直线的点法向式方程
空间直线的点法式方程公式
空间直线的点法式方程公式
空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用点法式方程公式来表示。
点法式方程公式是指通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的方程。
在三维空间中，点法式方程公式可以表示为：
(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量。
点法式方程公式的优点是可以用来表示任意方向的直线，而不仅仅是水平或垂直的直线。
此外，它还可以用来表示直线的位置和方向，因为它包含了直线上的一点和直线的方向向量。
在实际应用中，点法式方程公式可以用来解决许多问题。
例如，可以用它来计算两条直线的交点，或者计算一条直线与一个平面的交点。
此外，它还可以用来计算直线的长度、角度和距离等。
需要注意的是，点法式方程公式只适用于直线，而不适用于曲线。
如果要表示曲线，需要使用其他的方程形式，如参数方程或极坐标方程。
点法式方程公式是三维空间中表示直线的一种常用方式。
它可以用来表示直线的位置和方向，以及解决许多实际问题。
在学习和应用中，需要注意其适用范围和注意事项，以充分发挥其作用。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
第二节 直线方程的点向式与点斜式
典例解析
【举一反三3】 已知直线l的法向量n＝(－3，2)，并且与 x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．
解：∵直线l的法向量n＝(－3，2)， ∴可设直线l的方程为－3x＋2y＋C＝0， 又∵直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为12， ∴ 1 | C | | C | ＝12，解得C＝±12，
它的一个法向量为_(_－__2_，__1_) ． 8．直线ax－y＋a＝0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是
___a_－__1__．
【提示】 分别令x＝0，y＝0得直线在y轴、x轴上的 截距分别为a，－1，所以直线在两坐标轴上的截距之和 为a－1.
同步精练
9．经过点A(2，1)，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l 的方程为__3_x_－__2_y－__4_＝__0_．
典例解析
【例1】 求过点P(－1,2)，一个法向量为n＝(2，1)的直 线的方程．
2x＋y＝0
【解析】 此题可由直线的点法式方程求得，也 可以由一般式用待定系数法求得．
方法一：将点P(－1，2)代入直线的点法式方程A(x －x0)＋B(y－y0)＝0，整理可得直线方程为2x＋y＝0.
方法二：由于法向量为n＝(2，1)，可设直线方程为 2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，2)可得C＝0，即直线方程 为2x＋y＝0.
典例解析
【例2】 已知点A(－1，2)，B(－1，4)，求线段AB的垂
直平分线方程．
y＝3
【解析】 由题意可知线段AB所在的直线的斜率不
存在，∴线段AB的垂直平分线的斜率为0，∵线段AB的
中点为
1 1 2
,
2
2
4
，即其垂直平分线经过点(－1，3)，
11.1.2直线的点法向式方程(导学稿)
§11.1.2直线的点法向式方程
【课型设置：自研+互动10分钟+展示30分钟】
班级姓名编号 NO：日期: 2012-02-08
一、学习目标：1、体会点法向式方程的建立过程，理解法向量的含义，掌握点法向式方程；
2、能根据题意写出直线的点法向式方程。
11.1.2直线的点法向式方程（练习部分）
（时段：自习课 ， 时间：30分钟 ）
1.求过点P 且垂直于n 的直线l 的点方向式方程。
（1）P )0,0(，n =)1,1( （2）P )2,5(，n =)2,0(
2.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,3(),2,3(),8,3(--C B A 。
（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）求AB 边上中线CM 所在直线的方程； （3）求BC 边上高AD 所在直线的方程。
3.已知∆ABC 的三个顶点A （4，0）、B （6，7）、C （0，3），求此三角形BC 上高AD 所在直线方程。
4.已知原点O 在直线l 上的射影为)1,2(-H ，求直线l 的方程。
（提示：过点O 向直线l 作垂线，垂足H 为“射影”。
）
5.已知)4,7(-A 、)6,5(-B 两点，求线段AB 的垂直平分线的方程。
6.已知在ABC ∆中，
90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为)2,4(、)8,2(，向量)2,3(=d ，且d 与AC 平行，求ABC ∆的两边所在直线的方程。
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。
这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。
本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。
一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。
具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。
具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。
向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。
因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用不同的形式来表示。
本文将介绍空间直线的几种常见的表示方法。
1. 参数式表示法在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
因此，我们可以用参数式表示法来表示空间直线。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个参数式表示法比较容易理解，也比较方便使用。
2. 点向式表示法点向式表示法是一种简单的直线表示方法，它只需要知道直线上的两个点和一个方向向量。
假设直线上有两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式表示为：r = P1 + t(P2 - P1)其中r为直线上的任意一点，t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较简洁，但是需要知道直线上的两个点。
