最短距离问题分析(20200930075549)
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
初中数学最短距离问题分类及解题策略
初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。
虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。
通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。
一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。
在连接两点的所有线中，最短。
简称。
2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。
在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。
简称。
3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。
4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。
二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。
作出CG最短时的图形。
连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。
垂线段最短利用相等线段转化。
无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。
找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。
三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。
空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。
中考总复习专题--最短距离
中考总复习专题最短距离一、最短距离中的解题依据及解题思路：1、考查知识点：两点之间线段最短” 垂线段最短” 点关于直线对称”，。
2、原型：考题较多的是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
3、解题总思路：找点关于动点所在直线为对称轴的对称点，实现折”转直” 其中，一个动点折线”转直”通常找一个对称点、两个动点中折线”转直”通常找两个对称点。
最终转化为两点之间的距离。
即建立最短距离数学模型是解题的关键。
二、例题讲解1、在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE 的值最小.则BP+PE的最小值为1、如图正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值为3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A ( 2，0)，B (0，4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，求PO PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.4、已知O O的直径CD为4,弧AD的度数为60°点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.PO=1Q Q R分别是OA OB上的动点，求△ PQRP是/ AOB内一点,课后练习题1. （2016 •苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3, 4），D是OA的中点，点E在AB 上,当厶CDE的周长最小时，点E的坐标为。
yi2.（2015玉林）已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC CD的动点（均不与顶点合），当四边形AEPC的周长取最小值时，四边形AEPQ勺面积是________.第2题3、（2016雅安）如图，在矩形ABCD中，AD = 6，AE丄BD，垂足为E，ED = 3BE，1 24.如图，抛物线y= 2X + bx —2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A( —1, 0).（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;尸护—芬 2 = 2x2 —3x—2=（要求：画出图形即可）2（x—2）2—¥，二顶点D的坐标为（2，—25）⑵点M是x轴上的一个动点，当厶DCM的周长最小时，求点M的坐标;(3)点N是对称轴上的一个动点,当厶NCA的周长最小时，求点N的坐标;点N是对称轴上的一个动点,当|PC -PB|的值最大时，求点P的坐图（3）图（3）⑷(4)。
初中数学最短距离题型实例解析
初中数学最短距离题型实例解析1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
问题原型“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。
涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
出题背景角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
12个基本问题例题一：已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1).(1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。
(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形ABCD的周长最短时，求a 的值；(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。
问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。
若不存在，请说明理由。
例题二：应试小技巧一、进入考场，首先要做的是让自己冷静下来。
具体做法是：首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”。
