三角形知识梳理

第五章三角形

[知识梳理]

1．知识结构与要点归纳

方法

（1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？

三角形三条边之间有重要关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和．在解决等腰三角形有关的计算问题时，题目常常不明确指出某条线段是底边还是腰，往往导致多种情况出现，这时应注意运用分类讨论的方法．

(2)怎样认识三角形的三个内角之间的关系？

“三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的等式方程组，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决．

（3）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？

三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分

图5－5 ⑴ ⑶ ⑵

线三条中线，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点． 不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条；等腰三角形的这三种线段总条数为7条；等边三角形的这种三种线段的总数为3条．

（4）怎样认识三角形全等的条件和特征？

一般三角形全等的条件共有四种①SAS ②ASA ③AAS ④SSS ．即要使两个三角形全等必须具备三组元素（边或角）对应相等，其中至少有一条对应边相等，若有两条边和一个角对应相等，这两条边必须是对应角的两条夹边，“AAA ”和“SSA ”是不行的．如图（1） BC ∥B C ''，△ABC 与A B C '''?中A A '∠=∠，

C B A B ''∠=∠，C AC B '∠=∠，符合条件

“AAA ”显然ABC ?与A B C '''?不全等．

如图(2)AC=AC ′,△ABC 与△ABC ′中，有AB=AB ， AC=AC ′∠B=∠B ′符合条件“SSA ”但△ABC 与△ABC ′不全等． 探索两个直角三角形全等是，除了运用条件“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”和“SSS ”外，还可运用条件“HL ”，这是探索两直角三角形全等的重要方法．

在探索三角形全等的解题过程中，要善于结合图形对已知条件进行

分析，理清“已知”与“可知”、“可知”与“需知”的关系．

两个三角形全等后，便具有两个特征：①对应边相等；②对应角相等．

综合运用三角形全等的条件和特征可以解决许多问题．

（5）怎样认识全等三角形与图形变换？

从两个全等三角形的不同位置关系可以看出其中一个是由另一个经过下列运动变换形成的：

① 翻折：如图5－2，△ABC ≌△DBC ，△DBC 可以看成

由△ABC 沿BC 向下翻折180°后而得．

② 平移：如图5－3,△DEF 可看成△ABC 沿BC 方向平行移

动而得． ③ 旋转：如图5－4,△EDC 可以看作△ABC 绕点C 旋转而得．

有些全等三角形则可以看成有上述三种运动变换综合作用的结果．

（6）怎样判断两个三角形相似？

判断两个三角形相似的方法主要有：

①两角对应相等的两个三角形相似；

②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似．

如图5－5是几个重要的相似三角形的基本图形．

如图（1）在△ABC 中DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC ；

如图（2）若AB ∥CD ，则有△ABO ∽△DCO 如图（3）在△ABC 中，若∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则有△ABD ∽△CAD ∽△CBA ．

在解题时经常会遇到上述三种图形，一些复杂的图形则是由上述三种图形组合而成，只要我们能灵活运用这三种基本图形能很快地解决许多问题．另外在判断三角形相似时，重视公共角、对顶角的运用，会给解题带来很多方便．

（7）相似三角形具有哪些性质？

两三角形相似除了具有对应边成比例、对应角相等外，还有以下性质：

相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

图5－2

图5－3 图⑴

图⑵ 图5－1

相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形面积的比等于相似比的平方．

运用相似三角形可以解决许多实际问题．

（8）怎样理解相似变换和位似图形？

相似与对称、平移、旋转等变换一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小而保持形状不变．

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形．该交点叫做位似中心，可见：位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小．

