最短距离问题分析(20200930075549)

最短距离问题(课时一)

课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是 中考的热

点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题， 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三 边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)和利用一次函数和二次函数的性质求最值。

教学流程：

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

I 、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最

小值

n 、归于几何模型， 这类模型又分为两种情况：

(1) 归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这 一模

型。

(2)

归于“三角形两边之差小于第三边”。 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一

模型。

几何模型：

1. 立体图形中，表面折点距离最短问题。

2. 平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。 模型应用:

12cm 底面周长为18cm 在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只

例1.如图1,圆柱形玻璃杯高为 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm

li

图1

ta ............................................ ,

< ---------------------------------- >

例2.如图2,正方形 ABCD 的边长为2,

E 为AB 的中点, P 是AC 上一动点•则 PB PE 的最小值是

蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿

图3

变式1 •如图3所示，正方形ABCD的面积为12, △ ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角

x 沿直线运动到点 A ，求使点P 运动的总路程最短的点

线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（

变式2 •如图4, O O 的半径为2，点A 、B 、C 在O O 上，OA OB , AOC 60° P 是OB 上一动点,

求PA PC 的最小值;

熟能生巧：

1 （台州）如图，菱形ABCD 中, AB=2, / A=120° ,点P, Q, K 分别为线段 BC, CD , B D 上的任意一点，贝U PK+QK 的最小值为（ ）

长最小时，则/ AMN 乂 ANM 的度数为（

C. 2

A . 130° B. 120° C. 110° D. 100°

例3. 一次函数y kx b 的图象与X 、y 轴分别交于点 A （2, 0）, B （0, 4）

（1） 求该函数的解析式；

（2） O 为坐标原点，设 OA AB 的中点分别为 C 、D, P 为OB 上一动点，

求PO PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标.

3 18

例4.如图，抛物线y x 2 X 3和y 轴的交点为A, M 为OA 的中点，若有一动点P ,自M 点处出发,

5 5

沿直线运动到x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F ），最后又

/ BAD=120，/ B=Z D=90 M 汕使厶AMN 周

孰能生巧:

1已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A B两点，与y轴交于点c,其中A(-3,0)、B(1,0) C(0,-2).

D

寸称轴上存在一点P,使得△ PBC的周长最小•请求出点P的坐标.

是线段OC上的一个动点(不与点O点C重合).过点D作DE // PC交x轴于点E.连接PD、m, △PDE的面积为S•求S与m之间的函数关系式•试说明S是否存在最大值，若

存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

总结：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间

的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”

择优而用：

1.如图，E，F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足AE= DF.连接CF交BD于G连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是多少

2 .(天津市)在平面直角坐标系中，矩形OACE的顶点O在坐标原点，顶点A B分别在x轴、y轴的正半轴

上, OA= 3，OB= 4，D为边0B的中点.

(I)若E为边0A上的一个动点，当△ CDE勺周长最小时，求点E的坐标;

(1)求这条抛物线的函数表达式.

A E 1 (2

占

八

(3

设CD的长为

P

1题图

(H)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF = 2,当四边形 CDEF 勺周长最小时，求点 E 、F 的坐标.

的周长最小求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长;

(4)设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点 P ，使 CPN 90°若存在，请直接写出点 P 的坐标。 3.如图，在矩形OABC 中,已知A 、C 两点的坐标分别为A(4,°、C (0,2)，

D 为OA 的中点.设点P 是 AOC 平分线上的一个动点(不与点O 重合)

(1) 试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；

(2) 当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过 O 、P 、D 三点的抛物线 的

解析式；

(3)设点E 是(2)中所确定抛物线的顶点，当点

P 运动到何处时，△ PDE