为〔9，21〕=3，1443，所以有解； ----------------------------〔2分〕化简得4873=+y x ； -------------------〔1分〕考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------〔2分〕所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------〔1分〕因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
初等数论习题与答案、及测试卷
初等数论习题与答案、及测试卷1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证：)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数）b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==，则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=，则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=n14131211+++++，取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
初等数论 习题解答
王进明 初等数论 习题及作业解答P17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。
1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：1226,1226454,a b a b =++++=12261226454,b b ++++=(121)454122626390,b +=---=b =30, 被除数a =12b +26=360.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题：商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454122626390---=是除数的13倍.2．证明：(1) 当n ∈Z 且39(09)n q r r =+≤<时，r 只可能是0,1,8;证：把n 按被9除的余数分类，即：若n=3k, k ∈Z ，则3327n k =, r=0； 若n=3k +1, k ∈Z ，则3322(3)3(3)3(3)19(331)1n k k k k k k =+++=+++,r=1； 若n=3k －1, k ∈Z ，则33232(3)3(3)3(3)19(331)8n k k k k k k =-+-=-+-+,r=8. (2) 当 n ∈Z 时，32326n n n -+的值是整数。
证 因为32326n n n -+=32236n n n -+，只需证明分子3223n n n -+是6的倍数。
32223(231)(1)(21)n n n n n n n n n -+=-+=--(1)(21)n n n n =--++=(1)(2)n n n --+(1)(1)n n n -+.由k ! 必整除k 个连续整数知：6 |(1)(2)n n n --,6 |(1)(1)n n n -+.或证：2!|(1)n n -, (1)n n -必为偶数.故只需证3|(1)(21)n n n --.若3|n, 显然3|(1)(21)n n n --；若n 为3k +1, k ∈Z ，则n －1是3的倍数，得知(1)(21)n n n --为3的倍数；若n 为3k －1, k ∈Z ，则2n －1=2(3k －1)－1=6k-3, 2n －1是3的倍数.综上所述，(1)(21)n n n --必是6的倍数,故命题得证。
西南大学初等数论第一次作业
初等数论第一次作业1、已知361a是一个4位数（其中a 是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。
A：0B：2C：5D：9正确答案：C 得分：102、下面的（）是模4的一个简化剩余系。
A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6正确答案：B 得分：103、小于20的正素数的个数是（）。
A：11B：10C：9D：8正确答案：D 得分：104、下面的数是3的倍数的数是（）。
A：19B：119C：1119D：11119正确答案：C 得分：105、-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0正确答案：C 得分：106、一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n是（）。
A：1110B：1101C：1011D：1001正确答案：A 得分：107、[[4.5]+[3.7]]等于（）。
A：3B：4C：7D：8正确答案：C 得分：108、{{1.8}+{2.9}}等于（）。
A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7正确答案：D 得分：109、100与44的最小公倍数是（）。
A：4400B：2200C：1100D：440正确答案：C 得分：1010、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。
A：6B：2C：3D：13正确答案：A 得分：1011、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。
A：0B：1C：2D：3正确答案：A 得分：1012、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。
A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2正确答案：D 得分：1013、下面的（）是模4的一个完全剩余系。
A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2正确答案：C 得分：1014、下面的（）是模12的一个简化剩余系。
初等数论试卷
初等数论试卷初等数论试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( )Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________；26． 勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；30． ()48ϕ=_________________________________。
初等数论答案01
第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。
显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。
证明留作习题。
定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
证明若a是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
所以d 1是素数。
证毕。
推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。
证明 使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分,共18分）1、如果,，则( )。
A B C D2、如果，，则15（）.A 整除B 不整除C 等于D不一定3、在整数中正素数的个数（)。
A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果，是任意整数,则A B C D5、如果( ),则不定方程有解.A B C D6、整数5874192能被（）整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）。
