平行四边形性质专题

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专题平行四边形的性质和判定(原卷版)

八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，AE ＝3，EB ＝5，ED ＝4．则CE 的长是（）A ．2√2B ．6√2C ．5√5D ．4√5【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（）A ．2B ．52C ．3D ．2√6【变式1-2】如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 与BD 的交点，AC ⊥AB ，E 为AD 的中点，并且OF ⊥BC ，∠D ＝53°，则∠FOE 的度数是（）A ．143°B ．127°C ．53°D ．37°【变式1-3】如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是（1，3），点A 的坐标是（5，0），则点B 的坐标是（）A ．（5，3）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（8，1）【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD 中P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是（）A．18B．24C．23D．14【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF ＝FC．（1）求证：DE∥BF；（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=√34，AD＝3√2，求四边形ADEB的周长．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【变式5-1】如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，连接AF 、CE 、DE 、BF 、EF ，AF 与DE 交于点G ，CE 与BF 交于点H ，则图中共有平行四边形（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式5-2】如图，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 是线段BC 上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），△ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交线段AB ，AC 于点F ，G ，连接BE 和CF ．则下列结论中：①BE ＝CD ；②∠BDE ＝∠CAD ；③四边形BCGE 是平行四边形；④当CD ＝2时，S △AEF ＝23，其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式5-3】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【变式5-4】（2022春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式5-5】（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．【变式5-6】（2021春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．（1）求证：AP＝CQ；（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【变式5-7】（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE ⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．【变式5-8】（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD ＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．。

专题平行四边形的性质与判定(学生版)

专题平行四边形的性质与判定【能力提升】例1.如图已知△ABC ，分别以△ABC 的三边为边在△ABC 的同侧作三个等边三角形：△ABE ．△BCD ．△ACF ，求证：四边形DEAF 是平行四边形．例2.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，AD +CD ＝20，则平行四边形ABCD 的面积为．（2）在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0），C 为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C 坐标为．例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______. 例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD ＝BE ，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB ＝a ，DE ＝b ，则四边形DMNE 的周长的最小值为．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有多少次？例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝；（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝；拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．【课后巩固】1．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是．2.△D、G上，点E 、F分别在边BC 上，若BE ＝DE ，CF ＝FG ，则∠A 的大小为度．3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（）A ．28或32B ．28或36C ．32或36D ．28或32或364.如图，△ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为18，则PD +PE +PF ＝（）A ．18B ．9C ．6D ．条件不够，不能确定5.如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM ＝1，MN ＝3，则对角线AC 长的最小值为．。

第06讲平行四边形存在性问题专题探究(原卷版)

第6讲平行四边形存在性问题专题探究【知识点睛】❖ 知识储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： ❖ 方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。

类型一几何背景下的平行四边形存在性问题1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm /s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm /s 的速度运动．若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t ＝时，四边形AECF 是平行四)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若如，当A 、B 已知，点C 在直线y=x 上，点D 在另一直线上，则设C （a,a ）；分类还分别分①以AB 为对角线，②以AC 为对角线，③以BC 为对角线；依其性质分别表示出D 点坐标；将点D 坐标再分别带入另一直线解析式，即可求出a 的值，C 、D 坐标就都能求出来了。

边形．2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DC＝6cm，AB＝9cm．点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形时，此时的运动时间为s．3．如图，在▱ABCD中，AB＝10cm，F是AB的中点，E为边CD上一点，DE＝4cm．点M 从D点出发，沿D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C；同时点N从点B出发，沿B→A 以2cm/s的速度匀速运动到点A．一个点停止运动后，另一个点也随之停止运动．当点M 运动时间是秒时，以点M，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM ＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点O也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．3B．3或5C．5D．4或55．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分别用含有t的式子表示）；（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标1．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（）A．（﹣3，0）B．（5，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣2）2．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在x轴上方找到点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在平面直角坐标系的第一象限找一点A，第二象限找一点B，使OA＝，OB＝2，AB＝5，且A，B都是格点，连接OA，OB，AB．（画出一个△OAB即可）．（1）判断△OAB的形状，并说明理由；（2）是否存在点C，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）求A，C的坐标；（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．2．在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），点D在直线y＝﹣1上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．3．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y＝x+1与y＝﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB 上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点坐标．若不存在，请说明理由．5．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A 在x轴上，点C在y轴上，OA＝6，∠CAO＝30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求点D的坐标；（2）在线段AC上有一动点P，连接EP和OP，求当△OPE周长最小时，点P的坐标，若M，N是x轴上两动点（M在点N左侧）且MN＝1，求当四边形CMNP周长最小时，M点的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题训练(二) 平行四边形的性质与判定的灵活运用

专题训练(二) 平行四边形的性质与判定的灵活运用►类型之一平行四边形与全等三角形1.用两个全等三角形最多能拼成________个不同的平行四边形.[答案] 32.平行四边形中的一条对角线把平行四边形分成________个全等三角形，两条对角线把平行四边形分成________对全等三角形.[答案] 2 43.如图2－ZT－1所示，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE∥DF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF.(2)由(1)知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形.4.如图2－ZT－2，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.(1)求证：△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.图2－ZT－2解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.[点评] 在平行四边形中，本身就包含着全等三角形，平行四边形中的对角线可以将平行四边形分成全等三角形，反之，用两个全等三角形也可以拼成平行四边形.在解决有关问题时，需要灵活运用平行四边形的性质找出判定三角形全等的条件，反之，利用全等三角形也可以找出判定四边形是平行四边形的条件.►类型之二平行四边形与等腰三角形5.如图2－ZT－3所示，在▱ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，且△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长是( )图2－－3A.10B.12C.14D.16 [答案] D6.如图2－ZT－4所示，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，D是BC上一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE＋DF＝________.[答案] 7 cm图2－－57.如图2－ZT－5所示，在▱ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为________. [答案] 2 cm8.在▱ABCD中，∠A的平分线分对边BC为3和4两部分，求▱ABCD的周长.图2－－6解：如图2－ZT－6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA. 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.当AB＝BE＝3时，▱ABCD的周长2(AB＋BC)＝2×(3＋7)＝20.当AB＝BE＝4时，▱ABCD的周长2(AB＋BC)＝2×(4＋7)＝22.即▱ABCD的周长为20或22.9.如图2－ZT－7所示，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD 各内角的度数.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°，∠DAE＝∠BEA. 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.又∵AE＝BE，∴AB＝BE＝AE，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°角等)时，通常可以转化出等腰三角形，反之亦然.►类型之三平行四边形中的中点问题图2－－810.如图2－ZT－8所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )A.2 cm＜OA＜5 cmB.2 cm＜OA＜8 cmC.1 cm＜OA＜4 cmD.3 cm＜OA＜8cm[答案] C11.已知：如图2－ZT－9，四边形ABCD中，AC＝7，BD＝8，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长＝________.[答案] 15[解析] ∵EF是△ABC的中位线，∴EF=12AC，同理，HG=12AC，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形.∴四边形EFGH的周长＝2(EF＋FG)＝2×(12×7＋12×8)＝15.图2－－9 图2－－1012.如图2－ZT－10所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝__________. [答案] 2 213.如图2－ZT－11，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N 分别是BD，CA的中点，求证：EF，MN互相平分.图2－－11证明：如图2－ZT－12，连接EM，MF，FN，NE.∵FN是△ABC的中位线，∴FN=12AB，同理，EM=12AB，∴FN∥EM，∴四边形EMFN是平行四边形，∴EF ，MN 互相平分.图2－－1214.如图2－ZT －12所示，在▱ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求▱ABCD 的面积.解：如图2－ZT －13，延长BC 至点E ，使CE ＝CM ，连接DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ∥ME. 又∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2CM ＝2CE ＝2BM ， ∴AD ＝ME ＝10，BE ＝15，∴四边形AMED 是平行四边形， ∴DE ＝AM ＝9.又∵BD 2＋DE 2＝122＋92＝225＝152＝BE 2， ∴BD ⊥DE ，∴▱ABCD 的面积＝2(△BDE 的面积－△DCE 的面积)＝2(12×9×12－12×9×12×13)＝72. [点评] 在平行四边形的对角线互相平分这一性质中，体现出了线段中点的特点，有中点时就有可能有三角形的中线、中位线、线段垂直平分线等，需灵活处理，积累经验.类型之四平行四边形中的开放性问题15.如图2－ZT －14，在▱ABCD 中，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于点F ，则下列结论不一定成立的是( )图2－－14A .∠E ＝∠CDFB .EF ＝DFC .AD ＝2BF D .BE ＝2CF[答案] D 16.四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ； ②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ； ⑥∠A ＋∠B ＝180°，∠A ＋∠D ＝180°.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有( )A .3组B .4组C .5组D .6组[答案] C。

