华师版数学九年级下册解码专训：二次函数的图象和性质(二)

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九年级数学下册27.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2bxc的图象与性质(第2课时)课件华东师大版

h＞0时,将抛物线y=ax2向__右__平移__h_个单位得到抛物线
y=a(x–h)2，它的对称轴为_直__线__x_=__h_；
h＜0时,将抛物线y=ax2向_左__平移_h__个单位得到抛物线
y=a(x–h)2 ，它的对称轴为_直__线__x_=_h_.
【跟踪训练】
1.抛物线y=–(x+1)2的开口向下，对称轴是 __直__线__x_=_–__1____，顶点坐标是 (–1，0) .
y
8
7
66
y 3 x2
5
44
3 22
1
-10
x --55 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 55 -1
10
-2-2
-4
y 2x 12
y
25 20
y 2x 12
10
5
-5 -4 -3 -2 –1O
-5
左移1个单位
-10
-15 -20
–25
y 2x2
x
12345
右移1个单位
y=2(x+1)2的顶点坐标为(–1，0 ) 对称轴为：直线x=–1
y 1 x2 3
y 1 x 22
3
y 1 x 22
3
的图象
y
5
4
3
2
1
O –5 –4 –3 –2 –1 –1
y 1 x 22
–2
3
–3
–4
–5
x
12345
y 1 x 22
3
y 1 x2 3
【规律方法】抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a,h是常数，a≠0 ) 的关系：
2.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）

初三二次函数的图像与性质

初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。

在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。

本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。

一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。

它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。

当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。

其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。

【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。

解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。

由于$a>0$，所以抛物线开口向上。

考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。

首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。

因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。

接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。

顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。

将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。

因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。

它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

九年级下册数学课件(华师版)二次函数的图象与性质

.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=h时,最. 大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
1、说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=(x+1)2 （2）y=-(x-5)2
（3）y=2(x-3)2 （4）y=- 2(x-1)2
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
2.当a>0时,抛物线在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
直线x=h
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧 ,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x 的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y 随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).
16
2
12
观察函数 y 1 x 2与2 y 1 x2的
2
2
图象,它们有什么关系?
8
y 1 x2 2
4
2
x
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -2
பைடு நூலகம்
描点,连线 y
20
函数与的 y 1 x 22 2
y 1 x2 2
图象有什么关系?说出它
26.2 二次函数的图象与性质（3）
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质》教学设计

华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质》教学设计一. 教材分析《二次函数的图象与性质》是华师大版数学九年级下册第26章第2节的内容。

本节内容主要介绍二次函数的图象与性质，包括二次函数的顶点、开口、对称轴等概念，以及如何通过图象来判断二次函数的性质。

学生通过本节的学习，应该能够理解二次函数的图象与性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基础知识，对函数的概念、定义、图像等有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象与性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。

此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的这些能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的图象与性质，能够通过图象来判断二次函数的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜测、验证等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。

2.难点：如何通过图象来判断二次函数的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题，引导学生观察、操作、猜测、验证，从而理解二次函数的图象与性质。

同时，学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT，包括二次函数的图象与性质的讲解、实例分析等。

3.准备纸笔，用于学生进行绘图和记录。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象与性质的概念。

例如：某商场进行促销活动，打折后的价格可以表示为一个二次函数，如何根据价格来判断促销活动是否优惠？2.呈现（10分钟）利用PPT，呈现二次函数的图象与性质的定义和概念，包括顶点、开口、对称轴等。

同时，通过实例来展示这些概念的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组进行绘图和分析，每组选择一个二次函数，画出它的图象，并判断它的性质。

