平行四边形性质判定经典题型
平行四边形性质经典例题及练习
平行四边形性质经典例题及练习（4）一、平行四边形的性质： 1、平行四边形对边相等且平行 2、平行四边形对角相等，邻角互补 3、平行四边形对角线互相平分 二、典型例题 1、角度的计算例1 、 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得x+3x=180，解得x=45，∴ 3x=135∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°． 练习：（1）.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=____ 度, ∠D=_______度. （2）平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _____ . （3） 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 。
2、边长及周长计算 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，的周长比 的 周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长． (答案：19cm ，11cm ，19cm ，11cm ．)说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差． 练习：（1）已知：平行四边形一边AB=12 cm,它的长是周长的1/6，则BC=______ cm,CD=______ cm.（2）已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是______.（3）已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.（4）用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.3、面积计算例3、已知：如图，ABCD 的周长是，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且，.求这个平行四边形的面积.解答：设. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴.又∵四边形ABCD 的周长为36，∴ ① ∵， ∴∴ ② 解由①，②组成的方程组，得.∴.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 练习：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3、平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 4、在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝______．5、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
专题 平行四边形的性质和判定(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，AE ＝3，EB ＝5，ED ＝4．则CE 的长是（ ）A ．2√2B ．6√2C ．5√5D ．4√5【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．2√6【变式1-2】如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 与BD 的交点，AC ⊥AB ，E 为AD 的中点，并且OF ⊥BC ，∠D ＝53°，则∠FOE 的度数是（ ）A ．143°B ．127°C ．53°D ．37°【变式1-3】如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是（1，3），点A 的坐标是（5，0），则点B 的坐标是（ ）A ．（5，3）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（8，1）【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD 中P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF ＝FC．（1）求证：DE∥BF；（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=√34，AD＝3√2，求四边形ADEB的周长．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【变式5-1】如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，连接AF 、CE 、DE 、BF 、EF ，AF 与DE 交于点G ，CE 与BF 交于点H ，则图中共有平行四边形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式5-2】如图，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 是线段BC 上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），△ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交线段AB ，AC 于点F ，G ，连接BE 和CF ．则下列结论中：①BE ＝CD ；②∠BDE ＝∠CAD ；③四边形BCGE 是平行四边形；④当CD ＝2时，S △AEF ＝23，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式5-3】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【变式5-4】（2022春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式5-5】（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．【变式5-6】（2021春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．（1）求证：AP＝CQ；（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【变式5-7】（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE ⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．【变式5-8】（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD ＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．。
平行四边形的性质及判定基本练习
平行四边形的性质及判定基本练习一、选择题1．若平行四边形ABCD的周长是40cm，△ABC的周长是27cm，则AC的长为( ) A．13cm B．3cm C．7cm D．11.5 cm2．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形3．已知平行四边形周长为28cm，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为( ) A．4cm、10cm B．5cm、9cm C．6cm、8cm D．5cm、7cm 4．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组邻边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角互补5．若A、B、C三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个A．1 B．2 C．3 D．46．能够判定四边形是平行四边形的条件是( )A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分 D．一条邻角互补7．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与188．四边形ABCD中，AD∥BC，当满足条件( )时，四边形ABCD是平行四边形A．∠A＋∠C =︒180 B．∠B＋∠D =︒180C．∠A＋∠B =︒180 D．∠A＋∠D =︒1809．已知下列三个命题⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑵一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形⑶一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形其中错误的命题的个数是( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC = 10，BD = 8，则AD的取值范围是( )A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞911、.如图,四边形ACED为平行四边形,DF垂直平分BE甲乙两虫同时从A点开始爬行到点F,甲虫沿着FEDA---的路线爬行,乙虫沿着FBCA---的路线爬行,若它们的爬行速度相同,则( )A 甲虫先到B 乙虫先到C 两虫同时到D 无法确定二、填空题12．一个平行四边形的周长为40，两邻边的比为3∶5，则四边形的长为_________．13、四边形A B C D中，已知A B C D=，则可再添加一个条件可判定四边形A B C D为平行四边形．14．一个平行四边形的一个内角比它的邻角大︒24，则这个四边形的四个内角分别是________．15．在平行四边形ABCD中，EF过对角线交点O，交CD、AB于E、F，若AB= 4cm，AD = 3cm，OF = 1.3cm，则四边形BCEF周长为_____________．16．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_____．17．在平行四边形ABCD中，对角线BD = 7cm，∠DBC =︒30，BC = 5cm，则平行四边形ABCD的面积为___________．18．从平行四边形的一锐角顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角︒135，则此四边形的四个角分别为_____________．三、解答题：19．平行四边形周长等于68cm ，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于80cm ，两对角线的长度之比是2∶3，求两条对角线的长度．20、如图所示，平行四边形A B C D 中，A C B D 、相交于O ，且O E O F =，则四边形A E C F 是平行四边形吗？请说明理由．21、.如图,ABC ∆中,BD 平分ABC ∠,BC DF //,AC EF //,试问BF 与CE 相等吗?为什么?22．如图，AD 、BC 垂直相交于点O ，AB ∥CD ，又BC = 8，AD = 6，求：AB ＋CD 的长．23．如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．24．已知如图，在平行四边形ABCD 中，∠A =︒60，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AB = 2AD ，求证：BD =3EF ．25、行四边形ABCD 中,E 在AC 上,AE=2EC,F 在AB 上,BF=2AF,如果BEF ∆的面积为22cm ,求平行四边形ABCD 的面积ADC BAB OCDEECAEBCFD O。
