平行四边形性质与判定的关系

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平行四边形的概念性质和判定(基础内容)

平行四边形的概念性质和判定(基础内容)

平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。

因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。

一.重点:平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。

二.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。

1.由定义知平行四边形的对边平行。

2.两组对边分别相等;3.两组对角分别相等;4.对角线互相平分;5.平行四边形是中心对称图形。

(三)平行四边形的判定。

1.利用定义判定。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三.例题:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。

例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。

()分析:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C, ∵∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。

∴此命题正确。

2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。

()分析: 此命题不正确。

反例:AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形。

3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。

()分析: 是错误的。

反例:如图, AB∥CD,∠A+∠C=180°,但四边形ABCD不是平行四边形。

证明平行四边形的判定定理

证明平行四边形的判定定理

证明平行四边形的判定定理
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形;
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

1定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形,其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系,即是平行四边形性质定理。

2性质
两组对边平行且相等;
两组对角大小相等;
相邻的两个角互补;
对角线互相平分;
对于平面上任何一点,都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线;
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形的性质与判定

平行四边形的性质与判定

平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等:平行四边形的对边分别平行且相等。

2.对角相等:平行四边形的对角线互相平分,且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形,这两个三角形的角相等。

3.对角线互相平分:平行四边形的对角线互相平分,即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。

4.相邻角互补:平行四边形的相邻角互补,即它们的和为180度。

5.对边角相等:平行四边形的对边角相等,即平行四边形的对边上的角相等。

6.对角线所在的平行线间的距离相等:平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。

二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.相邻角互补的四边形是平行四边形。

6.对边角相等的四边形是平行四边形。

7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。

8.矩形:矩形是四个角都是直角的平行四边形。

9.菱形:菱形是四条边都相等的平行四边形。

10.正方形:正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。

四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积:平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。

2.证明平行四边形的性质:利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。

3.解决实际问题:应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题,如设计图形、计算面积等。

知识点:__________习题及方法:1.习题:已知ABCD是平行四边形,AB=6cm,AD=4cm,求BC和CD 的长度。

答案:BC和CD的长度分别为6cm和4cm。

解题思路:根据平行四边形的性质,对边相等,所以BC=AD=4cm,CD=AB=6cm。

2.习题:在平行四边形ABCD中,∠B=60°,求∠D的度数。

答案:∠D的度数为120°。

解题思路:根据平行四边形的性质,相邻角互补,所以∠D=180°-∠B=120°。

四边形判定定理以及性质定理

四边形判定定理以及性质定理

四边形判定定理以及性质定理一'平行四边形:判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

性质:(1)平行四边形两组对边分别平行。

(2)平行四边形的对边相等。

(3)平行四边形的对角相等。

(4)平行四边形的两条对角线互相平分。

(5)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。

二、矩形:判定:(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

(2)有三个内角是直角的四边形是矩形。

(3)对角线相等平行四边形是矩形。

性质:(1)矩形的四个角都是直角。

(2)矩形的两条对角线相等。

三、菱形:判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

(2)四条边都相等的四边形是菱形。

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

性质:(1)菱形的四条边都相等。

(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

四、正方形:判定:(1)有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(3)有一个内角是直角的菱形是正方形。

性质:(1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

(2)正方形的两条对角线相等,井且互相垂直,每条对角线平分一组对角。

五、梯形:判定:(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。

)word(2)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

(3)对角线相等的四边形是等腰梯形。

性质:(1)等腰梯形在同一底边上的两个内角相等。

(2)等腰梯形的两条对角线相等。

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平行四边形的判定与运用

平行四边形的判定与运用

平行四边形的判定与运用平行四边形是几何学中一种重要的图形,具有特殊的性质和运用,对于几何学的学习和实际问题的解决都有重要的意义。

本文将介绍平行四边形的判定方法和其在实际问题中的应用。

一、平行四边形的判定平行四边形的判定方法主要有以下几种:1. 对角线法:若一个四边形的对角线互相平分,即两个对角线等分四个角,那么这个四边形就是平行四边形。

2. 对边矩形法:若一个四边形的对边相等并且互相平行,那么这个四边形就是平行四边形。

3. 交角法:若一个四边形两组对角线之间的夹角相等或互补,那么这个四边形就是平行四边形。

二、平行四边形的性质平行四边形具有以下性质:1. 对边相等性质:平行四边形的对边互相相等。

2. 对角线相等性质:平行四边形的对角线互相相等。

3. 相邻角互补性质:平行四边形的相邻角互补。

4. 对角线平分角性质:平行四边形的对角线将其内部和外部的角平分。

三、平行四边形的运用平行四边形的应用广泛,下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 建筑设计:在建筑设计中,平行四边形的性质常被应用于墙面、地板、天花板等的铺设。