2、同余式有解的充分必要条件是（)。
3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为（)。
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ）。
5、的公倍数是它们最小公倍数的( )。
6、如果是两个正整数，则存在（）整数，使，.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=？2、求解不定方程。
3、解同余式。
4、求,其中563是素数。
(8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）1、证明对于任意整数,数是整数。
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题（每题3分，共18分）1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）。
2、同余式有解的充分必要条件是（).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( )。
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的（倍数).6、如果是两个正整数,则存在（唯一)整数，使,.三、计算题（每题8分，共32分)1、求［136,221，391]=？（8分）解 [136,221，391]=［［136,221］,391］=［]=[1768，391] ——————-——-——(4分）==104391=40664。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设为实数，为的整数部分，则( )Ａ．； Ｂ．；Ｃ．； Ｄ．．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．７．的充分必要条件是( )Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．８．设，同余式的所有解为( )Ａ．或 Ｂ．或Ｃ．或 Ｄ．无解．9、设f(x)=其中为f(x)的一个解则:( )A．B．C．D．10．则同余式：（）A．有时大于p但不大于n; B．可超过pC．等于p D．等于n11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )A．3 B．11 C．13 D．2312．若雅可比符号，则 ( )A．B．;C．;D．．13．( )A． 4 B． 3 C． 2 D． 114．模12的所有可能的指数为;( )A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．无法确定15．若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A． B．C． D．17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B．欧拉函数；C．不超过x的质数的个数；D．除数函数；18．若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是( )A． B． C． D．无法确定19．，均为可乘函数，则( )A．为可乘函数； B．为可乘函数C．为可乘函数； D．为可乘函数20．设为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A． B． C． D．二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45中的最高次n＝ ____________________；22．多元一次不定方程：，其中，，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是___________________；．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是_____；24．设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson）定理：________________________________________；26．勒让德符号=________________________________________；27．若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28．在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29．设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；30．_________________________________。
初等数论习题
《初等数论》习题Gonao第一章 整除理论第一节 数的整除性例1 设r 是正奇数，证明：对任意的正整数n ，有n + 2|/1r + 2 r + " + n r 。
例2 设A = { d 1, d 2, ", d k }是n 的所有约数的集合，则B =}{,,,21kd n d n d n "也是n 的所有约数的集合。
例3 以d (n )表示n 的正约数的个数，例如：d (1) = 1，d (2) = 2，d (3) = 2，d (4) = 3，" 。
问：d (1) + d (2) + " + d (1997)是否为偶数？例4 设凸2n 边形M 的顶点是A 1, A 2, ", A 2n ，点O 在M 的内部，用1, 2, ", 2n 将M 的2n 条边分别编号，又将OA 1, OA 2, ", OA 2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能使得三角形OA 1A 2, OA 2A 3, ", OA 2n A 1的周长都相等。
例5 设整数k ≥ 1，证明：(ⅰ) 若2k ≤ n < 2k + 1，1 ≤ a ≤ n ，a ≠ 2k ，则2k |/a ； (ⅱ) 若3k ≤ 2n − 1 < 3k + 1，1 ≤b ≤ n ，2b − 1 ≠ 3k ，则3k |/2b − 1。
例6 证明：存在无穷多个正整数a ，使得n 4 + a （n = 1, 2, 3, "）都是合数。
例7 设a 1, a 2, ", a n 是整数，且a 1 + a 2 + " + a n = 0，a 1a 2"a n = n ，则4⏐n 。
例8 若n 是奇数，则8⏐n 2 − 1。
例9 d (1)2 + d (2)2 + " + d (1997)2被4除的余数是多少？例10 证明：方程a 12 + a 22 + a 32 = 1999 无整数解。
初等数论1习题参考答案
初等数论1习题参考答案附录1 习题参考答案第⼀章习题⼀1. (ⅰ) 由a b知b= aq，于是b=(a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。
反之，由a b，a b 及a b也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c 知b= aq1，c= bq2，于是c= a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a0得|q| 1，从⽽|a||b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(nq)及条件m p mn pq可知m p mq np。
3. 在给定的连续39个⾃然数的前20个数中，存在两个⾃然数，它们的个位数字是0，其中必有⼀个的⼗位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有⼀个能被11整除。