平行四边形的判定与性质专项训练题
平行四边形的判定与性质专项训练题1．如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．3．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．4．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．5．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．6．如图，已知∠AOB，P、F是OA、OB上一点．（1）用尺规作图法作▱OPEF；（2）若∠AOB＝30°，OP＝4，OF＝5，求OP与EF的距离．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．8．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．9．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：（1）AD＝BC；（2）AD与BC的位置关系为：．10．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．11．如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．（1）证明：四边形AECF是平行四边形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．12．如图，BC∥AD，AB∥CD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若AB＝3，BC＝5，求四边形ABCD的周长．13．▱ABCD中，BD是对角线，CE⊥CD交BD于E点，AF⊥AB交BD于F点，连接AE、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE，AC．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形；（2）连接CE交AD于点O．若AC＝AB＝6.5，BC＝5，求线段CE的长．15．如图，已知点A，C在线段EF上，且AE＝CF．作AD∥BC，DE∥BF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．16．如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．17．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．18．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）当∠B＝60°，AB＝6时，求AD与BC之间的距离．19．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．20．如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连结BD并延长至点E，使DE＝BD，延长BC 至点F，使CF＝BC，连结AE、EF．（1）求证：四边形ACFE是平行四边形．（2）连结AF，交线段BE于点G．若△ABC的面积为2，则△ADG的面积为．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，直线MN交BD于点O，求证：∠1＝∠2．22．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°，求证：四边形AECF是平行四边形．23．已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD边上的点，若∠AED＝∠CFB，求证：四边形DEBF是平行四边形．25．如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．26．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且∠AEB ＝∠CFD．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠AEB＝90°，AE＝EF＝2，求线段AC的长．27．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．28．（1）如图，以线段AB，BC为邻边，用尺规作图画出平行四边形ABCD（保留作图痕迹），并说明它是平行四边形的判定方法？（2）连接AC，BD，若AB＝6，BC＝8，求AC2+BD2的值（要有必要的过程）．。
(完整版)平行四边形的性质判定练习题
第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。
变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。
例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。
变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。
例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。
变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
平行四边形的性质与判定经典例题练习
平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
2. 性质1：平行四边形的对边相等。
性质1：平行四边形的对边相等。
3. 性质2：平行四边形的对角线相等。
性质2：平行四边形的对角线相等。
4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定【典型例题】利用平行四边形的性质求解边和角例1 如图，□ABCD 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，OA=10，OB=6，求BC 、AB 的长。
# 灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算例2—1 如图，四边形ABCD 为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD 的周长为40cm ，且AB －BC=2cm ，求□ABCD 各边长和各内角的度数。
例2—2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD 与AC 相交于O ，且BD ⊥AB ，求AD ，BC 和AC 的长。
# 利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围例3—1 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8D ．3﹤AB14例3—2 平行四边形的一边长为10，那么它的对角线长度可以是（ ） A ．8和12B ．20和30C ．6和8D ．4和6# 灵活运用平行四边形的面积公式计算例4 已知□ABCD 中周长是36cm ，且AB=10cm ，AD 与BC 间的距离为6cm ，求：AB 与CD 之间的距离。
ABCDOA BCDA BCDOABCDO DCBA h2* 例5 如图所示，□ABCD 中，∠ABC=75°，AF ⊥BC ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。
若DE=2AB ，求∠AED 的度数。
* 例6 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且EF ∥BD ，求证：S △ABE =S △ADF 。
例7.A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB=CD ；③BC ∥AD ；④BC=AD ，这四个条件中选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有多少种（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6# 例8、如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、DC 的中点，AF 、DE 交于G ，BF 、CE 交于H ，试说明：EHFG 为平行四边形。
8.2平行四边形性质和判定的四种常见题型
证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＋∠EBA＝90°. ∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠EAG＝∠FCH，∠AEG＝∠CBE. ∵E，F 分别为 AD，BC 的中点，
∴AE＝DE＝12AD，BF＝CF＝12BC. ∴AE＝CF，DE＝BF.又 DE∥BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形．∴BE∥FD. ∴∠CBE＝∠CFH.∴∠AEG＝∠CFH.
