平行四边形性质与判定的关系
平行四边形的概念性质和判定(基础内容)
平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。
因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。
一.重点:平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。
二.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。
1.由定义知平行四边形的对边平行。
2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。
(三)平行四边形的判定。
1.利用定义判定。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三.例题:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。
例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
()分析:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C, ∵∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。
∴此命题正确。
2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。
()分析: 此命题不正确。
反例：AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形。
3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。
()分析: 是错误的。
反例：如图, AB∥CD,∠A+∠C=180°,但四边形ABCD不是平行四边形。
证明平行四边形的判定定理
证明平行四边形的判定定理
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
1定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
2性质
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
四边形判定定理以及性质定理
四边形判定定理以及性质定理一'平行四边形：判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
性质：（1）平行四边形两组对边分别平行。
（2）平行四边形的对边相等。
（3）平行四边形的对角相等。
（4）平行四边形的两条对角线互相平分。
（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
二、矩形：判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的四个角都是直角。
（2）矩形的两条对角线相等。
三、菱形：判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
性质：（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
四、正方形：判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）有一个内角是直角的菱形是正方形。
性质：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（2）正方形的两条对角线相等，井且互相垂直，每条对角线平分一组对角。
五、梯形：判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。
)word(2)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
(3)对角线相等的四边形是等腰梯形。
性质：(1)等腰梯形在同一底边上的两个内角相等。
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
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平行四边形的判定与运用
平行四边形的判定与运用平行四边形是几何学中一种重要的图形，具有特殊的性质和运用，对于几何学的学习和实际问题的解决都有重要的意义。
本文将介绍平行四边形的判定方法和其在实际问题中的应用。
一、平行四边形的判定平行四边形的判定方法主要有以下几种：1. 对角线法：若一个四边形的对角线互相平分，即两个对角线等分四个角，那么这个四边形就是平行四边形。
2. 对边矩形法：若一个四边形的对边相等并且互相平行，那么这个四边形就是平行四边形。
3. 交角法：若一个四边形两组对角线之间的夹角相等或互补，那么这个四边形就是平行四边形。
二、平行四边形的性质平行四边形具有以下性质：1. 对边相等性质：平行四边形的对边互相相等。
2. 对角线相等性质：平行四边形的对角线互相相等。
3. 相邻角互补性质：平行四边形的相邻角互补。
4. 对角线平分角性质：平行四边形的对角线将其内部和外部的角平分。
三、平行四边形的运用平行四边形的应用广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质常被应用于墙面、地板、天花板等的铺设。
通过合理地选择平行四边形的形状和尺寸，可以使建筑物更加美观和稳定。
2. 航空航天：在航空航天领域，平行四边形的性质常被用来设计机翼、机身等部件的形状和结构。
通过合理地利用平行四边形的性质，可以减小空气阻力，提高飞行器的性能。
3. 网络通讯：在网络通讯中，平行四边形的性质被应用于传输线路的布置。
通过将线路布置成平行四边形的形状，可以减小信号干扰，提高通讯质量。
4. 地理测量：在地理测量中，平行四边形的性质常被用于测量和求解地理数据。
通过利用平行四边形的性质，可以简化测量过程，提高测量精度。
综上所述，平行四边形是几何学中重要的图形之一，具有特殊的性质和运用。
掌握平行四边形的判定方法和性质，对于几何学的学习和实际问题的解决都有重要的意义。
在实际生活和工作中，我们可以灵活运用平行四边形的知识，解决各种问题，提高自己的学习能力和解决问题的能力。
平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
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二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特
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二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特
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二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德
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三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
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三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利