3. 一般式表示法一般式表示法是一种比较复杂的直线表示方法，它可以表示任意一条直线。
假设直线的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，则该直线的一般式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较复杂，但是可以表示任意一条直线。
4. 交点式表示法交点式表示法是一种比较特殊的直线表示方法，它适用于两条直线的交点。
假设两条直线分别为L1和L2，它们的参数式方程分别为： L1: x = x1 + a1t1, y = y1 + b1t1, z = z1 + c1t1L2: x = x2 + a2t2, y = y2 + b2t2, z = z2 + c2t2 则L1和L2的交点可以用交点式表示为：x = x1 + a1t1 = x2 + a2t2y = y1 + b1t1 = y2 + b2t2z = z1 + c1t1 = z2 + c2t2这个表示法只适用于两条直线的交点，但是在实际问题中也比较常见。
高一数学教案：直线点法向式方程、直线的一般式方程教案
资源信息表11．1 （２）直线方程上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力. 二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的． 2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x x b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化从上面的推导看，法向量是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x [说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求 （1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示；那么每一个关于yx ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，方程可化为()0cax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)cb -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0axc +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)ca -且垂直于x 轴的直线.所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程. ３、例题解析例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 （1）解一：(4,3),(3,4n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=. 解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.（2）解一：1l的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=. 解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x …… 2(1)3(1)0x y +++=、4（x+4）+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，并且有无数个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n 变式：直线0=++c by ax 的方向向量可以表示为()a b -,λ 直线0=++c by ax 的法向量可以表示为()b a ,λ[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习1、（1）若直线过两点(,0),(0,)A a B b ，则,a b 分别叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；（2）若过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程. 2、 已知直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分别交于,A B 两点.（1）若P 为AB 中点，求直线l 的方程；（2）若P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程. 3、已知直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数（1）求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）记（1）中的定点为P ，若l OP ⊥（O 为原点），求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.6、已知两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：经过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系. ３、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8 补充作业：直线320x y -+=的单位法向量是___________.直线l 的一般式方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________. 过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值. 已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l 是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈证明：直线l 过定点；若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计说明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。
高二数学直线的点法向式方程和直线的一般式方程(2019年)
直线的点法向式方程 和直线的一般式方程