平行四边形的性质与判定经典例题练习

平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

2. 性质1：平行四边形的对边相等。

性质1：平行四边形的对边相等。

3. 性质2：平行四边形的对角线相等。

性质2：平行四边形的对角线相等。

4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。

专题平行四边形性质与判定五种考法

专题09平行四边形性质与判定常见的五种考法【考法一平行四边形判定填条件】例题：（2022·黑龙江·克东县第三中学一模）如图，点E、F在ABCD的对角线AC上，连接BE、DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）【变式训练】1．（2022·全国·八年级课前预习）ABCD中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．2．（2022·人大附中北京经济技术开发区学校八年级期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）3．（2021·全国·八年级课时练习）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB//CD，（2）AB=CD，（3）BC//AD，（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有_______种4．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是．5．（2021·全国·八年级课时练习）如图，点E、F是ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是（只需要填一个正确的即可）．【考点二平行四边形性质与判定综合考】例题：（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，等边ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使12CF BC=，连接DE，CD，EF．(1)求证：四边形DCFE是平行四边形．(2)若6AB=，求四边形DCFE的周长．【变式训练】1．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E是CD 的中点，若AB＝6，OE＝5．(1)求BC的长；(2)求平行四边形ABCD的面积2．（2022·山东烟台·一模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)连结BD交AC于点O，若BD=12，AE=EF-CF，求EG的长．3．（2022·新疆昌吉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．(1)证明：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．4．（2022·山东济南·八年级期末）点E 是▱ABCD 的边CD 上的一点，连接EA 并延长，使EA ＝AM ，连接EB 并延长，使EB ＝BN ，连接MN ，F 为MN 的中点，连接CF ，DM ．(1)求证：四边形DMFC 是平行四边形；(2)连接EF ，交AB 于点O ，若OF ＝2，求EF 的长．5．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期末）已知：△ABC ，AD 为BC 边上的中线，点M 为AD 上一动点（不与点A 重合），过点M 作ME ∥AB ，过点C 作CE ∥AD ，连接AE ．(1)如图1，当点M 与点D 重合时，求证：①△ABM ≌△EMC ；②四边形ABME 是平行四边形(2)如图2，当点M 不与点D 重合时，试判断四边形ABME 还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)如图3，延长BM 交AC 于点N ，若点M 为AD 的中点，求MN AE的值．【考点三平行四边形动点问题】例题：（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE AB于点E，连接PQ交AB于点D．（1）若设AP=x，则PC=，QC=；(用含x的式子表示)（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．【变式训练】1．（2021·浙江·衢州市菁才中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．2．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）如图1，在梯形ABCD 中，90A B ∠=∠=，AD BC ∥，12,21,AB AD ==，16BC =，一动点P 从点A 出发，在线段AD 上以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，动点Q 同时从点B 出发在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 运动到点D 时，点Q 随之停止运动，设运动时间为t （秒），(1)当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；(2)当t 为何值时，PQC △是以PQ 为腰的等腰三角形3．（2021·福建·三明一中九年级开学考试）如图，点B 是∠MAN 的边AM 上的定点，点C 是边AN 上的动点，将△ABC 绕点逆时针旋转得到△，且点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，连结CE ．当BC =AC 时，（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形；（2）若AB ＝15，AD ＝18，求AC 的长．4．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级阶段练习）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．5．（2021·山东青岛·八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB 于D．（1）设AP的长为x，则PC＝，QC＝；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由；（4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长【考点四平行四边形动点最值问题】例题：（2022·广东·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AD ＝8，AB ＝4，点H 、G 分别是边DC 、BC 上的动点，其中点H 不与点C 重合．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ，则EF 的最大值与最小值的差为_____________．【变式训练】1．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 纸片中，∠BAD =45°，AB =10．将纸片折叠，使得点A 的对应点A ＇落在BC 边上，折痕EF 交AB 、AD 、AA ＇分别于点E 、F 、G ．继续折叠纸片，使得点C 的对应点C ＇落在A ＇F 上．连接GC ＇，则GC ＇的最小值为（）A ．52B ．2C ．54D 2．（2021·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在AC 边上，以AB 为对角线的平行四边形ADBN 中，M 是对角线的交点，DN 的最小值是__________．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的ADCE中，则DE的最小值是______．【考点五平行四边形中无刻度作图】例题：（2021·湖北恩施·九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）在图1，图2中，点E是ABCD边AD上的中点，请仅用无刻度直尺按要求画图，（保留作图痕迹）（1）在图1中，以BC为边作三角形，使其面积等于ABCD的面积；（2）在图2中，以BE，ED为邻边作四边形，使其面积等于ABCD面积的一半．2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）(1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；(2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．3．（2021·江西赣州·八年级期末）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，在BC上找一点F，使AE＝CF．（2）如图2，若AB＝AE，作∠D的平分线DG．4．（2020·江西南昌·八年级期中）如图1，2，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图1中，在四边形外部画一个与三角形ABE全等的三角形．（2）在图2中，在四边形内部画一个与三角形ABE全等的三角形．5．（2020·江西南昌·八年级期中）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；（2）在图2中，画出△ABC的高CH．6．（2021·江西·九年级）请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，点P是▱ABCD边AD上的中点，过点P画一条线段PM，使PM＝12 AB；（2）在图2中，点A、D分别是▱BCEF边FB和EC上的中点，且点P是边EC上的动点，画出△PAB的一条中位线．11。

平行四边形知识点及经典例题

第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练1．(3分)如图，两X对边平行的纸条，随意穿插叠放在一起，转动其中一X，重合的局部构成一个四边形，这个四边形是________．2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，那么□ABCD的周长为cm.4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，那么较长的边的长度为cm.5．(4分)在□ABCD中，假设∠A∶∠B＝1∶5，那么∠D＝；假设∠A＋∠C＝140°，那么∠D＝．6．(4分)(2014·XX)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，那么□ABCD 的周长是．7．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，假设∠EAD ＝53°，那么∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．(8分)(2013·XX)如下图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．(4分)如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，假设△EBC的面积为10 cm²，那么△DCF的面积为。

10．(4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，那么S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比拟11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，以下说法正确的选项是( )A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF ＝60°，那么□ABCD的周长为__．14．(2013·XX)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，那么∠DAE的度数为。

平行四边形的性质分类题组(精排版_有答案)

