三角形知识梳理
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第五章三角形
[知识梳理]
1.知识结构与要点归纳
方法
(1)三角形三条边之间具有什么关系?怎样把握?
三角形三条边之间有重要关系:三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边.掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题.注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时,一定要同时考虑第三边大于另两边之差,小于另两边之和.在解决等腰三角形有关的计算问题时,题目常常不明确指出某条线段是底边还是腰,往往导致多种情况出现,这时应注意运用分类讨论的方法.
(2)怎样认识三角形的三个内角之间的关系?
“三角形三个内角和等于180°”,是三角形中角与角之间的一个重要关系,利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余;②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和,三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角;③一个三角形中最多只有一个直角或钝角.因此,三角形按角的大小分类可以分为三类:锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用.在解决和三角形有关的问题时,内角和等于180°,是一个非常重要的等量关系,我们常利用它来得到和角有关的等式方程组,从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决.
(3)三角形的角平分线、中线和高线有什么区别?
三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段.每个三角形都有三条角平分
图5-5 ⑴ ⑶ ⑵
线三条中线,它们之间的相同点:①都是线段;②都是从顶点画出;③都能交于一点. 不同点:①角平分线平分内角,中线平分边,高垂直于边;②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部,直角三角形有两条高都在边上,钝角三角形有两条高在三角形的外部,另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条;等腰三角形的这三种线段总条数为7条;等边三角形的这种三种线段的总数为3条.
(4)怎样认识三角形全等的条件和特征?
一般三角形全等的条件共有四种①SAS ②ASA ③AAS ④SSS .即要使两个三角形全等必须具备三组元素(边或角)对应相等,其中至少有一条对应边相等,若有两条边和一个角对应相等,这两条边必须是对应角的两条夹边,“AAA ”和“SSA ”是不行的.如图(1) BC ∥B C '',△ABC 与A B C '''?中A A '∠=∠,
C B A B ''∠=∠,C AC B '∠=∠,符合条件
“AAA ”显然ABC ?与A B C '''?不全等.
如图(2)AC=AC ′,△ABC 与△ABC ′中,有AB=AB , AC=AC ′∠B=∠B ′符合条件“SSA ”但△ABC 与△ABC ′不全等. 探索两个直角三角形全等是,除了运用条件“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”和“SSS ”外,还可运用条件“HL ”,这是探索两直角三角形全等的重要方法.
在探索三角形全等的解题过程中,要善于结合图形对已知条件进行
分析,理清“已知”与“可知”、“可知”与“需知”的关系.
两个三角形全等后,便具有两个特征:①对应边相等;②对应角相等.
综合运用三角形全等的条件和特征可以解决许多问题.
(5)怎样认识全等三角形与图形变换?
从两个全等三角形的不同位置关系可以看出其中一个是由另一个经过下列运动变换形成的:
① 翻折:如图5-2,△ABC ≌△DBC ,△DBC 可以看成
由△ABC 沿BC 向下翻折180°后而得.
② 平移:如图5-3,△DEF 可看成△ABC 沿BC 方向平行移
动而得. ③ 旋转:如图5-4,△EDC 可以看作△ABC 绕点C 旋转而得.
有些全等三角形则可以看成有上述三种运动变换综合作用的结果.
(6)怎样判断两个三角形相似?
判断两个三角形相似的方法主要有:
①两角对应相等的两个三角形相似;
②两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似.
如图5-5是几个重要的相似三角形的基本图形.
如图(1)在△ABC 中DE ∥BC ,则有△ADE ∽△ABC ;
如图(2)若AB ∥CD ,则有△ABO ∽△DCO 如图(3)在△ABC 中,若∠BAC=90°,AD ⊥BC ,则有△ABD ∽△CAD ∽△CBA .
在解题时经常会遇到上述三种图形,一些复杂的图形则是由上述三种图形组合而成,只要我们能灵活运用这三种基本图形能很快地解决许多问题.另外在判断三角形相似时,重视公共角、对顶角的运用,会给解题带来很多方便.
(7)相似三角形具有哪些性质?
两三角形相似除了具有对应边成比例、对应角相等外,还有以下性质:
相似三角形对应高的比,对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
图5-2
图5-3 图⑴
图⑵ 图5-1
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
运用相似三角形可以解决许多实际问题.
(8)怎样理解相似变换和位似图形?