上海市控江中学 朱敏慧
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂， 首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制 造企业。 ；
秦民见行 安居则以制猛兽而备非常 六月晋 赵分 不足引它过以诛也 复弛商贾之律 气甚怒至 邑三千户 故大司马霍光有安宗庙之功 大惊 时奋年十五 刘歆以为六月 繇是知名 我念孺子 优游不断 官比司直 故赐谥曰缪侯 并侍左右 天下号曰 汉 而无堤防雍塞之文 三月 今既稽古 自帝 其国 食其见 夏四月 八曰阳平顷王戚祢昭庙 随流而攘 授民时 谥曰肃侯 好读书 资质淑茂 将生淫惑篡弑之祸 以备胡 越 天狗 《相六畜》三十八卷 兹谓亡上 吴大破之 使当户且渠雕渠难 郎中韩辽遗朕马二匹 汉之傅 相称病而赐罢 到
高考数学新教材专题09 直线方向向量和法向量的应用
专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。
直线公式汇总
直线公式汇总1.斜率和倾斜角公式：1）①若直线的倾斜角为α, 则tan 2k παα⎛⎫=≠⎪⎝⎭. ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则()211221y y k x x x x -=≠-.2）①直线倾斜角的范围：[)0π,；②当0k >时，arctank α=；当0k <时arctank απ=+2.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+= 3.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).4.直线的方向向量和法向量：设()()111222P x ,y ,P x ,y 是直线:0l Ax By C ++=上的不同两点，那么向量12PP 以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若()()111222P x ,y ,P x ,y ，则12PP 的坐标为()2121x x ,y y --；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即210x x -≠，直线的斜率k 存在时，那么()1,k 是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为()10,；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为（－B ，A ），法向量为（A ，B ） 5.直线的向量式方程：1）点方向式方程：直线经过点()00P x ,y ，向量()d u,v =()0uv ≠是直线的一个方向向量，那么直线的方程可以写成：00x x y y u v--=. 2）点法向式方程：直线经过点()00P x ,y ，向量()n a,b =是直线的一个法向量，那么直线的方程可以写成：()()000a x x b y y -+-=.6. 两条直线的夹角公式 ：（夹角的取值范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，）1） 设111:l y k x b =+；222:l y k x b =+，①当121k k ≠- 时，1l 与2l 的夹角为θ，则 1212tan 1k k k k θ-=+；②当121k k ≠- 时，两直线的夹角为2π. 2）取直线的方向向量分别为()()11222d b ,a ,d b ,a =-=-，则两直线的夹角为：12121cos =d d d d a θ⋅=⋅，因为02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，余弦函数在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递减的，所以此时的α是唯一确定的。
点向式方程公式
点向式方程公式嘿，咱今天来聊聊点向式方程公式。
说起这点向式方程公式啊，它在数学的领域里可有着不小的作用。
就好像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多几何问题的谜团。
先给您讲讲点向式方程公式到底是啥。
它一般用来描述直线的方程，要是有一个点的坐标，再加上直线的方向向量，那就能把这条直线的方程给确定下来。
比如说，有个点 A(x₁, y₁, z₁)，还有个方向向量 v= (a, b, c) ，那这条直线的点向式方程就是 (x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z- z₁) / c 。
还记得我当年上高中的时候，有一次数学考试，就有一道关于点向式方程的大题。
当时我一看那题，心里就“咯噔”一下，觉得有点难。
题目是这样的：给了一个点 B(2, 3, 1) ，方向向量是 (1, -2, 3) ，让求这条直线和某个平面的交点。
我就赶紧拿起笔，按照点向式方程的公式，一步步地去算。
可算着算着，我就有点晕乎了，感觉自己好像算错了。
这时候我就深吸一口气，告诉自己别慌，重新又理了一遍思路。
我仔细地对照着公式，检查每一步的计算，终于发现是中间有个符号给弄反了。
最后算出了正确答案，那次可真是让我深刻体会到了点向式方程公式的重要性，也让我明白，做题得细心，不能马虎。
咱们再来说说这公式在实际生活中的应用。
您想想，比如说建筑设计，工程师要确定一条钢梁的位置和走向，那点向式方程公式就能派上用场啦。
还有在计算机图形学里，绘制三维图形的时候，也得靠它来准确地描述线条的位置和方向呢。
学习点向式方程公式的时候，可别死记硬背，得理解着来。
要多做几道练习题，熟悉熟悉它的用法。
就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能骑得稳稳当当啦。
总之，点向式方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱用心去学，多练习，就能把它掌握好，让它成为咱们解决数学问题的得力工具。
相信您在学习的过程中，也能发现其中的乐趣和奥妙！。
点法式方程和点向式方程公式
点法式方程和点向式方程公式嘿，咱今天来聊聊点法式方程和点向式方程公式。
这两个方程公式啊，在数学的几何世界里，那可真是相当重要的角色！想象一下，你走在一个大大的几何公园里，各种图形、线条在你眼前晃悠。
这时候，点法式方程和点向式方程公式就像是给你指明方向的地图，能让你在这个复杂的公园里轻松找到出路。
先来说说点法式方程。
假设咱有一个平面，平面上有个点P(x₀,y₀,z₀) ，还有一个法向量 n(A,B,C) ，那这个平面的方程就可以写成 A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0 。
这看起来有点复杂是不？别急，咱们来个实际的例子。
