第十章双样本假设检验及区间估计

练习一：以下是经济体制改革后，某厂 8 个车间竞争性测量的比较。问改 革后，竞争性有无增加？（ 取α=0.05）t=3.176
改革后 86 87 56 93 84 93 75 79 改革前 80 79 58 91 77 82 74 66
练习二：为了了解职工的企业认同感，根据男性 1000 人的抽样调查，其中 有 52 人希望调换工作单位；而女性 1000 人的调查有 23 人希望调换工作，能否 说明男性比女性更期望职业流动？（ 取α=0.05）
[例] 假定实施一种新教学法有助于提高儿童的学习成绩，现将 20 名儿童 两两匹配成对，分成一实验组与一控制组，然后对实验组实施新教学法两年，下 表列示了控制组与实验组前测后测的所有 10 组数据，试在 0.05 显著性水平上检 验实验无效的零假设。
3．对实验设计与相关检验的评论 有了独立样本和非独立样本的认识，读者自然会提出什么时候使用配对样本 以及什么时候不使用配对样本的问题。很显然，匹配样本损失了自由度，使用配 对样本相当于减小了一半样本容量。这样做是不是得不偿失呢?答案是要看我们 能否恰当地配对。 在配对过程中，最好用掷硬币的方式决定“对”中的哪一个归入实验组，哪 一个归入控制组。从而使“对”内随机化。
( X1 X 2 )
的抽样分布就
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过 50)，这个定理可以推广应用于任何具有均值
μ1 和μ2 以及方差
2 1
和
2 2
的两个总体。当 n1 和 n2 逐渐变
大时， ( X 1 X 2 ) 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
1．大样本均值差检验
p1 q1 n1
p2 q2
n2
[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和“内向”，把他们分成 两类。结果发现，新生中有 73％属于“外向”类，四年级学生中有 58％属于“外 向”类。样本中新生有 171 名，四年级学生有 117 名。试问，在 0.01 水平上， 两类学生有无显著性差异？
第二节 两总体小样本假设检验
p2 )
D 0
( p1 p2 )
p1q1 p2q2
n1
n2
当 p1 和 p2 未知，须用样本成数
p1
种情况讨论：
和 进行估算时，分以下两 p2
① 若零假设中两总体成数的关系为 P1=P2 ，这时两总体可看作成数 P
相同的总体，它们的点估计值为
p
X1 X 2 n1 n2
n1
p1 n2 p2 n1 n2
S12
≥1
S
2 2
或者
F
S
2 2
≥1
S12
[例] 为了研究男性青年和女性青年两身高总体的方差是否相等，分别作了
独立随机抽样。对男性青年样本有 n1＝10， S12 ＝30.8(厘米 2)；对女性青年 样本有 n2＝8， S22 ＝27.8(厘米 2)，试问在 0.05 水平上，男性青年身高的
方差和女性青年身高的方差有无显著性差异?
女按对婚后生活的态度分为“满意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取
600 名妇女，其平均婚龄为 8.5 年，标准差为 2.3 年；从不满意组抽出 500 名妇
女，其平均婚龄为 9.2 年，标准差 2.8 年。试问在 0.05 显著性水平上两组是否
存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
将服从于自由度为(n—1)的 t 分布。所以对单一实验组实验的假设检验，其检
验统计量为
t
d 0
~ t (n 1)
Sd / n 1
[例] 随机地选择 13 个单位，放映一部描述吸烟有害于身体健康的影片， 下表中的数字是各单位认为吸烟有害身体健康的职工的百分比，试在 0.05 显著 性水平上检检验实验无效的零假设。
第十章 双样本假设检验及区间估计
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理之后，把视野投向双样本 检验与估计是很自然的。双样本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样 之不同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指双样本是在两个总体中相互独立地抽取的 。 配对样本，指只有一个总体，双样本是由于样本中的个体两两匹配成对而产 生的。配对样本相互之间不独立。
2 2
n1
n2
9.2 8.5 4.47 2.82 2.32 500 600
确定否定域，
因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47
因此否定零假设，即可以认为在 0.05 显著性水平上，婚龄对妇女婚后
生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值 Z＝4.47 远大于单侧
Z0.05 的临界值 1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可以认为
[解] 据题意，
对男性青年样本有 n1 ＝10， S12 ＝30.8(厘米 2)
对女性青年样本有 n2 ＝8， S22 ＝27.8(厘米 2)
H0 ： σ12=σ22
H1 ： σ12≠σ22
S12
n1 n1
1
S12
10 30.8 10 1
34.2
S
2 2
n2 n2
1
S
2 2
8 27.8 8 1
[例] 某市对儿童体重情况进行调查，抽查 8 岁的女孩 20 人，平均体重 22.2 千克，标准差 2.46 千克；抽查 8 岁的男孩 18 人，平均体重 21.3 千克，标 准差 1.82 千克。若男女儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平 5%上，该年 龄男女儿童之体重有无显著差异?