3．(中考·扬州)如图，将▱ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE.
(1)求证：四边形 BCED′是平行四边形； 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. 根据折叠的性质，得∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA， ∠D＝∠AD′E.
∠EAG＝∠FCH， 在△AEG 和△CFH 中，AE＝CF，
∠AEG＝∠CFH， ∴△AEG≌△CFH(ASA)．∴AG＝CH.
2．(中考·毕节)如图，将▱ ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE＝ 12AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD.
(1)求证：四边形． 证明：∵D，E 移动的速度相同，时间也相同，∴BD＝CE. ∵DG∥AE，∴∠DGB＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠DGB. ∴BD＝GD＝CE. 又∵DG∥CE，∴四边形 CDGE 是平行四边形．
平行四边形判定经典题型
平行四边形判定经典题型摘要：一、平行四边形的定义和性质二、平行四边形的判定方法1.两组对边分别平行2.两组对边分别相等3.一组对边平行且相等4.两组对角分别相等5.对角线互相平分三、经典题型解析1.题目一2.题目二3.题目三4.题目四5.题目五正文：平行四边形是初中数学中一个重要的基本图形，它具有许多独特的性质，其中最重要的性质之一就是可以通过一些特定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。
这些判定方法包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等以及对角线互相平分。
首先，如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这是最直接的判定方法。
其次，如果两组对边分别相等，那么这个四边形也是平行四边形。
这种情况下，四边形的一组对边可能相等，也可能不等。
再者，如果一组对边平行且相等，那么这个四边形也是平行四边形。
这种情况下，另一组对边可能平行，也可能相等。
此外，如果两组对角分别相等，那么这个四边形也是平行四边形。
最后，如果对角线互相平分，那么这个四边形也是平行四边形。
在实际做题过程中，我们需要根据题目给出的条件，灵活运用这些判定方法。
下面，我们通过五个经典题型来具体解析这些判定方法的应用。
题目一：如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目二：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目三：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目四：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目五：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
专题 平行四边形的性质和判定(解析版)
八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）A．B．C．D．【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BE ＝BC ＝5，由勾股定理的逆定理可求∠AED ＝90°，由勾股定理可求CE 的长．【解答】解：∵AE ＝3，EB ＝5，∴AB ＝8，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝CD ＝8，∴∠DCE ＝∠BCE ，∠AED ＝∠EDC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∴BE ＝BC ＝5，∴AD ＝5，∵AD 2＝25＝16+9＝DE 2+AE 2，∴∠AED ＝90°，∴∠AED ＝∠EDC ＝90°，∴CE =故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，证明∠AED ＝90°是解题的关键．【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．【分析】据平行四边形的性质证明∠DAE ＝∠BEA ，∠ADF ＝∠CFD ，进而证明∠BAE ＝∠BEA 得到BE ＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，∵AG⊥DG，∴∠AGD＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BEA+∠CFD＝90°，∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD，∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5，∴EF＝CF﹣CE＝3，故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键．【变式1-2】如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF ⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）A．143°B．127°C．53°D．37°【分析】先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAD＝∠OCF，∵AC⊥AB，OF⊥BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°，∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°，∴∠FOC＝∠D＝53°，∵O为对角线AC与BD的交点，∴O为AC的中点，∵E为AD的中点，∴OE∥CD，∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键．【变式1-3】如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（ ）A．（5，3）B．（4，3）C．（6，3）D．（8，1）【分析】由平行四边形的性质可得BC∥OA，BC＝OA＝5，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标是（5，0），∴OA＝5，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝5，∵点C的坐标是（1，3），∴点B坐标为（6，3），故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DPA∴∠DAP＝∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP+PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴BP=6，∴△APB的周长＝6+8+10＝24；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，在△BAC和△AED中，AB=EA∠B=∠DAEBC=AD，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△BAC≌△AED是解题的关键．【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，BO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AB＜4+3，再解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∴4﹣3＜AB＜4+3，解得1＜AB＜7．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB ＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE＝OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝EF ＝FC ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若BE ⊥BC ，DE ＝6，求对角线AC 的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ，利用全等三角形的判定和性质得出∠AFB ＝∠CED ，再由平行线的判定即可证明；（2）根据（1）中全等三角形的性质得出DE ＝BF ＝6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BF ＝CF ＝EF ＝6，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ，∵AE ＝FC ，∴AE +EF ＝FC +EF ，即AF ＝EC ，∴△ABF ≌△CDE （SAS ），∴∠AFB ＝∠CED ，∴DE ∥BF ；（2）解：由（1）得△ABF ≌△CDE ，∴DE ＝BF ＝6，∵BE ⊥BC ，CF ＝EF ，∴点F 为△BEC 的中点，∴BF ＝CF ＝EF ＝6，∵CF ＝EF ＝AE，∴AC＝18．