正确区分有理数和无理数
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
七级数学上册2.2有理数与无理数有理数和无理数有什么区别素材(新版)苏科版
七级数学上册2.2有理数与无理数有理数和无理数有什么差别素材(新版)苏科版有理数和无理数有什么差别？负数的出现，致使了减法运算，无理数的出现，致使了开方运算．引入了无理数，数的范围就由有理数扩展到了实数．关于实数的研究，一定先搞清有理数和无理数有什么差别．主要差别有两点：第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无穷循环小数，比方 4=4.0 ； 4 0.8;10.3 而无理数只好写成无穷不循环小数，比方5 32 1.4142L L ,3.1415926L L 依据这一点， 人们把无理数定义为无穷不循环小数．第二，全部的有理数都能够写成两个整数之比，而无理数却不可以写成两个整数之比． 根据这一点， 有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子， 把有理数改叫“比数”， 把无理数改叫“非比数”．原来嘛，无理数其实不是不讲道理，不过人们最先对它太不理解罢了．利用有理数和无理数的定义，能够证明2 是无理数，使用的方法是反正法。
证明：2 是无理数。
假定2 是有理数，即 2a 2 22是偶数。
（ a ，b 为自然数且互质）于是有a =2b , 故 ab2此刻来看当 a 是偶数时， a 是偶数仍是奇数．a 2=(2m+1) 2=4m 2+4m+1由于等式右侧必为奇数，而a 2 是偶数，所以等式不行能建立．故a 必为偶数．22222为偶数，所以 b 也是偶数。
既然a ，b 都是偶设 a=2m ，代入 a =2b 时获得 b =2m ，故 b 数， a就不行能是既约分数，这与假定相矛盾，故2 是无理数。
b依占有理数与无理数的这些差别，也不用担忧化分数22为小数时，它会不会是无穷不7循环小数。
由于全部能够写成n（ n 是整数， m 是自然数）的数必是有理数。
m。
无理数的性质及与有理数的比较
无理数的性质及与有理数的比较在数学领域，有理数和无理数是两个重要的概念。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。
本文将探讨无理数的性质，并与有理数进行比较。
首先，无理数的定义是不能表示为有限小数或分数的数。
最著名的无理数是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。
这意味着π的小数部分永远不会重复。
类似地，根号2也是一个无理数，它不能表示为两个整数的比值。
无理数的这种特性使其在数学中具有重要的地位。
其次，无理数与有理数在数轴上的分布也有所不同。
有理数可以在数轴上找到一个精确的位置，而无理数则是无限不可数的。
这意味着在任何两个有理数之间，都存在无穷多个无理数。
例如，在数轴上的任意两个有理数之间，总能找到一个无理数。
这种无限性使得无理数在数学中具有广泛的应用。
此外，无理数还具有一些特殊的运算性质。
例如，无理数的加法、减法和乘法仍然是无理数。
这意味着两个无理数的和、差或积仍然是无理数。
然而，无理数的除法则可能是有理数。
例如，根号2除以根号2等于1，这是一个有理数。
这种运算性质使得无理数与有理数之间的关系更加复杂。
此外，无理数还具有一些有趣的性质。
例如，无理数的平方是无理数。
这意味着如果一个数是无理数，那么它的平方也是无理数。
这可以通过反证法证明。
假设一个数的平方是有理数，那么这个数本身就是有理数，这与无理数的定义相矛盾。
因此，无理数的平方必然是无理数。
最后，无理数与有理数之间存在一种特殊的关系，即无理数可以通过有理数的逼近来近似表示。
例如，我们可以用有理数来逼近根号2，使得它们的差尽可能地小。
这种逼近方法被广泛应用于实际问题的求解中。
通过有理数的逼近，我们可以获得无理数的近似值，从而更好地理解无理数的性质。
综上所述，无理数具有许多独特的性质，使其在数学中具有重要的地位。
与有理数相比，无理数在数轴上的分布更为广泛，运算性质更为复杂。
无理数的平方是无理数，但它们可以通过有理数的逼近来近似表示。
有理数与无理数的性质
有理数与无理数的性质有理数和无理数是数学中常见的两种数，它们都属于实数的范畴。
本文将详细介绍有理数与无理数的性质，包括定义、性质以及它们在数轴上的表示方法。
一、有理数的定义和性质有理数是可以表达为两个整数的比值形式的数，这两个整数分别为分子和分母。
有理数的定义如下：定义：如果一个数a可以表示为两个整数p、q（q ≠ 0）的比值，即a = p/q，那么a就是一个有理数。
有理数的性质包括：1. 有理数的加法性质：两个有理数的和仍然是有理数。
即若a和b 是有理数，则a + b也是有理数。
2. 有理数的乘法性质：两个有理数的积仍然是有理数。
即若a和b 是有理数，则a × b也是有理数。
3. 有理数的整除性质：若a和b是有理数，并且b ≠ 0，则a/b也是有理数。
4. 有理数的闭包性质：在有理数集合中，任意两个有理数的四则运算结果仍然是有理数。
二、无理数的定义和性质无理数是指不能表示为两个整数的比值形式的数，即无理数无法用有限的小数表示，并且它的小数部分不会重复。
无理数的定义如下：定义：若一个数a不是有理数，那么a就是一个无理数。
无理数的性质包括：1. 无理数的加法性质：两个无理数的和不一定是无理数。
例如，√2和-√2是无理数，但它们的和为0，是一个有理数。
2. 无理数的乘法性质：两个无理数的积不一定是无理数。
例如，√2和√3的乘积√6是无理数。
3. 无理数的闭包性质：在无理数集合中，任意两个无理数的四则运算结果仍然是无理数。
三、有理数与无理数的数轴表示在数轴上，有理数和无理数均可以表示出来。
有理数在数轴上以点的形式表示，例如整数点、分数点等。
有理数的数轴表示是整齐分布的，可以形成一个稠密的数轴。
无理数在数轴上的表示方式是通过长度来描述，例如π和√2等。
无理数在数轴上的表示是不规则的，无法用有限的小数表示，并且不同的无理数之间没有规律可循。
结语：有理数和无理数是实数中的两种重要类型。
有理数通过整数比值的形式来表达，而无理数则是无法用有限的小数表示的，并且小数部分不会重复。
无理数的概念是什么
无理数的概念是什么
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
扩展资料
有理数和无理数的区别
（1）性质区别：
有理数是两个整数的'比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数；无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
（2）结构区别：
有理数是整数和分数的统称；无理数是所有不是有理数的实数。
（3）范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行；无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
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有理数、无理数及数轴、绝对值、相反数》 【叶云凌】
8、相反数的意义
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0.