2．小样本方差比检验
外变量影响的基本做法如下： (1)前测：对实验组与控制组分别度量； (2)实验刺激：只对实验组实行实验刺激； (3)后测：对实验组与控制组分别度量； (4)计算消除了额外变量影响之后的 d i 后测实验组―前测实验组＝前测后测差实验组 后测控制组―前测控制组＝前测后测差控制组 实验效应 di＝前测后测差实验组―前测后测差控制组
31.8
计算检验统计量
F
Sˆ12 Sˆ22
34.2 31.8
1.08
确定否定域，因为α＝0.05， Fα/2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08
因而不能否定零假设，即在 0.05 水平上，我们不能说男性青年身高的方差 和女性青年身高的方差有显著性差异。
第三节
配对样本的假设检验
妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
2．大样本成数差检验
（1）零假设： H 0 : p1 p2 D0 （2）备择假设：
单侧 H1:μ1-μ2>D0 或 H1:μ1-μ2< D0
双侧 H1:μ1-μ2 ≠ D0
（3）否定域：单侧 Zα
（4）检验统计量
双侧 Zα/2
Z
( p1
p2 )
D 0
( p1
配对样本，是两个样本的单位两两匹配成对，它实际上只能算作一个样本，
也称关联样本。
因此对它的检验，用均值差检验显然是不行的。因为 2 n 个样本单位(每个
样本 n 个)不是全部独立抽取的。而如果把每一配对当作一个单位，在符合其他
必要的假定条件下，统计检验与单样本检验相差无几。
1．单一实验组的假设检验
对于单一实验组这种“前—后”对比型配对样本的假设检验，我们的做法是，
S
2 2
(3)否定域(参见下图) 单侧 Fα（n1―1，n2―1），双侧 Fα/2（n1―1，n2―1）
方差比检验，比起前面所介绍的检验有一个不同点，那就是无论是单侧检验 还是双侧检验，F 的临界值都只在右侧。其原因是我们总是把 S12 和 S22 中的 较大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有
F
此时上式中检验统计量 Z 可简化为
Z ( p1 p2 ) 0
p1 p2
pq pq
n1
n2
p q
n1 n2 n1n2
② 若 零 假 设 中 两 总 体 成 数 P1 ≠ P2 ， 那 么 它 们 的 点 估 计 值 有
p1 p1
p2 p2
此时上式中 检验统计量 Z 为
（5）判定
Z
( p1 p2 ) D0
2.3
Βιβλιοθήκη Baidu不满意组
500
9.2
2.8
[解] 据题意，
“不满意”组的抽样结果为： X1 ＝9.2 年， S1＝2.8 年， n1＝500； “满意”组的抽样结果为：X 2 ＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。 H0：μ1―μ2＝D0＝0
H1： μ1―μ2 ≠0
计算检验统计量
Z
X1
X2
D 0
2 1
n1S12
2 1
n2
S
2 2
2 2
/(n1 1) /(n2 1)
~
F (n1
1，n2
1)
由于 用统计量为:
S2
n
S 2 ，所以简化后，检验方差比所
n 1
S12
/
2 1
S
2 2
/
2 2
~ F (n1 1，n2 1)
当零假设 H0： σ1＝σ2 时，上式中的统计量又简化为:
F
S12
~ F (n1 1，n2 1)
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两总体小样本假设检只讨论总体满
足正态分布的情况。
1. 小样本均值差假设检验
(1)
当
2 1
和
2 2
已知时，小样本均值差检验，与上一节所述
大样本总体均值差检验完全相同，这里不再赘述。
(2)
2 1
和
2 2
未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
( X1 X 2 )
的算式。
现又因为σ未知，所以要用它的无偏估计量
S
替代它。由于两个样本的方
差基于不同的样本容量，因而可以用加权的方法求出σ的无偏估计量，得
S
n1S12
n2
S
2 2
n1 n2 2