【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【分析】证两条线段所在的两个三角形全等．根据“AAS”可证△ABE≌△CDF或△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．在△ABE和△CDF中，∠DFC=∠BEA∠FCD=∠EAB，AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握“平行四边形的对边平行且相等”是解题关键．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，∠E=∠FBE=DF，∠EBG=∠FDH∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，∴∠DCE＝∠BCF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠DCE＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BC＝BF，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴A为BF的中点，∴AB＝AF，∴AB＝DC＝AF，在△DEC和△AEF中，∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDC=AF，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DE＝AE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，∵△DEC≌△AEF，∴CE＝EF，∵BC＝BF，∴∠EBC＝∠FBE=12∠CBF＝35°，∴∠BEA＝35°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC，∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=AD＝ADEB的周长．【分析】（1）由已知证得AB＝EF，DE＝AE，根据全等三角形的判定证得△FDE≌△BEA，根据全等三角形的性质可得结论；（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，∴∠FED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AE＝DE，∵CE＝AF，∴AB＝EF，△FDE和△BEA中，DE=AE∠FED=∠BAE EF=AB，∴△FDE≌△BEA（SAS），∴DF＝BE；（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝由勾股定理得：DE＝3，在Rt△FDE中，DE＝3，DF=∴EF=5，由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝35＝【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可；（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF=到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝CD，AB＝CD，∴△ABE为等腰三角形，∴AB＝BE＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，∵BC ＝CE ＝3，∴AD ＝CE ，∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴AF ＝EF ＝4，∴BF ⊥AE ，∵AB ＝BE ＝6，∴BF==∵S △ABF =12AB •FG =12AF •BF ，∴FG =故FG【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．【例题3】如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE 【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故A选项符合题意；如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBEAD=BC，∠DAF=∠BCE∴△ADF≌△CBE（ASA），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，∴∠AFD＝∠CEB，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEB，AD=BC∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；③错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；④正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行．故是平行四边形．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B、由AB＝AD，BC＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；C、由AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对角相等的四边形可得是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理．【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．DE ＝EFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC ，DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE =12AC ，A 、当∠B ＝∠F ，不能判定AD ∥CF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；B 、∵DE ＝EF ，∴DE =12DF ，∴AC ＝DF ，∵AC ∥DF ，∴四边形ADFC 为平行四边形，故本选项符合题意；C 、根据AC ＝CF ，不能判定AC ＝DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；D 、∵AD ＝CF ，AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，由BD ＝CF ，∠BED ＝∠CEF ，BE ＝CE ，不能判定△BED ≌△CEF ，不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．【变式3-6】如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，连接AF ，CE ，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE 是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．【分析】根据▱ABCD的性质得到AD∥BC，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．【解答】解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，则AE∥FC．当添加AE＝FC时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形AFCE是平行四边形，故答案是：AE＝FC（答案不唯一）．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题过程中注意平行四边形的判定与平行四边形的性质的综合运用．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）【分析】在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边，只需证明OE＝OF．