例C：把表示下列各数的点画在数轴上，再按从下到大的顺序，用“＜”连接起来。【基础班】
例D：若 ，求 的值。【精英班】【基础班】
例E：已知数 、 、 ，其中 是正数， 、 均是负数，且 ＞ ＞ ，请用“＜”将 、 、 、
C?-b＜a＜-a＜b???D?-b＜b＜-a＜a
4、若 ,且 , ,则 ．【精英班】
5、绝对值大于1而小于4的整数有个；【基础班】
6、已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么 ， ， ， 的大小关系是。（用“>”连结）【精英班】【基础班】
三、解答题
1、已知 ，且 ，求 和 的值？【精英班】
2、求| - |+| - |+…| - |的值.【精英班】【基础班】
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为__________________________________；
（2）计算 （n2-1）=________________．（填写最后的计算结果）
11、请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
考试题型
在数轴上表示有理数
有理数大小的比较
利用数轴解应用题
有理数的大小比较
绝对值非负性应用及综合化简
相反数与绝对值的综合应用
练习题
1、若 是最小的自然数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 的值为（ ）【精英班】【基础班】
A -1 B 0 C 1D 2
2、下列说法正确的是（ ）【精英班】【基础班】
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
(完整版)正确区分有理数和无理数
正确区分有理数和无理数
八年级数学上册第二章内容为实数，是在学生认识有理数的基础上引入无理数，进行数字的第二次扩充。
但是多数同学往往无法正确区别有理数和无理数，混淆它们的概念，错误的分类和判断。
例如：下列各数中，那些是有理数？那些是无理数？
2、1.414、132、3
π、38、1.010010001…….、0.27·、1.10010001 误区：（1）38是无理数，认为带根号的数都是无理数。
（2）3π是有理数，认为它是分数，所以是有理数。
（3）1.010010001……认为是有理数，认为有规律可循，所以是循环小数即属于有理数。
点拨：（1）38=2是有理数。
（2）3π为分数形式但为无理数故3
π是无理数。
（3）1.1010010001……相邻两个之间0的个数逐次加1，但不是循环，它是无限不循环小数，属于无理数。
解析：1.414、132、38、0.27·、1.010010001是有理数。
2、3π
、1.010010001…….是无理数。
2015初中有理数知识点-什么是有理数和无理数
2015初中有理数知识点-什么是有理数和无理数无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
整数和分数统称为有理数
数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。
分数是有理数的通常表达，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο？？，原意为”成比例的数(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成”有道理的数。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
上面就是为大家准备的有理数知识点-什么是有理数和无理数，希望同学们认真浏览，希望同学们在考试中取得优异成绩。
有理数与无理数知识点总结
有理数与无理数知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠有理数与无理数这个有趣的知识点。
先来说说有理数哈，有理数就像是一群乖乖听话的数字小伙伴。
什么是有理数呢？简单说，就是能写成两个整数之比的数，比如 1 呀，0 呀，-3 呀，还有 3/4 呀，这些都是有理数哦！比如说，咱去超市买东西，那个价格标签上的数字可几乎都是有理数呀，10 块钱一斤苹果，这不就是个有理数嘛！
再讲讲无理数，这可真是一群特别的存在呢！无理数可没法写成两个整数之比。
像圆周率π，还有根号 2 之类的，就是无理数啦！你想想看，圆周率那可是无限不循环的呀，多神奇！就好像是数字世界里的一群神秘小精灵。
比如说，你要计算圆的周长或者面积，那可就离不开圆周率π这个神秘的无理数了呢！
有理数和无理数在一起呀，那可真是构成了丰富多彩的数字世界。
这就好像是一个热闹的大家族，有理数是家族里循规蹈矩的一部分，而无理数是那充满个性的一群。
那它们能和平共处吗？当然能啦！
在咱日常生活中，两种数都有着重要的作用呢。
你去坐公交车，车费是个有理数；但你要研究一些高深的数学问题或者物理问题，可能就会碰到无理数啦！
有理数和无理数，它们相互映衬，相互补充，共同让我们的数学世界变得无比精彩。
咱可别小瞧了它们哦，它们的作用可大着呢！我的观点就是，有理数和无理数都是数学的宝藏，缺了谁都不行，我们要好好去理解它们，利用它们，才能在数学的海洋里尽情遨游呀！你们说是不是呢？。
有理数与无理数 知识讲解
（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数． 【典型例题】 类型一、有理数
1．下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无限小数叫做无理数
【答案】B
【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和 0；C 选项正有理数、负有理数和 0 统称有理数；
2
7
整数集合：
分数集合：
负有理数集合：
无理数集合：
【答案与解析】
整数集合： -2， 0，-（-2），2012
分数集合： - 1 ， 22 ，- 0.23
27
负有理数集合： -2， - 1 ，- 0.23
2
无理数集合： 3 ，3．020020002…，
【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意： 整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数是指无限不循环 小数． 类型三、循环小数化分数
有理数与无理数 知识讲解
【学习目标】 1、 理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、 会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数
我们把能够写成分数形式 m （m,n 是整数，n≠0）的数叫做有理数． n
要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为 有理数．
要点二、无理数 1．定义：
无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式．
有理数的分类教案
有理数的分类教案教案标题：有理数的分类教学目标：1. 理解有理数的概念，并能够准确地区分有理数和无理数。
2. 掌握有理数的分类方法，包括整数、正数、负数、分数等。
3. 能够在实际问题中应用有理数的分类知识。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔、教学PPT等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮擦等。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 教师通过提问或展示图片等方式，引导学生回顾并讨论他们对有理数的了解。
2. 教师简要介绍有理数的概念，并与学生一起讨论有理数的特点。
讲解（15分钟）：1. 教师通过教学PPT或黑板，详细解释有理数的分类方法。
a. 整数：包括正整数、负整数和零。
