22有理数和无理数

正整数：如 1，2，3，L
正数
正分数：如
1 2
，5.3，8 3
，L
零： 0
负整数：如-1，-2，-3，L
负数
负分数：如

1 ，-3.5，5
5 6
，L
正整数：如 1，2，3，L
正有理数
正分数：如
1 ，5.3，8
2
3
，L
零： 0
负整数：如-1，-2，-3，L
负有理数
负分数：如

1 5
，-3.5，-
56 ，L
思考： 还有没有别的分类方法？
能否将有理数按照是否正有理数或是 否负有理数来分类？
我们说：自然数的全体组成自然数集.
同样的，整数的全体组成整数集。
本校初一学生组成一个集合。
我们把具有某一特征的一类事物的全 体叫集合.
含有无限个元素的集合我们称为无限集， 例如：自然数集，整数集；含有有限个元素 的集合叫有限集，例如：本校全体初一学生 组成的集合等等。
无限循环小数 无限循环小数 无限循环小数
有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此它
们都是 有理数
❖ 面积为2的正方形，边长a究竟是多少？ ❖ 即a2=2时，a是多少？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ❖ 3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?
❖ 边长a的整数部分是几? 十分位是几?百分 位呢?千分位呢?......借助计算器进行探索
7
4
大家有没有观察到：刚才老师把小数也分进 分数里去了。那上面的那些小数能不能说它 们是分数？为什么？那它们是不是有理数？
说明：我们把有限小数和无限循环小数统称为分数
是不是所有的小数都是分数？都是有理数？你能 举个例子吗？
• 注意: • 现在我们学的数中,除了含∏的数,都是有
理数.
• 小数属于分数.
12
4
…… 整数集合
…… 偶数集合
…… 有理数集合
…… 非负数数集合
3.下面两个圈中分别表示正数集合和整数集合， 请在每个圈中填6个数，其中3个数既是正数又是 整数，这3个数应填在哪？你能说出着两个圈的 重叠部分表示什么数的集合吗？
正数集
整数集
m
我们把能够写成分数形式
n
的数叫 有理数
（m、n是整数且 n 0
2 3
-5.232323…
..
4.96
π
3
3.14159…
0.1234567891011…(由相继的正整数组成)
❖ 判断对错 ❖ (1)有限小数是有理数; ❖ (2)无限小数都是无理数; ❖ (3)无理数都是无限小数; ❖ (4)有理数是有限小数.
❖ 结论：
❖ C=1.25992105…它也是一个无限不循环小数
定义
❖ 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 ❖ 反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
❖ 无限不循环小数叫做无理数
更多无理数
❖ a=1.41421356… ❖ b=2.2360679…
❖π=3.14159265…
❖ 0.58588588858888…（相邻两个5之间8的 个数逐次加1）
❖ 把下列各数表示成小数，你发现了什么？
❖ 3 ， 4/5， 5/9， -8/45， 2/11
❖ 4/5=0.8 ❖ 5/9=0.555555555555555… ❖ -8/45=-0.177777777777… ❖ 2/11=0.18181818181818…
0.8 有限小数 0.555555555555555… -0.177777777777… 0.18181818181818…
小明根据他的探索过程整理出如下的表格
边长 a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415
1.4142<a<1.4143
面积s=a2 1<S<4
1.96<S<2.25 1.9881<S<2.0164 1.999396<S<2.002225
1.99996164<S<2.00024449
我们把一些数放在一起，就组成一个数的集合， 简称数集。
所有有理数的集合，称为有理数集。 所有整数的集合，称为 所有分数的集合，称为 所有正数的集合，称为 所有负数的集合，称为 所有正整数的集合，称为
那非负数集是什么数的集合？
非正数集呢？非整数集？非分数集？非正整 数集？非负整数集？非正分数集？非负分数 集？
例1 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理 数? 3.14 , -4/3, 0.57, 0.101000100 0001…(相邻 两个1之间0的个数逐次加2）
解：有理数有： 3.14 , -4/3, 0.57
无理数有： 0.101000100 0001…
随堂练习
❖ 哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351
在学习了负数的概念之后，我们可以 将所有学过的数进行分类：
正整数：如 1，2，3，L
整数 零： 0
负整数：如 1，-2，-3，L
分数
正分数：如
1 ，5.9，5
2
2
，L
负分数：如

1 5
，-3.5，-
5 6
，L
整数和分数统称为有理数。
你能把下面的数分分类吗？
-05..6618，，-3，2，1.65，，34611，0 0，-3.14，5%，
2.1.2 有理数与无理 数
• 奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右， 一与众，.雄与雌，直与曲，正方与长方， 亮与暗，动与静.
• 上面所写的这些对立概念被两千多年前的 著名的“毕达哥拉斯学派”认为是整个宇 宙的10个对立概念.
• 因此两千多年以前人们就认识到，世界是 由许多相互矛盾的事物组成的.你要认识这 个世界，改造这个世界，就要从这些矛盾 的事物入手.既然这是万物的普遍规律，那 么数学也要遵守.
讨论
❖ 还可以继续计算下去么?
❖ a可能是有限小数么? 结论: a=1.41421356……,它是一个无限不循环小数
❖ 估计面积为5的正方形的边长b的值,（结果精 确到十分位）,并用计算器验证你的估计.
❖ 探索:b=? 精确到百分位 ❖结论： ❖b=2.2360679…它也是一个无限不循环小数
同样，对于体积为2的立方体，借助计算器， 求它的棱长
练习3.把下列各数填入相应的集合中
2
-2 , 0 , 3
,
-0.25,
24 11
5.3,
2 7
整数集合{ … } 分数集合{ … }
正数集合{ … } 负数集合{ … }
非正数集合{ … }非负数集合{ … }
2.把下列数填在相应的集合里。
18, 32, 6.3, 5.1,1, 5 , 9.5, 1 , , 0.9