平行四边形的性质分类题组类1 平行四边形-性质-辨析1．平行四边形对角线一定具有的性质是( )A ．相等；B ．互相平分；C ．互相垂直；D ．互相垂直且相等；类2 平行四边形-性质-边长与周长2．用20边与短边的比为3︰2，则它的边长为_______长为________．类3 平行四边形-性质-对角线的中垂线3．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为( A ．4 cm ； B ．6cm ； C ．8cm ； D ．10cm ；AEBDOC类4 平行四边形-性质-等腰模型4．在△MNB 中，BM ＝6，点A 、C 、 D 分别在BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠＝∠MDA ，平行四边形ABCD 的周长是( ) A ．24； B ．18； C ．16； D ．12；ABMNC D5．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分别是AC BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 形．求证：AD ＝BF ．AB CDEF类5 平行四边形-性质-三角形周长ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大8cm ，则＝____________cm ．6 平行四边形-性质-高与面积已知平行四边形面积是144，相邻两边上的高分8和9，则它周长是__________．7 平行四边形-性质-三边关系平行四边形的两条对角线的长分别是6和8，则x 可能的取值范围是（）A ．2＜x ＜6；B ．2＜x ＜14；C ．1＜x ＜7；D ．不能确定；平行四边形的两条对角线长和一边长可依次为（）A ．6，6，6B ．6，4，3C ．6，4，6D ．3，4，58 平行四边形-性质-对角线与边垂直．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，⊥AC ，∠DAC ＝45°，AC ＝2，求BD 的长．9 平行四边形-性质-角分线+平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC ( ) A BC DEA ．2和3；B ．3和2；C ．4和1；D ．1和4；．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使＝3，AD ＝5，EF ＝____________． A C DE F G．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCDCF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG AB 于G ．(1)求证：AF ＝GB ．(2)得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．A BCD EFG类10 平行四边形-性质-对角邻角计算14．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝4∠A ，＝( )A ．18°；B ．36°；C ．72°；D ．144°； 15．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为 A BCDEF类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．如图，□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAC ＝30AE ＝3，则AC 的长等于____________． A DBCE类12 平行四边形-性质-面积17．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B 30°，则此平行四边形的面积是( ) ABCDA ．6；B ．12；C ．18；D ．24；类13 平行四边形-性质-面积与周长18( ) A ．1种；B ．2种；C ．4种；D ．无数种；．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线交点O ， AB ＝6cm ，AD ＝5cm ，OF ＝2cm ，那么四边BCEF 的周长为_____________．．已知：点P 是▱ABCD 的对角线AC 的中点，经P 的直线EF 交AB 于点E ，交DC 于点F ．求AE ＝CF ． A BCDEF P14 平行四边形-性质-对角线上两个点．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 、DF ABC ，∠ADC 的平分线，且与对角线AC E 、F ．求证：AE ＝CF ．ABCDE F．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．AFE D15 平行四边形-性质-对角平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的E 、F ，交四边形对角线AC于点G 、H ．求证：AH =CG ．ABCDE FHG类16 平行四边形-性质-一边中点※24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G 若DG ＝1，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4；D ．8；A B CDFEG※25．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，试说明∠DME 3∠AEM ．A BCDEM类17 平行四边形-性质-折叠26．如图，将□ABCD 沿对角线AC 折叠，使点落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )114°；D ．124°； C最值1的⊙A 上一点，AC 为对角线作ABCD 面积的最大值( ) C ．对角互补；AB ＝4，则BC ＝( ) D ．28；中，AB ＝3cm ，BC O ，则OA 的取B ．2cm ＜OA ＜8cm ；D ．3cm ＜OA ＜8cm ； (端点除外)作两腰 B ．一腰的长； D ．两腰的和； 2AB ，CE 平分∠BCD AB 的长为( )A ．4；B ．3；C ．52； D ．2；BC DAE33．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□中，DE 最小的值是( )A ．2；B ．3；C ．4；D ．5； CA B DEO34．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为____________． ABDC E O35．在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ＝4，AC ＝6，则BD ＝__________．36．如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，上，且AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．BCDAFE37．如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 两点，且∠BAE ＝∠DCF ．ABCD 的对角线线段BE 与线C∴∠A＋∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．15．&【答案】25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE, ∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴∠DAE＝11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒．类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，∴OA＝＝＝2，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝4．故答案是：4．类12 平行四边形-性质-面积17．B．；解：过点A作AE⊥BC于E，∵直角△ABE中，∠B＝30°，∴AE＝AB＝×4＝2∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝6×2＝12，类13 平行四边形-性质-过中心直线平分面积与周长18．D．；19．15；20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AE＝∠PCF，∵点P是▱ABCD的对角线AC的中点，∴P A＝PC，在△P AE和△PCE中，，∴△P AE≌△PCE(ASA)，∴AE＝CF．类14 平行四边形-性质-对角线上两个点21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD∴∠BAC＝∠DCA∵BE、DF分别是∠AB C．∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F∴∠ABE＝21∠ABC，∠CDF＝21∠ADC∴∠ABE＝∠CDF∴ABE∆≌CDE∆(AAS)∴AE＝CF；22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD BC∥AD …2分∴∠ACB＝DAC………………3分∵BE∥DF∴∠BEC＝∠AFD………………4分∴△CBE≌△ADF………………5分∴BE＝DF………………6分类15 平行四边形-性质-对角平行线23．证明：∵∠ABC=∠CDA(平行四边形对角相等) BE平分∠ABC，DF平分∠CDA(已知)∴∠ADH＝∠CBG在△ADH和△CBG中AD=CB∠ADH=∠CBG(已证)∠DAH=∠BCG(两直线平行，内错角相等)∴△ADH≌△CBG(SAS)∴AH=CG(全等三角形的对应边相等)；类16 平行四边形-性质-一边中点24．B．；解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC ∥AB ， ∴∠BAE ＝∠DF A ， ∴∠DAE ＝∠DF A ， ∴AD ＝FD ，又F 为DC 的中点， ∴DF ＝CF ，∴AD ＝DF ＝12DC ＝12AB ＝2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG ＝3，则AF ＝2AG ＝23，在△ADF 和△ECF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠ADF ＝∠ECF DF ＝CF， ∴△ADF ≌△ECF (AAS )， ∴AF ＝EF ，则AE ＝2AF ＝43．25．解：连接CM 并延长交BA 于F ，A BCD EM F x2xxx x αα αα α 2α设CD ＝x ，∴BC ＝2AB ＝2x ， ∵M 为AD 的中点， ∴AM ＝MD ＝x ， ∴DM ＝DC ＝x ，∴设∠DCM ＝∠DMC ＝α＝∠AMF ，在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∠DCM ＝∠F ＝α， ∴△CDM ≌△FAM ∴MF ＝MC 又∵CE ⊥AB在Rt △CEF 中，M 为CF 的中点，∴EM ＝12 CF ＝MF∴∠F ＝∠FEM ＝α， ∵∠EMC 为△EFM ∴∠EMC ＝∠F ＋∠＝2α，∴∠EMD ＝∠EMC ＋∠CMD ＝3α＝3∠∠EMC ；即，∠DME ＝3∠AEM ．类17 平行四边形-性质-折叠26．C ．；【考点】平行四边形的性质．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC ＝∠B ′AC ， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝∠B ′AC ＝∠1＝22°， ∴∠B ＝180°－∠2－∠BAC ＝180°－44°－22°＝114°；类18 平行四边形-性质-最值27．解：由已知条件可知，当AB ⊥AC 时□ABCD 的面积最大，以点A 为圆心，3AB ＝3，所以点B 为圆上动点，要使□ABCD 面积最大，即是要△ABC 的面积最大，我们以AC 为底，高即是B 点到直线AC 的垂线段BH 的长，如下图，点B 与点E 重合时，垂线段BH 最长，即AB ⊥AC时□ABCD 的面积最大，APBD EH∵AB ＝3，AC ＝2 ∴S △ABC ＝132AB AC ⋅= ∴S □ABCD ＝2S △ABC ＝3∴□ABCD面积的最大值为故答案为作业28．C ．；29．B ． 30．C ．； 31．D ．；32．B33．B．；解：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴AC 5=．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ＝2.5．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短(点O 到BC 垂线段最短)，此时OD ⊥BC ，∴OD ＝12AB ＝1.5，∴ED ＝2OD ＝3．34．20．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∵OE ⊥BD ， ∴BE ＝DE ，∵△CDE 的周长为10，即CD ＋DE ＋EC ＝10， ∴平行四边形ABCD 的周长为：AB ＋BC ＋CD ＋＝2(BC ＋CD )＝2(BE ＋EC ＋CD )＝2(DE ＋EC ＋CD )＝2×10＝20． 35．10； ABCDO 4 3 35 536．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，DE ∥BF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∴BE ＝DF ．37．证明：∵□ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， …………2分∴∠ABE ＝∠CDF ……4分BAE ＝∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，…6分 BE ＝DF …8分．猜想：BEDF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，…2分 CB AD =，CB ∥AD ． BCE DAF ∠= ． BCE △和DAF △，CB ADBCE DAF CE AF =∠=∠= BCE △≌DAF △． ………………5分 BE DF =，BEC DFA ∠=∠， BE ∥DF ． BE DF ．……………7分。

北师大版八年级数学下册平行四边形的性质与判定专题(附答案)

北师大版八年级数学下册平行四边形的性质与判定专题(附答案)综合滚动练：平行四边形的性质与判定一、选择题（每小题4分，共32分）1.在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A 的度数是（）。

A。

100° B。

120° C。

80° D。

60°2.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）。

A。

AB∥CD B。

AB＝CD C。

AC＝BD D。

OA＝OC3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）。

A。

4∶3∶3∶4 B。

7∶5∶5∶7 C。

4∶3∶2∶1 D。

7∶5∶7∶54.平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是（）。

A。

(－2，1) B。

(－2，－1) C。

(－1，－2) D。

(－1，2)5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）。

A。

BE＝DF B。

BF＝DE C。

AE＝CF D。

∠1＝∠26.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E。

若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）。

A。

8 B。

10 C。

12 D。

147.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于（）。

A。

40° B。

50° C。

60° D。

80°8.（2017·龙东中考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（）。

A。

22 B。

20 C。

22或20 D。

18二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知AB∥CD，添加一个条件使得四边形ABCD为平行四边形。