b. 正数：大于零的数。
c. 负数：小于零的数。
d. 分数：可以表示为两个整数的比值。
示范与练习（20分钟）：1. 教师通过具体的例子，示范如何将数进行有理数的分类。
2. 学生根据教师的示范，自主完成一些练习题，巩固对有理数的分类方法的理解。
拓展与应用（15分钟）：1. 教师引导学生思考有理数分类的应用场景，例如温度、海拔等。
2. 学生分组讨论并汇报自己的思考结果，与全班分享。
总结与反思（5分钟）：1. 教师对本节课的教学内容进行总结，并强调有理数分类的重要性。
2. 学生反思本节课的学习收获，并提出问题或困惑。
作业布置：1. 学生完成课后习题，巩固对有理数分类的掌握。
2. 学生根据自己的兴趣和实际情况，寻找并记录有理数分类的实际应用案例。
教学延伸：1. 针对学生的不同水平和能力，可以提供更多的挑战性练习，如混合运算等。
2. 可以引导学生进行有理数的比较和排序，拓展对有理数的理解。
教学评估：1. 教师通过课堂观察和学生的练习情况，评估学生对有理数分类的掌握程度。
2. 可以设计小组或个人项目，让学生展示他们对有理数分类的应用理解。
教学资源：1. 教学PPT或黑板。
2. 教科书和习题集。
3. 实际应用案例的资料。
教学反馈：1. 教师根据学生的评估结果，及时给予反馈和指导。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
有理数与无理数的门当户对原理
有理数与无理数的门当户对原理【原创实用版】目录一、引言二、有理数与无理数的定义与分类1.有理数的定义与分类2.无理数的定义与分类三、有理数与无理数的关系1.门当户对原理2.实例分析四、结论正文一、引言在数学领域，有理数和无理数是实数的两种基本类型。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
而无理数则是指不能表示为两个整数之比的数，其小数形式为无限不循环小数。
本文将从有理数与无理数的定义和分类入手，探讨它们之间的关系，进而介绍门当户对原理。
二、有理数与无理数的定义与分类1.有理数的定义与分类有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
例如，-3、2/3、-1.5、0.6666…等都是有理数。
2.无理数的定义与分类无理数是不能表示为两个整数之比的数，其小数形式为无限不循环小数。
例如，圆周率π、开方 2、自然对数 e 等都是无理数。
三、有理数与无理数的关系1.门当户对原理在数学中，门当户对原理指的是有理数与无理数在某种程度上是相互对应的。
具体来说，有理数可以看作是无理数的一种特殊情况，而无理数则可以看作是有理数的一种推广。
这种对应关系在数学的许多领域都有体现，例如在实数域、函数域、拓扑等领域。
2.实例分析以圆周率π为例，它是一个无理数，但可以表示为有理数列的极限：π = 3 + 1/(6 + 3 + 5 × 3 + …)。
这个表示方式将无理数π转化为有理数的形式，从而展现了有理数与无理数之间的联系。
四、结论有理数与无理数作为实数的两种基本类型，在数学领域具有广泛的应用。
初二数学：上册2.2有理数与无理数一起走近无理数
一起走近无理数在前面的学习中，我们认识了负数，使数的范围扩展到有理数．现在我们又开始学习无理数，把数的范围扩展到了实数．刚开始学习无理数，认为无理数不像有理数那样直观易懂，总有一种虚幻的感觉．那么该怎样学习无理数呢？一、明确无理数的存在无理数并不是“无理”，也不是人们臆想出来的，而是实实在在的存在．如：（1）两条直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边为2；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为常数π．像2、π这样的数在我们的身边还有很多．二、弄清无理数的定义及常见无理数无理数是指无限不循环小数，这说明无理数可以化为具有两个特征的小数：一是小数的位数时无限的，二是不循环的．我们比较常见的无理数往往具备以下几种表现形式：1．某些含有π的数，如：π，π3等； 2．开方开不尽得到的数，如：3、5等；3．依某种规律构造的无限不循环小数，如0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)．三、了解无理数的性质1．所有的无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，并且右边的无理数总比左边的大；2．在有理数中的互为相反数的定义、绝对值得定义、大小比较法则及运算法则、运算律等，对于无理数仍然适用，如52-的相反数是25-，因为052<-，所以52-的绝对值是25-．四、澄清一些模糊认识1．无理数包括正无理数、0、负无理数0是一个整数，故它是有理数，因此无理数只能分为正无理数和负无理数两类．2．带根号的数就是无理数 由于像4、38-这样的数通过计算可以化为2和－2，因此它们是有理数，可见带根号的不一定是无理数．特别是π，它是无理数但并不是用根号形式表示的．3．无理数的数量比有理数少有些同学认为1、2、3、4、5这五个数，它们都是有理数，而开平方后得到的无理数只有2、3、5三个，因此得出无理数的数量要比有理数少．其实，我们对1、2、3、4、5开立方时还会产生32、33、34、35等无理数，如果再开四次方、五次方……还可以产生更多的无理数．因此无理数并不比有理数少．4．有些无理数是分数因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以无理数不可能写成分数．当然，有些无理数可以借助分数线来表示，如32，但不能因为它具备了分数的形式就认为它是分数．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1=43°，那么∠2的度数为（）A．43°B．57°C．47°D．53°【答案】C【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】解：如图，，∵∠1=43°，∴∠3=∠1=47°，∴∠2=90°-43°=47°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．2．下面不是同类项的是（）A．-2与12 B．-2a2b与a2b C．2m与2x D．-y2x2与12x2y2【答案】C【解析】根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.【详解】A、B、D符合同类项的定义，是同类项；C中所含字母不同，不是同类项.故选C.【点睛】本题考查了利用同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键. 同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同，是易混点．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．3．某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（）A．240 B．120 C．80 D．40【答案】D【解析】试题分析：调查的总人数是：80÷40%=200（人），则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．故选D．考点：1．条形统计图；2．扇形统计图．4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1C．x＞3 D．x≥3【答案】C【解析】试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞1．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集．5．下列调查中，比较适合用全面调查（普查）方式的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比C．了解一批炮弹的杀伤半径D．