二、开考铃声响前有5分钟时间让你浏览试卷。
此时不可用笔答题，否则违反考纪。
你可以一边深呼吸，一边看试卷，但切记不可看作文题，以免影响答题情绪。
三、开考铃声响后允许答题。
答题过程中要注意避免以下几种心态：1、偏急心态，为了抢时间，没有审清题目条件，慌忙答题，解决方法是心中默念：“匆忙做题，做了也白做”。
2、固执心态，久攻不下的试题，又不愿意放弃，徒然浪费时间，解决方法是心中默念：“我攻不下，别人也攻不下，暂时先搁着，做了其它题目后或许会有灵感”。
四、时间安排策略分配时间要服从于考试成功的目的，基本原则就是保证在能够得分的地方不丢分，不容易得分的地方争取尽可能多得分。
最短距离求解题技巧
最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
立体几何中最短距离的求解策略
立体几何中最短距离的求解策略
在立体几何中，最短距离指的是从一点到另一点之间最短可到达的距离，也叫最短链接距离。
面对复杂的立体几何问题，如何求解最短距离，给出解决策略是非常有必要的。
解决立体几何中最短距离的求解策略主要分为三个步骤：
首先，我们需要分析最短距离的特点，也就是所谓的“直线最短”原则，也就是几何图形中的任意两点之间的最短距离必须是直线距离。
其次，根据几何图形的形状和特性，求解具体问题中的最短距离。
例如，分析棱柱之间的最短距离是什么，棱柱之间最短距离为棱柱的直径；分析球面上任意两点之间的最短距离是什么，球面任意两点之间的最短距离是一个弧线的弦长。
最后，运用数学原理求解最短距离的问题，按照古典几何计算思路，计算出最短距离的标准式；其次，运用现代几何理论，使用科学计算方法给出解决最短距离问题的数值解。
以上是解决立体几何中最短距离的求解策略，主要有分析最短距离特点、根据形状和特性求解具体最短距离、运用数学原理求解最短距离三个步骤。
做好最短距离求解既是立体几何研究的重点，也是解决实际工程问题的重要基础。
最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。
初中数学最短距离问题分类及解题策略
初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。
虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。
通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。
一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。
在连接两点的所有线中，最短。
简称。
2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。
在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。
简称。
3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。
4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。
二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。
作出CG最短时的图形。
连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。
垂线段最短利用相等线段转化。
无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。
找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。
三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。
空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。
行测 几何最短距离
最短距离
当直线的两侧存在两点，要在直线上找一点，使直线上该点到两点的距离之和最短，我们只需要连接这两点，它与直线的交点即为所求点。
这是因为两点之间线段最短。
但如果出现如下图直线ab的同侧有两点M、N，此时在ab上找一点O，使OM+ON最短，如何找呢？我们依然要用到“两点之间线段最短”，只不过需要借助于“轴对称点”，具体做法为：
做法：
1.以直线ab为对称轴，做M的对称点M`；
2.连接M`N与直线的交于O，点O即为所求点。
理论比较抽象，我们通过例题来看：
【例1】
A，B两村庄分别在一条公路L的两侧，A到L的距离丨AC丨为1公里，B到L的距离丨BD丨为2公里，C、D两处相距6公里，欲在公路某处建一个垃圾站，使得A、B两个村庄到此处处理垃圾都比较方便，应建在离C处多少公里？
A.2.75
B.3.25
C.2
D.3
【解析】
第一步，本题考查几何问题，属于几何特殊性质类。
第二步，如图所示，若使两个村庄都方便，则垃圾站与A、B的距离之和应尽量小，根据两点之间直线最短，可知垃圾站建在AB所在直线与公路L的交点E处。
第三步，由于∠CEA＝∠DEB，∠ACE＝∠BDE＝90°，可
知△AEC∽△BED，有，由于CE＋DE＝6，故CE ＝6×（1/3）＝2，即垃圾站应建在离C处2公里。
因此，
选择C选项。
我们发现上题中，A、B两点位于直线的两侧，只需要连接AB即可找到点E；但近些年出现A、B两点位于直线的同
侧的考题较多，下面来看关于A、B两点位于直线同侧的题目。
数学最短路径问题讲解
数学最短路径问题讲解数学中的最短路径问题是一个经典的优化问题，主要涉及在图或网络中找到两个节点之间的最短路径。
这类问题在日常生活和工程中有着广泛的应用，如交通路线规划、网络路由、电路设计等。
最短路径问题的常用算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法适用于没有负权重的图，它从源节点开始，逐步找到离源节点最近的节点，直到找到目标节点。
Bellman-Ford算法则可以处理包含负权重的图，它通过不断地松弛边的权重来找到最短路径。
下面以一个简单的例子来解释最短路径问题：假设我们有一个有向图，其中节点表示城市，边表示道路，边的权重表示两城市之间的距离。
我们要找出从城市A到城市B的最短路径。
首先，我们需要理解最短路径的含义。
最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边的权重之和最小的路径。
如果存在负权重的边，我们需要找到一个路径，使得经过的边的权重之和加上起点的权重（如果起点有权重）最小。