专题8 平行四边形的性质及应用

专题8 平行四边形的性质及应用知识要点1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（注意定义的双向性）2．平行四边形的性质，如图8－1所示．3．证明平行四边形的边、角、对角线的性质时，我们常用的策略是构造全等三角形．4．平行四边形与等腰三角形的知识联系，如图8－2所示．典例精析例1如图8－3，在□ABCD中，AB＝4 cm，AD＝7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度是多少？【分析】通过平行四边形与平分线的条件，可以找到题中的“知二得一”，利用这个结论即可证明．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4 cm，BC＝AD＝7 cm．∴AB∥CD．∴∠ABF＝∠F．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠FBC＝∠F．∴BC＝CF＝7cm．∴DF＝CF －CD＝3 cm．【点评】角平分线，平行线与等腰三角形的“知二得一”是非常重要的基本图形，是解决很多带有这种模型的关键突破口．我们要能在各种背景下识别这样的基本图形．拓展与变式1如图8－4，四边形ABCD是平行四边形，AE＝3，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F．求CD＋CF的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB．∴AB＝AE＝3，CD＝3．∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴ED＝BF．∴CF＝AE＝3．∴CD＋CF＝6．拓展与变式2 如图8－5，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB 的中点，AB＝6，BC＝4，则AE∶EF∶FB为（）．A．1∶2∶3 B．2∶1∶3 C．3∶2∶1 D．3∶1∶2解：B【反思】正确识别和应用基本图形是提高解题效率的基本能力要求．例2□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝34，AB＝11，求△OCD 的周长．【分析】本题没有图形，我们要根据题意先将图形画出来，再利用平行四边形的对角线互相平分来解决问题．【解】如图8－6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝12AC，OD＝12BD．∴OC＋OD＝12（AC＋BD）＝17．∵CD＝AB＝11，∴△OCD的周长为OC＋OD＋CD＝28．【点评】根据题意画出正确的图形是三种语言转化的基本要求，而平行四边形的对角线互相平分的性质又是在遇到平行四边形带有对角线时的首要解题策略．拓展与变式3 □ABCD的顶点A，C在□DEBF的对角线EF上．求证：AE＝CF．证明：如图D8－1，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵四边形DEBF是平行四边形，∴EO＝FO．∴EO－AO＝FO－CO．∴AE＝CF．拓展与变式4□ABCD的周长为26 cm，AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△OBC的周长大4 cm，那么AB等于___________．解：8.5 cm拓展与变式5如图8－7，在周长是12 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC与BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是___________．解：6 cm【反思】灵活运用平行四边形的对角线互相平分的性质对于更好地理解平行四边形的性质是很重要的．例3在□ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F．若AD＝11，EF＝5，则AB的长为多少？【分析】本题依然需要根据题意画出图形，但这里点E和点F的顺序不能确定，所以本题要分类讨论．【解】分两种情况讨论：①如图8－8，当AE与DF相交时，在□ABCD中，BC∥AD，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠CFD．∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF．∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF．∴AB＝BE，CF＝CD．∴BE＝AB＝CD＝CF．∵EF＝5，BC＝AD＝11，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11．∴AB＝8．②如图8－9，当AE与DF不相交时，同理可得BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11，∴AB＝3．【点评】分类讨论是重要的思想方法，而在题目没有给出确定的图形时，一定要有分类讨论的意识，才能正确并完整地解决问题．拓展与变式6若以A（－2，0），B（1，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，那么第四个顶点不可能在第________象限．解：四拓展与变式7在面积为15的□ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，作AF垂直CD于点F．若AB＝5，BC＝6，求CE＋CF的长．解：①如图D8－2，当∠BAD是钝角时，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴S□ABCD＝AE·BC＝15．∴AE＝2.5．同理AF＝3．∵∠AEB＝90°，∴BE DF∵＞56，∴DF＞DC，BE＜BC．∴点E在BC上，点F在DC延长线上．∴CE＋CF＝BC－BE＋DF－DC．∴CE＋CF＝1．②如图D8－3，当∠BAD为锐角时，同①理，BE DF＝，点E，F均在□ABCD的外部，∴CE＋CF＝CB＋BE＋CD＋DF．∴CE＋CF＝11．综上所述，CE＋CF的长为111．【反思】分类讨论是贯穿于数学学习的重要思想方法，我们在解决需要自行画图的问题时，应特别注意这种思想方法的应用．专题突破1．如图8－10，在□ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于____________．解：2 cm2．如图8－11，在□ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝__________cm．解：43．如图8－12，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AC＝8，AB＝6，BD ＝m，那么m的取值范围是________________．解：4＜m＜204．BD为□ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．求证：DE＝DF．证明：如图D8－4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠EDO＝∠FBO．∵O为BD的中点，∴OB＝OD．∴∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB．∴EO＝FO．又EF⊥BD，∴DE＝DF．5．已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AC＝6．当△ADC是直角三角形时，求AD的长．解：分三种情况讨论：①如图D8－5，当∠CAD＝90°时，若A在C上方，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC＝3．∵∠AOB＝120°，∴∠ADO＝30°．∴OD＝2AO＝6．∴AD．②如图D8－6，当∠ACD＝90°时，若A在C下方，同理可以求出CD＝，∴AD③如图D8－7，当∠ADC＝90°时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＝∠BCD．∵CD＝CD，∴△BCD≌△ADC．∴BD＝AC．∴AO＝OC＝OB＝OD．∴∠ACD＝30°．∴AD＝12AC＝3．综上所述，AD的长是或3．。

专题24 平行四边形及其性质-重难点题型

专题4.2 平行四边形及其性质-重难点题型【知识点1 平行四边形的性质】平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.【题型1 平行四边形的性质（求长度）】【例1】（2021春•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（）A．8B．13C．16D．18【变式1-1】（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（）A．8B．10C．16D．20【变式1-2】（2021春•淮南月考）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm【变式1-3】（2021秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为．【题型2 平行四边形的性质（求角度）】【例2】（2021•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED ＝80°，则∠EAC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【变式2-1】（2021春•锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD 的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°【变式2-2】（2021春•西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．150°【变式2-3】（2021春•西湖区校级期中）如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150°B．145°C．135°D．120°【题型3 平行四边形的性质（求面积）】【例3】（2021春•西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE 的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5B．6C．7D．8【变式3-1】（2021春•娄星区期末）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF 与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（）A．40B．45C．50D．55【变式3-2】（2021春•成华区期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A．S1+S2＞12S B．S1+S2＜12SC．S1+S2=12S D．无法判定【变式3-3】（2021秋•海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC【题型4 平行四边形的性质与坐标】【例4】（2021秋•甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为．【变式4-1】（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【变式4-2】（2021秋•张店区期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（）A．（3，1）B．（3，2）C．（3，3）D．（3，4）【变式4-3】（2021•商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A．3B．4C．5D．10【题型5 平行四边形中的最值问题】【例5】（2021春•舞钢市期末）如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以P A和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2021春•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（）A．4B．2C．2√3D．4√3【变式5-2】（2021春•费县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作平行四边形P AQC，则对角线PQ的长度的最小值为．【变式5-3】（2021•碑林区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为．【题型6 平行四边形中的折叠问题】【例6】（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝．【变式6-1】（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．【变式6-2】（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（）A．√3B．3C．2√3D．3√2【变式6-3】（2020秋•锦江区校级期中）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个。

【青岛版】八年级数学下册专题讲练：平行四边形性质专题试题(含答案)