了解全国青少年喜欢的电视节目【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据定义判断即可得到答案.【详解】A、了解某班同学立定跳远的情况，适合全面调查；B、了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比，具有破坏性，适合抽样调查；C、了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查；D、了解全国青少年喜欢的电视节目，任务量过大，适合抽样调查；故选择：A.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．在一手机界面中出现了下列图形，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．7．下列调查中，适合用全面调查方式的是（）A．调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量B．调查某电视剧的收视率C．调查一批炮弹的杀伤力D．调查一片森林的树木有多少棵【答案】A【解析】全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此逐个选项分析判断．【详解】A. 调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量，由于是“重要零部件”，适合全面调查；B. 调查某电视剧的收视率，适合抽样调查；C. 调查一批炮弹的杀伤力，适合抽样调查；D. 调查一片森林的树木有多少棵，适合抽样调查．故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查，要根据所要考察的对象的特征灵活选用．一般来说对于具有破坏性的调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．下列语句中，是命题的是（）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AM D．两个锐角的和大于直角【答案】D【解析】选项A,B,C不能写成如果……那么……的形式.选项D，如果两个角是锐角，那么它们的和大于直角.所以选D.9．将图1中五边形ABCDE纸片的点A以BE为折线向下翻折，点A恰好落在CD上，如图2所示：再分AB AE为折线，将,C D两点向上翻折，使得A、B、C、D、E五点均在同一平面上，别以图2中的,∠的度数为（）如图3所示.若图1中122∠=，则图3中CADA︒A．58︒B．61︒C．62︒D．64︒【答案】D【解析】根据平角的定义和定理和折叠的性质来解答即可．【详解】解：由图2知，∠BAC＋∠EAD＝180°−122°＝58°，所以图3中∠CAD＝122°−58°＝64°．故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，结合图形解答，需要学生具备一定的读图能力和空间想象能力．10．下列选项中，不是依据三角形全等知识解决问题的是（）A．同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长B．工人师傅用角尺平分任意角C ．利用尺规作图，作一个角等于已知角D ．用放大镜观察蚂蚁的触角【答案】D【解析】分别利用作一个角等于已知角，以及工人师傅用角尺平分任意角，和同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长都是利用全等三角形的知识解决问题，进而分析得出答案．【详解】解：A 、利同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；B 、工人师傅用角尺平分任意角，是利用SSS 得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；C 、利用尺规作图，作一个角等于已知角，是利用SSS 得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；D 、用放大镜观察蚂蚁的触角，是利用相似，不是依据三角形全等知识解决问题，故此选项正确． 故选D ．【点睛】此题主要考查了相似图形，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．二、填空题题11．如果0,7x y xy +==-，则22x y xy +=______.【答案】0【解析】22x y xy +=xy(x+y)=-70⨯=0.故答案为0.12．在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为3-、2，那么A 、B 两点的距离AB =_______．【答案】5【解析】利用A ，B 对应的数，进而求出两点之间的距离．【详解】A ，B 两点之间的距离为2-（-3）=2+3=1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，得出异号两点之间距离求法是解题关键．13．一棵树高h （m ）与生长时间n （年）之间有一定关系，请你根据下表中数据，写出h （m ）与n （年）之间的关系式：_____．【答案】h ＝0.3n+1【解析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，可先设出通式，然后将已知的条件代入式子中求出未知数的值，进而求出函数的解析式．【详解】设该函数的解析式为h ＝kn+b ，将n ＝1，h ＝1.6以及n ＝4，h ＝3.1代入后可得2 2.64 3.2k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得0.32k b =⎧⎨=⎩， ∴h ＝0.3n+1，验证：将n ＝6，h ＝3.8代入所求的函数式中，符合解析式；将n ＝8，h ＝4.4代入所求的函数式中，符合解析式；因此h （m ）与n （年）之间的关系式为h ＝0.3n+1．故答案为：h ＝0.3n+1．【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式的方法．用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．14．已知2x =是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，且1x =不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是________．【答案】12a <≤【解析】∵2x =是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，∴(25)(232)0a a --+≤，解得2a ≤，∵1x =不是这个不等式的解，∴(15)(32)0a a --+>，解得1a >，所以a 的取值范围是12a <≤，故答案为：12a <≤.15．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在互相平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为 度【答案】25°【解析】试题分析：根据平行线的性质定理可得：∠1+∠2=60°，根据题意求出∠2的度数.考点：平行线的性质16．已知33+的整数部分为m ，33的小数部分为n ，则m n +的值为__． 【答案】63333+33m 、n 的值，代入求出即可． 【详解】解：132<<，4335∴<<，231-<<-，1332∴<<， 33+的整数部分为m ，33n ，m 4∴=，n 33123==-，m n 42363∴+=+= 故答案为：63-【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出m 、n 的值是解此题的关键．17．若a ﹣3有平方根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】a≥1．