贝塞尔函数
贝塞尔函数展开
贝塞尔函数展开一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是解决微分方程中出现的一类特殊函数，它最早由法国数学家贝塞尔在研究热传导方程时提出，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数可以分为第一类和第二类两种，分别用Jn(x)和Yn(x)表示。
二、贝塞尔函数的展开式1. 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数Jn(x)可以用下面的级数展开：Jn(x) = (x/2)^n∑k=0^∞(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k)其中，n为整数，x为实数。
2. 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数Yn(x)可以用下面的级数展开：Yn(x) = (2/π)(Jn(x)ln(x/2)+∑k=1^n(-1)^k(k-1)!/(k!)(x/2)^(-2k-n)) 其中，n为整数，x为正实数。
三、代码实现下面是一个Python实现的例子：```pythonimport mathdef J(n, x):"""计算第一类贝塞尔函数J_n(x)"""s = 0for k in range(0, 100):t = (-1)**k / (math.factorial(k) * math.factorial(n + k)) * (x / 2)**(2 * k + n)s += tif abs(t) < 1e-10:breakreturn s * (x / 2)**ndef Y(n, x):"""计算第二类贝塞尔函数Y_n(x)"""if x == 0:return float('-inf')s = J(n, x)t = math.log(x / 2) * J(n, x) - sum((-1)**k / (math.factorial(k) * (k + 1)) * (x / 2)**(-2 * k - n) for k in range(1, n + 1))return (2 / math.pi) * tif __name__ == '__main__':print(J(0, 1)) # 输出0.7651976865579666print(Y(0, 1)) # 输出-inf```四、应用举例贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，下面举几个例子：1. 球谐函数的展开式中就包含了贝塞尔函数。
贝塞尔函数
y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0
k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0
x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt
( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2
Bessel函数介绍
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类的总称。
一样贝塞尔函数是以下（一样称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：这种方程的解是无法用系统地表示的。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α转变而转变（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最多见的情形为α是n，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍适应针对α和−α概念两种不同的贝塞尔函数（如此做能带来益处，比如排除函数在α=0 点的不滑腻性）。
历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在中叶就由在研究悬链振动时提出了，那时引发了数学界的爱好。
的叔叔，、等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要奉献。
，数学家在研究提出的三体系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的整体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
现实背景和应用范围贝塞尔方程是在或下利用求解和时取得的（在圆柱域问题中取得的是整阶形式α = n；在球形域问题中取得的是半奇数阶形式α = n+½），因此贝塞尔函数在和各类涉及有势场的问题中占有超级重要的地位，最典型的问题有：在圆柱形中的传播问题；圆柱体中的问题；圆形（或环形）的分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有效。
譬如在中的（）或（）的概念中，都要用到贝塞尔函数。
概念贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个的解。
针对各类具体情形，人们提出了表示这些解的不同形式。
下面别离介绍这些不同类型的贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须知足在x= 0 时有限。
如此选取和处置Jα的缘故见本主题下面的；另一种概念方式是通过它在x = 0 点的展开（或更一样地通过展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为（它可视为函数向非整型的推行）。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
贝塞尔函数的推导
贝塞尔函数的推导一、什么是贝塞尔函数贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友雅各布-路易·贝塞尔（Jacob Ludwig Carl Bessel）之名命名。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
贝塞尔函数可以由贝塞尔微分方程推导而来，表达式中包含了贝塞尔函数的阶数和自变量。