平行四边形性质专题一、平行四边形的性质1、平行四边形的性质2、扩展性质二、平行四边形的面积法使用① 如图ABCD S =AB DE BC DF ⋅=⋅也就是ABCD S ah =,其中a 可以是平行四边形的任何一边,h 必须是a 边到其对边的距离,即对应的高.② 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图:平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 有公共边BC,则ABCD S EBCF S .拓展知识:两条平行线间的距离处处相等.总结:（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用.（2）平行四边形中对角线是常用辅助线.例题1 如图,在平行四边形ABCD 中,AD ＝2AB,CE 平分∠BCD 交AD 边于点E,且AE ＝3,则AB 的长为（）A 、 4B 、 3C 、 25 D 、 2 解析:根据平行四边形性质得出AB ＝DC,AD∥BC ,推出∠DEC＝∠BCE ,求出∠DEC＝∠DCE ,推出DE ＝DC ＝AB,得出AD ＝2DE 即可.答案:解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ＝DC,AD∥BC ,∴∠DEC＝∠BCE ,∵CE 平分∠DCB ,∴∠DCE＝∠BCE ,∴∠DEC＝∠DCE ,∴DE＝DC ＝AB,∵AD＝2AB ＝2CD,CD ＝DE,∴AD＝2DE,∴AE＝DE ＝3,∴DC＝AB ＝DE ＝3,故选B.点拨:本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义,等腰三角形的性质和判定的应用,关键是求出DE ＝AE ＝DC.例题2 如图,平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD ,交BC 于点E,且AB ＝AE,延长AB 与DE 的延长线交于点 F.下列结论中:①△ABC≌△E AD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF.其中正确的是（）A、①②③B、①②④C、①②⑤D、①③④解析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,AD＝BC,又因为AE平分∠B AD,可得∠BAE＝∠DAE,所以可得∠BAE＝∠BEA,得AB＝BE,由AB＝AE,得到△ABE是等边三角形,则∠ABE＝∠EAD＝60°,所以△ABC≌△E AD（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB＝CD）等高（AB 与CD间的距离相等）,所以S△FCD＝S△ABD,又因为△AEC与△DEC同底等高,所以S△AEC＝S△DEC,所以S△ABE＝S△CEF.答案:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴∠EAD＝∠AEB,又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE,∴∠BAE＝∠BEA,∴AB＝BE,∵AB＝AE,∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°,∵AB＝AE,BC＝AD,∴△ABC≌△EAD （SAS）；①正确；∵△F CD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等）,∴S△FCD＝S△ABC,又∵△AEC与△DEC同底等高,∴S△AEC＝S△DEC,∴S△ABE ＝S△CEF；⑤正确.∵AD与AF不一定相等,∴③不一定正确；∵BE不一定等于CE,∴④不一定正确.故选C.点拨:本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此题比较复杂,注意将每个问题仔细分析.平行四边形的面积问题例题如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC、CE,使AB＝AC.（1）求证:△BAD≌△AC E ；（2）若∠B＝30°,∠ADC＝45°,BD ＝10,求平行四边形ABDE 的面积.解析:（1）根据平行四边形的性质得出,再利用全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先根据勾股定理得出BG ＝3x,进而利用BG －DG ＝BD 求出AG 的长,进而得出平行四边形ABDE 的面积.答案:（1）证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB .又∵四边形ABDE 是平行四边形,∴AE∥BD ,AE ＝BD,∴∠ACB＝∠CAE＝∠B ,在△DBA 和△E AC 中,AB CA B EAC BD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△DBA≌△E AC （SAS ）；（2）解:过A 作AG⊥BC ,垂足为G.设AG ＝x,在Rt△AGD 中,∵∠ADC＝45°,∴AG＝DG ＝x,在Rt△AGB 中,∵∠B＝30°,∴BG＝3x ,又∵BD＝10.∴BG－DG ＝BD,即3x −x ＝10,解得AG ＝x ＝1310-＝53＋5,∴S 平行四边形ABDE ＝BD•AG＝10×（53＋5）＝503＋50.平行四边形中的折叠例题如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别在边DC 、AB 上,DE ＝BF,把平行四边形沿直线EF 折叠,使得点B 、C 分别落在B′,C′处,线段EC′与线段AF 交于点G,连接DG 、B′G .求证:（1）∠1＝∠2；（2）DG ＝B′G.解析:（1）根据平行四边形得出DC∥AB,推出∠2＝∠FEC,由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2,即可得出答案；（2）求出EG＝B′G,推出∠DEG＝∠EGF,由折叠求出∠B′FG＝∠EGF,求出DE＝B′F,再证△DEG≌△B′FG即可.答案:证明:（1）∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,∴∠2＝∠FEC, 由折叠得:∠1＝∠FEC,∴∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2,∴EG＝GF,∵AB∥DC,∴∠DEG＝∠EGF,由折叠得:EC′∥B′F,∴∠B′FG＝∠EGF,∴∠DEG＝∠B FG',∵DE＝BF＝B′F,∴DE＝B′F,在△DEG和△B FG'中,GE GFDEG B FGDE B F=⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴△DEG≌△B′FG（SAS）,∴DG＝B′G.（答题时间:45分钟）一、选择题1、如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB＝5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A、 18B、 28C、 36D、 462、如图,在Rt△AB C中,∠B＝90°,AB＝3,BC＝4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是（）A、 2B、 3C、 4D、 5*3、如图,在平行四边形ABCD中,AB＞AD,按以下步骤作图:以A 为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于E、F；再分别以E、F 为圆心,大于21EF 的长为半径画弧,两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H.则下列结论:①AG 平分∠DAB ,②CH＝21DH,③△ADH 是等腰三角形,④S △ADH ＝21S 四边形ABCH .其中正确的有（）A 、 ①②③B 、 ①③④C 、 ②④D 、 ①③**4、如图,平行四边形ABCD 中,AB:BC ＝3:2,∠DAB＝60°,E 在AB 上,且AE:EB ＝1:2,F 是BC 的中点,过D 分别作DP⊥AF 于P,DQ⊥CE 于Q,则DP:DQ 等于（）A 、 3:4B 、13:25C 、 13:26D 、 23:13**5、如图,四边形ABCD 是平行四边形,BE 平分∠ABC ,CF 平分∠BCD ,BE 、CF 交于点G.若使EF ＝41AD,那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（）A 、 ∠ABC＝60°B 、 AB:BC ＝1:4 C 、 AB:BC ＝5:2D 、 AB:BC ＝5:8**6、如图,在平行四边形ABCD 中,分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE、△ADF ,延长CB 交AE 于点G,点G 在点A 、E 之间,连接CE 、CF 、EF,①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF 是等边△；④CG⊥AE .则四个结论一定正确的是（）A、只有①②B、只有①②③C、只有③④D、①②③④二、填空题*7、如图,过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是.**8、在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线分对边DC为3cm和5cm两部分,则平行四边形ABCD的周长为.**9、如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB ＝45°,BD＝2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为 .三、解答题*10、如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB 的延长线交于点F.（1）求证:△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.**11、如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD＝32°.分别以BC、CD 为边向外作△BCE和△DCF,使BE＝BC,DF＝DC,∠EBC＝∠CDF,延长AB 交边EC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF.（1）求证:△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时,求∠EBG的度数.**12、（黑龙江）在△ABC中,AB＝AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上（如图1）,此时PD＝0,可得结论:PD＋PE＋PF ＝AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）,△ABC外（如图3）时,上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.1、 C 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB＝CD ＝5,∵△OCD 的周长为23,∴O D ＋OC ＝23－5＝18,∵BD＝2DO,AC ＝2OC,∴平行四边形ABCD 的两条对角线的和＝BD ＋AC ＝2（DO ＋OC ）＝36,故选C.2、 B 解析:∵在Rt△ABC 中,∠B＝90°,AB ＝3,BC ＝4,∴AC＝22BC AB +＝5.∵四边形ADCE 是平行四边形,∴OD＝OE,OA ＝OC ＝2、5.∴当OD 取最小值时,DE 线段最短,此时OD⊥BC .∴OD＝21AB ＝1、5,∴ED＝2OD ＝3.故选B.3、 D 解析:根据作图的方法可得AG 平分∠DAB ,故①正确；∵AG 平分∠DAB ,∴∠DAH＝∠BAH ,∵CD∥AB ,∴∠DHA＝∠BAH ,∴∠DAH＝∠DHA ,∴A D ＝DH,∴△ADH 是等腰三角形,故③正确；故选D.4、 D 解析:如图,连接DE 、DF,过F 作FN⊥AB 于N,过C 作CM⊥AB 于M,∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得:S △DEC ＝S △DFA ＝21S平行四边形ABCD ,即21AF ·DP ＝21CE ·DQ,∴AF·DP ＝CE ·DQ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC ,∵∠DAB ＝60°,∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°,∴∠BF N ＝∠BCM ＝30°,∵AB :BC ＝3:2,∴设AB ＝3a,BC ＝2a,∵AE :EB ＝1:2,F 是BC 的中点,∴BF＝a,BE ＝2a,BN ＝21a,BM ＝a,由勾股定理得:FN ＝23a,CM ＝3a,AF ＝22)23()213(a a a ++＝13a,CE ＝22)3()3(a a +＝23a,∴13a•DP＝23a•DQ ,∴DP :DQ ＝23:13.故选D.5、 D 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC ,AB ＝CD,AD ＝BC,∴∠AEB＝∠C BE,又BE 平分∠ABC ,∴∠ABE＝∠C BE,∴∠ABE＝∠AEB,∴AB＝AE,同理可得:DC ＝DF,∴AE＝DF,∴AE－EF ＝DF －EF,即AF ＝DE,当EF ＝41AD 时,设EF ＝x,则AD ＝BC ＝4x,∴AF＝DE ＝21（AD －EF ）＝1、5x,∴AE＝AB ＝AF ＋EF ＝2、5x,∴AB :BC ＝2、5:4＝5:8.故选D.6、 B 解析:如图,∵△ABE、△ADF 是等边三角形,∴FD＝AD,BE ＝AB,∵AD＝BC,AB＝DC,∴FD＝BC,BE＝DC,∵∠ABC＝∠ADC,∠FDA＝∠ABE,∴∠CDF＝∠EBC,∴△CDF≌△EBC,故①正确；∵∠FAE＝∠FAD ＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA,∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA,∴∠CDF＝∠EAF,故②正确；同理可得:∠CBE＝∠F AE＝∠F DC,∵BC＝AD＝AF,BE ＝AE,∴△EAF≌△EBC,∴∠AEF＝∠BEC,∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°,∴∠FEC＝60°,∵CF＝CE,∴△ECF是等边三角形,故③正确；在等边三角形ABE中,∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段,∴如果CG⊥AE,则G是AE 的中点,∠ABG＝30°,∠ABC＝150°,题目缺少这个条件,CG⊥AE不能求证,故④错误.故选B.7、S1＝S2 解析:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,∴AD＝BC,AB＝CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形,在△ABD和△CDB中；∵AB＝CD BD ＝DB DA＝CB,∴△ABD≌△CDB,即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,故四边形AEMG 和四边形HCFM的面积相等,即S1＝S2.8、 22cm或26cm 解析:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD ＝BC,AB＝CD,AB∥CD,∴∠2＝∠3,∵AE是∠DAB的平分线,∴∠1＝∠2,∴∠1＝∠3,∴AD＝ED,∵∠DAB的平分线分对边DC为3cm和5cm 两部分,如果DE＝3cm,则AD＝BC＝3cm,AB＝CD＝8cm,∴平行四边形ABCD的周长为22cm；如果DE＝5cm,则AD＝BC＝5cm,AB＝CD＝8cm,∴平行四边形ABCD的周长为26cm；∴ABCD的周长为22cm或26cm.9、2 解析:如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,BD ＝2,∴BE ＝21BD ＝1.如图2,连接BB′.根据折叠的性质知,∠AEB＝∠AEB′＝45°,BE ＝B′E .∴∠BEB′＝90°,∴△BB′E 是等腰直角三角形,则BB′＝2BE ＝2.又∵BE＝DE,B′E⊥BD ,∴DB′＝BB′＝2.故答案是:2. 10、（1）证明:如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC .又∵点F 在CB 的延长线上,∴AD∥CF ,∴∠1＝∠2.∵点E 是AB 边的中点,∴AE＝BE.∵在△ADE 与△BFE 中,12 DEA FEB AE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△ADE≌△BFE（AAS ）；（2）解:CE⊥DF .理由如下:如图,连接CE.由（1）知,△ADE≌△BFE ,∴DE＝FE,即点E 是DF 的中点,∠1＝∠2.∵DF 平分∠ADC ,∴∠1＝∠3,∴∠3＝∠2,∴CD＝CF,∴CE⊥DF .11、（1）证明:如图,在平行四边形ABCD 中,AB ＝DC,又∵DF＝DC,∴AB＝DF.同理EB ＝AD.在平行四边形ABCD 中,∠ABC＝∠ADC ,又∵∠EBC＝∠CDF ,∴∠ABE＝360°－∠ABC－∠EBC ,∠ADF＝360°－∠ADC －∠CDF ,∴∠ABE ＝∠FDA.∴△ABE≌△FDA （SAS ）.（2）∵△ABE≌△FDA ,∴∠AEB＝∠FAD.∵∠EBG＝∠EAB＋∠AEB ,∴∠EBG ＝∠FAD ＋∠EAB ,∵AE⊥AF ,∴∠EAF＝90°.∵∠BAD＝32°,∴∠EAF －∠DAB＝90°－32°＝58°.∴∠EBG＝58°.12、证明:如图2,过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点,∵PE∥AC,PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC,PF∥AB,∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE＝PF,∠EPM ＝∠ANM＝∠C,∠EMP＝∠B,∵AB＝AC,∴∠EMP＝∠EPM,∴PE＝EM,∴PE＋PF＝AE＋EM＝AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB＝PD.∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB,即PD＋PE＋PF＝AB.图3结论:PE＋PF－PD＝AB.。