4. 设不然，n1 = n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，⽭盾。
5. 存在⽆穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不能表⽰为a2p的形式，事实上，若(k1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数⽭盾。
第⼀章习题⼆1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。
2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0,1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1= r2 = 0，即3a且3b。
3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4- n k被10除的余数和r k+4- r k = r k( r4-1)被10 除的余数相同。
(完整版)初等数论练习题答案
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。
⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
电大初等数论复习资料
初等数论第一次作业（第1章）一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第一次作业参考答案1、=),0(b （C ）.Ab B b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（A ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5,所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯ =5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
初等数论练习题
初等数论练习题初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。
2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。
3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。
5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。
7、18100被172除的余数是___________。
8、??10365 =___________。
9、若p 是素数，则同余方程x p 11(mod p )的解数为。
二、计算题 1、解同余方程：3x 211x200 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
三、证明题1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a≡0 (mod p)；（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。
2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n2a ≡1(mod 2n+2)。
3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。
证明：k p 1C - （-1 ）k(mod p )。
4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。
2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。
4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。
初等数论 习题答案
初等数论习题答案初等数论习题答案初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
它是数学的基础，也是其他数学分支的重要组成部分。
在学习初等数论的过程中，我们经常会遇到一些习题，下面是一些常见习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 证明：如果一个整数能被4整除，那么它一定能被2整除。
答案：我们知道，当一个整数能被另一个整数整除时，我们可以用“整除”这个关系来表示。
对于整数a和b，如果a能被b整除，我们可以写作a|b。
所以题目中的关系可以表示为4|2。
根据定义，如果一个整数能被4整除，那么它一定能被2整除。
所以这个命题是正确的。
2. 证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数一定是偶数。
答案：我们可以用反证法来证明这个命题。
假设存在一个整数x，它的平方是偶数，但是x本身是奇数。
根据奇数和偶数的性质，我们知道奇数乘以奇数得到的结果是奇数，偶数乘以偶数得到的结果是偶数。
所以x的平方是奇数，而不是偶数，与题目中的条件矛盾。
所以这个命题是正确的。
3. 证明：如果一个整数能被3和5整除，那么它一定能被15整除。
答案：我们可以用反证法来证明这个命题。
假设存在一个整数x，它能被3和5整除，但是不能被15整除。
根据整除的性质，如果一个整数能被3整除，那么它一定是3的倍数；如果一个整数能被5整除，那么它一定是5的倍数。
所以x是3的倍数，也是5的倍数。
但是如果x不能被15整除，那么它不是15的倍数。
这与题目中的条件矛盾。
所以这个命题是正确的。
4. 证明：如果一个整数的平方是素数，那么这个整数一定是1或-1。
答案：我们可以用反证法来证明这个命题。
假设存在一个整数x，它的平方是素数，但是x不是1或-1。
根据平方的性质，如果一个整数的平方是素数，那么这个整数一定是1或-1。
所以x是1或-1。
但是如果x不是1或-1，那么它的平方不是素数，与题目中的条件矛盾。
所以这个命题是正确的。
初等数论是一个非常有趣的数学分支，它涉及到很多有趣的数学问题和定理。
初等数论第一章习题
习题4(P19)
• 1.试造不超过100的质数表.
1解 :由Eratosthenes筛法容易得到不超过100的质数为 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47,53,59, 61, 67, 71, 73, 79,83,89,97共25个.
• 2.求82798848及8105722663500的标准分 解式.
2
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习题3(P14)
3.设an x n + an −1 x n −1 + ... + an x n + a0 (1)
有一个整数系数多项式且a0 , an都不是零, 则(1)的有理根 只能是以a0的因数作分子,以an的因数作分母的既约分数, 并由此推出 2不是有理数.
q 3证明 : 设x = , (( p, q ) = 1)是(1)的有理根, 代入(1)式有 : p q n q n −1 q an ( ) + an −1 ( ) + ... + a1 + a0 = 0, p p p ⇒ an q n + an −1q n −1 p + ... + a1qp n −1 + a0 p n = 0, ⇒ a0 p n = −q(an q n −1 + an −1q n − 2 p + ... + a1 p n −1 ), an q n = − p (an −1q n −1 + a1qp n − 2 + ... + a0 p n −1 ), ⇒ q | a0 p n , p | an q n , 由( p, q ) = 1 ⇒ q | a0 , p | an , 又x 2 − 2 = 0以 2为根, 而x 2 − 2 = 0的有理根只能为 ± 1, ±2, 它们都不可能等于 2, 故 2不为有理数.