【解析】根据平方根的定义列出不等式计算即可.【详解】根据题意，得30.a -≥解得： 3.a ≥故答案为 3.a ≥【点睛】考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.三、解答题18．在ABC ∆中，BD 是ABC ∠的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ，60A ︒∠=，95BDC ︒∠=，求BDE ∆各内角的度数.【答案】35︒,35︒,110︒【解析】先根据三角形外角性质计算出∠ABD 的度数，再根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABD ，然后利用平行线的性质由DE ∥BC 得∠EDB=∠CBD ，最后根据三角形内角和定理计算∠BED 的度数． 【详解】解：∵60A ︒∠=，95BDC ︒∠=，1BDC A ∠=∠+∠∴1956035BDC A ︒︒︒∠=∠-∠=-=，∵BD 平分ABC ∠，∴2135︒∠=∠=，又∵ED BC ∥，∴3235︒∠=∠=，∴180131803535110BED ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，∴BDE ∆各内角的度数分别是35︒,35︒,110︒.【点睛】本题考查了平行线性质、三角形内角和定理及外角性质，熟知相关性质是解题的关键.19．如图，点D 为射线CB 上一点，且不与点B 、C 重合，DE ∥AB 交直线AC 于点E ，DF ∥AC 交直线AB 于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF 与∠BAC 的数量关系，并说明理由.【答案】当点D 在线段CB 上时，∠EDF=∠BAC ；当点D 在线段CB 的延长线上时，∠EDF+∠BAC=180°，证明见解析. 【解析】①当点在线段CB 上时，因为DE ∥AB ，两直线平行，同位角相等，所以∠BAC=∠1；因为DF ∥AC ，两直线平行，内错角相等，所以∠EDF=∠1．等量代换，即可证明∠EDF=∠BAC ；②当点D 在线段CB 的延长线上时，因为DF ∥AC ，两直线平行，内错角相等且同旁内角和为180°，所以∠BAC=∠AFD ，∠EDF+∠AFD=180°．等量代换，即可证明∠EDF+∠BAC=180°．【详解】证明:(1)如图1,2所示：①当点D 在线段CB 上时，如图1，∠EDF=∠A,证明：∵DE ∥AB(已知)，∴∠1=∠BAC(两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AC(已知)，∴∠EDF=∠1(两直线平行，内错角相等).∴∠EDF=∠BAC(等量代换).②当点D 在线段CB 的延长线上时，如图②，∠EDF+∠BAC=180°， 证明:∵DE ∥AB(已知)，∴∠EDF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵DF ∥AC(已知)，∴∠F=∠BAC(两直线平行，内错角相等).∴∠EDF+∠BAC=180°(等量代换). 点睛：本题考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论得出结果是解答本题的关键.20．已知x ﹣1x 5x 2+21x 的值． 【答案】1. 【解析】把x ﹣1x 5x 2+21x 的值． 【详解】∵x ﹣1x 5 ∴(x ﹣1x )2＝5， ∴x 2+21x ﹣2＝5， ∴x 2+21x ＝1．【点睛】此题考查代数式求值，注意所给算式的特点，灵活选用适当的方法解决问题．21．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；(2)如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．【答案】（1）14cm；（2）36°.【解析】（1）折叠时，对称轴为折痕DE，DE垂直平分线段AB，由垂直平分线的性质得DA=DB，再把△ACD的周长进行线段的转化即可；（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，根据（1）DA=DB，可证∠B=∠BAD=2x，在Rt△ABC中，利用互余关系求x，再求∠B．【详解】（1）由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，根据垂直平分线的性质可得：DA=DB，所以，DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm；（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，∵DA=DB，∴∠B=∠BAD=2x，在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即：2x+2x+x=90°，x=18°，∠B=2x=36°．【点睛】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．22．前几天，在青岛召开了举世目的“上合”会议，会议之前需要印刷批宣传彩页．经招标，A印务公司中标，该印务公司给出了三种方案供主办方选择：方案一：每份彩页收印刷费1元．方案二：收制版费1000元，外加每份彩页收印刷费0.5元．方案三：印数在1000份以内时，每份彩页收印刷费1.2元，超过1000份时，超过部分按每份0.7元收费．（1）分别写出各方案的收费y （元）与印刷彩页的份数x （份）之间的关系式．（2）若预计要印刷5000份的宣传彩页，请你帮主办方选择一种合算的方案．【答案】（1）方案一：y=x ；方案二：y=1000+0.5x ；方案三：当0≤x ≤1000时，y=1.2x ，当x ＞1000时，y=0.7x+500（2）方案二更节省费用，理由见解析【解析】（1）根据题意即可分别表示出各方案的收费y （元）与印刷彩页的份数x （份）之间的关系式； （2）将x ＝5000分别代入（1）中的关系式，然后比较大小，即可解答本题．【详解】（1）由题意可得，方案一：y=x ；方案二：y=1000+0.5x ；方案三：当0≤x ≤1000时，y=1.2x ，当x ＞1000时，y=1.2×1000+0.7（x-1000）=0.7x+500 （2）当x ＝5000时，方案一：y=5000；方案二：y=1000+0.5×5000=3500； 方案三： y=0.7×5000+500=4000 ∵5000＞4000＞3500，∴当印刷宣传彩页5000本时，应该方案二更节省费用．【点睛】本题是一道方案选择问题、考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值，求出最优方案．23．如图，已知A (0,)a ，B (,0)b ，且满足460a b -++=（1）求A 、B 两点的坐标；（2）点C (m,n)在线段AB 上，m 、n 满足n-m=5，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交x 轴的负半轴于点M ，且S △MBC =S △MOD ，求点D 的坐标；（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG ⊥x 轴于G ，若S △PAB =20，且GE=12，求点P 的坐标．【答案】（1）A(0，2)，B(-4，0)；（2）D(0，-2)；（3）P(-3，-3)．【解析】(1)根据非负数的性质求得a 、b 的值即可；(2)由S △BCM =S △DOM 知S △ABO =S △ACD =1．连CO ，作CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，则S △ABO =S △ACO +S △BCO ，据此列出方程组求得C （-3，2）而S △ACD =12×CE×AD=1，易得OD=2，故D （0，-2）； (3)由S △PAB =S △EAB =5求得OE=2．