(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题

平行四边形的性质及判定（典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊（1）从边看（II ）从角看（4）两组对角分别相等的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分）又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。

中考数学总复习《平行四边形的性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则EFDF的值为（）A．1B．13C．23D．122．在□ ABCD中，∠A=70∘，则∠B度数为（）A．110∘B．100∘C．70∘D．20∘3．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AO=OD C．AC=BD D．OA=OC4．如图，▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE=3，BE=5，DE=4，则CE的长为（）A．4√5B．5√5C．5√2D．6√25．如图，在平行四边形ABCD中，⊥A＝130°，在AD上取DE＝DC，则⊥ECB的度数是（）A．65°B．50°C．60°D．75°6．已知▱ABCD中，∠A+∠C=70°，则∠B的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°7．在平行四边形ABCD中，若⊥A+⊥C＝80°，则⊥B的度数是（）A．140°B．100°C．40°D．120°8．如图，在▱ABCD中，点F是线段CD上一点，点A作▱BFGE，当点F从点C向点D运动过程中，四边形BFGE的面积的变化情况是()A．保持不变B．一直减小C．一直增大D．先增大后减小9．如图，在平行四边形ABCD中，⊥BAD的平分线交BC于点E，⊥ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13B．14C．15D．1610．如图，在⊥ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE，BE，若AE，BE分别是⊥DAB，⊥CBA的角平分线，且AB=4，则⊥ABCD的周长为（）A．10B．8 C．5 D．1211．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，且点E，H在边DC上，点G，F 在边AB上，若▱ABCD的面积为10，则阴影部分的面积为（）A．6B．4C．3D．5212．如图，平行四边形ABFC的对角线x∈(1，e)相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则SΔEOG的面积为（）A．4B．5C．2D．3二、填空题13．如图，E是⊥ABCD边BC上一点，且AB=BE，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，⊥F=70°，则⊥D=度．14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点处.若∠1=∠2=50∘，则为.15．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若⊥BOC的周长比⊥AOB的周长大2cm，则CD=cm．16．在平行四边形ABCD中，⊥BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．17．如图，已知⊥ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标18．如图，E、F分别是⊥ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S⊥APD＝10cm2，S⊥BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为cm2.三、综合题19．如图，▱ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作⊥DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD=4，⊥DAB=60°，求四边形AFED的面积．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC 是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形.（2）若AC＝8，AB＝5，求ED的长.21．如图，在▱ABCD中AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且CE=CF．（1）求证：AE=AF；（2）求证：四边形ABCD是菱形．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若⊥AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．23．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；（2）图2中所画的平行四边形的面积为．24．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是⊥BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若⊥B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）参考答案1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】4014．【答案】105°15．【答案】416．【答案】217．【答案】（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）18．【答案】3019．【答案】（1）证明：∵AE为⊥DAB的角平分线∴⊥DAE=⊥EAF∵AB//CD∴⊥DEA=⊥EAF∴⊥DAE=⊥DEA∴AD=DE∵AD=AF∴DE=AF∵DE//AF∴四边形AFED为平行四边形∵AD=DE∴四边形AFED是菱形．（2）解：连接DF交AE于点O，如图所示：∵⊥DAB=60°，DA=AF ∴⊥DAF为等边三角形∵AD=4∴DF=4，DO=2∴AO= 2√3，AE= 4√3∴S四边形AFED= 12×4×4√3= 8√3．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO∵⊥EAC是等边三角形∴EA=EC∴EO⊥AC∴四边形ABCD是菱形（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴AO=CO=4，DO=BO在Rt⊥ABO中，BO=√AB2−AO2=3∴DO=BO=3在Rt⊥EAO中，EO=√EA2−AO2=4√3∴ED=EO-DO=4√3-3.21．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∴△ACE与△ACF为直角三角形∵CE=CF，AC=AC∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)∴AE=AF；（2）证明：∵在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F ∴∠B=∠D∵AE=AF（已证）∴△ABE≌△ADF(AAS)∴AB=AD∴▱ABCD为菱形．22．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形AD⊥BC,AD=BC,AB=DCCE=BCAD=CE，AD⊥CE四边形ACED是平行四边形AB=DC，AE=ABAE=DC四边形ACED是矩形；（2）解：四边形ACED是矩形，OA= 12AE,OC=12CD,AE=CD,OA=OC⊥AOC=180°-⊥AOD=180°-120°=60°⊥AOC是等边三角形OC=AC=4CD=8．23．【答案】（1）解：如图1，如图2；（2）624．【答案】（1）证明：如图（1）∵AE 是⊥BAD 的平分线 ∴⊥BAF=⊥DAF∵在平行四边形ABCD 中 ∴AB⊥DF ，AD⊥BC ∴⊥BAF=⊥F ，⊥DAF=⊥CEF ∴⊥F=⊥DAF=⊥CEF ∴CE=FC（2）解：四边形ABFC 是矩形理由：如图（2）∵⊥B=60°，AD⊥BC ∴⊥BAD=120° ∵⊥BAF=⊥DAF ∴⊥BAF=60°则⊥ABE 是等边三角形可得AB=BE=AE ，⊥BEA=⊥AFC=60° ∵BC=2AB ∴AE=BE=EC∴⊥ABC 是直角三角形，⊥BAC=90° 在⊥ABE 和⊥FCE 中 ∵{∠ABE =∠FCE BE =EC ∠BEA =∠CEF ∴⊥ABE⊥⊥FCE （ASA ） ∴AB=FC 又∵AB⊥FC∴四边形ABFC 是平行四边形再由⊥BAC=90°故四边形ABFC 是矩形．。

中考数学复习专题之平行四形的性质与判定,考点过关与基础练习题

24.平行四边形➢考点分类考点1平行四边形的性质例1如图所示，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB=CF(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⟂AF.考点2平行四边形的判定例2如图所示，DE是ABC的中位线，延长DE至F，使EF=DE，连接BF.(1)求证：BF=DC(2)求证：四边形ABFD是平行四边形.考点3平行四边形综合探究例3如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于F．（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG 的度数（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．➢真题演练1．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．20B．21C．22D．232．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝200°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO 并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝4，AC ＝5，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（）A ．3B ．6C ．8D ．105．如图，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝105°，点E 在AD 上，∠EBA ＝60°，则ED AE的值是（）A ．23B ．√3C ．√32D ．√336．如图，⟂ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分⟂BAD ，交BC 于点E ，且⟂ADC ＝60°，AD ＝2AB ，连接OE ，下列结论：⟂⟂CAD ＝30°；⟂OD ＝AB ；⟂S 平行四边形ABCD ＝AC •CD ；⟂S 四边形OECD =32S ⟂AOD ：⟂OE =14AD ．其中成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①OE ＝OF ；②AB ＝BF ；③∠DOC ＝∠OCD ；④∠CFE ＝∠DEF ，其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为．10．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG ＝1.5，则S▱AEPH＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若AC=24，GF=6√5，则EG的长为．12.在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，求证：P A＝PE；（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DE﹣DA=√2DP．13．已知：如图，▱ABCD 中，F 是AB 中点，连接DF ，DF 延长线交CB 的延长线于点E ，连接AE ．求证：（1）△AFD ≌△BFE ；（2）若BF ＝BC ，∠EDC ＝60°，判断四边形AEBD 的形状，并证明你的结论．➢ 课后练习1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC ，BD 于点E 、P ．连接OE ，∠ADC ＝60°，AB =12BC ＝1，则下列结论： ①∠CAD ＝30°；②BD ＝2√3；③S 平行四边形ABCD ＝AB •AC ； ④AD ＝4OE ．其中结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，若AE ＝4，DE ＝3，AB ＝5，则AC 的长为（）A ．3√2B ．4√2C ．5√2D ．5√223．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论正确的有（）个．①F A：FB＝1：2；②BE：CF＝1：2；③AE：BC＝1：2；④S△ABE：S△FBC＝1：4．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．2√2B．6√2C．5√5D．4√55．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E 不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（）①∠DCF=12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4B．3C．2D．16．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且CE＝BC，AE＝DE，AE＝4，∠DAE ＝60°，则下列结论：①∠AEB＝90°；②平行四边形ABCD周长是24；③∠ABE＝∠EBC＝30°；④BE2＝48；⑤E为CD中点．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于G，交AD延长线于F，若BC＝6，DF＝4，EF＝2AE，则△ABE的面积为．8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF＝60°，BE＝1，平行四边形ABCD面积为6√3．则AF＝．9．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（填序号）．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(√3，0)，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD 于点F，连接AF，CE．（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度数；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．➢冲击A+如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D做DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．。