记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个点法式方程。
我在黑板上画了一个斜着的平面，然后随便点了一个点，又给出了一个法向量。
同学们一开始都一脸懵，眼睛瞪得大大的，好像在说：“这是啥呀？”我就笑着说：“别着急，咱们一步步来。
”我带着他们从这个点和法向量出发，一点点地推导方程。
到最后，当大家终于搞明白的时候，那脸上露出的笑容，就像解开了一个超级大谜题一样，充满了成就感。
再说说点向式方程。
如果有一条直线，经过点 P₀(x₀,y₀,z₀) ，方向向量是 v(m,n,p) ，那这条直线的方程就可以写成 (x - x₀) / m = (y - y₀) / n = (z - z₀) / p 。
这个方程能帮助我们准确地描述直线的位置和走向。
就像有一次，我带着学生们去操场上做活动。
我让他们站成一条直线，然后指定一个点作为起点，再给他们一个方向。
然后我就问他们，能不能用数学的方式来描述这条直线。
一开始大家都有点不知所措，但是经过一番思考和讨论，终于有人想到了点向式方程。
那一刻，我能感觉到他们对知识的那种兴奋和好奇。
其实啊，点法式方程和点向式方程公式在很多实际问题中都能派上用场。
比如说，建筑师在设计大楼的时候，工程师在规划桥梁的时候，都需要用到这些公式来精确计算和设计。
总之，这两个方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心去理解，多做练习，多联系实际，就能发现它们的魅力和用处。
高一中职数学直线与圆的方程知识点提纲
第九章直线与圆的方程第一节直线的方程一、基本定义：1.直线的方向向量：，通常用表示，一条直线的方向向量不是唯一的。
2.直线的法向量：，通常用表示，一条直线的法向量不是唯一的。
3.直线的倾斜角：，取值范围：4.直线的斜率：，通常用表示，即：。
倾斜角为的直线，斜率不存在。
已知直线上两点求斜率：。
5.截距的定义：，6.方向向量、法向量和斜率：，，，二、直线的五种直线方程1.点向式：，，2.点法式：，3.点斜式：，4.斜截式：，5.一般式：，第二节两直线的位置关系1.当斜率存在时，对于两条直线方程y=k1x+b1,y=k2x+b2有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，当斜率不存在时：当时，两直线重合，当时，两直线平行，斜率不存在直线与斜率为0的直线。
2.对于直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0（A1,A2,B1,B2全不为0）则有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，3.一般地，我们把与直线Ax+By+C1=0平行的直线表示为：，我们把与直线Ax+By+C1=0垂直的直线表示为：，第三节点到直线的距离1.点到直线的距离公式：，特别地，，2.两平行线间的距离：，特别地，，第四节圆的方程1.圆的定义：，2.圆的标准方程：，其中圆心为：半径为：特别地，当圆心为（0,0）时，圆的标准方程为，3.圆的一般方程：，其中圆心为：半径为：其特点：，，第五节直线和圆的位置关系方法一：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断，其中d=直线和圆相离直线和圆相切直线和圆相交方法二：联立方程组根据方程组是否有解及解的个数来判断直线与圆的位置关系：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；。
空间直线方程
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
上的投影。
-2
解 公共部分体在xoy坐标面的投-1影为圆面 0
x2 y2 ax2
1 2
y0
2 1.5
1
0.5
公共部分体在xoz坐标面的-02投-1影为
1
圆
x2 z2 a2
4 0 1
2
y0
-2 -1 0
1
2
2 1.5
直线的法向量和点法式方程
熟 记 公 式
熟 记 公 式
2(x+3)-4(y－5)=0
-2(x-3)- 4(y+5)=0
根据直线 的方程，写出直线 经过的一个已知点P0和直线 的一个法向量 的坐标. 2(x-3)+4(y-5)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
品牌推广规划
BRAND PLANING
直线的法向量和点法式方程
目录
CONTENTS
01
x
04
什么叫方向向量 ？
02
知 识 回 顾
05
与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量
03
知 识 回 顾
06
o
知 识 回 顾
知 识 回 顾
A
B
l1
l2
概 念 形 成
与一条直线 平行 的非零向量叫做这条直线的方向向量
思考： 1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
垂直
法
概 念 形 成
3、同一条直线的方向向量 和 法向量 的位置关系是怎样的？
通常用 表示
问 题 探 究ຫໍສະໝຸດ 问 题 探 究口 答 练 习
口 答 练 习
口 答 练 习 口 答 练 习
x
y
o
图1
P0
经过点P0
画出符合要求的直线
01
03
05
02
04
x
y
图2
o
垂直于非零向量
画出符合要求的直线
画出符合要求的直线
x
y
o
图3
P0
3、既经过点P0又垂直于非零向量
公 式 推 导
2.2.2(1)直线的点法式方程
问题情境
复习：已知直线l过P0(x0,y0)，一个方向 向量为υ＝(υ1，υ2) ，它的点向式方程 是什么样的？
问题:求过点P0且与向量n＝(A，B)垂直的 直线的方程，那么如何求这个方程？
建构数学
如图(9－7)已知点 P0(x0,y0), n=(A,B) 且n 是非零向量，求过点 P0(x0,y0) ，且与向量n垂 直的直线的方程。
点法式方程的推导
设P (x,y)是一动点，则
r uuuur
r uur uuur
n p0 p 0或n(op op0) 0
即A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 这个方程叫做直线的点法
式方程，(A,B)叫做直线的 法向量.
直线的法向量与方向向量的关系.
直线l的法向量为n＝(A，B) ， 设， υ ＝(B，-A)， 则有n·υ ＝A×B＋B×(-A)＝0. 所以n⊥υ.这就是说，如果是直线l的一
3．直线的法向量和直线的方向向量有互相垂 直：课本P41练习T6
课堂小结
1．过一点P0(x0,y0),且与一个非零向量 n=(A,B)垂直确定一条直线，这条直线的点法 式方程为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. n=(A,B)叫 这条直线的法向量.直线的法向量不唯一.