相似与对称、平移、旋转等变换一样,也是图形之间的一个基本变换,可以将一个图形放大或缩小而保持形状不变.
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这两个图形叫做位似图形.该交点叫做位似中心,可见:位似是特殊的相似,其相似比又叫做位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小.
我们也常根据所给的坐标来确定物体的位置或画出图形,感受图形变换后点的坐标的变化,用坐标的方法研究图形的运动变换.
(9)怎样把握等腰三角形?
①等腰三角形的分类:可分为一般等腰三角形(腰和底不等)和特殊的等腰三角形(三边都相等的等腰三角形)即等边三角形.
另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
②等腰直角三角形的性质及其两个推论.
性质:等腰三角形的两个底角相等.
推论1:等腰三角形顶角平分线垂直平分底边.
推论2:等边三角形的各个内角都相等,即每个内角都等于60°.
另外,等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线,底边上的中线或底边上的高所在的直线.
③等腰三角形的判定:一是根据定义判定,即看它是否有两边相等;二是运用“等角对等边”.
(10)证明三角形有关结论的原始依据是哪几个公理,通过探索、猜测和证明得到哪些常用的定理?
证明三角形有关结论的依据是以下几条公理:
①三边对应相等的两个三角形全等.
②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
④全等三角形的对应边相等、对应角相等.
另外还证明下面推论:两角和其中其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
根据以上公理通过探索,猜测和证明得到以下定理:
①与等腰三角形有关的结论:
等腰三角形的判定定理(“等角对等边”).
等腰三角形的性质定理(“等边对等角”).
等腰三角形的的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(“等腰三角形的三线合一”).
②与直角三角形有关的结论:斜边、直角边定理(“H·L”).
勾股定理及逆定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角三角形的直角边等于斜边的一半.
③与一般三角形有关的结论:
三角形内角和定理(三角形三个内角和等于180°).
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形中位线定理(三角形的中位线平行于的三边,并且等于第三边的一半).
④与角的平分线有关的结论:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
三角形三条角平分线交于一点,这一点称为三角形的内心.
⑤与线段的垂直平分线有关的结论:
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
三角形三边垂直平分线交于一点,这一点是三角形的外心.
(11)尺规作图有哪些基本作图?求作三角形的关键是什么?
尺规作图有以下几种基本作图:
①作一条线段等于已知线段;
②作一个等于已知角;
③作一个已知角的平分线;
④经过一定作已知直线的垂线;
⑤作已知线段的垂直平分线
这五种基本作图时作较复杂图形的基础,较复杂的几何作图题,通过分析,通常可以分解为这五种基本作图来进行.
求作三角形关键是,确定三角形的顶点,而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形.
一般的几何作图题,初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤,完成作图时,需要注意作图痕迹的保留,作法中作图语句的规范和最后的作图结论.
2.中考考点研究
本章涉及七年级(下)第五章三角形、八年级(下)第六章证明(一)部分内容,九年级(上)第一章证明(二)、八年级(下)第四章相似图形部分内容、八年级(上)第一章勾股定理的主要内容.
三角形是简单的多边形,在生活中随处可见,它不仅是研究其它图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此三角形在中考中的地位是非常突出的.今后的命题也不会有更大的变化,但在命题的格调上将更加突出情景的创新.
三角形的相似与全等以及和三角形有关的重要定理,是中考的重要内容之一,近几年中考中,填空、选择、计算、证明等题型中经常出现这一内容,并且经常和函数及圆的知识综合考查.题型以应用、开放探索居多,例如对于三角形的内角和定理常作为等量关系列方程借助于计算进行,而且对于三边关系定理,常应用于它进行判断所求的边长是否符合要求.对于全等三角形的判定和性质的考查,常会遇到去识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题的题型.
对于特殊三角形的判定和性质,除等腰三角形外还有等边三角形、等腰直角三角形等知识点,在中考中显得非常之“热”,尤其是和变换等知识结合起来考查,在很多地市中考试卷中均有所体现.
对于相似三角形,一是以平行线分线段成比例为背景;设计计算证明题,考查灵活运用知识能力;二是以相似三角形“对应”为背景设计分类讨论题等;三是考查相似三角形性质
的应用,证明比例式、等积式或计算的大题出现;四是运用相似三角形的有关定理和性质解决实际问题,是中考的热点试题;五是与其它图形结合,设计阅读理解、探索规律等开放型试题.