平行四边形专题(含答案)

平行四边形专题一．选择题（共15小题）1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确2．下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．124．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜226．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E ，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④10．如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．811．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S312．如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．2613．如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14 15．如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．解答题（共11小题）16．如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．17．如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．18．如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．19．如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．20．如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．21．如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．22．如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．23．如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？24．如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．25．如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．26．已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．平行四边形专题（答案）一．选择题（共15小题）1．（2015春•博野县期末）已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．【解答】解：如图，已知平行四边形中，10，6，求的取值范围，即a的取值范围．∵平行四边形∴2，26∴α，3∴在△中：﹣＜＜即：14＜α＜26故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．2．（2012•麻城市校级模拟）下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对平行四边形性质的考查，以及矩形，正方形，中心对称图形的性质及判定．【解答】解：①中对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①对；②等腰梯形两条对角线也相等，②也不对；③中对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；④两条对角线相等的菱形是正方形，正确，⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形，错误，等腰梯形，菱形都有对称中心；⑥角是轴对称图形但不是中心对称图形，所以⑥不对⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，都有对称中心，所以正确；⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条，正三角形只有三条对称轴．所以题中共有②⑤⑥⑧四个错误，故答案选D．【点评】本题综合考查了各种图形的性质以及有关判定，熟记性质和判定，准确掌握知识是解题的关键．3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．12【分析】可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．【解答】解：如图，过点D作⊥于点G，∵6，∠30°，∴3，∴平行四边形的面积为•8×3=24，∴△的面积为×24=12∴△的面积×12=4故选B．【点评】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．4．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质，结合图形，逐一分析即可．【解答】解：根据平行四边形的基本性质和判定，可知：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错误．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．故选C．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记性质是解题的关键，注意解题时要数形结合．5．（2011春•东莞校级期中）平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜22【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的对角相互相平分，可得，；根据三角形的三边关系，可得x的取值范围是1＜x＜11．【解答】解：∵四边形是平行四边形，12，10，∴6，5，∵，∴x的取值范围是1＜x＜11．故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相互相平分．还考查了三角形的三边关系：三角形中任意两边之和＞第三边，三角形中任意两边之差＜第三边．题目比较简单，解题时要细心．6．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．【解答】解：根据有关概念和性质可知：①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”，错误．②把四边形分成两个全等的三角形，正确．③∥，且∥，正确④四边形是平行四边形，可以记做“▱”，应该为：记做“▱”，错误．故选B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和基本表示方法．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．7．（2015•绥化）如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形是平行四边形，得到∠∠60°，∠120°，根据平分∠，得到∠∠60°推出△是等边三角形，由于，得到，得到△是直角三角形，于是得到∠30°，故①正确；由于⊥，得到S▱•，故②正确，根据，，且＞，得到≠，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∠∠60°，∠120°，∵平分∠，∴∠∠60°∴△是等边三角形，∴，∵，∴，∴∠90°，∴∠30°，故①正确；∵⊥，∴S▱•，故②正确，∵，，∵＞，∴≠，故③错误；∵，，∴，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（2016•菏泽）在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】当▱的面积最大时，四边形为矩形，得出∠∠∠∠90°，，根据勾股定理求出，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱的面积最大时，四边形为矩形，∴∠∠∠∠90°，，∴5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱的面积最大时，四边形为矩形是解决问题的关键．9．（2016•虞城县二模）如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E 在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由在平行四边形中，2，F是的中点，易得，继而证得①∠∠；然后延长，交延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△≌△（），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是的中点，∴，∵在▱中，2，∴，∴∠∠，∵∥，∴∠∠，∴∠∠，∴∠∠，故此选项正确；②延长，交延长线于M，∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵F为中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（），∴，∠∠M，∵⊥，∴∠90°，∴∠∠90°，∵，∴，故②正确；③∵，∴S△△，∵＞，∴S△＜2S△故S△2S△错误；④设∠，则∠，∴∠∠90°﹣x，∴∠180°﹣2x，∴∠90°﹣180°﹣2270°﹣3x，∵∠90°﹣x，∴∠3∠，故此选项正确．故选C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△≌△是解题关键．10．（2016•绵阳）如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E 是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．8【分析】由▱的周长为26，对角线、相交于点O，若△的周长比△的周长多3，可得13，﹣3，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱的周长为26，∴13，，∵△的周长比△的周长多3，∴（）﹣（）﹣3，∴5，8．∴8．∵⊥，E是中点，∴4；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．11．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c 表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（）（a﹣c ）2﹣c2，∴S21﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S23=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．12．（2016•丽水）如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出3，6，8，即可求出△的周长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴3，6，8，∴△的周长3+6+8=17．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．13．（2016•泰安）如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，证出8，同理：6，求出﹣2，﹣2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，8，6，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，∴∠∠，∴8，同理：6，∴﹣2，﹣2，∴4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．14．（2016•丹东）如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，得出6，同理可证6，再由的长，即可求出的长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，6，，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，则∠∠，∴6，同理可证：6，∵﹣2，即6+6﹣2，解得：10；故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．15．（2013•达州）如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当⊥时，线段取最小值．【解答】解：∵在△中，∠90°，∴⊥．∵四边形是平行四边形，∴，．∴当取最小值时，线段最短，此时⊥．∴∥．又点O是的中点，∴是△的中位线，∴ 1.5，∴23．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．二．解答题（共11小题）16．（2016•西宁）如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．【分析】（1）由在▱中，E是的中点，利用，即可判定△≌△，继而证得结论；（2）由2，，可得，又由△≌△，可得，然后利用三线合一，证得结论．【解答】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵E为中点，∴，在△与△中，，∴△≌△（），∴；（2）∵2，，∴，∵△≌△，∴，∴⊥．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．17．（2016•温州）如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∥，∥，证出∠∠F，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由全等三角形的性质得出3，由平行线的性质证出∠∠90°，由勾股定理求出，即可得出的长．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，∴∠∠F，∠∠，∵E是▱的边的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：∵≌△，∴3，∵∥，∴∠∠90°，在▱中，5，∴4，∴28．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016•新疆）如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．【分析】由垂直得到∠∠90°，根据可证明△≌△，得到，根据平行四边形的判定判断即可．【解答】证明：∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∵∥，∴∠∠，在△和△中，∵，∴△≌△（），∴，∵∥，∴四边形是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．19．（2016•梅州）如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和证明△≌△，得出对应边相等即可；（2）证出，再证明，得出1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠．在△与△中，∴△≌△（）．∴．（2）解：∵⊥，∥，∴∠∠90°．∵∠45°，∴∠∠45°．∴∵⊥，∴∠∠90°．∴∠∠45°．∴，∴1，由（1）可知，1，∴3，∴3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．20．（2016•滨州）如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．【分析】（1）结论四边形是菱形．只要证明即可．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，求出、即可解决问题．【解答】解：（1）四边形是菱形．理由：∵垂直平分，∴，，∴∠∠，∵∠∠，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，∵∠90°，∠30°，2，∴，∵∥，⊥，⊥，∴∥，，2，在△中，∵∠90°，∠45°，∴∠∠45°，∴，∴3，在△中，∵∠90°，．3，∴10．∵，∴的最小值为10．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H 的位置，属于中考常考题型．21．（2015•枣庄）如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）通过证明△与△全等即可求得．（2）由△是等腰直角三角形，得出∠45°，因为⊥，得出∠45°，所以△与△都是等腰直角三角形，从而求得的长和2，然后等腰直角三角形的性质即可求得．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∥，∴∠∠，在△与△中∴△≌△（）∴；（2）解：∵⊥，∴∠90°，∵∠45°，∴∠∠45°，∵⊥，∴∠∠45°，∴△是等腰直角三角形，∵∥，⊥，∴⊥，∴，△是等腰直角三角形，∵△≌△（）∴，∴，即2，∵△是等腰直角三角形，∴1，∴，∴在等腰△中，22∴2，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．22．（2015•潜江）如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．【分析】（1）由A与B的坐标求出的长，根据四边形为平行四边形，求出的长，进而确定出C 坐标，设反比例解析式为，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．【解答】解：（1）∵▱中，A（2，0），B （6，0），D（0，3），∴4，∥，∴C（4，3），设反比例解析式为，把C坐标代入得：12，则反比例解析式为；（2）∵B（6，0），∴把6代入反比例解析式得：2，即B′（6，2），∴平行四边形向上平移2个单位，即′=2，∴D′（0，5），把5代入反比例解析式得：，即E （，5）．【点评】此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（2015•柳州）如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？【分析】（1）已知∥，添加即可判断以为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．【解答】解：（1）当∥时，四边形是平行四边形，此时，∴12﹣2，∴4．∴当4时，四边形是平行四边形．（2）过D点，⊥于F，∴8．﹣18﹣12=6，10，①当⊥，则18．即：218，∴6；②当⊥，此时P一定在上，1=10+12﹣222﹣2t，2，易知，△∽△2P1，∴，解得：，③情形：当⊥时，因∠＜90°，此种情形不存在．∴当6或时，△是直角三角形．【点评】此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．24．（2016•永州）如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，即可得出；（2）先证明△是等边三角形，得出4，2，由勾股定理求出，由证明△≌△，得出△的面积=△的面积，因此平行四边形的面积=△的面积•，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，，∴∠∠，∵是∠的平分线，∴∠∠，∴∠∠，∴，∴；（2）解：∵，∠60°，∴△是等边三角形，∴4，∵⊥，∴2，∴2，∵∥，∴∠∠，∠∠E，在△和△中，，∴△≌△（），∴△的面积=△的面积，∴平行四边形的面积=△的面积•×4×2=4．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．25．（2015•呼和浩特）如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．【分析】（1）先证出，再由即可证明△≌△；（2）由对角线互相平分证出四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是矩形；理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（2016•青岛）已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由平行四边形的性质得出∥，，证出，得出四边形是平行四边形，得出，再由等腰三角形的三线合一性质得出⊥，即可得出四边形是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∠∠，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形是平行四边形，∴∥，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴⊥，∴四边形是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形是平行四边形是解决问题（2）的关键．。