数学九年级下华东师大版27.2二次函数的图象与性质(2) 教案

27.2 二次函数的图象与性质（2）教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y ＝a x 2＋c 的图象.2、让学生经历二次函数y ＝a x 2＋c 性质探究的过程，理解二次函数y ＝a x 2＋c 的性质及它与函数y ＝a x 2的关系. 重点难点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋c 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋c 的性质，理解函数y ＝ax 2＋c 与函数y ＝ax 2的相互关系是教学重点.正确理解二次函数y ＝ax 2＋c 的性质，理解抛物线y ＝ax 2＋c 与抛物线y ＝ax 2的关系是教学的难点.教学过程：一、知识回顾1、二次函数221x y =的图象开口，顶点坐标是，对称轴是 . 2、二次函数241x y =的图象开口，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而；当x ＝ 0时，函数y 有最值是 .3、二次函数23x y -=的图象开口，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而；当x ＝ 0时，函数y 有最值是 .4、已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数23x y -=的图象上，则1y 2y .二、分析问题，解决问题：二次函数y=a x 2与y=a x 2+c 的图象有什么关系？活动1 在同一平面直角坐标系画出函数y ＝x 2、y ＝x 2＋1与 y ＝x 2-1的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y ＝x 2…… y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2-1 ……(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y ＝x 2、y ＝x 2＋1与 y ＝x 2-1的图象. 观察图象回答下列问题：函数开口方向对称轴顶点坐标y ＝x 2y ＝x 2＋1 y ＝x 2-1（2）抛物线 y ＝x ＋1是由抛物线y ＝x 沿y 轴向平移个单位长度得到的；抛物线y ＝x 2-1是由抛物线y ＝x 2沿y 轴向平移个单位长度得到的；（3）你认为是什么决定了会这样平移？活动2在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象： x 221y =、221y x 2+= 、2-21y x2= ，观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点坐标.你能说出抛物线c ay x2+=的开口方向及对称轴、顶点坐标吗？解：(1)列表：(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点. (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数x 221y =、221y x 2+= 、2-21y x2=的图象.观察图象回答下列问题函数开口方向对称轴顶点坐标x 221y =221y x 2+=2-21y x 2=（2）抛物线22y x 2+=是由抛物线x 22y =沿y 轴向平移个单位长度得到的；抛物线2-21y x 2=是由抛物线x 221y =沿y 轴向平移个单位长度得到的；三、规律总结二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋c 的图象的关系：二次函数y ＝ax 2＋c 的图象可以由y ＝ax 2的图象上下平移得到：当c > 0 时，向上平移｜c ｜个单位得到. 函数开口方向对称轴顶点坐标y ＝ax 2y ＝ax 2＋c四、练习 1.把抛物线x221y =向下平移2个单位，可以得到抛物线，再向上平移5个单位，可以得到抛物线；2．抛物线322--=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时， y 随x 的增大而减小.3.函数y ＝3x 2+5与y ＝3x 2的图象的不同之处是( )A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.对于函数y ＝-x 2+1的图象，顶点是，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数取得最值,为 . 5．将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标、 .6.已知抛物线y=2 x 2–1上有两点(x 1，y 1) ,(x 2，y 2 )且x 1＜x 2＜0，则y 1 y 2 (填“＜”或“＞”) 五、小结：六、课后拓展：1．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于 .2．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点.其中判断正确的是 . 3．将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x ＝时，该抛物线有最（填大或小）值，是 . 4．函数y=-23x 2+3的图象，当x ＜0时，经过了第____象限；若图象上有两点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，且满足x 1＞x 2＞0，则y 1 ____ y 2 (填＞，＜或=)；若只满足条件x 1＞x 2，则能否判断y 1 、y 2的大小关系?5．已知函数：221x y -=， 3212+-=x y 和1212--=x y . （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）说出函数6212+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（4）试说明函数3212+-=x y 、1212--=x y 、6212+-=x y 的图象分别有抛物线221x y -=作怎样的平移才能得到?。