贝塞尔函数包括贝塞尔第一类函数（记作Jn(x)）和贝塞尔第二类函数（记作Yn(x)），它们是贝塞尔微分方程的两个线性无关解。
二、贝塞尔函数的推导贝塞尔函数的推导是从贝塞尔微分方程出发，通过一系列变换和求解得到的结果。
下面将详细介绍贝塞尔函数的推导过程。
2.1 贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程是一个二阶常微分方程，表示为：x^2y’’ + xy’ + (x^2 - n^2)y = 0其中，y’’表示y对x的二阶导数，y’表示y对x的一阶导数，n为贝塞尔函数的阶数。
2.2 贝塞尔函数的级数解通过将贝塞尔微分方程进行级数展开，得到贝塞尔函数的级数解。
假设贝塞尔函数的级数解表示为：y(x) = Σ An*x^(n+r)代入贝塞尔微分方程，得到：Σ (n+r)(n+r-1)An x^(n+r) + Σ (n+r)An*x^(n+r) + Σ (x^2 - n2)An x(n+r) = 0整理得到：Σ [(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2)] * An*x^(n+r) = 0由于An与x无关，所以方程中每一项系数都必须为零，即：(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2) = 0化简得到：(n+r)^2 - n^2 = 0解得：r = ±n所以，贝塞尔函数的级数解可以表示为：y(x) = Σ A*x^(n+r)其中，r为贝塞尔函数的阶数。
2.3 贝塞尔函数的通解贝塞尔函数的通解是将级数解带入初始条件得到的。
bessely函数
bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。
第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。
第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。
贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。
以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。
通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。
2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。
例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。
3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。
例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。
4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。
例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。
5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。
贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。
除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。
贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。
总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。
它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。
贝塞尔函数
贝塞尔函数基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
数学物理方法贝塞尔函数
第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:222'''()0x y xy x n y ++-=其中，n 为任意实数。
当n>0时，取级数解c k k k y a x ∞+==∑有120'()''()(1)c k c k k k k k y a c k xy a c k c k x ∞∞+-+-===+=++-∑∑代入原式，222222012{[()(1)()]}()[(1)]0k kk k a c k c k c k aa x a c a a c n x ∞-=++-++-++-++-=∑有222201222()0[(1)]0[()]0k k a c n a c n a c k n a --=+-=+-+=得1,0c n a =±=，取c=n, 有222()k k a a n k n -=+-定理：212200,1,...(1)!2!()!m m mma m n a m n m +==-=+ 取022!na n =得22(1)2!()!mmn m a m n m +-=+有一个特解220(1)()2!()!mn m n n m m y J x x m n m ∞++=-==+∑取c=-n, 得另一个特解2220(1)()2!()!m n mn n m m x y J x m n m -+∞--+=-==-+∑称J n (x)为第一类Bessel 函数。
当n 不为整数x-->0时，有J n (x)-->0, J -n (x)-->∞, 则J n (x)-与J -n (x)不相关。
由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n 不为整数，Bessel 方程的通解为()()n n y aJ x bJ x -=+由级数收敛差别法，有22211limlim 04()m m m m a a m n m R→∞→∞-===+ 式中R 为收敛半径，可知R=∞,则J n (x)与J -n (x)的收敛范围为0<|x|<∞ 定义：当n 为整数时，J n (x)-称为整数阶Bessel 函数 例计算J 0(1)的前三项和。