注意，上式的分母上减 2，是因为根据 X1 和 X 2 计算 S1 和 S2 时，分别损失了一个自由度，一共损失了两个自由度，所以全部自由度的数目就 成为(n1+ n2―2)。 于是有
S
( X1 X 2 )
n1 n2 n1n2
[例]为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做如下独立随机抽样： 民族 A：12 户，平均人口 6.8 人，标准差 1.5 人 民族 B：12 户，平均人口 5.3 人，标准差 0.9 人
问：能否认为 A 民族的家庭平均人口高于 B 民族的家庭平均人口（ α =0.05）？（假定家庭平均人口服从正态分布，且方差相等）t=2.97
不用均值差检验，而是求出每一对观察数据的差，直接进行一对一的比较。如果
采用“前测”“后测”两个总体无差异的零假设，也就是等于假定实验刺激无效。
于是，问题就转化为每对观察数据差的均值μd ＝0 的单样本假设检验了。求每
一对观察值的差，直接进行一对一的比较。
设配对样本的样本单位前测与后测的观察数据分别
是 X 0i 与 X 1i，其差记作 di
2．一实验组与一控制组的假设检验 单一实验组实验的逻辑，是把实验对象前测后测之间的变化全部归因于实验 刺激。在社会现实生活进行的实际实验中，对象前测后测之间的变化，有时除了 受到实验刺激外，还受到其他社会因素的作用。因而，配对样本的一实验组与一 控制组之假设检验，要设法把实验变量的作用和额外变量的作用区分开来，然后 就像对待单一实验组实验一样，把问题转化为零假设μd＝0 的单样本检验来处 理。 在一实验组与一控制组的实验设计之中，对前测后测之间的变化，消除额
（1）零假设：H0:μ1-μ2=D0 （2）备择假设：
单侧 H1:μ1-μ2>D0 或 H1:μ1-μ2< D0
双侧 H1:μ1-μ2 ≠ D0
（3）否定域：单侧 Zα
双侧 Zα/2
（4）检验统计量 （5）比较判定
Z
X1
X2
D 0
2 1
22
n1 n2
[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚龄而有所差别，将已婚妇
d i＝ X 1i―X 0i
如果假设两总体前测与后测无显著性差别，即μ1 ＝μ0 或者
d
di N
1 0
0
。那么对取自这两个总体的配对大样本有
d
di
2
~ N (0,
)
n
n
对于大样本，当二总体的方差未知时，可以用样本标准差来近似。
S d 2
1 n
(di d )2
若为小样本则需用 t 分布，即对配对(小)样本而言，其均值差的抽样分布
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须再一次运用
中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重要定理：如果从
N
(
1
,
2 1
)
和
N
(
2
,
2 2
)
的独立随机样本，那么两个样本的均值差
是
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
)
n2
两个总体中分别抽取容量为 n1 和 n2
在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两总体的方差。
例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的比较外，还要用方差比较
收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均值差的检验中曾谈到，当方差未知时，
往往还假设两总体方差相等。因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检
验，对于均值差检检验也是具有一定意义的。
设两总体分别满足正态分布
N
(
2
,
2 2
)
和
N
(
2
,
2 2
)
。现从这
两个总体中分别独立地各抽取一个随机样本，并具有容量 n1，n2 和方差
S12 ， S22
。根据第八章(8.22)式，对两总体样本方差的抽样分布分别有
n1S12
2 1
~
2 (n1 1)
n2
S
2 2
2 2
~
2 (n2
1)
根据本书第八章第四节 F 分布中的(8.25)式有