有理数多还是无理数多

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假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。
第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。
(12)对任一个固定的y，称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域，ψ(A)称作映射ψ的值域。注意ψ(A)不一定等于B，只能说它一定是B的子集。
(13)如果ψ(A)=B，那么称ψ是 A到B上的 映射，又称为A到B的满射。
特别地，如果A、B都是实数或复数集，那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。
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“定理2 任何无限集，必与它的一个真子集对等。
证明：首先任何无限集都必然至少含有一可列子集，因为我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素，将它们用自然数n作下标编号，那么这个取出来的子无限集，就是定义中的可列集，我们可以记做{a[n]|n=1,2,...}”
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错误4：证明过程中假设了可以记数条件，“我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素”，如果元素数量是不可记数的，我们不知道是否是不相同的元素，则无法对应，证明也就不成立。
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(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射，那么称ψ为A到B的一一对应或双射。
也就是，如果ψ是A到B的一一对应，意味着对于A中任何一个元素a，有唯一的b=ψ(a)，且对B中的每一个元素b，必在A中有唯一的元素a，适合ψ(a)=b。
这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别。否则容易将可逆映射跟一一对应搞混。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧，因为讲函数的时候，这个中跟上的区别仍然会强调的。
例如，假设ψ是A到B中的可逆映射，那么或许在B中还存在某个元素y，它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的。但如果ψ是A到B上的一一对应，那么这样的y是不存在的。
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对等的概念。
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一些概念定义：
(1)如果集A中的元素，都是集B的元素，那么称A是B的子集。记做A(B（符号是∪横过来的样子，打不出来，暂以(代替）。
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用自然数集数数的方法对应其它集合的方法是不对的，首先它依赖于无限集对等（映射）概念，其次依赖于集合可以记数，如果不考虑记数问题，根本不能证明有任何集合不能对等自然数集。
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(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合，叫A和B的通集或交集。记做A∩B。
这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形。
(7)若A∩B=φ，称A、B不相交，否则称A、B相交。
从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质：
1. A∪A=A， A∩A=A
2. A∪φ=A， A∩φ=φ（φ类似于0，∪类似于加法运算，∩类似于乘法运算）
(16)设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B对等（或相似），记为A～B，规定空集跟自身对等。
接下来，集合的势的概念快要出来了。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
根据定义有A(A。
(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集，规定空集是任何集合的子集。空集记做φ。
(3)如果集合A(B，而B中确实存在不属于A的元素，那么称A是B的真子集。
(4)如果A(B，且B(A，那么A、B由相同的元素组成，此时称A=B。
(5)由集A和集B的一切元素组成的集合，叫A和B的和集或并集。记做A∪B。
下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似）。
(14)设ψ是 A到B中的 映射，若对每一个属于ψ(A)值域的y，A中只有一个元素x满足ψ(x)=y，那么称ψ是可逆映射或一对一的映射，或单射。
换句话说，对A中任意两个元素x1，x2，当x1不等于x2时，必然有ψ(x1)不等于ψ(x2)，那么ψ就是 A到B的 可逆映射。
而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n->2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是对等的。”
反驳:
错误1：对等的方法，只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。
例：“问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。”
8. (C-A)-B=C-(A∪B)
9. A∪B = (A△B)∪(A∩B)
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以上只是集合的一些基本概念定义。下面来定义集合的映射：
(11)设A、B是两个非空集，如果存在一个规则ψ，使得对于A中的任何一个元素x，按照规则ψ，在B中有一个确定的元素y与之对应，那么称这个规则ψ是从A到B的映射。元素y称做元素x（在映射ψ下）的象。记做y=ψ(x)。
我们甚至不能确定一个小数位很长很长的数是有理数还是无理数，因此讨论无理数多还是有理数多的问题，我们过分高估了自己的能力。
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参考附件：
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康托尔对角线证明法引文：
“现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。