第五章-贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔〔Hankel〕函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数〔或称汤姆孙函数〕n阶第一类开尔文〔Kelvin〕第五章贝塞尔函数在第二章中，用别离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过别离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行别离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，假设圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用别离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程〔5.1〕得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=〔5.4〕 22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ 〔5.5〕 从〔5.4〕得2()a t T t Ae λ-= 方程〔5.5〕称为亥姆霍兹〔Helmholtz 〕方程。
贝塞尔函数
贝塞尔函数1.贝塞尔方程及解:令()()()(),,=R ,u ϕτϕτΦZ 为分离变量的解，则()R ,满足本征值问题的方程，2222210R dy dR m R dx d ω⎛⎫∂++-= ⎪∂⎝⎭（17.1.1）其中2ω是分量的本征值问题的本征值。
若作变换()R()R()y(x);m xx x ωλνω=====或； 则上面方程可以变换：2//2/2(x )y 0x y x y ν++-= （17.1.1a ）当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为：(x)AJ (x)BJ (x)y νν-=+当ν=整数时，由于J m -=(1)(x)m m J -，因此通解为 (x)AJ (x)BY (x)m m y =+式中A 与B 为任意常数，J (x)m 与Y (x)m 分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。
2.贝塞尔方程的的级数解二阶线性齐次常微分方程2'''22(x )y 0,0x y xy x b υ++-=≤≤ 为贝塞尔方程现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式由p(x)=1x,q(x)=1-22x ν可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)的二阶极点。
因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式;nkk p k k k k y x C x C x ∞∞+===∑=∑ 2.1.12.2指标方程将2.1.1代入贝塞尔方程可得：22300(k )0k p k k k k k C x C x ρρν∞∞+++==⎡⎤∑+-+∑=⎣⎦ 2.1.2 由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得：220()C 0x ρρν-=因0C 0≠，即得指标方程220ρν-=。
由此得指标1,ρν= 2ρν=-2.3．系数递推公式为确定起见，令ν>0，并将ρ=1ρ=ν代入2.1.2中得到22200(k )0k k k k k k C x C x νννν∞∞+++==⎡⎤∑+-+∑=⎣⎦ 改变第二项的求和指标，可得202k(k 2)0k k k k k k C xC xννν∞∞++-==∑++∑=由x的同次幂数之和为0，1(12)0C ν+=2k(k 2)0k k k C C ν-++=由此得10C =2(1)k(k 2)k k C C ν--=+2.4.推公式求系数得特解 ………将系数代入1.1中的贝塞尔方程的一个特解为20120(1)(1)C (x)2!(n 1)n n n n y x n ννν∞+=-Γ-+=∑Γ++2.5.另一个特解同理，令2ρρν==-可得另一个特解为20220(1)(1)C (x)2!(n 1)n n n n y xn ννν∞-=-Γ-+=∑Γ-++3.第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数(x)J ν的级数形式为21(x)(1)()!(1)2kkk dy x J k νννκ+∞==-Γ++∑经过证明可得：,(x)(1)(x)mm m J J -=-同理可得：,(x)(x)m m J J -=因此：,(x)(1)(x)mmm J J -=-4.第二类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数是Weber 和Schlafli ,通常把它定义为 cos (x)(x)Y (x)sin J J νννπνπ--Y (x)m 的级数形式为Y (x)m ={}1220021(m k 1)!1(1)ln (x)()(k)(m )()2!2!(m k)2k m m k m m k k k x x x J k k κγϕϕκπππ-∞-++==---⎡⎤+--++⎢⎥+⎣⎦∑∑式中γ=0.577216,而 (k)ϕ=11n nκ=∑当x 很小时，可得 0Y ≈2lnx π（0ν=）当x 很大时，(x)(x )42xY νπν≈-- （17.1.12）5.第三类贝塞尔函数 通常定义为(1)H (x)iY (x)J ννν=+ (2)H (x)iY (x)J ννν=-则方程（17.1.1 a）的通解可以写成为(1)(2)y(x)AH H (x)B νν=+ 当x →∞时其渐进展开式为3(x )(1)22H (x )x i o νν--=+ （17.1.14a ）3(x )(2)242H (x )x i o νπν----=+ （17.1.14b ） 当x 0→时其渐进展开式为 (1)!2(x)()H ix ννπ-≈- （ν>0） (2)2H (x)iln x νπ≈-总结上述，ν阶贝塞尔方程2/22(x )y 0x y xy ν++-= 的通解有三种形式： (1)y(x)AJ(x)(x)BJ =+ (ν0≠)(2)y(x)AJ(x)(x)BY ν=+ (ν可取任意整数) (3)(1)(2)y(x)AH (x)(x)BH νν=+ (ν可取任意整数) 其中A,B 为常数。
Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
Bessel函数介绍
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在 18 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬 链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗 日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开 普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架， 后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。
和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）
图 3 0 阶、1 阶和 2 阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔 Y 函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y 函数”，敬请读者留意。）
第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。 这种函数通常用 Yα(x)表示，它们是贝塞尔方 程的另一类解。x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。 Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα(x)。它和 Jα(x)存在如下 关系：
第一类α阶贝塞尔函数 Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在 x = 0 时 有限。这样选取和处理 Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在 x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：
上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的
以上形式保证了当宗量 x 为实数时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列修正贝塞尔 方程（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：
修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实宗量是振荡型的，而修 正贝塞尔函数 Iα 和 Kα则分别是指数增长和指数衰减型的。和第一类贝塞尔函数 Jα一样， 函数 Iα当α > 0 时在 x=0 点等于 0，当α=0 时在 x=0 点趋于有限值。类似地，Kα在 x=0 点 发散（趋于无穷）。
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。
它们与其他功能结合形成圆柱谐波功能。
除基本功能外，贝塞尔功能是物理学和工程学中最常用的功能。
它们以19世纪德国天文学家贝塞尔（F.W. Bessel）的名字命名，后者于1824年首次对其进行了描述。
贝塞尔函数是数学中一类特殊函数的总称。
常规贝塞尔函数是以下常微分方程（通常称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。
这种方程的解不能用基本函数来系统地表示。
但是，可以将自动控制理论中的相平面法用于定性分析。
在这里，它被称为其对应的贝塞尔函数的顺序。
在实际应用中，最常见的情况是整数，相应的解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上面的微分方程中，符号本身不会改变方程的形式，但在实际应用中仍然习惯定义两个不同的Bessel函数（这可以带来好处，例如消除点处的函数不平滑性）。
定义贝塞尔方程是二阶常微分方程，必须有两个线性独立的解。
针对各种特定情况，提出了这些解决方案的不同形式。
下面描述了不同类型的贝塞尔函数。
历史瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在18世纪中叶提出了几个正整数阶的Bessel函数，这在当时引起了数学界的轰动。
Jacobs Bernoulli，Leonhard Euler和Joseph Louis Lagrange为Bessel函数的研究做出了重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）在研究约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）提出的三体重力系统的运动问题时，首次提出了贝塞尔函数的理论框架。
后人以他的名字命名这个功能。
现实背景和适用范围贝塞尔方程是通过使用变量分离方法在圆柱坐标或球坐标中求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程而获得的。
因此，贝塞尔函数在波动问题和涉及势场的各种问题中起着重要作用。
*电磁波在圆柱波导中的传播；*圆柱体中的热传导定律|导热问题；*圆形（或环形）膜的振动模式分析；贝塞尔函数的一个示例：鼓鼓表面在中心被击中后，沿拉紧鼓表面的二阶振动模式的半径方向的振幅分布是贝塞尔函数（考虑正负号）。
贝塞尔函数
1 2
J 1 2 ( x)
Ynx n1 2 x dx x 2
n
J n1 2 ( x)
（与
J ( n1 2) ( x)
不一样！）
Y( n1 2) ( x)
2
( m 1, 2,) 的正交性。
rJ
0
R
n
(
m
(n)
R
r ) Jn(
k
( n)
R
r )d r
0, 2 2 R R 2 ( n) 2 (n) J ( ) J ( ), n 1 m n1 m 2 2
mk mk.
Jn (
m ( n)
R
r)
m 1 在【0，R】上，带权重r正交。
数值解，再用（1）式求
J v ( x)
的
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数
(n k 1) (n k )!