由S △ABF =S △PBA =5求得OF=83．结合S △PGE =S 梯GPFO +S △OEF 求得PG=3．所以P （-3，-3）． 【详解】解：(1)∵|a-2|≥060b +≥，460a b -++=∴4060a b -=+=，．∴a=2，b=-4．∴A （0，2），B （-4，0）；(2)如图，由S △BCM =S △DOM∴S △ABO =S △ACD ，∵S △ABO =12×AO×BO=1． 连CO ，作CE ⊥y 轴于E ，CF ⊥x 轴于FS △ABO =S △ACO +S △BCO即12×4×n+12×2×（-m ）=1 ∴53212n m n m -=⎧⎨-=⎩， ∴32m n =-⎧⎨=⎩∴C （-3，2）而S △ACD =12×CE×AD=12×3×（2+OD ）=1 ∴OD=2，∴D （0，-2）；(3)如图，∵S △PAB =S △EAB =5，∴12AO×BE=5，即2×（4+OE ）=5， ∴OE=2．∴E （2，0）．∵GE=1，∴GO=3．∴G （-3，0）．∵S △ABF =S △PBA =5，∴S △ABF =12×BO×AF=12×4×（2+OF ）=5． ∴OF=83． ∴F （0，-83）． ∵S △PGE =S 梯GPFO +S △OEF∴12×1×PG=12×（83+PG ）×3+12×2×83 ∴PG=3∴P （-3，-3）．【点睛】考查了坐标与图形性质，非负数的性质以及算术平方根，解题的关键是利用三角形的面积公式求得相关线段的长度．24．如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 上一点，过E 点作EF AC ⊥，垂足为F ，过点D作//DH BC 交AB 于点H ．()1请你补全图形(不要求尺规作图)；()2求证：BDH CEF ∠=∠．【答案】 (1)见解析 (2)见解析【解析】（1）按要求作图；（2）先由DH //BC ，BDH DBC ∠∠=得，BD //EF 再证，CEF DBC ∠∠=得，BDH CEF ∠∠=所以．【详解】解：()1如图所示，EF ，DH 即为所求；(2)证明： //DH BC ，BDH DBC ∴∠=∠，BD AC ⊥，EF AC ⊥，//BD EF ∴，CEF DBC ∴∠=∠，BDH CEF ∴∠=∠．【点睛】本题考核知识点：平行线的判定和性质.解题关键点：熟记平行线的判定和性质.25．小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数．爸爸获胜，如果是偶数，则小华获胜（指针指到线上则重转）（1）转完转盘后指针指向数字2的概率是多少？（2）这个游戏公平吗？请你说明理由．【答案】（1）15；（2）不公平，理由见解析【解析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字2的概率；（2）分别求出爸爸获胜和小华获胜的概率，通过比较得出结论．【详解】解：（1）将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有1，2，3，4，5，共五种，且每种出现的可能性相等，因此指向数字2的概率为：P＝15，答：转完转盘后指针指向数字2的概率是15；（2）不公平，理由：爸爸获胜的概率为：P＝35，小华获胜的概率为：P＝25，∵32 55 ，∴不公平．【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列计算正确的是（ ）A ．（-a 3）2=a 5B ．a 2÷a 2=0C ．a 2•a 3=a 5D ．（-a 2b ）3=a 6b 3【答案】C【解析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法计算法则计算得到各式结果，即可做出判断．【详解】解：A 、原式=6a ，不符合题意；B 、原式=1，不符合题意；C 、原式=5a ，符合题意；D 、原式=63a b -，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件不能使//a b 的是（ ）A ．25∠=∠B ．17∠=∠C ．37∠=∠D ．18180∠+∠=︒【答案】A 【解析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．【详解】解：A 、24∠∠=，4∠与5∠是同旁内角，同旁内角相等不能说明//a b ；故A 符合题意； B 、57∠=∠，1∠与5∠是同位角，同位角相等能说明//a b ；故B 不符合题意；C 、37∠=∠，同位角相等能说明//a b ，故C 不符合题意；D 、1∠=5∠，8∠与5∠是邻补角，则18180∠+∠=︒能说明//a b ；故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 3．若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a+c ＞b+cD ．a+b ＞c+b 【答案】B【解析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况，然后根据不等式的性质解答．【详解】解：由图可知，a ＜b ＜0，c ＞0，A 、ac ＜bc ，故本选项错误；B 、ab ＞cb ，故本选项正确；C 、a+c ＜b+c ，故本选项错误；D 、a+b ＜c+b ，故本选项错误．故选B ．4．已知实数x 、y 、z 同时满足x+y ＝5及z 2＝xy+y ﹣9，则x+3y+5z 的值为（ ）A ．22B ．15C ．12D ．11 【答案】D【解析】由已知得出5x y =-，代入第二个式子后整理得出()223=0z y -+，推出030z y =-=，，求出x ，y ，z 的值，最后将x ，y ，z 的值代入计算，即可求出35x y z ++的值．【详解】解：∵x+y ＝5，∴5x y =-，把5x y =-代入29z xy y =+-得： ()259z y y y -+-=，∴()223=0z y -+，∴030z y =-=，，∴3532y x ==-=，， 352335011x y z ++=+⨯+⨯=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的方法及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．5．已知线段AB的A点坐标是（3，2），B点坐标是（-2，-5），将线段AB平移后得到点A的对应点A′的坐标是（5，-1），则点B的对应点B′的坐标为（）．A．（0，-6）B．（3，-8）C．（1，-4）D．（0，-8）【答案】D【解析】根据点A的对应点A′的坐标是（5，-1）可知平移规律，即可解答.【详解】∵点A（3，2）的对应点A′的坐标是（5，-1）∴平移规律是横坐标加2，纵坐标减3，∴点B（-2，-5）的对应点B′的坐标（0，-8）故选D【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的平移问题，难度较低，找出平移规律是解题关键.6．如图，△ABC是一把直角三角尺，∠ACB＝90°，∠B＝30°．把三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，AC与直尺的另一边交于点D，AB与直尺的两条边分别交于点E，F．若∠AFD＝58°，则∠BCE的度数为（）A．20°B．28°C．32°D．88°【答案】B【解析】由平行线的性质得出∠AEC＝∠AFD＝58°，再由三角形的外角性质即可得出∠BCE的度数．【详解】解：∵CE∥DF，∴∠AEC＝∠AFD＝58°，∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝58°﹣30°＝28°；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．在3.14，2273这四个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】无限不循环小数是无理数.