平行四边形的性质及判定(提升版)

第11讲 平行四边形的性质及判定小测试 总分10分 得分___________1．（4分）分式方程12x x +-＝132x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝14，则242331x x x -+＝___________．1【教学目标】1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算．【教学重难点】能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点．知识点1：平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积：①如图1，S □ABCD＝BC ·AE ＝CD ·AF ．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD＝S □EBCF．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3．知识点3：平行四边形的判定1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形．注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）．在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论：A DBC E FA DBC E F P A DB C 图1 图2 图3考点1：利用平行四边形的性质求平行四边形的边或角【例1】若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分成2cm 和3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是_________cm ．【例2】如图，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，使点A 落在CD 上点F 处，若△DEF 的周长为8，△BCF 的周长为16，则CF 的长为_________．【变式1】已知△ABC 中，AB ＝9，AC ＝10，BC 边上中线AD 的取值范围是____________．【变式2】如图，□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，将△BAE 绕点B 顺时针旋转得到△BA ′E ′，使点A ′落在BC 边上．若∠ADC ＝60°，∠ADA ′＝50°，则∠DA ′E ′的大小为__________．160°【变式3】如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥CD 于F ，交BD 于E ，若BE ＝2BC ，则∠AEB 的度数是_________．65°【变式4】如图，在□ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，∠ABC ＜90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，连接CE ，若S △CDE＝15S □ABCD ，则AC 的长为___________．26（过C 作AD 垂线）【变式5】如图，□ABCD 中，E 为BC 的中点，过点E 作EF ⊥AB 于F ，交DC 的延长线于点G ．若∠FDG ＝45°，BC ＝6，DF ＝8，则CD ＝__________．42－1【变式6】如图，在□ABCD 中，BC ＝2AB ，M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，求证：∠DME ＝3∠AEM ．【变式7】如图，在□ABCD 中，E 是CD 边的中点，连接BE ，F 为AD 边上一点，且∠AFB ＝2∠EBC ，求证：BF ＝AF ＋2DF ．【变式8】如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，点F 在AB 上，DF ＝BE ，BE 、DF 交于点O ，若∠A ＝120°，∠AFD ＝50°，求∠BCO 的度数．S 3S 1S 2S 1 S 2S 3S 4S 1 S 4S 3S 2D C F EA B A DE FB C A D B CO E A D B CE F GA DF E B C A DM E B C考点2：平行四边形中的面积问题【例3】已知一个平行四边形的周长为15，两组对边间的距离分别为2和3，那么这个平行四边形的面积为__________．∴这个平行四边形的面积为2a ＝9【变式1】如图，四个平行四边形的面积分别为10，14，35，则S ＝_________．【变式2】（2017培优）如图，在□ABCD 中，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AD 上，DF ＝2AF ，若△DEF 的面积为2，则□ABCD 的面积为_________．【变式3】如图，在□ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 为锐角，将△ACD 沿AC 折叠，点D 落在点E 处，AE 过BC 的中点F ，则□ABCD 的面积为_________．考点3：平行四边形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AF ＝BE ，BG ∥EF 交AD于G ，求证：四边形BEFG 是平行四边形．过点F 作FH ∥AD 交BA 的延长线于点G则∠H ＝∠1＝∠2＝∠3，∴AH ＝AF ＝BE ，∴HE＝AB ∵BG ∥EF ，∴∠4＝∠5 ∴△ABG ≌△HEF （ASA ），∴BG ＝EF ∴四边形BEFG 是平行四边形 【变式】如图，G 、H 分别为AC 的三等分点，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，求证：四边形ABCD 为平行四边形．Tips ：连接BG 、BH ，先证四边形BHDG 是平行四边形 再证△ADG ≌△CBH考点4：平行四边形的性质和判定的综合应用【例5】如图1，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝8．以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E ．10 14 35SA DB CF E GHA DEB CF AB C D EF GA B C DEFGH 1 3 2 4 5（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．1【变式1】已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB ＝2，若点A 的坐标为（a ，b ），则点D 的坐标为___________． （－2－a ，－b ）或（2－a ，－b ）【变式2】如图，在□ABCD 中，∠ABC 、∠BCD 的平分线分别交AD 于E 、F ． （1）求证：BE ⊥CF ；（2）若AB ＝3，BC ＝5，CF ＝2，求EF 、BE 的长．1 42【变式3】如图，P 为□ABCD 内一点，P A ⊥AD ，PC ⊥CD ，PC ＝CD ． （1）求证：∠PBC ＝45°； （2）若AP ＝1，AB ＝5，求四边形APCD 的面积．（1）延长AP 交BC 于E可证△ABE ≌△CPE （AAS ）过P 作PE ⊥PB 交BC 于E （2）6 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在第一象限，OA ＝AB ＝5，OB ＝45． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）若直线l 经过点D （0，6），且将平行四边形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式．【家庭作业】 1．在□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 分AD 为4和3___________． 2．（2015襄阳）在□ABCD 中，AD ＝BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，则∠A 的度数是__________．C O A FB G CO A B ED 图1 图2 A DE F B C A D B C P A D B C P EC B O A Dy x55°或35°3．如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB ＝45°，BD ＝2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，点B 的落点记为B ′，则B ′D 的长为__________．4．如图：在□ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，AD ＝10，BD ＝12，则该平行四边形的面积是__________．54 5．（2015大连）在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BC ，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，则OB ＝__________cm ．6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AE ＝3，AF ＝4，∠EAF ＝60°，求BC 的长．A D BCEFB ′A DB CO A D B C M。