九年级数学下册27.2二次函数的图象与性质2.2二次函数y=ax2bxc的图象与性质第2课时课件华东师大版

4.函数 y 1 x 32的图象是由 y 1 x2 的图象向____平移____
2
2
个单位得到的，顶点坐标是_______.当x____时,函数值y随x的增
大而减小；当x____时,函数值y随x的增大而增大；当x____时,函
数取得____值,其值为______．
【解析】函数 y 1 的x 图3象2 是由
抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的平移【例1】已知抛物线y=a(x-h)2向左平移2个单位后，所得抛物线为y=-2(x+5)2，试求a,h的值. 【解题探究】 (1)抛物线左右平移对a的值有影响吗？a的值为多少？答：抛物线左右平移对a的值没有影响，a=-2.
(2)对于抛物线平移的问题可以(填“可以”或“不可以”)转化为抛物线顶点的平移. (3)y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),y=-2(x+5)2的顶点坐标为 (-5,0),将点(h,0)向左平移2个单位后为(h-2,0),所以h-2=-5, 得h=-3. (4)综上可知a=-2,h=-3.
【规范解答】 (1)函数y=6(x+4)2的顶点坐标为(-4,0),对称轴为直线x=-4； ………………………………………………………………2分 (2)向右平移3个单位后的关系式为y=6(x+1)2,顶点坐标为 (-1,0),对称轴为直线x=-1；………………………………4分 (3)因为函数y=6(x+1)2的图象开口向上,所以当x≥-1时,y随x的增大而增大；当x≤-1时,y随x的增大而减小.……………6分
函数y=a(x-h)2的图象和性质【例2】(6分)已知函数y=6(x+4)2, (1)直接写出它的顶点坐标及对称轴； (2)直接写出向右平移3个单位后的关系式、顶点坐标及对称轴； (3)平移后当x取何值时,y随x的增大而增大？当x取何值时,y随x 的增大而减小？特别提醒:左右平移时注意h值的增减变化.

新华师版初中数学九年级下册第12讲二次函数的图象与性质(重点资料).doc

例：将抛物线y=2沿轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（－2）2．
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式ห้องสมุดไป่ตู้
5二次函数与一元二次方程
二次函数y=a2＋b＋c(a≠0)的图象与轴交点的横坐标是一元二次方程a2+b+c=0的根
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
b2－4ac＞0时，抛物线与轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反
3二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解
例：当0≤≤5时，抛物线y=2+2+7的最小值为7
开口
向上
向下
对称轴
＝
顶点坐标
增减性
当> 时，y随的增大而增大；当＜时，y随的增大而减小
当> 时，y随的增大而减小；当＜时，y随的增大而增大
最值
= ，y最小＝
= ，y最大＝
3系数a、b、c

26.2.2 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(课件)九年级数学下册(华东师大版)

向下直线 x = h (h，0)
最值增减性
当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，增大而增大；x＞h 时， y 随 x 的增大而增大. y随 x 的增大而减小.
练一练若抛物线 y＝3(x＋ 2 )2 的图象上有三个点
C BO x 2 -1 2
知识点3 二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的关系
想一想
y y 1 x 12

2
抛物线 y 1 x 12，y 1 x 12
2
2
与抛物线 y 1 x2 有什么关系？
−4
−2 -2
2 4x
2
形状、大小、开口方向都相同，
5.已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_y_3_＜__y_2_＜__y1___．
课堂总课结堂小结
复习平移规律： y=ax2+k 自变量左加右减， y = ax2 括号外保持不变.
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
向上
对称轴 y轴
直线 x = 2
顶点坐标 (0，0) (2，0)
试一试画出二次函数y
1 2
x
1
2，
-4
y
O
-2
2
x 4
y 1 x 1 2 的图象，并考察它们
-2
2
-4
的开口方向、对称轴和顶点．
y
1 x 12
-6
y 1 x 12