在解决最短路径问题时，我们可以使用图论中的一些基本概念，如路径、权重、源节点、目标节点等。
路径是指从一个节点到另一个节点经过的一系列边，权重是指路径上边的权重之和。
源节点是指我们开始寻找最短路径的节点，目标节点是指我们要找到最短路径的终点。
最短路径问题的求解方法通常包括贪心算法和动态规划。
贪心算法是指每一步都选择当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。
动态规划则是将问题分解为若干个子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解。
在实际应用中，我们还需要考虑一些特殊情况，如图中存在负权重的环、图中存在负权重的边等。
对于这些情况，我们需要使用特定的算法来处理，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路径问题是一个经典的的问题，它的求解方法有很多种。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来处理最短路径问题。
探讨常见最短路程问题
探讨常见最短路程问题最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
一、求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。
已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1）可设计AB+AC路径；（2）可设计AD+BD+CD路径；（3）可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）二、求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，求BN＋MN＋MC的最小值。
三、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。
初二数学精要最短路径问的求解
初二数学精要最短路径问的求解在初二数学的学习中，最短路径问题是一个重要且有趣的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
最短路径问题，简单来说，就是在给定的条件下，找到从一个点到另一个点的最短路线。
这听起来似乎很简单，但实际求解过程中却需要我们运用多种数学知识和方法。
我们先来看看常见的几种最短路径问题类型。
第一种是“两点之间，线段最短”。
这是最基本的原理，比如在平面上有两个点 A 和 B，那么连接 A 和 B 的线段就是它们之间的最短路径。
这个原理看似简单，却在很多问题中都是关键的解题思路。
第二种是“将军饮马”问题。
有一条直线 l 和直线同侧的两个点 A、B，要求在直线 l 上找一点 C，使得 AC ＋ BC 的值最小。
解决这类问题的关键是作其中一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线的交点就是所求的点 C。
第三种是“造桥选址”问题。
有一条河，河的两岸分别有两个点 A 和B，要在河上建一座桥（桥必须与河岸垂直），使得从 A 到 B 的路径最短。
这类问题需要我们将桥的长度平移，然后利用“两点之间，线段最短”的原理来求解。
接下来，我们通过具体的例子来看看如何求解这些最短路径问题。
例 1：在平面直角坐标系中，已知点 A（1，3）和点 B（4，5），求点 A 到点 B 的最短路径长度。
我们可以直接使用两点之间的距离公式：d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂y₁)²，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）分别是两个点的坐标。
将 A（1，3）和 B（4，5）代入公式，得到：d ＝√（4 1)²＋（5 3)²＝√3² ＋ 2²＝√13所以点 A 到点 B 的最短路径长度为√13 。
例 2：如图，直线 l 同侧有 A、B 两点，在直线 l 上求作一点 C，使AC ＋ BC 最短。
我们作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交直线 l 于点 C，点C 即为所求。
最短路径问题方法总结
最短路径问题方法总结嘿，咱今儿就来说说这最短路径问题！你说这生活中啊，可不就到处都是找最短路径的事儿嘛。
就好比你要去一个地方，肯定想走最快最省力的路呀，这其实就是个最短路径问题呢。
先来说说在地图上找路吧，你得会看那些弯弯绕绕的线条，这就像在一个大迷宫里找出口。
有时候你看着好像这条路最近，结果走过去发现有个大堵车，或者路不通，这不就傻眼啦！所以啊，不能光看表面，得综合考虑各种因素。
再打个比方，就像你要去拿个东西，摆在面前有好几条路可以走。
你得想想，哪条路上不会有太多阻碍，哪条路能让你最快拿到。
这可不是随随便便就能决定的哦。
解决最短路径问题，有一种常见的方法叫迪杰斯特拉算法。
这名字听着挺拗口吧，但其实不难理解。
它就像是个聪明的导航，能帮你算出从一个点到其他所有点的最短路径。
想象一下，你站在一个路口，这个算法就像个小精灵在你耳边告诉你该往哪边走。
还有一种叫弗洛伊德算法，它能处理更复杂的情况。
就好像你要在一个超级大的网络里找路，这个算法就能帮你找到那些隐藏的最短路径。
咱平常生活里也经常会碰到类似的问题呀。
比如说你每天上班，怎么走路或者坐车能最快到公司，这就是你的最短路径问题。
你得考虑路上的交通情况、换乘次数等等。
再比如你去超市买东西，怎么在货架之间穿梭能最快拿到你要买的东西，这也是个小小的最短路径问题呢。
那怎么才能更好地解决这些最短路径问题呢？首先你得有耐心，不能着急，得仔细分析各种情况。
然后呢，要多积累经验，就像你知道哪条路经常堵车，下次就避开它。
而且啊，有时候最短路径不一定是最好的路径哦。
就像有时候走一条稍微远点但是风景好的路，心情也会变得超好，这不是也很值嘛！总之呢，最短路径问题可大可小，遍布在我们生活的方方面面。
我们要学会用各种方法去找到最合适我们的那条路。
不管是在地图上找路，还是在生活中做选择，都要好好思考，找到属于自己的最短路径。
别总是盲目地走，要学会动脑子呀！大家说是不是这个理儿呢？。
距离最短或最大问题分析