【解答】解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；故答案为：AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明OE＝OF是解题的关键．【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF ＝30°．【分析】（1）在△ACD 和△CBF 中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．（2）当∠DEF ＝30°，即为∠DCF ＝30°，在△BCF 中，∠CFB ＝90°，即F 为AB 的中点，又因为△ACD ≌△CBF ，所以点D 为BC 的中点．【解答】证明：（1）由△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∠FBC ＝∠DCA ，在△ACD 和△CBF 中，AC =BC ∠DCA =∠FBC CD =BF，所以△ACD ≌△CBF （SAS ）；（2）当D 在线段BC 上的中点时，四边形CDEF 为平行四边形，且角DEF ＝30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，∴△EFB为正三角形，∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，又∵∠ABC＝60°，∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=12×60°＝30°则∠DEF＝∠FCD＝30°．【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）根据BC＝EF求出BC＝EF，根据垂直定义得出∠ACB＝∠DFE＝90°，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，根据平行线的判定得出AB∥DE，再根据平行四边形的判定定理推出即可．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE﹣CE＝CF﹣CE，即BC＝EF，又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠ACB=∠F，BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）知△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的判定，平行四边形的判定等知识点，能熟记有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【分析】延长CE交AB于M，证两三角形全等，推出E为CM中点，根据三角形中位线推出DE∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：延长CE交AB于M，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠AEM＝90°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，在△MAE和△CAE中，∠AEM=∠AECAE=AE，∠MAE=∠CAE∴△MAE≌△CAE（ASA），∴CE＝EM，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【分析】证DG是△BCF的中位线，得DG∥CF，2DG＝CF，则DG∥AF，再证DG＝AF，即可得出四边形AFDG为平行四边形．【解答】解：点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形，理由如下：∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∵点G为线段BF的中点，∴DG是△BCF的中位线，∴DG∥CF，2DG＝CF，∴DG∥AF，∵2AF＝CF，∴DG＝AF，∴四边形AFDG为平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明DG为△BCF的中位线是解题的关键．【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）分别证明AB∥ED，AE∥BD，得出结论；（2）利用勾股定理求出BH AF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵BD垂直平分AC，∴∠BFA＝90°，∴∠EAC＝∠BFA，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADB，∵∠ADE＝∠BAD，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，∵AB＝3，∴BD＝3过B作BH⊥AD，∴AH=HD=12AD=2，∴BH=∵BD垂直平分AC，则AF＝FC，∵S△ABD =12DA⋅BH=12DB⋅AF，∴AF =DA⋅BH DB∴AC 【点评】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC 中，∠FAC ＝45°，FE ⊥AC 于点E ，在EF 上取一点B ，连接AB 、BC ，使得AB ＝FC ，过点A 作AD ⊥AF ，且AD ＝BC ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【分析】证Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），得BE ＝CE ，则∠CBE ＝∠BCE ＝45°，再证出∠BCE ＝∠CAD ，得BC ∥AD ，即可证出四边形ABCD 是平行四边形；【解答】证明：∵FE ⊥AC ，∴∠FEA ＝∠FEC ＝90°，∵∠FAC ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ＝EF ，∠AFE ＝∠FAE ＝45°，在Rt △AEB 和Rt △FEC 中，AB =FC AE =FE ，∴Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），∴BE ＝CE ，∴∠CBE ＝∠BCE ＝45°，∵AD ⊥AF ，∴∠FAD ＝90°，∴∠CAD ＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt△AEB≌Rt△FEC是解题的关键．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，再由等边三角形的性质得AB＝AE，AB＝2AF，则AF＝BC，由HL即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，再证EF∥AD，然后由全等三角形的性质得EF＝AC，则EF＝AD，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝AE，AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，AE=BAAF=BC，∴Rt△AEF≌Rt△BAC（HL）；（2）解：四边形ADFE是平行四边形，理由如下：∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC +∠BAC ＝90°，∴AD ⊥AB ，又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，由（1）得：△AEF ≌△BAC ，∴EF ＝AC ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt △AEF ≌Rt △BAC 是解题的关键．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【分析】只要证明△ABE ≌△CDF ，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，①在△ABE 和△CDF 中，AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF，。
平行四边形判定经典题型
平行四边形判定经典题型一、平行四边形的概念及性质平行四边形是指在平面内，有两组对边分别平行的四边形。
它具有以下性质：1.对边平行且相等；2.对角线互相平分；3.邻角互补，对角相等；4.任意两边之和大于第三边。
二、平行四边形判定的经典题型1.两组对边分别平行的四边形：根据平行四边形的定义，若四边形ABCD 中，AB平行于CD，AD平行于BC，则四边形ABCD为平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形：若四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形。