华东师大版九年级下册数学26.2二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时二次函数最

26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结]此类问题往往利用三角形相似中对应边成比例，用自变量表示另一个量，再由图形的面积建立二次函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
26.2 二次函数的图像与性质
探究问题二二次函数最值在实际中的应用例2[例题拓展]某杂技团用68米长的幕布围成一个矩形临
26.2 二次函数的图像与性质
(2)如果自变量的取值范围受限制，即 x1≤x≤x2，那么首先
b
要有当看－x＝2a_－是__2b否a__在_时自，变y量最值的＝取__4值_a_c4范_－a_围_b_2内__，；若若在－此2ba范不围在内自，变量则的取值范围内，则需考虑函数在 x1≤x≤x2 范围内的增减性，如果 y 随 x 的增大而增大，则当 x＝__x_2___时，y 取最大值，当 x＝__x_1___时，y 取最小值．而这种最大值、最小值的计
所以面积的最大值为 306 平方米．
26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结](1)列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值范围； (2)先确定二次函数的图象顶点的横坐标是不是在自变量的取值范围内，再确定如何应用二次函数的性质来确定最值．
算只需把自变量的取值代入关系式中就可以求得．
26.2 二次函数的图像与性质
重难互动探究42，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取
值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．
图26－2－42

2021年华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数的图象与性质》优质公开课课件 (2).ppt

• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年12月14日星期一2020/12/142020/12/142020/12/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/142020/12/14December 14, 2020
y
y
( b ,4acb2)
2a 4a
x1
x2
y=ax2+bx+c
o
(0,c).
倍速课
(0,c). o x1
.( b ,c) a
x2 x
时学
( b ,4acb2)
练
2a 4a
x
. ( b ,c) a y=ax2+bx+c
b
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x 2a
，顶点
是
b, 2a
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 2:42:38 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020

华东师大版九年级下册26.二次函数y=ax2的图象与性质课件

1 2 3 4x
y=-x²
在对称轴的右侧时, y随着当xx的=1增时大,y=而-1减小.
当x= 2时,y= -4
比较二次函数 y=x²和 y= –x²图象的异同
5 4 3 2 1
-6
-4
-2
-1
-2
-3
-4
-5
y=x²
2
4
6
y= –x²
y=x2与y=-x2的图象性质
抛物线顶点坐标
y=x²
（0，0）
1 23 4 x
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
用描点法画二次函数y=-x2的图象
（1）填表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表
y y=x2
10
8
这条抛物线关于
6
y轴对称,y轴就是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -2
对称轴与抛物线的交点叫
做抛物线的顶点.
y
10
8
6
当x=-3时，y=9
4
在对称当轴x的=-左2时侧，时y,=4 y随着x的增大而减小.
2
-4 -3 -2 -1 O -2
y=x2
在y随对当当着称xxx==的轴23时时增的，，大右yy而侧==49增时大, .
格中的数据作出猜想吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

华东师大版九年级下册数学26.2二次函数的图象与性质(第2课时)

y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
1.5
1
0.5
-0.5
灿若寒星
-1
y 3x2 1
1
2
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1 x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
7
6
5
y 2x2 1
4
3
2 y 2x2
1
灿若寒星
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…
3
1.08
…
2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1的图象与二次函数
y=3x²的图象有什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
–1
–2
y 1 x2 2
–3
y 1 x2 2 3
3
–4
y 1 x2
–5
3
灿若寒星
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上
y轴
向下
y轴
(0，k) (0，k)
灿若寒星
练习 1.把抛物线 y 1 x2 向下平移2个单位，可以得到物抛线物；线，y在向122上x2平y2移15x个2 单3位，可以得到抛