初中数学专题复习：最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”几何模型：条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：例1 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；例2 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB上一动点，求PA PC +的最小值； 例3 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．解：（1）PB PE +的最小值是5DE = （2）PA PC +的最小值是3 ABA 'Pl（3）PQR ∆周长的最小值是例4 如图，（1），在ABC ∆中，︒=∠==90,2ACB BC AC ，P 为BC 边上一定点，（不与点B ，C 重合），Q 为AB 边上一动点，设BP 的长为)20(<<a a ，请写出PQ CQ +最小值，并说明理由。
最短距离问题分析
最短距离问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
一、基础归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
几何模型：条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB上一动点， 求PA PC +的最小值；(3). （2012•台州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．31+（4）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6ADE PB CA B A 'P lA BP 图1A B C图2 P(5)如图，AC 、BD 为正方形ABCD 对角线，相交于点O,点D 为BC 边的中点，连长为2cm,在BD 上找点P ，使DP+CP 之和最小。
初中最短距离问题的几种
初中最短距离问题的几种好嘞，今天咱们聊聊初中里的最短距离问题。
这可是个很有意思的话题，听起来好像很高深，但其实它就藏在咱们的日常生活中，嘿嘿。
想象一下，咱们要从家里到学校，得走多远？这个问题可是值得思考的。
别看这事儿简单，里面可是藏着不少学问呢。
谁都知道，走路不可能像飞一样直接，但如果你想省点力气，那就得好好琢磨一下最短的路线了。
最短距离问题，简单说就是找出两点之间最省事的路径。
比如说，咱们要从客厅到厨房，直接穿过去就好了。
可要是有个沙发挡着，嘿，那就得绕一下。
这样一来，大家都开始捉摸起这个问题的解决方案。
有些人可能会说，直接就走最短的路呗，没啥好考虑的。
可实际情况可复杂得多，走这条路的时候，可能会遇到大大的麻烦，比如小狗在那儿趴着，或者有个玩具挡路。
真是让人又想笑又想哭。
再比如，咱们要去个商场，前面堵车堵得严严实实，咋办呢？你肯定不会傻傻坐在车里等，肯定会想，换条路试试。
走得越多，咱们就越聪明。
就像我有个朋友，他每次去学校都爱换路线，老是找新路。
第一次我还以为他是在逗我，结果一问，发现他早就把那些小巷子都摸得一清二楚。
人家就是这么机灵，心里想的可不是单纯的走，而是找出那条省时又省力的路。
说到这里，大家可能会想，这个最短距离问题跟学习有什么关系呢？嘿，关系可大了去了。
就像咱们学习知识一样，不是所有的知识都得像书本上那样逐字逐句地啃。
有些捷径能让你事半功倍。
你可能会想，学数学的路上，有时候绕来绕去，最终发现直接用公式就能解决问题，这就是最短距离的另一种体现。
其实在生活中，最短距离的问题无处不在。
你有没有想过，咱们每天做的决定，也是在寻找最短路径？比如说，今天想吃什么，往往一开始脑海里会蹦出好多种选择。
可是等你想了半天，最后还是回到了最爱的那个地方。
就是那种感觉，绕来绕去，最后还是回到了起点。
这就是生活给我们的小调皮，让我们在最短的时间内做出最好的选择。
最短距离问题在团队协作中也同样重要。
想象一下，几个同学一起做项目，大家都在忙着各自的部分，但如果没人理清楚路线，最后的成果可就得打折扣。
例谈最短距离问题的求解
例谈最短距离问题的求解求最短距离，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，近几年的中考试题也是屡出屡新，解法灵活多样，本文试举例探讨该类问题一些常见的求解方法，仅供读者参考。
一、 基本类型现本质1、 在某一直线上找一点，使它到该直线同侧的两点距离之和为最短。
该类除课本的基础题外，有许多题有不同的几何和现实背景，表现形式多样。
如：例1、如图1，正方形ABCD 中，AB=8，M 是CD 上的点，且DM=2，N 是AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
.（图1） （图2）（图3）（图4） 例2、如图2，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=DC=4，BC=8，点N 在BC 上，CN=2，E 是AB 的中点，在AC 上找一点M ，使EM+MN 的值最小，此时最小值等于（ ） 例3、如图3，在锐角△ABC ，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 （ ）例4、如图4，A 点是半圆上一个三等分点，B 点AN 的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙O 的半径为1，则PA+PB 的最小值是( ).通过解答以上四例，可以看出该类都是先利用轴对称的思想，在各种背景下，找出某一点的对称点，再根据“两点之间，线段最短”的原理求解 。
2、立体面上两点间的最短问题，一般根据立体展开后，在可能的路线中通过计算，得出最短路程。
在教材中有长方体、圆锥、圆柱等几何形体诸如蚂蚁找食类的题。
二、克服定势求正解例5、（2007山西20）.如图 ，直线l 是一条河 ,P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 的距离分别是2千米、5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水。
）A B C D 上例中，我们很容易受定势影响，选了B ，需认真审题，看清要求作答。
有幸的是此类在2008年河北省23题课题学习的形成出了一道综合题，详细分析解答同时体现了分类讨论的思想。
第三讲 最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB与对称轴的交点M即为所求。
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最短距离问题(课时一)