3.对角线互相平分的四边形：若四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，则四边形ABCD为平行四边形。
4.一组对边平行且相等的四边形：若四边形ABCD中，AB平行于CD且AB=CD，则四边形ABCD为平行四边形。
三、解题技巧与方法1.利用平行线性质：若四边形ABCD中，AB平行于CD，则∠B+∠C=180°，同理，∠A+∠D=180°。
由此可得，四边形ABCD的内角和为360°。
2.利用相似三角形：若四边形ABCD中，△ABC∽△ADC，则AB/AD=BC/CD。
根据相似比，可得到对应边的长度关系，进而判断四边形是否为平行四边形。
3.利用向量运算：若四边形ABCD中，向量AB=向量CD，向量AD=向量BC，则四边形ABCD为平行四边形。
四、实战演练与解析1.例题1：判断四边形ABCD是否为平行四边形。
已知：AB平行于CD，AD=BC，求证：四边形ABCD为平行四边形。
解析：根据平行四边形的判定方法2，四边形ABCD为平行四边形。
2.例题2：判断四边形EFGH是否为平行四边形。
已知：EF=GH，∠E=∠H，求证：四边形EFGH为平行四边形。
解析：根据平行四边形的判定方法1，四边形EFGH为平行四边形。
3.例题3：求解平行四边形ACBD的面积。
已知：平行四边形ACBD中，AB=4，BC=6，AC=8，求面积。
平行四边形的性质与判定练习题
E D C OF B A一、选择题1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 〔 〕A 、对角线互相垂直B 、对角线互相平分C 、一组对角相等D 、一组对边相等2、以下四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。
其中能判定平行四边形的命题的个数为 〔 〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、以下说法中错误的选项是〔 〕A ．平行四边形的对角线互相平分B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 〔 〕A 、6、6、6B 、6、4、3C 、6、4、6D 、3、4、55、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 〔 〕A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、 四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足以下哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？〔 〕A 、1∶2∶2∶1B 、2∶1∶1∶1C 、1∶2∶3∶4D 、2∶1∶2∶17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足〔 〕A 、∠A ＋∠C ＝180°B 、∠B ＋∠D ＝180°C 、∠A ＋∠B ＝180°D 、∠A ＋∠D ＝180°8、根据以下条件，得不到平行四边形的是〔 〕A 、AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，假设AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，那么四边形EFDC 的周长是〔 〕A 、14B 、11C 、10D 、179题图 10题图 11题图 12题图10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，那么以下说法中正确的选项是〔 〕A ．假设l 1∥l 2，那么a=bB ．假设l 1∥l 2，那么a=cC ．假设a∥b，那么a=bD ．假设l 1∥l 2，且a∥b，那么a=b11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE∥BA，DF∥CA，那么四边形AFDE 的周长是〔 〕A .30B ． 25C ． 20D ．1512、如图，AB=CD ，BF=ED ，AE=CF ，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有〔 〕A ．1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组13、假设□ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，那么AC 的长是〔 〕A 、13cmB 、3cmC 、7cmD 、14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，那么以下各组数据可能是x 与y 的值的是〔 〕A 、8与14B 、10与14C 、18与20D 、10与3615、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，那么∠A 和∠B 的度数分别为〔 〕A ．80° ，100°B ．130°，50°C ．160°，20°D ．60°，120°16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( )A.2B.4 C17、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，那么( )⊥MD18、在□ABCD 中假设∠A ＞∠B ，那么∠A 的补角与∠B 的余角之和( )°°°19、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形( )A B E C F DO A B D C20、平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，那么它的面积是( )A.123cm 2B.73cm 2C.63cm 2D.43cm 221、以下说法正确的有〔 〕①平行四边形的对角线相等；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角线互相垂直；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个22、平行四边形的一条对角线与一边垂直，且此对角线为另一边的一半，那么此平行四边形两邻角之比为( )∶∶3 C.1∶∶523、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在一条直线上，那么以下关系中一定正确的选项是( )A.DE ＞BFB.DE=BFC.DE ＜BFD.DE=EF=BF23题图 24题图 25题图24、如图，□ABCD 中，∠ABC=60°，AE∥BD，EF⊥BC 交BC 的延长线于点F ，DF=2，那么EF 的长为〔 〕 A ．2 B ． 2 C ． 4 D ． 425、如图，∠BAC=120°，AD⊥AC，BD=CD ，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ． A D=ACB ． A B=AC C ． A B=2ACD ． A B=AC二、填空题1、□ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，那么∠D ＝________.2、□ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，那么AB ＝________cm ，AD ＝________cm.3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是________.4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，那么这个四边形较短的边长为________.5、如右上图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，那么∠EAF ＝________，□ABCD 的周长为________.6、假设平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，那么两短边间的距离为________．7、□ABCD 中，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,那么AD=__________,CD=__________, ∠D=__________,∠A=__________,∠C=__________.8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 . 9、如右图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,那么AB=________，BC=________. 10、□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,那么其中全等的三角形有________对.