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三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名
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三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆
平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。
在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。
方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。
步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。
2.检查边BC和边AD是否平行。
如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。
步骤：1.计算对角线AC的长度。
2.计算对角线BD的长度。
如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。
步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。
2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。
如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。
步骤：1.检查角A与角C是否相等。
2.检查角B与角D是否相等。
如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。
可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。
请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。
在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。
希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。
平行四边形的判定与性质
平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。
定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。
例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。
例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。
3、平行四边形的对角线互相平分。
例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。
5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。
例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。
对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。
几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。
平行四边形的性质及判定归纳
平行四边形的性质及判定归纳平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
例如，四边形ABCD是平行四边形，因为AB∥CD且AD∥BC。
矩形是一种特殊的平行四边形，它的两组对边也分别平行，例如AB∥CD且AD∥BC。
菱形是另一种特殊的平行四边形，其两组对边相等，例如AB=CD且AD=BC。
正方形是菱形的一种特殊情况，其四条边都相等。
平行四边形、矩形、菱形和正方形都有特殊的性质。
例如，平行四边形的两组对角分别相等，因为∠ABC=∠ADC且∠BAD=∠BCD。
矩形的四个角都是直角，因为∠ABC=∠XXX∠BAD=∠BCD=90.菱形的两组对角分别相等，因为∠ABC=∠ADC且∠BAD=∠BCD。
正方形的四个角也都是直角，且其对角线互相平分且相等。
对角线也是平行四边形、矩形、菱形和正方形的重要性质之一。
例如，平行四边形的对角线互相平分，因为OA=OC且OB=OD。
矩形的对角线相等且互相平分，因为OA=OC且OB=OD且AC=BD。
菱形的对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角，因为OA=OC且OB=OD且AC⊥BD且AC平分∠BAD与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC。
正方形的对角线互相平分且垂直，因为其对角线互为垂直平分线，且对角线相等。
因此，通过这些性质和判定条件，我们可以轻松地判断一个四边形是否为平行四边形、矩形、菱形或正方形。
对于一个几何图形，如果它是一个四边形且其对角线互相垂直平分且相等，那么我们可以得出结论：这个四边形是一个正方形。
正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且四个角都是直角。
此外，正方形的对角线相等且互为垂直平分线，这也是正方形与其他四边形不同的一个重要特征。
在计算正方形的面积时，我们可以使用对角线的长度来求解。
具体而言，正方形的面积等于对角线长度的平方除以2.这个公式可以帮助我们快速计算出正方形的面积，而不必手动测量每条边的长度。
正方形在日常生活中有着广泛的应用。
例如，在园艺设计中，我们经常会使用正方形的花坛或者草坪来营造整齐、规整的感觉。
平行四边形定义性质以及判定定理
性质（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。
（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形。
）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。
矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
（14）平行四边形中，两条在分歧对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积平行四边形的判定方法（共6种）1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质及判定
平行四边形性质及判定
知识点一、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．知识点二、平行四边形的性质
平行四边形性质1：两组对边分别平行．（边）
平行四边形性质2：平行四边形的对边相等．（边）
平行四边形性质3：平行四边形的对角相等．（角）
平行四边形性质4：平行四边形的邻角互补．（角）
平行四边形性质5：平行四边形的对角线互相平分.（对角线）
知识点三、平行四边形的判定
判定、1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定、2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定、3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
判定、4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
判定、5：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定