课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是 中考的热
点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题， 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三 边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)和利用一次函数和二次函数的性质求最值。
教学流程：
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
I 、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最
小值
n 、归于几何模型， 这类模型又分为两种情况：
(1) 归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这 一模
型。
(2)
归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一
模型。
几何模型：
1. 立体图形中，表面折点距离最短问题。
2. 平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
模型应用:
12cm 底面周长为18cm 在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只
例1.如图1,圆柱形玻璃杯高为 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm
li
图1
ta ............................................ ,
< ---------------------------------- >
例2.如图2,正方形 ABCD 的边长为2,
E 为AB 的中点, P 是AC 上一动点•则 PB PE 的最小值是
蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
图3
变式1 •如图3所示，正方形ABCD的面积为12, △ ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角
x 沿直线运动到点 A ，求使点P 运动的总路程最短的点
线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（
变式2 •如图4, O O 的半径为2，点A 、B 、C 在O O 上，OA OB , AOC 60° P 是OB 上一动点,
求PA PC 的最小值;
熟能生巧：
1 （台州）如图，菱形ABCD 中, AB=2, / A=120° ,点P, Q, K 分别为线段 BC, CD , B D 上的任意一点，贝U PK+QK 的最小值为（ ）
长最小时，则/ AMN 乂 ANM 的度数为（
C. 2
A . 130° B. 120° C. 110° D. 100°
例3. 一次函数y kx b 的图象与X 、y 轴分别交于点 A （2, 0）, B （0, 4）
（1） 求该函数的解析式；
（2） O 为坐标原点，设 OA AB 的中点分别为 C 、D, P 为OB 上一动点，
求PO PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标.
3 18
例4.如图，抛物线y x 2 X 3和y 轴的交点为A, M 为OA 的中点，若有一动点P ,自M 点处出发,
5 5
沿直线运动到x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F ），最后又
/ BAD=120，/ B=Z D=90 M 汕使厶AMN 周
孰能生巧:
1已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A B两点，与y轴交于点c,其中A(-3,0)、B(1,0) C(0,-2).
D
寸称轴上存在一点P,使得△ PBC的周长最小•请求出点P的坐标.
是线段OC上的一个动点(不与点O点C重合).过点D作DE // PC交x轴于点E.连接PD、m, △PDE的面积为S•求S与m之间的函数关系式•试说明S是否存在最大值，若
存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
总结：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间
的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
择优而用：
1.如图，E，F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足AE= DF.连接CF交BD于G连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是多少
2 .(天津市)在平面直角坐标系中，矩形OACE的顶点O在坐标原点，顶点A B分别在x轴、y轴的正半轴
上, OA= 3，OB= 4，D为边0B的中点.
(I)若E为边0A上的一个动点，当△ CDE勺周长最小时，求点E的坐标;
(1)求这条抛物线的函数表达式.
A E 1 (2
占
八
(3
设CD的长为
P
1题图
(H)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF = 2,当四边形 CDEF 勺周长最小时，求点 E 、F 的坐标.
的周长最小求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长;
(4)设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点 P ，使 CPN 90°若存在，请直接写出点 P 的坐标。
3.如图，在矩形OABC 中,已知A 、C 两点的坐标分别为A(4,°、C (0,2)，
D 为OA 的中点.设点P 是 AOC 平分线上的一个动点(不与点O 重合)
(1) 试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；
(2) 当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过 O 、P 、D 三点的抛物线 的
解析式；
(3)设点E 是(2)中所确定抛物线的顶点，当点
P 运动到何处时，△ PDE。