华东师大版九年级下册：二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质1.理解二次函数的有关概念．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑴ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．教学目标学习内容知识梳理3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑴ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减自变量，上加下减常数项”．方法二：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（1）c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）（2）c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑴ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑴ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑴ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：⑴ 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.⑴ 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ⑴ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑴ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑴ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑴ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑴ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【二次函数的定义】例1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C )A ．13-=x yB ．c bx ax y ++=2C ．1222+-=t t sD ．xx y 12+= 例2．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式2r s π=中，s 是r 的二次函数 C ．y ＝21(x －1)(x ＋4)不是二次函数 D ．在221x y -=中，一次项系数为1例3．若23)3(2+-+=x x a y 是二次函数，则a 的取值范围是___________．a≠－3例4．已知二次函数2231x x y +-=，则二次项系数a ＝___2___，一次项系数b ＝___-3____，常数项c ＝___1__．例5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为3)2()2(2-++-=x b x a y . (1)当________时，x ，y 之间是二次函数关系； a≠2(2)当_________________时，x ，y 之间是一次函数关系． a ＝2且b≠－2例6．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x (cm)之间的函数关系式为____ S ＝－12x 2＋13x ___________，自变量x 的取值范围是____ 0＜x ＜26 ______________．例7．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.设底面的宽为x ，抽屉的体积为y 时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：y ＝20x (90－x )＝－20x 2＋1800x ，0＜x ＜90例8．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小例题讲解商品的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围．解：降低x 元后，所销售的件数是(500＋100x )，则y ＝(13.5－2.5－x )(500＋100x )，即y ＝－100x 2＋600x ＋5500(0＜x≤11)【二次函数2ax y =的图象与性质】例1．已知二次函数2x y =，则其图象经过下列点中的( A ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)例2．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝21001v ，则下列表示s 与v 关系的图象为( C )例3．对于函数26x y =，下列说法正确的是( B )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．y 随x 的增大而减小D ．y 随x 的增大而增大例4．下列对抛物线22x y -=的说法中，错误的是( D ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 D ．有最低点例5．已知点(－1，1y )，(2，2y )，(－3，3y )都在函数2x y =的图象上，则( A ) A.1y ＜2y ＜3y B ．1y ＜3y ＜2y C ．3y ＜2y ＜1y D ．2y ＜1y ＜3y例6．二次函数22x y =和221x y =，以下说法：⑴它们的图象都是开口向上；⑴它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；⑴当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；⑴它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．函数xay =与函数2ax y =(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )例8．已知二次函数2)2(x m y -=的图象开口向下，则m 的取值范围是___________．m <2 【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数122-=x y 的图象沿y 轴向上平移2个单位，则所得图象对应的函数关系式为____________．Y=2x 2+1 例2．对于二次函数23212+=x y ，下列说法不正确的是( B ) A ．其图象的顶点坐标是(0，32) B ．其最大值是32C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴例3．抛物线26x y -=可以看作是由抛物线562+-=x y 按下列何种变换得到( B ) A ．向上平移5个单位 B ．向下平移5个单位 C ．向左平移5个单位 D ．向右平移5个单位例4．已知k ax y +=2的图象上有三点A(－3，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )，且y 2＜y 3＜y 1，则a 的取值范围是( A )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ≤0例5．若二次函数c ax y +=2，当x 取1x ，2x (1x ≠2x )时，函数值相等，则当x 取1x ＋2x 时，函数值为( D ) A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c 【二次函数2)(h x a y -=的图象与性质】例1．如果二次函数2)23(+=x a y 有最大值，那么a __<___0，当x ＝__－32___时，函数的最大值是_0____．例2．将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的表达式是( A ) A ．2)2(+-=x y B ．22+-=x yC ．2)2(--=x y D ．22--=x y 例3．关于二次函数2)4(2+-=x y ，下列说法中正确的是( D )A ．图象开口向上B ．