我们也常根据所给的坐标来确定物体的位置或画出图形，感受图形变换后点的坐标的变化,用坐标的方法研究图形的运动变换．

（9）怎样把握等腰三角形？

①等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形）即等边三角形．

另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

②等腰直角三角形的性质及其两个推论．

性质：等腰三角形的两个底角相等．

推论1：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边．

推论2：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于60°．

另外，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线．

③等腰三角形的判定：一是根据定义判定，即看它是否有两边相等；二是运用“等角对等边”．

（10）证明三角形有关结论的原始依据是哪几个公理，通过探索、猜测和证明得到哪些常用的定理？

证明三角形有关结论的依据是以下几条公理：

①三边对应相等的两个三角形全等．

②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

④全等三角形的对应边相等、对应角相等．

另外还证明下面推论：两角和其中其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

根据以上公理通过探索，猜测和证明得到以下定理：

①与等腰三角形有关的结论：

等腰三角形的判定定理（“等角对等边”）．

等腰三角形的性质定理（“等边对等角”）．

等腰三角形的的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（“等腰三角形的三线合一”）．

②与直角三角形有关的结论：斜边、直角边定理（“H·L”）．

勾股定理及逆定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角三角形的直角边等于斜边的一半．

③与一般三角形有关的结论：

三角形内角和定理（三角形三个内角和等于180°）．

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三角形中位线定理（三角形的中位线平行于的三边，并且等于第三边的一半）．

④与角的平分线有关的结论：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心．

⑤与线段的垂直平分线有关的结论：

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心．

（11）尺规作图有哪些基本作图？求作三角形的关键是什么？

尺规作图有以下几种基本作图：

①作一条线段等于已知线段；

②作一个等于已知角；

③作一个已知角的平分线；

④经过一定作已知直线的垂线；

⑤作已知线段的垂直平分线

这五种基本作图时作较复杂图形的基础，较复杂的几何作图题，通过分析，通常可以分解为这五种基本作图来进行．

求作三角形关键是，确定三角形的顶点，而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．

一般的几何作图题，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中作图语句的规范和最后的作图结论．

2．中考考点研究

本章涉及七年级（下）第五章三角形、八年级（下）第六章证明（一）部分内容，九年级（上）第一章证明（二）、八年级（下）第四章相似图形部分内容、八年级（上）第一章勾股定理的主要内容．

三角形是简单的多边形，在生活中随处可见，它不仅是研究其它图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．因此三角形在中考中的地位是非常突出的．今后的命题也不会有更大的变化，但在命题的格调上将更加突出情景的创新．

三角形的相似与全等以及和三角形有关的重要定理，是中考的重要内容之一，近几年中考中，填空、选择、计算、证明等题型中经常出现这一内容，并且经常和函数及圆的知识综合考查．题型以应用、开放探索居多，例如对于三角形的内角和定理常作为等量关系列方程借助于计算进行，而且对于三边关系定理，常应用于它进行判断所求的边长是否符合要求．对于全等三角形的判定和性质的考查，常会遇到去识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题的题型．

对于特殊三角形的判定和性质，除等腰三角形外还有等边三角形、等腰直角三角形等知识点，在中考中显得非常之“热”，尤其是和变换等知识结合起来考查，在很多地市中考试卷中均有所体现．

对于相似三角形，一是以平行线分线段成比例为背景；设计计算证明题，考查灵活运用知识能力；二是以相似三角形“对应”为背景设计分类讨论题等；三是考查相似三角形性质

的应用，证明比例式、等积式或计算的大题出现；四是运用相似三角形的有关定理和性质解决实际问题，是中考的热点试题；五是与其它图形结合，设计阅读理解、探索规律等开放型试题．

另外，以公理为出发点，通过逻辑推理，拓展数学知识，是使数学得以发展的一个重要方法，掌握这种方法，应是数学学习的一项重要任务，所以中考中必然要将对学生推理论证的能力考查放在一个突出的位置．但是由于目前《课程标准》降低了对几何证明的要求，所以复习备考时，应依据《数学课程标准》和教材的要求，既要重视对证明的复习训练，又要注意把握证明的难度，避免过分追求证明的技巧性,应将对数学结论的探索及证明融为一体进行复习，努力感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，提高各种推理能力．

总之，三角形有关的重要定理，三角形的全等与相似、特殊三角形的判定与性质以及和变换．函数、圆等知识的综合应用一直是中考的热点，所以复习备考时注意从以下几方面引起足够的重视：

（1）要注意强化基本知识的巩固和基本技能的训练，熟练掌握三角形有关概念有关重要定理和基本的尺规作图，清晰的区分出全等三角形、相似三角形、特殊三角形的判定和性质．

（2）要注意抓住应用，根据中考重视在数学在数学活动中考查本章基础知识与技能的掌握程度以及与生活实际的联系．应注意积极参与观察、探索等数学活动，联系实际，在知识的综合应用上下功夫．

（3）要注意在复习中，把动手操作与简单推理有机结合，并在推理过程中勤于动手和观察，在操作过程中加强探索．