另外,以公理为出发点,通过逻辑推理,拓展数学知识,是使数学得以发展的一个重要方法,掌握这种方法,应是数学学习的一项重要任务,所以中考中必然要将对学生推理论证的能力考查放在一个突出的位置.但是由于目前《课程标准》降低了对几何证明的要求,所以复习备考时,应依据《数学课程标准》和教材的要求,既要重视对证明的复习训练,又要注意把握证明的难度,避免过分追求证明的技巧性,应将对数学结论的探索及证明融为一体进行复习,努力感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,提高各种推理能力.
总之,三角形有关的重要定理,三角形的全等与相似、特殊三角形的判定与性质以及和变换.函数、圆等知识的综合应用一直是中考的热点,所以复习备考时注意从以下几方面引起足够的重视:
(1)要注意强化基本知识的巩固和基本技能的训练,熟练掌握三角形有关概念有关重要定理和基本的尺规作图,清晰的区分出全等三角形、相似三角形、特殊三角形的判定和性质.
(2)要注意抓住应用,根据中考重视在数学在数学活动中考查本章基础知识与技能的掌握程度以及与生活实际的联系.应注意积极参与观察、探索等数学活动,联系实际,在知识的综合应用上下功夫.
(3)要注意在复习中,把动手操作与简单推理有机结合,并在推理过程中勤于动手和观察,在操作过程中加强探索.
最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
三角形的证明知识点汇总
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(Rt△)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为:等边对等角 在△ABC中,若AB=AC,则 ∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC,AB=AC,AD⊥BC, 则AD是BC边上的中线,且 AD平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的 平分线,底边上的中线、底边上 的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读(1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形,简述为:等校对等边 在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤
三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质(基础)知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法. 2. 理解三角形内角和定理的证明方法; 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系. 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念,学会它们的画法. 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点诠释: (1)三角形的基本元素: ①三角形的边:即组成三角形的线段; ②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角; ③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点. (2)三角形的定义中的三个要求:“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3)三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”,注意单独的△没有意义;△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示,也可以用小写字母a 、b 、c 来表示,边BC 用a 表示,边AC 、AB 分别用b 、c 表示. 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理:三角形的内角和为180°. 要点诠释:应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题: ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数; ②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数; ③求一个三角形中各角之间的关系. 要点三、三角形的分类 1.按角分类: ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释: ①锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类:
中考 三角形知识点复习归纳总结
D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形
21D C B A D C B A (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. ⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意: (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.
三角形知识点总结
第四章图形的初步认识 考点一、线段垂直平分线,角的平分线,垂线 1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 2、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理: (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。 考点二、平行线 1、平行线的概念 在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。 4、平行线的性质 (1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补。考点三、投影与视图 1、投影 投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。 平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。 中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。 俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。 左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。 第二章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性
有关三角形知识点总结
有关三角形知识点总结
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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据) 2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论) 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.(90°角和互余关系) 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。
2 、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。
初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案
一、三角形内角和定理 一、 选择题 1.如图,在△ABC 中,D 是BC 延长线上一点, ∠B = 40°,∠ACD = 120°,则∠A 等于( ) A .60° B .70° C .80° D .90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放,则角α等于( )A .75o B .60o C .45o D . 30o 3.如图,直线m n ∥,?∠1=55,?∠2=45, 则∠3的度数为( ) A .80? B .90? C .100? D .110? 【解析】选C. 如图,由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠, 由m n ∥, 得010043=∠=∠ 5.(2009·新疆中考)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130250∠=∠=°,°, 则3∠的度数等于( ) A .50° B .30° C .20° D .15° 【解析】选C 在原图上标注角4,所以∠4=∠2,因为∠2=50°,所以∠4=50°,又因为∠1=30°, 所以∠3=20°; 6.(2009·朝阳中考)如图,已知AB ∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则∠C 等于( ). A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°,∠E=35°,所以∠EFB =55o,又因为AB ∥CD,所以∠C =∠EFB =55o; 7.(2009·呼和浩特中考)已知△ABC 的一个外角为50°,则△ABC 一定是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .钝角三角形或锐角三角形 【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°,所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°,所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α
初中三角形知识点总结
图形的初步认识: 三角形 考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 4、三角形的面积 1×底×高 三角形的面积= 2 考点二、全等三角形
1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 (4)角角边定理:有两角和一边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 3、全等变换 只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。