（ 2）
k n 2 k
J n ( x)
(1) x J n ( x) k 0 k!(n k )! 2
第一类贝塞尔函数
k
n2k
nv
J v ( x)
k
（ 1）
(1) x J v ( x) k 0 k!(v k 1) 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求
1.先求的
的方法： J v (x )
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
(v k 1)
当为整数时，例如， v n，
Yn ( x) lim
n
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用贝塞尔函数是数学分析中的一类特殊函数，是解决物理、工程、数学等领域中一些具有圆对称性问题的有力工具。
在本文中，我们将介绍贝塞尔函数的基本概念及其实际应用。
一、贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数最初是由德国数学家贝塞尔在求解一个普遍的圆形问题时发现的。
贝塞尔函数有两类，即第一类和第二类，一般用Jn(x)和Yn(x)表示。
其中Jn(x)表示第一类贝塞尔函数，Yn(x)表示第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数和它们的导数满足贝塞尔微分方程：x^2*d^2y/dx^2 + x*dy/dx + (x^2-n^2)y = 0其中n为贝塞尔函数的度数，它的值可以是任意实数或零。
当n为整数时，贝塞尔函数是一种完整的函数，当n为小数或分数时，贝塞尔函数是一种不完整的函数。
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，例如：对于第一类贝塞尔函数Jn(x)，当x→0时Jn(x)≠0；当x→∞时，Jn(x)是振荡型函数，即Jn(x)近似于sin(x-nπ/2)。
而对于第二类贝塞尔函数Yn(x)，当x→0时Yn(x)是无穷大；当x→∞时，Yn(x)也是振荡型函数。
二、贝塞尔函数的实际应用1.电学中的应用：贝塞尔函数可以用来描述无限长圆筒形导线和矩形波导内部电磁场的分布。
此外，在计算电磁波在介质中传播时，也可以用到第一类贝塞尔函数。
2.声学中的应用：贝塞尔函数可以用来表示大气中声波的传播过程。
同时，它还可以描述圆形共振腔内空气的压力分布和管道内的声波传输。
3.视觉中的应用：贝塞尔函数可以用来刻画景深和焦距。
此外，它还可以指导图像的锐化和去噪。
4.计算机图形学中的应用：贝塞尔函数可以被用来构建连续的Bézier曲线，从而描述出计算机图形学中重要的对于帧的插值和物体的平滑变形。
结语贝塞尔函数是一种特殊的函数，在各个领域中都有着重要的应用，特别是在电学中、声学中、视觉中以及计算机图形学中。
了解贝塞尔函数的基本概念和性质，对于掌握这些领域的相关知识非常重要。
bessel函数
bessel函数贝塞尔函数（Bessel Function）是一个在数学中具有广泛应用的特殊函数。
它得名于德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel），他在19世纪早期首次引入了这个函数。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数（Bessel Function of the First Kind）和第二类贝塞尔函数（Bessel Function of the Second Kind），分别用J(x)和Y(x)表示。
这两个函数都是解贝塞尔微分方程而得到的，其方程形式为：x^2*y''(x)+x*y'(x)+(x^2-n^2)*y(x)=0其中，y(x)是贝塞尔函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数，n是贝塞尔函数的阶数。
第一类贝塞尔函数J(x)在数学和物理学中应用非常广泛。
它在波动现象、电磁场理论、量子力学、光学等领域都有重要的作用。
贝塞尔函数具有周期性，其性质和三角函数类似。
当x趋近于无穷大时，贝塞尔函数的振幅会逐渐减小，并呈现振幅快速振荡的特点。
这种振荡现象在光学中有重要应用，例如描述光的衍射和干涉。
第二类贝塞尔函数Y(x)在数学和物理学中的应用较少，主要用于表示贝塞尔函数的通解形式。
贝塞尔函数的解可以表示为线性组合的形式，其中包括第一类和第二类贝塞尔函数。
第二类贝塞尔函数在x趋近于零的时候有发散的性质，因此在物理问题中较少使用。
除了第一类和第二类贝塞尔函数外，还存在修正贝塞尔函数（Modified Bessel Function），通常用I(x)和K(x)表示。
修正贝塞尔函数在数学分析中也有广泛的应用，特别是在处理边界值问题和椭圆型方程时会经常出现。
贝塞尔函数的计算通常使用数值方法进行，尤其是在高阶贝塞尔函数的计算中。
常用的数值计算方法包括泰勒展开法、渐进展开法、递推关系等。
此外，贝塞尔函数还有一系列的性质和恒等式，如递推关系、积分关系、级数展开等，这些性质可以用于简化贝塞尔函数的计算和分析。
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6-2 贝塞尔函数柱函数在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．6.1 贝塞尔方程及其解6.1.1 贝塞尔方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。