通过合理地选择平行四边形的形状和尺寸,可以使建筑物更加美观和稳定。

2. 航空航天:在航空航天领域,平行四边形的性质常被用来设计机翼、机身等部件的形状和结构。

通过合理地利用平行四边形的性质,可以减小空气阻力,提高飞行器的性能。

3. 网络通讯:在网络通讯中,平行四边形的性质被应用于传输线路的布置。

通过将线路布置成平行四边形的形状,可以减小信号干扰,提高通讯质量。

4. 地理测量:在地理测量中,平行四边形的性质常被用于测量和求解地理数据。

通过利用平行四边形的性质,可以简化测量过程,提高测量精度。

综上所述,平行四边形是几何学中重要的图形之一,具有特殊的性质和运用。

掌握平行四边形的判定方法和性质,对于几何学的学习和实际问题的解决都有重要的意义。

在实际生活和工作中,我们可以灵活运用平行四边形的知识,解决各种问题,提高自己的学习能力和解决问题的能力。

平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

平行四边形的性质定理和判定定理及其证明


二十四、生命是以时间为单位的,浪费别人的时间等于谋财害命,浪费自己的时间,等于慢性自杀。——鲁迅

二十五、梦是心灵的思想,是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特

二十六、坚强的信念能赢得强者的心,并使他们变得更坚强。——白哲特

二十七、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德

三十二、在科学上没有平坦的大道,只有不畏劳苦,沿着陡峭山路攀登的人,才有希望达到光辉的顶点。——马克思

三十三、在劳力上劳心,是一切发明之母。事事在劳力上劳心,变可得事物之真理。——陶行知

三十四、一年之计在于春,一日之计在于晨。——萧绛

三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤,当你真心想要某样东西时,整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名

十九、要想成就伟业,除了梦想,必须行动。——佚名

二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德

二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利

二十二、世界上最快乐的事,莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底

二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里,梦想只是白日做梦,可是,如果你不曾真切的拥有过梦想,你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩

二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期,是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁

二十九、梦想家命长,实干家寿短。——约·奥赖利

三十、青年时准备好材料,想造一座通向月亮的桥,或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年,终于决定搭一个棚。——佚名

三十一、在这个并非尽善尽美的世界上,勤奋会得到报偿,而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆

平行四边形的判定定理

平行四边形的判定定理

平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形,具有以下特点:对边平行且对角线相等。

在数学中,判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。

方法一:利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时,可以先利用对边平行的性质进行判断。

步骤:1.检查边AB和边CD是否平行。

2.检查边BC和边AD是否平行。

如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的,则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法二:利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时,可以利用对角线相等的性质进行判断。

步骤:1.计算对角线AC的长度。

2.计算对角线BD的长度。

如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度,则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法三:利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时,还可以利用对边比例相等的性质进行判断。

步骤:1.计算边AB与边CD的长度比(AB/CD)。

2.计算边BC与边AD的长度比(BC/AD)。

如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比,即AB/CD = BC/AD,那么四边形ABCD是一个平行四边形。

方法四:利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时,也可以利用四个角的性质进行判断。

步骤:1.检查角A与角C是否相等。

2.检查角B与角D是否相等。

如果角A与角C相等,并且角B与角D相等,则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

总结通过以上四种方法,我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。

可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定,以便快速准确地得出结论。

请注意,以上的判定定理仅适用于四边形,其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。

在实际应用中,合理选择合适的方法,结合几何定理,可以更好地解决相关问题。

希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。

平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质

平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质:1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形对边平行且相等。

定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。

∵四边形ABCD 是平行四边形(或在 ABCD 中) ∴ AB=CD ,AD=BC 。

例题1、如图5,AD ∥BC ,AE ∥CD ,BD 平分∠ABC ,求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外,其对角也相等。

∵四边形ABCD 是平行四边形(或在ABCD 中) ∴ ∠A=∠C ,∠B=∠D 。

例题2、在平行四边形ABCD 中,若∠A :∠B=2:3,求∠C 、∠D 的度数。

3、平行四边形的对角线互相平分。

例题3.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,AC=24cm ,BD=38 cm ,AD= 28cm ,求三角形OBC 的周长。

5.如图,平行四边形ABCD 中,AC 交BD 于O ,AE ⊥BD 于E ,∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。

例题4:已知平行四边形ABCD ,AB=8cm ,BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。

对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图(5)DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一(定义法):两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法:∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形方法二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD ,AD=BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵OA=OC , OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ,AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形方法五:两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ,∠B=∠D ,∴四边形ABCD 例1:已知:E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点,连结BE 、DF 求证:2∠1∠=三、三角形中位线:三角形两边的中点连线线段(即中位线)与三角形的第三边平行,并且等于第三边的一半。

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平行四边形性质与判定的关系
弄清平行四边形性质与判定的关系
以上表达式说明三点:
(1)平行四边形的定义既有性质定理的作用,又有判定定理的作用.
(2)平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理.
(3)判定平行四边形需要两个条件.
平行四边形的判定方法较多(共有五个),因此证明四边形是平行四边形时,不是先确定用哪一个判定方法,而是先分析条件,观察待证四边形中最容易得到怎样的一个判定元素,然后分析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么,最后证出这个搭配元素.
例如易得一组对边平行,则可考虑证这组对边相等,或证另一组对边也平行,至于选证哪一组条件,应先仔细分析其他条件再确定。

平行四边形的性质和判定是本章的重点内容,特殊平行四边形(矩形、菱形、正方形)、梯形的学习和研究都是以此为基础的,因此掌握平行四边形的性质和判定是学好本章的关键.
平行四边形性质及判定口诀
(1)
平行四边形,形状不稳定.
若是三角形,永远不变更.
平行四边形,对角定相等.
平行四边形,对边也相等,
注意对角线,平分互相能.
(2)
首先判断对应边,分别平行或相等;
二是看其对角线,如若平分能判定;
三是看其对应角,只要两组对应等.
满足上面某一种,即为平行四边形.
例:三个点A.B.C,以它们为顶点的平行四边形一共有( )个?(A.B.C不共线)答案:3。

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