(1)由平行四边形的一个顶点在形内向两边引垂线，二垂线夹角为65°，那么这个平行四边形各内角的度数分别为________.(2)在□ABCD 中，∠A 的补角与∠B 的和等于210°，那么∠A=________,∠B=________.(3)在□ABCD 中，AB ∶BC=1∶2，∠D=30°，AE ⊥BC 于E ，AE=3cm,那么AB=________cm.这个平行四边形的周长是________cm.(4)平行四边形周长是40cm ，二邻边的比为3∶2，那么两邻边长分别是________.(5)在□ABCD 中，两邻边AB 、AD 的比是1∶2，M 是大边AD 的中点，那么∠BMC 的度数是________.(6)平行四边形的周长为50厘米，那么它两邻边之和是______cm ，每条对角线的长不能超过______cm.(7)□ABCD 中，周长为50厘米，AB=15cm ，∠A=30°，那么此平行四边形的面积为______cm 2.(8)□ABCD 的周长为50厘米，对角线交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5厘米，那么AB 、BC 的长分别是______、______.(9)有五条平行的直线，每相邻两条的距离相等，有一条直线和这组平行线相交成30°角，它介于相邻两条平行线之间的线段长是10厘米，那么这一组平行线最外面两条之间的距离是______厘米.(10)平行四边形周长为68厘米，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长的和等于82厘米，两条对角线A BF CD EA BE CFDA BFOC DE的长度比为2∶1，那么两条对角线的长分别为______厘米，______厘米.11、等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，那么四边形AEDF的周长为．12、如图〔在下页〕，等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，那么PD+PE+PF= ．第12题第13题第14题13、如图，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，那么图中共有个平行四边形．14、如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的选项是．15、如图，梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，那么BC﹣AD= ．第15题第16题第17题16、如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，且AB=4，BC=5，CD=6，DE=7，那么，六边形ABCDEF的周长是．17、如图，△ABC中，如果AB=30，BC=24，AC=27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，那么图中阴影局部的三个三角形周长之和为．18、如右图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处〔紧靠木板边缘〕，如果两次读数一样，说明木板两个边缘平行，其中道理是 .三、解答题与证明题1、在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
平行四边形性质和判定测试
一、选择题1、平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于12、在ABCD中，M为CD的中点，如DC=2AD，则AM、BM夹角度数是（）A.90°B.95°C.85°D.100°3、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°.则∠ABC、∠CAB的度数分别为（）A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32°4、在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶15、平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）A.2B.4C.6D.86、在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）A.60°B.80°C.100°D.120°7、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种B.4种C.5种D.6种8、能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行9、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC10．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8 B．122C．162D．2411．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，•则这样的折纸方法有（）A．1种B．2种C．3种D．无数种12．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（）A．10 B．16 C．6 D．13二、填空题1、以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有个3、ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=________，∠B=________，∠C=________，∠D=________.4、平行四边形的周长等于56 cm，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.5.□ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD相交于O，若△OAB的周长比△OBC的周长小8cm，则AB＝ cm.6.一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形是 .7. 如图，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG=.三、解答题1、如图，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.2..如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.证明：四边形MGNP是平行四边形3、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，证明：线段AC与EF是否互相平分5.已知E为平行四边形ABCD边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE，分别交BC、BD于F、G，连结AC 交BD于O点,连AF。
平行四边形性质和判定综合习题精选30题(内含答案)
平行四边形性质和判定综合习题精选30例一．解答题（共30小题）1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．（2011•昭通）如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．（2010•恩施州）如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．7．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．（2009•来宾）在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．（2006•黄冈）如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．（2006•巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．（2002•三明）如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．19．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．（2008•佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．24．（2006•大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．（2005•贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_________组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