据此分析即可.【详解】在3.14，227，﹣3，π这四个数中，无理数是：﹣3，π这两个数. 故选：B【点睛】本题考核知识点：无理数.解题关键点：理解无理数的意义.8．如图①，从边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+【答案】A 【解析】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积得()()22a b a b a b -=+-故答案为：A ．【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据题意列出方程得出平方差公式是解题的关键．9．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC 旋转的度数是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】D 【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选D ．考点：旋转的性质．10．手机上使用14nm 芯片，1nm ＝0.0000001cm ，则14nm 用科学记数法表示为（ ）A ．1.4×10﹣6cmB ．1.4×10﹣7cmC ．14×10﹣6cmD ．14×10﹣7cm【答案】A【解析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】14nm=14×0.0000001cm =1.4×10﹣6cm ， 故选：A ．【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法,对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成10n a -⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.二、填空题题11．某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：写出座位数y 与排数x 之间的关系式___________________________【答案】y=3x+1【解析】分析：首先设函数解析式为y=kx+b ，然后找两组值代入解析式求出k 和b 的值，从而得出答案． 详解：设函数解析式为y=kx+b ，将x=1，y=50；x=2，y=53代入可得： 50253k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：347k b =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为y=3x+1． 点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型．设出函数解析式是解决这个问题的关键．12．高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x 的最大整数．例如：[1.3]=1，[-1.5]=-1．若[x-1]=3，则x 的取值范围是__________ ．【答案】45x ≤<【解析】由[x-1]=3得314x ，解之即可．【详解】若 [x-1]=3，则314x ，解得：45x ≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，根据取整函数的定义得出关于x 的不等式组是解题的关键． 13．如图直线l ∥m,将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线m 上,若∠1=16°,则∠2的度数为_____．【答案】29°【解析】过点A 作直线b ∥l,再由直线m ∥可知m ∥l ∥b,得出∠3=∠1,∠2=∠4,由此可得出结论【详解】过点A 作直线b ∥l,如图所示∵直线m ∥1∴m ∥l ∥b,∴.∠3=∠1,∠2=∠4.∵∠1=16°∴∠3=16°∴∠4=45°-16°=29° ∴∠2=∠4=29°故答案为:29°【点睛】此题考查平行线的性质，做辅助线是解题关键14．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为16，则BE 等于 _________【答案】1【解析】过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，运用割补法把原四边形转化为正方形，即可求出BE的长．【详解】解：如图，过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，∵∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，∴四边形EDFB是矩形，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△BCF和△BAE中，∵∠F=∠BEA,∠CBF=∠ABE,AB=BC,∴△BCF≌△BAE（ASA），∴BE=BF，∴四边形EDFB是正方形，∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=16，∴16．故答案为：1．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．15．点M（2，﹣3）到x轴的距离是_____．【答案】3【解析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值解答. 【详解】33-=，∴点()2,3M -到x 轴的距离是3.故答案为：3.【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键.16．请你写出一个比4大且比6小的无理数，这个无理数是_______．1π+【解析】分析：根据无理数的三种形式写出即可，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数， ，等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋅⋅⋅（0的个数一次多一个）. 详解：设这个无理数是x ，则4<x<6，∴16<x 2<36,…，∵π是无理数，且π≈3.14，∴这个无理数还可以是：π+1，π+2等.1π+.点睛：本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的定义及无理数的三种形式是解答本题的关键. 17．因式分解：2y 2﹣18＝_____．【答案】2（y+3）（y ﹣3）．【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式＝2（y 2﹣9）＝2（y+3）（y ﹣3），故答案为：2（y+3）（y ﹣3）【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题18．△ABC 在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图：（1）过点C 作AB 的平行线；。
无理数和有理数的性质对比
无理数和有理数的性质对比一、无理数的性质1.无理数不能表示为两个整数的比例，即无理数不是分数的形式。
2.无理数的小数部分是无限不循环的，即小数点后的数字没有规律地重复。
3.无理数的平方根不一定是整数或分数，例如√2和√3都是无理数。
4.无理数可以用近似值表示，但近似值无法完全等于无理数。
5.无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点。
二、有理数的性质1.有理数可以表示为两个整数的比例，即有理数是分数的形式。
2.有理数的小数部分是有限或循环的，即小数点后的数字在某一位开始重复。
3.有理数的平方根一定是整数或分数，例如√4=2和√9=3都是整数。