图象的对称轴是直线x ＝4C ．图象的顶点坐标是(0，4)D ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小例4．在平面直角坐标系中，二次函数2)(h x a y -=(a ≠0)的图象可能是( D )例5．在同一直角坐标系中，一次函数c ax y +=和二次函数2)(c x a y +=的图象大致为( B )例6．二次函数2)1(7-=x y 的最小值是( C )A ．－1B ．1C ．0D ．没有最小值例7．平行于x 轴的直线与抛物线2)2(-=x a y 的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C ) A ．(1，2) B ．(1，－2) C ．(5，2) D ．(－1，4) 【二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质】例1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( A )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 例2．抛物线1)2(2++=x y 的顶点坐标是( A ) A ．(－2，1) B ．(－2，－1) C ．(2，1) D ．(2，－1) 例3．抛物线3)1(2--=x y 的对称轴是( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－3例4．在函数3)1(2++=x y 中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是( A )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜3例5．若抛物线)1()(2++-=m m x y 的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( B )A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．－1＜m ＜0例6．已知二次函数1)2(32+-=x y ，下列说法：⑴其图象的开口向下；⑴其图象的对称轴为直线x ＝－2；⑴其图象顶点坐标为(2，－1)；⑴当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的是( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．已知A(－2，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )是抛物线a x y ++-=2)1(上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＞3y ＞2yC ．3y ＞2y ＞1yD ．3y ＞1y ＞2y例8．把二次函数22x y =的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为___________________．y ＝2(x ＋1)2－2例9．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值为－1，则a 与b 之间的大小关系为_______．a ＞b 例10．把二次函数k h x a y +-=2)(的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数k h x a y +-=2)(的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数表达式为y ＝12(x ＋1－2)2－1－4，即y ＝12(x －1)2－5，⑴a ＝12，h ＝1，k ＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5)【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数322+-=x x y 化为k h x y +-=2)(的形式，结果为( D )A ．4)1(2++=x yB ．2)1(2++=x yC ．4)1(2+-=x yD ．2)1(2--=x y例2．要将抛物线322++=x x y 平移后得到抛物线2x y =，下列平移方法正确的是( D )A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位例3．在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与a bx y +=的图象可能是( C )例4．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式为532+-=x x y ，则( A )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21例5．已知二次函数2157212+--=x x y .若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且0＜1x ＜2x ＜3x ，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3yC ．2y ＞3y ＞1yD ．2y ＜3y ＜1y【二次函数的最大(小)值】例1．二次函数86232++-=x x y ，当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值为__14____．例2．已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值2例3．用20 cm 的细铁丝围矩形，则所围成的矩形的最大面积是( D )A ．20 cm 2B ．15 cm 2C ．28 cm 2D ．25 cm 2例4．已知0≤x ≤12，那么函数6822-+-=x x y 的最大值是( C ) A ．－10.5 B ．2 C ．－2.5 D ．－6例5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数关系式6)1(52+--=t h ，则小球距离地面的最大高度是( C )A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米例6．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S(cm 2)随其中一条对角线的长x (cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围)(2)当x 是多少时，菱形风筝的面积S 最大？最大面积是多少？解：(1)S ＝－12x 2＋30x (2)当x 为30 cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积为450 cm 2一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( A )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ C ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =--3. 函数2y kx k =-和(0)k y k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( A )4. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ⑴b a ,同号;⑴当1x =和3x =时,函数值相等;⑴40a b +=⑴当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( B )A.1个B.2个C. 3个D. 4个综合题库5. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ D ）A. -1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 方程222x x x -=的正根的个数为（ C ） A.0个 B.1个 C.2个. D.3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为( C )A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