平行四边形是一种多边形，它有四条边，每两条相邻边成等角。
它经常在几何图形中出现，是几何图形应用中最基本的图形之一。
在几何中，有许多平行四边形的性质可以进行推导和分析，下面我们就一一介绍平行四边形的性质和判定。
一、平行四边形的性质
1. 平行四边形的内角总和为360°；
2. 平行四边形的内角和外角总和为540°；
3. 平行四边形的边上的两个夹角相等；
4. 平行四边形的四条边中，每两条相邻边形成的外角相等；
5. 平行四边形的两个角度之和为180°，它们都是直角；
6. 平行四边形对角线交于一点，两对角线分别经过彼此毗邻的两个内角，外角和内角之间相加等于180°；
7. 平行四边形中，任意一条边上面有两个夹角，这两个角的和是180°；
8. 平行四边形的中心角=2*(角平分线里夹角的度数)；
9. 平行四边形的四边的长度是对称的；
10. 平行四边形的任意一条对角线的长度距离是一样的。
二、平行四边形的判定
1. 通过公式法：如果一个四边形的每个角度之和为360°，且所有角度相等，则它是一个平行四边形；
2. 通过边长法：如果一个四边形的四边长度相等，则它是一个平行四边形；
3. 边斜式法：平行四边形的四边都是斜边，而且相邻的它们是同一种斜边；
4. 通过对角线法：如果一个四边形的两条对角线相等，则它是一个平行四边形；
5. 通过推理法：可以用直线、射线和圆来通过推理判断一个四边形是否是平行四边形。
总之，有多种判断方法可以判断一个四边形是否是平行四边形，但也需要注意各种情况，以便正确判断。
平行四边形性质与判定的关系
平行四边形性质与判定的关系
弄清平行四边形性质与判定的关系
以上表达式说明三点：
（1）平行四边形的定义既有性质定理的作用,又有判定定理的作用．
（2）平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理．
（3）判定平行四边形需要两个条件．
平行四边形的判定方法较多（共有五个）,因此证明四边形是平行四边形时,不是先确定用哪一个判定方法,而是先分析条件,观察待证四边形中最容易得到怎样的一个判定元素,然后分析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么,最后证出这个搭配元素．
例如易得一组对边平行,则可考虑证这组对边相等,或证另一组对边也平行,至于选证哪一组条件,应先仔细分析其他条件再确定。
平行四边形的性质和判定是本章的重点内容,特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形的学习和研究都是以此为基础的,因此掌握平行四边形的性质和判定是学好本章的关键．
平行四边形性质及判定口诀
（1）
平行四边形,形状不稳定．
若是三角形,永远不变更．
平行四边形,对角定相等．
平行四边形,对边也相等,
注意对角线,平分互相能．
（2）
首先判断对应边,分别平行或相等；
二是看其对角线,如若平分能判定；
三是看其对应角,只要两组对应等．
满足上面某一种,即为平行四边形．
例：三个点A.B.C,以它们为顶点的平行四边形一共有( )个？(A．B．C不共线)答案：3。
平行四边形判定和性质
平行四边形的性质和判定➢ 知识解读1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形对角线平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；（5）ABCD 的周长b a b a ,)((2+=分别是ABCD 两邻边的长）； （6）(,S a h a h =⋅分表示平行四边形的底和高）．3、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；4、平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．5、平行四边形基本图形：（1）与面积相关①如图①，ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅．②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，ABCD 与EBCF 有公共边BC ，则ABCD EBCF S S =经典例题类型一平行四边形判定例题1．在四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，那么四边形ABCD是平行四边形吗？试说明理由．例题2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO，求证：四边形ABCD是平行四边形．例题3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．例题4．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1：S2．例题5．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．例题6．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．例题7．如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．例题8．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．类型二性质应用例题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）求证：AF＝DE．例题2．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AE平分∠BAD，BE＝3，求CD的长．例题3．已知：如图，▱ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE＝CF．求证：DE＝BF．例题4．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．例题5．如图，在▱ABCD中，E、F为BD上两点，BF＝DE．求证：AE∥CF．例题6．已知：在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，对角线AC、BD 交于点O．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BF∥DE．课后练习：1．如图，已知平行四边形ABDC中，E，F是对角线BC上两点，且满足BF＝CE．求证：AF∥DE．2．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．求证：△ADE≌△CBF．4．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．。
平行四边形的定义,性质及判定方法
平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形的定义、性质及判定方法在我们的数学世界中，平行四边形是一个非常重要的几何图形。
它在建筑设计、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解平行四边形的定义、性质及判定方法。
首先，什么是平行四边形呢？简单来说，平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。
这是它最基本的定义，也是我们识别平行四边形的关键特征。
平行四边形具有许多独特的性质。
比如说，平行四边形的对边是相等的。
这意味着，如果我们知道一个平行四边形的一条边的长度，那么与之相对的那条边的长度也是一样的。
再来看平行四边形的对角。
平行四边形的对角是相等的。
也就是说，一个平行四边形的两个相对的角大小是相同的。