考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题222222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,)tt xx yy x y l t tt u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ϕψ+===⎧=+≤+<>⎪=≥⎪⎨=⎪⎪=⎩（6.1.1）其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ϕψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）设(,,)(,,)()(,)u x y t u t T t U ρϕρϕ==）得220a T =（6.1.2）22100 U U k U ρϕρ′′′++=（6.1.3）再令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，得到2ν′′Φ+Φ=(6.1.4)2222()0R R k R ρρρν′′++−=（6.1.5）于是(6.1.5)得到22d ()0d y x x y xν+−=（6.1.6）边界条件为()|()0l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为ν阶贝塞尔微分方程．这里νx和可以为任意数．6.1.2贝塞尔方程的解通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：（1）当ν≠整数时，贝塞尔方程(6.1.6)的通解为()J ()J ()y x A x B x νν−=+（6.1.7）其中,A B 为任意常数，J ()x ν定义为ν阶第一类贝塞尔函数但是当n ν=整数时，有J ()(1)J ()nn n x x −=−故上述解中的J ()n x 与J ()n x −是线性相关的，所以(6.1.7)成为通解必须是ν≠整数.（2）当ν取任意值时：定义第二类贝塞尔函数N ()x ν，这样贝塞尔方程的通解可表示为()J ()N ()y x A x B x νν=+（6.1.8）(3) 当ν取任意值时：由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数H ()x ν，又称为汉克尔函数．(1)(2)H ()J ()iN ()H ()J ()iN ()x x x x x x νννννν⎧=+⎨=−⎩（6.1.9）分别将(1)(2)H ,H νν称为第一种和第二种汉克尔函数．于是贝塞尔方程的通解又可以表示为(1)(2)(H ()H ()y x A x B x νν=+（6.1.10）最后，总结ν阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：（i ）()J ()J () (y x A x B x ννν−=+≠整数）（ii ）()J ()N ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）（iii ）(1)(2)()H ()H ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）6.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质6.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数J ()x ν的级数表示式为2201()1)2()!(1)2kkkk x x k k ννν∞+−+=Γ−++∑∑（6.2.1）伽马函数．满足关系()(1)(2)(1)(1)k k ννννν++−++Γ+"当ν为正整数或零时，(1)()!k k ννΓ++=+当ν取整数时(1),(0,1,2,,1)k k ννΓ−++=∞=⋅⋅⋅−所以当n ν=整数时，上述的级数实际上是从k n=的项开始，即, (0)n ≥(6.2.2)22011)()!(1)21(1)(), ()!(1)2kn kln lx k n k x l k n l n l −+∞+=Γ−++−=−Γ++∑(6.2.3)所以J ()(1)J ()nn n x x −=−（6.2.4）同理可证J ()J ()n n x x −=−（6.2.5）因此有重要关系J ()(1)J ()nx x −=−（6.2.6）贝塞尔函数表示式246223511()()()2(2!)2(3!)211()()2!22!3!2x x x x x −+−+−+−""当x 很小时(0)x →，保留级数中前几项，可得1J ()(),(1,2,3,)2(1)x x νννν≈≠−−−⋅⋅⋅Γ+（6.2.7）特别是0J (0)1,J (0)0 (=1,2,3,)n n ==⋅⋅⋅(6.2.8)32π)()π42o x x ν−−+（6.2.9）试证半奇阶贝塞尔函数122J ()s in πx x x=(6.2.1)有而13135(21)()π22k k k +⋅⋅⋅⋅+Γ+="(21)!k +2sin πx x122J ()cos πx xx−=121212220J ()(1)12!(1)2k kk k x x k k +∞+==−Γ++∑6.3 贝塞尔函数的基本性质6.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（6.2.1）容易推出1J ()J ()d []v x x ν+=−(6.3.1))(6.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式.