平行四边形性质与判定(题型较全)
初二数学平行四边形1．下列条件中，能判别四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB=BC=CDB ．∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°C ．AB=BC ，CD=DAD ．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°2．若A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等D ．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合4．下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB=AD ，BC=CDC ．AB ∥CD ，AB=CD D ．∠A=∠C ，∠B=∠D5．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别它是平行四边形还需满足（ ）A ．∠A+∠C=180°B ．∠B+∠D=180°C ．∠A+∠B=180°D ．∠A+∠D=180°6．如图，四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3cm ，DG=4cm ，□ABED 的面积是，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．49cmB ．43cmC ．41cmD ．46cm第6题图 第7题图7．如图，点E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，DE 、BF 交于AC 于M 、N ，则（ ）A ．AM=MEB ．AM=BEC ．AM=CND ．AM ⊥MD8、在平行四边形ABCD 中，=∠︒=∠-∠C ，B A 则609．□ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=6cm ，AB=3cm ，则△ABO 的周长是________。
(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题
平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。
平行四边形性质及判定练习题及答案
平行四边形性质及判定练习题及答案1、已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F分别是BC，CD的中点，则2、已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是多少？3、已知平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，求AB的长。
4、下列哪些命题是正确的：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5、已知平行四边形ABCD中，AB=6，AC=4，E，D，F 分别是AB，BC，CA的中点，求四边形AEDF的周长。
6、已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列哪个结论不正确：（A）DC∥AB；（B）OA=OC；（C）AD=BC；（D）DB平分∠ADC。
7、已知平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，求BC的长。
8、已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF，若EF=3，则CD的长为多少？9、已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，OE=3，求AB的长。
10、已知平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，求四边形CDEF的周长。
11、已知平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，OE=3，求AD的长。
12、已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，求AE的长。
13、已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，求DC边上的高AF的长度。
14、在平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，∠B、∠C的平分线分别交AD于F、E，求EF的长度。
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1.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )
A. 6<AC<10
B. 6<AC<16
C. 10<AC<16
D. 4<AC<16
2. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边
形的周长等于等腰三角形的 ( )
Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 3. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有
平行四边形的个数是 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )
A. 一定相互平行
B. 一点相交
C. 可能平行也可能相交
D. 平行或共线 6、如图，已知∆ABC 的面积为36，将∆ABC 沿BC 平移到C B A '''∆中,使B '和C 重合，连接C A '交AC 于D ，则DC C '∆的面积为 （ ）
A 、6
B 、9
C 、12
D 、18
7．点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）
A ． 3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
8．如图19－1－26，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）。
①AF=CF ；②AE=CF ；③∠BAE=∠FCD ；④∠BEA=∠FCE 。
A ．①或②
B ．②或③
C ．③或④
D ．①或③或④
9、在周长为20cm 的□ABCD 中，AB 不等于AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则∆ABE 的周长为 （ ） A 、4 cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 10 如图，O
是
ABCD 对角线的交点．△OBC 的周长为59，
BD=38AC=24，则AD=____若△OBC 与△OAB 的周长之差为15，则AB=
ABCD 的周长=____.
11.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________. 12. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m, ,她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?
A
13. 如图所示，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，EF ∥AC 交BC 于F ，猜想BE 与CF 的数量关系，并加以说明．
A
B
C
D
E F
12
3
14、如图，在∆ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于点E ，EF ∥AC ，交BC 于点F ，试判断线段BE 和FC 的大小关系.
15、如图，□ABCD 中，AF 平分∠BAD 交直线BC 于F ，DE 平分∠ADC 交直线CB 于E ，试说明BE=CF 。
16、如图，已知CD 是∆ABC 的中线，CN=MN ，求证：AM=CB
17、如图，在□ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，连接ME ，试说明∠DME=3∠AEM
18．如图19－1－29， ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。
求证：四边形EGFH 是平行四边形。
19．如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
F
C
A
F
E
B
平分。
22 如图，CD的Rt△ABC斜边AB上的高，AE平分∠BAC
交CD于E，EF∥AB，交BC于点F，求证CE=BF．。