2．注意点法式方程的特点与直线的点向式方 程υ2 (x-x0)一υ1 (y-y0) =0，其中υ＝ (υ1 ,υ2)为方向向量之间的区别.
个法向量，则向量υ ＝(B，-A)就是直线 l的一个方向向量.
数学应用
例1过点A(3，2)，且与向量n ＝(3，-4) 垂直的直线方程.
练习：课本P40练习T1
数学应用
例2 求直线方程3x-4y-1＝0的一个法向 量和一个方向向量
空间直线的点向式方程
空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程是描述空间直线的一种常用方法，它是由直线上一点和直线的方向向量所确定的。
在三维空间中，一条直线可以用以下的点向式方程表示：P = P0 + tV其中，P0是直线上的一个已知点，V是直线的方向向量，t是一个实数，表示从P0出发沿着V方向走了多远到达了点P。
点向式方程的优点在于它可以很方便地表示直线上的任意一点，只需要给出t的值即可。
同时，由于方向向量V的存在，点向式方程也可以很容易地描述直线的方向和倾斜程度。
点向式方程的推导可以从直线的一般式方程开始。
一般式方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是方向向量的三个分量，D是一个常数。
如果我们将D移到等号右边，可以得到：Ax + By + Cz = -D这个方程可以看作是一个平面的方程，它的法向量就是(A,B,C)。
因此，我们可以将直线的方向向量取为平面的法向量，即：V = (A,B,C)接下来，我们需要找到直线上的一个点P0。
由于直线与平面的交点不一定在坐标轴上，我们可以选择一个方便计算的点作为P0。
例如，我们可以令z=0，求出x和y的值，得到一个点P0(x0,y0,0)。
这个点在平面上，因此它满足方程：Ax0 + By0 + C*0 = -D即：Ax0 + By0 = -D我们可以将这个点和方向向量代入点向式方程中，得到：P = P0 + tV= (x0,y0,0) + t(A,B,C)= (x0+tA, y0+tB, tC)这就是点向式方程的最终形式。
我们可以看到，这个方程可以很方便地表示直线上的任意一点，只需要给出t的值即可。
同时，由于方向向量V的存在，点向式方程也可以很容易地描述直线的方向和倾斜程度。
总之，点向式方程是描述空间直线的一种常用方法，它可以很方便地表示直线上的任意一点，同时也可以描述直线的方向和倾斜程度。
在实际应用中，点向式方程可以用于计算直线与平面的交点、直线与直线的交点等问题，是一种非常有用的工具。
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11.1直线的方程（2）
教学目标：掌握直线的点法向式方程.
教学难点：理解直线的点法向式方程的推导；法向量和方向向量的转化.
知识链接：
1.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a //”的充要条件是
2.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a ⊥”的充要条件是 学习探究：
探究1：已知直线l 过点)1,3(-P 且与向量)1,2(-=n 垂直，思考并回答下列问题：
（1）这样的直线是唯一的吗？（2）若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.
探究2：已知直线l 过点),(00y x P 且与非零向量),(b a n =垂直，若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.
例题：在ABC ∆中，已知()()1364--，，，
B A 和()54-，
C ，求： （1）高A
D 的方程. （2）BC 边的方程（2）BC 边的中垂线l 的方程.
思考1：向量),(),,(),(b a t b a n b a m -=-==与有怎样的位置关系？
思考2：如何根据直线方程求该直线的法向量和方向向量！！！！！
0:=++c by ax l ，则法向量=n 方向向量=d
练习1：已知直线l 经过A （-3,4）、B （2，-1）两点,且与向量),1(m n =垂直，求m
练习2：已知21n n 、分别是直线21l l 与的法向量，则“21l l ⊥”是“21n n ⊥”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件 写出下列直线方程的一个法向量n ：
（1）y x 312=- （3）3=y （4）02=+x 作业（2014.12.23）
1.写出下列直线的一个法向量和一个方向向量
（1）直线0123=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（2）直线62)1(3=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（3）直线01=-x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（4）直线0=y 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（5）直线
3
221+=-y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
2.依据下列条件，求出直线l 的点法向式方程：
（1）过点P （2，-3），与向量)2,3(-=n 垂直.
（2）过点P （-3，0），方向向量)5,3(=d ；
3.先求过点A （3，0），B （-2，1）两点的直线的点方向式方程，再化为一般式.
4.在ABC ∆中，()()1364--，，，
B A ，()54-，
C ，求中线BM 、高CN 的一般式方程.
5.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.
6.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.。