九年级数学下册26_2二次函数的图象与性质教案2新版华东师大版

26．2 二次函数的图象与性质教学目标：一、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式熟悉二次函数的性质．二、会运用配方式确信二次函数图象的极点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．教学进程在实际生活中，咱们常常会碰着一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．通过市场调查，发觉这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在那个问题中，设每件商品降价x 元，该商品天天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探讨]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．分析由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全部实数，因此只要确信它们的图象有最高点或最低点，就能够够确信函数有最大值或最小值．解（1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，因此当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，因此当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425．回忆与反思最大值或最小值的求法，第一步确信a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求极点，极点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探讨试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件本钱是120元，试销时期每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表： x （元） 130 150 165 y （件） 70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要取得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？现在每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主若是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，因此200120≤≤x ．因此，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回忆与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，别离作DE⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足别离为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此 y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=，因此，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，因此，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．关于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确信3．某商场销售一批衬衫，平均天天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价方法，通过市场调查发觉，若是每件衬衫每降价1元，商场平均天天可多售出2件．（1）若商场平均天天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均天天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=；（2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发觉，学生对概念的同意能力y 与提出概念所用的时刻x （单位：分）之间知足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示同意能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的同意能力慢慢增强？x 在什么范围内，学生的同意能力慢慢降低？（2）第10分时，学生的同意能力是多少？（3）第几分时，学生的同意能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值老是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中距离有一道篱笆的长方形花园．设花园的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）若是要围成面积为45 m 2的花园，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花园吗？若是能，请求出最大面积，并说明围法；若是不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足别离是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．课堂小结：教学反思：。

华师大版九下《二次函数的图象与性质》word教案2篇]

教学内容 27.2.3 二次函数的图象与性质本节共需7课时本课为第3课时主备人：佘中林教学目标会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．．教学重点通过画图得出二次函数性质教学难点识图能力的培养教具准备投影仪，胶片．课型新授教学过程初备统复备情境导入我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索1例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x… -3-2 -1 0 123…221x y = …29 2 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y (2)1 021 2 225 8 225… 2)2(21-=x y …2258 29221 0 21 …它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．探索抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？实践与探索21．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．小结与作业回顾与反思： 1、二次函数2)2(21+=x y 与221x y =图像之间的关系。

初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点

初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点知识点一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：函数图像y=ax+bx+c(a，b，c为常数，ane;0，且a决定函数的开口方向，agt;0时，开口方向向上，alt;0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

表达式一般式：y=ax+bx+c(a，b，c为常数，ane;0)顶点式：y=a(x-h)+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x#8321;)(x-x #8322;) [仅限于与x轴有交点A(x#8321; ，0)和 B(x#8322;，0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b)/4ax#8321;,x#8322;=(-bradic;b-4ac)/2a图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图象，可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Delta;= b-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当agt;0时，抛物线向上开口;当alt;0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即abgt;0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ablt;0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Delta;= b方-4acgt;0时，抛物线与x轴有2个交点。

华东师大版九年级数学下册 26.2.2二次函数的图像和性质(2)

003华师大版九年级数学下册导学案设计：李冬平设计时间：2020/02/15审核：执行时间：2020/02/16 班次：小组名称：姓名：编号: 课题：26.2.2二次函数的图象与性质（2）学习目标：会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，掌握这类函数的性质。

一、抽测反馈：（5'）自主完成下列各题，各组抽签决定2人上台展示学习成果（一次铃前抽签，二次铃前完成，小组长组织并检查评定。

） 1、抛物线y ＝ax 2的性质2、一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系是。

3、试猜想：2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？二、自主探究：（独立完成后互相对正）（10'） 1、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：2y x =，21y x =－，2+1y x =解：先列表x…－2－1012…2=y x21=－……y x2+1=……y x描点并连线观察图象，思考： (1)、(2)、抛物线，2y x =，21y x =－与2+1y x =的形状_____________．(3)、可以发现，把抛物线2y x =向______平移______个单位，就得到抛物线2+1y x =；把抛物线2y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线21y x =－．三、合作交流与展示提升（30'） 1、归纳．因此，把抛物线2y ax =向上平移k （0k >）个单位，就得到抛物线；把抛物线2y ax =向下平移k （0k >）个单位，就得到抛物线2、不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3、在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )四、梳理巩固（2'）整理导学案，梳理本节所学知识，检查导学案完成导学案以上所有内容，小组长检查！五、达标测试：1、抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的．2、函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y=．3、填表4、抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．六、课后反思：1、这节课我的表现：（）A、很满意B、满意C、一般D、有待改进批阅情况评定等级：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽小组长签名：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽年⎽⎽⎽⎽⎽月⎽⎽⎽⎽⎽日。