4.有理数可以用精确值表示，因为它们是分数的形式。
5.有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
三、无理数和有理数的对比1.表示形式：无理数不能表示为分数，有理数可以表示为分数。
2.小数部分：无理数的小数部分是无限不循环的，有理数的小数部分是有限或循环的。
3.平方根：无理数的平方根不一定是整数或分数，有理数的平方根一定是整数或分数。
4.近似值：无理数只能用近似值表示，有理数可以用精确值表示。
5.数轴上的位置：无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点，有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
四、无理数和有理数的实际应用1.几何学：无理数在几何学中有着广泛的应用，例如计算圆的周长和面积、三角形的边长等。
2.物理学：无理数在物理学中也有重要作用，例如计算声音的频率、光的速度等。
3.工程学：无理数在工程学中用于计算各种尺寸和角度，例如建筑物的尺寸、机械零件的配合等。
4.日常生活：无理数也存在于我们的日常生活中，例如计算食物的营养成分比例、身高的比例等。
通过以上对比，我们可以更好地理解无理数和有理数的性质，以及它们在各个领域的应用。
希望这份知识归纳能帮助您更好地掌握无理数和有理数的相关知识。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？答案：c) √20是无理数。
有理数和无理数的联系和区别
无理数在数学分析、 函数、微积分等领域
具有重要地位。
01
无限不循环小 数：无理数是 无限不循环小 数，无法用分 数表示。
02
稠密性：无理 数在实数轴上 稠密分布，即 任意两个有理 数之间都存在 无理数。
03
连续性：无理 数在实数轴上 连续分布，即 任意两个无理 数之间都存在 其他无理数。
04
超越性：无理 数是超越数， 即无理数不能 表示为整系数 多项式的根。
或积
几何：有理数 和无理数都可 以表示为几何 图形有理数是可表 示为两个整数 之比的数，无 理数是不可表 示为两个整数 之比的数。
02
有理数包括整 数和分数，无 理数包括无理 数、π、e等。
03
有理数可以进 行四则运算， 无理数不能进 行四则运算。
04
有理数在数轴 上表示为离散 的点，无理数 在数轴上表示 为连续的线。
01
都是实数：有理数 和无理数都是实数 的一部分，共同构 成了实数集。
02
相互依存：有理数 和无理数在数学中 相互依存，共同构 成了完整的实数体 系。
03
04
运算关系：有理数 和无理数可以进行 四则运算，如加法、 减法、乘法和除法。
数轴表示：有理数 和无理数都可以在 数轴上表示，有理 数在数轴上表示为 点，无理数在数轴 上表示为线段。
有理数可以进行数理逻辑运算 有理数可以进行计算理论运算 有理数可以进行信息论运算 有理数可以进行密码学运算 有理数可以进行量子计算运算 有理数可以进行人工智能运算 有理数可以进行大数据运算 有理数可以进行物联网运算 有理数可以进行区块链运算 有理数可以进行虚拟现实运算 有理数可以进行增强现实运算
物理学：力学、光学、电磁 学等物理学领域的应用
小学四年级数学教案学习有理数和无理数
小学四年级数学教案学习有理数和无理数【教案】小学四年级数学教案：学习有理数和无理数教学目标：1. 理解有理数和无理数的概念；2. 能够区分有理数和无理数；3. 掌握有理数的表示方法；4. 能够进行简单的有理数的加减运算。
教学过程：一、导入（时间：5分钟）教师呈现一些数值，例如：2、3.14、1/2、√2，让学生猜测这些数是有理数还是无理数，并简要说明有理数和无理数的概念。
二、概念讲解（时间：10分钟）1. 引导学生理解有理数和无理数的定义：- 有理数：可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
- 无理数：不能表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无法开方得到的数。
2. 讲解有理数的表示方法：- 整数：正整数、负整数、零。
- 分数：分子、分母。
- 小数：有限小数和循环小数。
三、有理数和无理数的区分（时间：15分钟）1. 通过例子和练习题，让学生判断以下数是有理数还是无理数，并简要说明理由。
- 3/4- 0.5- -2- √3- π2. 学生分组讨论，展示自己的判断结果，并与其他小组进行交流讨论。
四、有理数的加减运算（时间：20分钟）1. 教师引导学生回顾整数和分数的加减运算方法。
2. 通过例子和练习题，让学生进行有理数的加减运算练习，要求学生写出完整的计算步骤和结果。
五、课堂练习（时间：15分钟）教师出示练习题，让学生独立完成，并相互批改答案。
六、反思总结（时间：5分钟）教师与学生共同总结本节课学到的内容，强调有理数和无理数的特点，并鼓励学生积极思考相关问题。
教学反馈：教师及时对学生的表现进行评价和反馈，鼓励学生的参与和提问，并对学生学习情况进行记录。
延伸拓展：1. 学生可进一步研究无理数的表示方法和性质，如开方运算等。
2. 学生可进行更加复杂的有理数的加减运算练习，并尝试解决相关问题。
【教学反思】通过对小学四年级数学教案的设计和实施，学生在活动中通过实际操作和探究，加深了对有理数和无理数的理解，并提高了区分和运用的能力。
无理数与有理数的运算法则
无理数与有理数的运算法则数学中，无理数和有理数是两种不同类型的实数。
它们之间有很多不同之处，但在进行运算时，也存在一些共同的规则和法则。
有理数是指可以用两个整数的比值来表示的数，通常表示为分数的形式。
例如，2、0.5和-3/4都是有理数。
而无理数则是指不能表示为有理数的数，例如π、e以及√2等。
无理数与有理数之间最重要的区别在于无理数是无限位的十进制小数，而有理数只有有限个十进制小数或者能够被无限重复的十进制小数。
在进行无理数和有理数的运算时，我们需要考虑以下几个方面：1. 加法和减法有理数之间的加法和减法遵循相同的规则，我们只需要将分母相同的分数进行运算即可。
例如，1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。
而无理数之间的加法和减法则需要将它们进行逼近。
例如，√2 + √3无法用精确的值来表示，但可以用近似值来进行计算。
2. 乘法和除法有理数之间的乘法和除法同样遵循相同的规则。
我们只需要将分子和分母分别进行运算即可。
例如，2/3 × 3/4 = 6/12。
然而，无理数之间的乘法和除法则需要使用特定的公式。
例如，√2 × √2 = 2，而√2 ÷ √2 = 1。
3. 混合运算在进行混合运算时，我们需要先将无理数转化为有理数的形式，然后再进行运算。
例如，π + 2 = 5.14（四舍五入），而√2 × 3 = 4.24（四舍五入）。
总的来说，在进行无理数和有理数的运算时，我们需要考虑它们之间的不同，并按照相应的规则和法则进行操作。
虽然无理数在运算时比有理数更加复杂，但是经过适当的计算，我们仍然可以得出最终的结果。
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正确区分有理数和无理数
八年级数学上册第二章内容为实数，是在学生认识有理数的基础上引入无理数，进行数字的第二次扩充。
但是多数同学往往无法正确区别有理数和无理数，混淆它们的概念，错误的分类和判断。
例如：下列各数中，那些是有理数？那些是无理数？
2、1.414、132、3
π、38、1.010010001…….、0.27·、1.10010001 误区：（1）38是无理数，认为带根号的数都是无理数。
（2）3π是有理数，认为它是分数，所以是有理数。
（3）1.010010001……认为是有理数，认为有规律可循，所以是循环小数即属于有理数。
点拨：（1）38=2是有理数。
（2）3π为分数形式但为无理数故3
π是无理数。
（3）1.1010010001……相邻两个之间0的个数逐次加1，但不是循环，它是无限不循环小数，属于无理数。
解析：1.414、132、38、0.27·、1.010010001是有理数。
2、3π
、1.010010001…….是无理数。