三角形知识梳理

第五章三角形

[知识梳理]

1．知识结构与要点归纳

方法

（1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？

三角形三条边之间有重要关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和．在解决等腰三角形有关的计算问题时，题目常常不明确指出某条线段是底边还是腰，往往导致多种情况出现，这时应注意运用分类讨论的方法．

(2)怎样认识三角形的三个内角之间的关系？

“三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的等式方程组，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决．

（3）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？

三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分

图5－5 ⑴ ⑶ ⑵

线三条中线，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点． 不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条；等腰三角形的这三种线段总条数为7条；等边三角形的这种三种线段的总数为3条．

（4）怎样认识三角形全等的条件和特征？

一般三角形全等的条件共有四种①SAS ②ASA ③AAS ④SSS ．即要使两个三角形全等必须具备三组元素（边或角）对应相等，其中至少有一条对应边相等，若有两条边和一个角对应相等，这两条边必须是对应角的两条夹边，“AAA ”和“SSA ”是不行的．如图（1） BC ∥B C ''，△ABC 与A B C '''∆中A A '∠=∠，

C B A B ''∠=∠，C AC B '∠=∠，符合条件

“AAA ”显然ABC ∆与A B C '''∆不全等．

如图(2)AC=AC ′,△ABC 与△ABC ′中，有AB=AB ， AC=AC ′∠B=∠B ′符合条件“SSA ”但△ABC 与△ABC ′不全等． 探索两个直角三角形全等是，除了运用条件“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”和“SSS ”外，还可运用条件“HL ”，这是探索两直角三角形全等的重要方法．

在探索三角形全等的解题过程中，要善于结合图形对已知条件进行

分析，理清“已知”与“可知”、“可知”与“需知”的关系．

两个三角形全等后，便具有两个特征：①对应边相等；②对应角相等．

综合运用三角形全等的条件和特征可以解决许多问题．

（5）怎样认识全等三角形与图形变换？

从两个全等三角形的不同位置关系可以看出其中一个是由另一个经过下列运动变换形成的：

① 翻折：如图5－2，△ABC ≌△DBC ，△DBC 可以看成

由△ABC 沿BC 向下翻折180°后而得．

② 平移：如图5－3,△DEF 可看成△ABC 沿BC 方向平行移

动而得． ③ 旋转：如图5－4,△EDC 可以看作△ABC 绕点C 旋转而得．

有些全等三角形则可以看成有上述三种运动变换综合作用的结果．

（6）怎样判断两个三角形相似？

判断两个三角形相似的方法主要有：

①两角对应相等的两个三角形相似；

②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似．

如图5－5是几个重要的相似三角形的基本图形．

如图（1）在△ABC 中DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC ；

如图（2）若AB ∥CD ，则有△ABO ∽△DCO 如图（3）在△ABC 中，若∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则有△ABD ∽△CAD ∽△CBA ．

在解题时经常会遇到上述三种图形，一些复杂的图形则是由上述三种图形组合而成，只要我们能灵活运用这三种基本图形能很快地解决许多问题．另外在判断三角形相似时，重视公共角、对顶角的运用，会给解题带来很多方便．

（7）相似三角形具有哪些性质？

两三角形相似除了具有对应边成比例、对应角相等外，还有以下性质：

相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

图5－2

图5－3 图⑴

图⑵ 图5－1

相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形面积的比等于相似比的平方．

运用相似三角形可以解决许多实际问题．

（8）怎样理解相似变换和位似图形？

相似与对称、平移、旋转等变换一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小而保持形状不变．

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形．该交点叫做位似中心，可见：位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小．

我们也常根据所给的坐标来确定物体的位置或画出图形，感受图形变换后点的坐标的变化,用坐标的方法研究图形的运动变换．

（9）怎样把握等腰三角形？

①等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形）即等边三角形．

另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

②等腰直角三角形的性质及其两个推论．

性质：等腰三角形的两个底角相等．

推论1：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边．

推论2：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于60°．

另外，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线．

③等腰三角形的判定：一是根据定义判定，即看它是否有两边相等；二是运用“等角对等边”．

（10）证明三角形有关结论的原始依据是哪几个公理，通过探索、猜测和证明得到哪些常用的定理？

证明三角形有关结论的依据是以下几条公理：

①三边对应相等的两个三角形全等．

②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

④全等三角形的对应边相等、对应角相等．

另外还证明下面推论：两角和其中其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

根据以上公理通过探索，猜测和证明得到以下定理：

①与等腰三角形有关的结论：

等腰三角形的判定定理（“等角对等边”）．

等腰三角形的性质定理（“等边对等角”）．

等腰三角形的的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（“等腰三角形的三线合一”）．

②与直角三角形有关的结论：斜边、直角边定理（“H·L”）．

勾股定理及逆定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角三角形的直角边等于斜边的一半．