平行四边形的邻角互补。
这是什么意思呢？就是相邻的两个角加起来等于 180 度。
在平行四边形中，两条对角线还相互平分。
这意味着，两条对角线的交点把每条对角线都分成了相等的两段。
此外，平行四边形的面积可以通过底边长度乘以对应的高来计算。
了解了平行四边形的性质，接下来我们看看如何判定一个四边形是不是平行四边形。
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。
比如说，有一个四边形，它的上下两条边长度相等，左右两条边长度也相等，那么我们就可以判定它是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形也是平行四边形。
想象一下，有一条边是水平的，长度是 5 厘米，而与之相对的边不仅和它长度一样，也是水平的，那么这个四边形就是平行四边形。
如果两组对边分别平行，那这个四边形毫无疑问就是平行四边形。
还有一种判定方法是两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
这些判定方法在解决与平行四边形相关的问题时非常有用。
在实际应用中，平行四边形的知识经常被用到。
比如在建筑设计中，许多窗户和门的形状就是平行四边形。
在物理学中，力的合成与分解也会用到平行四边形法则。
总之，平行四边形的定义、性质及判定方法是我们学习几何知识的重要基础。
平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质一、平行四边形的判定1.对边平行：如果一个四边形的对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
2.对角相等：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是平行四边形。
3.对边相等：如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。
4.对角平行：如果一个四边形的对角线互相平行，那么这个四边形是平行四边形。
5.一组对边平行且相等：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
6.对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
4.对边相等：平行四边形的对边相等。
5.对角平行：平行四边形的对角线互相平行。
6.一组对边平行且相等：平行四边形的一组对边平行且相等。
7.对边对角相等：平行四边形的对边和对角相等。
8.对角线垂直平分：平行四边形的对角线互相垂直平分。
9.对边对角相等：平行四边形的对边和对角相等。
10.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
11.对角线互相垂直：平行四边形的对角线互相垂直。
12.对角线互相平分且垂直：平行四边形的对角线互相平分且垂直。
三、平行四边形的应用1.计算面积：平行四边形的面积可以通过底乘以高得到。
2.证明线段平行：利用平行四边形的性质证明线段平行。
3.证明四边形是平行四边形：利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形。
4.设计图形：利用平行四边形的性质设计图形，如平行四边形形的窗户、桌面等。
5.解几何题目：利用平行四边形的性质和判定解几何题目。
以上就是平行四边形的判定与性质的知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：如果一个四边形的对边平行且相等，那么这个四边形是什么？答案：平行四边形。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质及判定
平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD＝BC，AB＝CD四边形ABCD是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD∥BC，AD＝BC四边形ABCD是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA＝OC，OB＝OD四边形ABCD是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD四边形ABCD是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD ＝8，求这个六边形的周长．图5例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD（条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD、AB=CD13、120°60°14、解：（1）由题意可得：（2）周长为18cm．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。
平行四边形性质定理和判定定理总结
平行四边形性质定理和判定定理总结
平行四边形
性质定理和判定定理
矩形菱形
性质定理
边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等
角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等，邻角互补
对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等对角线互相垂直且平分
每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形，对称中心是对角线的交点轴对称图形中心对称图形，轴对称图形
判定定理边两组对边分别平行的四边形（定义）
两组对边分别相等的四边形
一组对边平行且相等的四边形
一组邻边相等的平行四边形（定义）
四条边相等的四边形
角两组对角分别相等的四边形有一个角是直角的平行四边形（定义）
有三个角是直角的四边形
对角线对角线互相平分对角线相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形。
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平行四边形性质与判定的关系
弄清平行四边形性质与判定的关系
以上表达式说明三点：
（1）平行四边形的定义既有性质定理的作用，又有判定定理的作用．
（2）平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理．
（3）判定平行四边形需要两个条件．
平行四边形的判定方法较多（共有五个），因此证明四边形是平行四边形时，不是先确定用哪一个判定方法，而是先分析条件，观察待证四边形中最容易得到怎样的一个判定元素，然后分析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么，最后证出这个搭配元素．
例如易得一组对边平行，则可考虑证这组对边相等，或证另一组对边也平行，至于选证哪一组条件，应先仔细分析其他条件再确定。
平行四边形的性质和判定是本章的重点内容，特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形的学习和研究都是以此为基础的，因此掌握平行四边形的性质和判定是学好本章的关键．
平行四边形性质及判定口诀
（1）
平行四边形，形状不稳定．
若是三角形，永远不变更．
平行四边形，对角定相等．
平行四边形，对边也相等，
注意对角线，平分互相能．
（2）
首先判断对应边，分别平行或相等；
二是看其对角线，如若平分能判定；
三是看其对应角，只要两组对应等．
满足上面某一种，即为平行四边形．
例：三个点A.B.C，以它们为顶点的平行四边形一共有( )个？(A．B．C不共线)答案：3。