重点突围：专题05 平行四边形的判定与性质(原卷版)-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05平行四边形的判定与性质【典型例题】1．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若△ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东安丘·八年级期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC 的延长线上，若△DCE＝128°，则△A＝（）A．32°B．42°C．52°D．62°2．（2022·山东龙口·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB△AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（）A B．8cm C．3cm D．3．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图，直线EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD 面积的（）A ．15B ．14C ．13D ．12 4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE △AC ，交AD 于点E ，连接CE ，若△CDE 的周长为8，则▱ABCD 的周长为（）A ．8B ．10C ．16D ．205．（2022·福建泉港·八年级期末）如图，点E 、F 分别是▱ABCD 边AD 、BC 的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG =DH ．则下列结论中不正确的是（）A ．GF EH =B ．四边形EGFH 是平行四边形C ．EG FH =D ．EH BD ⊥6．（2022·安徽庐江·九年级期末）如图①，在▱ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B 运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ，y 是x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a 值为（）A ．B ．C ．14D ．18二、填空题7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分△ABC，与AD 交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为___．8．（2022·全国·八年级课前预习）四边形ABCD中，AD△BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个条件即可）．9．（2022·山东莱芜·八年级期末）如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为_____．10．（2021·广东阳东·一模）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，△D＝108°，则△BAC＝___．11．（2021·山东任城·七年级期中）如图，四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC，且△BAD、△ADC 的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．12．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期末）在四边形ABCD中，AD△BC，BC△CD，BC ＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 为平行四边形，△BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：BE ＝CD ；(2)连接BF ，若BF ⊥AE ，△BEA ＝60°，AB ＝2，求平行四边形ABCD 的面积．14．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于О点，DE AC ⊥于E 点，BF AC ⊥于F ．(1)求证：四边形DEBF 为平行四边形；(2)若20AB =，13AD =，21AC =，求DOE △的面积．15．（2022·全国·八年级）已知，在ABCD中，E是AD边的中点，连接BE．（1）如图①，若BC=2，求AE的长；（2）如图②，延长BE交CD的延长线于点F，求证：FD=AB．16．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE DF∥，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的13的所有三角形．17．（2021·全国·八年级课时练习）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F是BD 上的两点．BE DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由；（1）当,∠满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由．（2）当AEB∠与CFD18．（2021·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，△ACB＝△CAD＝90°，点E在BC上，AE△DC，EF△AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分△BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．19．（2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若△B＝30°，△CAB＝45°，AC=，求AB的长．20．（2022·山东莱芜·八年级期末）点E 是▱ABCD 的边CD 上的一点，连接EA 并延长，使EA ＝AM ，连接EB 并延长，使EB ＝BN ，连接MN ，F 为MN 的中点，连接CF ，DM ．(1)求证：四边形DMFC 是平行四边形；(2)连接EF ，交AB 于点O ，若OF ＝2，求EF 的长．21．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，△ABC ，△BCD 的平分线分别交AD 于点E ，F ，线段BE ，CF 相交于点G ．（1）问：线段BE 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝3，CF ＝4，求BE 的长．22．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校八年级期末）如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OB 和OD 上，且AEB CFD ∠=∠．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若90AEB =︒∠，4AE =．且45EAF ∠=︒，求线段AC 的长．23．（2021·浙江下城·八年级期末）在四边形ABCD中，已知AD△BC，△B＝△D，AE△BC于点E，AF△CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．24．（2022·江苏·八年级专题练习）已知如图，在▱ABCD中，点F是▱ABCD内一点，AB△BF，AB＝BF，过点F作FE△AD，垂足为点E．(1)如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；(2)如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．。

平行四边形专题

平行四边形专题
什么是平行四边形？
平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 两组对边分别平行
- 对边长度相等
平行四边形的性质和定理
定理1：平行四边形的对边相等
平行四边形的两对对边长度相等。

定理2：平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。

定理3：平行四边形的内角对应相等
平行四边形的内角对应相等，即相对的内角相等，相对的外角和为180度。

定理4：平行四边形的相邻内角互补
平行四边形的相邻内角互补，即相邻的内角和为180度。

定理5：平行四边形的内交角相等
若平行四边形的一对对边相交，则交角相等。

平行四边形的性质举例
下面是一些平行四边形的案例：
- 长方形：四个角都是直角的平行四边形
- 正方形：四个边长相等的长方形，对角线相等
- 菱形：四个边长相等的平行四边形，对角线相互垂直，交于中点
结论
平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，具有对边相等、内角对应相等等特点。

熟悉平行四边形的性质和定理，有助于解题和证明相关问题。

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C
F
B
E
D
A
一、平行四边形基本定义：
1、平行四边形
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。

２、平行四边形性质：
３、扩展性质：
二.平行四边形的面积：
平行四边形的面积：
等于底和高的积，即S □ABCD =ah ，其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形中的等积法使用：
DF BC DE AB ⨯=⨯
三、总结：
（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。

（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。

平行四边形性质
平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。

平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。

平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差
平行四边形对角线的一半和大于任意一边长
过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分
例题1如图，在▱ABCD 中，AD=2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE=3，则AB 的长为（）A ．4 B ．3 C ．
2
5
D ．2 例题2如图，平行四边形ABCD 中，A
E 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点
F ．下列结论中：①△ABC ≌△AED ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CDE ；⑤S △ABE =S
△CEF
．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．①
③④
平行四边形的面积问题
实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ．（1）求证：△BAD ≌△AEC ；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积．
平行四边形中的折叠
实例：如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G．求证：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G．
DE=B′F，∴△DEG ≌△B′FG，∴DG=B′G．
一、选择题
1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（）A ．18 B ．28 C ．36 D ．46
A ．246
B ．216
C ．-216
D ．274
2如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 *3如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞CD ，按以下步骤作图：以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F
为圆心，大于
2
1
EF 的长半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ．则下列结论：①AG 平分∠DAB ，②CH=2
1
DH ，③△ADH 是等腰三角形，
④S △ADH =2
1
S 四边形ABCH ．其中正确的有（）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③．
**4如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在AB 上，且AE ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（）
A ．3：4
B 13:25
C 13:26
D ．23 : 13
**5、如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF=
4
1
AD ，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（）A ．∠ABC=60°B．AB ：BC=1：4 C ．AB ：BC=5：2 D ．AB ：BC=5：8
**６如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结
论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
二、填空题：
*7如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边
的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积
S2
的大小关系是
**8 在▱ABCD中，∠DAB的平分线分对边BC为3cm和5cm两部
分，则▱ABCD的周长为
**9、如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
三、解答题：
*10如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交
于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并
说明理由．
**11如图，在平行四边形ABCD中，∠B AD=32°．分别以BC、CD为
边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA；
（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．
**12（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE ∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．。