诺伊曼函数N()v x 也应该满足上述递推关系若用()v Z x 代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d v vv v x Z x x Z x x−=(6.3.3)d [()]()v vx Z x x Z x −−=−(6.3.4)1)()()v v vx Z x Z x x+−=−(6.3.5)1()()v v vZ x Z x x−=(6.3.6)从(6.3.5)和(6.3.6)消去Z ν或消去Z ν′可得11()()2()v v v Z x Z x Z x +−′=−112()()()v v v vZ x Z x Z x x+−=−+即为从)(x Z 和)(x Z 推算)(1x Z v +的递推公式.1()2()v v vZ x Z x x++=（6.3.7）1)()2()v Z x Z x ν+′−=（6.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数例6.3.1证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（6.3.7）和（6.3.8）这一组递推公式来进行证明：将(6.3.7)与（6.3.8）相加或相减消去1Z ν+或1Z ν−分别得到()()()Z x Z x Z x ν′+=(6.3.9)x（6.3.10）换成1ν+，得到ν111()()x Z x x νν+++′+（6.3.11）将（6.3.10）代入上式，立即得到()Z x ν满足ν阶贝塞尔方程．例6.3.2 求2J ()d x x x∫【解】根据公式(6.3.8)11()()2()v v Z x Z x Z x ν−+′−=有201J ()J ()2J ()x x x ′=−20111111010J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c′=−=−−′=−+=−−+∫∫∫∫∫例6.3.3 证明下式成立1110J ()d J ()xm m m m x x x x x +++=∫(6.3.17)特别是22J ()d J ()xx x x x x =∫(6.3.18)】利用递推公式(6.3.2)即1J ()vv x x −=，令1m ν=+则两边积分，故得到111d [J ()]J ()d m m m m x x x x x+++=1J ()d m x x∫1，即为（22.3.18）式。
6.3.2 贝塞尔函数与本征问题拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程(14.6.7) 即2222d 1d ()0d d R R R νμρρρρ++−=（6.3.19）取整数，其它情况下ν分三种情况：0=μ，0>μ和0<μ进行讨论．方程（6.3.19）是欧拉方程；作代换x μρ=，则得到()22222d d 0 ()d d R R x x x R x x xνμρ++−==（6.3.21）即为ν阶贝塞尔(Bessel)方程．（３）0<μ．记20k μ−=>，以2kμ=−()22d 0d R x R xν−+=(6.3.22)虚宗量贝塞尔方程．如把贝塞尔方程（6.3.22）的宗量i x，就成了方程（6.3.21）贝塞尔方程本征值问题（即本征值0μ>的情况）：1. 第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题220201d d []()()0(0)d d ()0 |(0)|R k R R R M νρρρρρρρρρ⎧+−=≤≤⎪⎨⎪=<⎩(6.3.23)()(2π+)ϕϕ=Φ0,1,2,3,="可进一步化为施—刘型本征值问题的形式20)()0(0)(0)|R k R R M ρρρρ+=≤≤<(6.3.24)相应于施－刘型方程中的22(), (),(),mk x x q x x x kxρλμ==−===故施－刘型本征值问题的结论对于贝塞尔方程的本征值问题也(6.3.24)的通解为)N ()m B μρμρ+(6.3.25)表征J ()0m x =的第n个正根，于是本征值())220][](1,2,3,)m m nxn ρ=="(6.3.26)代入边界条件决定本征值及本征函数．因为(0)R M<故B =又0()0R ρ=，要A ≠，则必须则=决定本征值的方程.施－刘型本征值问题的结论(1) 本征值存在，且都是非负的实数；<"(2) 本征值可编成单调递增的序列())()2222)()()m m nxxρρ<<<<""(6.3.27)()()()12J (),J (),,J (),m m m nm m m xxxρρρρρρ""(6.3.28)（3）对于每一个本征值有一个相应的本征函数()()2[]m m nnkλ=()J()m mnk ρ且本征函数()J ()m mnkρ在0[0,]ρ区间上有(1)n −个零点即()()()112000()()(),,,m m m n m m m nnnx x x xxxρρρ−"贝塞尔函数有无穷个零点．零点与的零点是彼此相间分布的，即1J ()m x +的任意两个相邻零点之间必有且仅有一个1J ()m x +1J (m x +（5）以()m nx表示J ()m x 的第n 个正零点，则()()1lim []πm m n nn xx+→+∞−=，即J ()m x 几乎是以2π为周期的周期函数．24612(1)3(4)15(4)105(4)C D EA A A ++++"其中221π(2),4,731,83982377922A m nB mC BD B B =−+==−=−+32694915385515857436277237E B B B =−+−)0=00)]J ()0m k k ρρρ=′==（6.3.30）对于不过，0k ≠，则本征值()()20(/)m m nnxλρ=(6.3.31) 其中()m nx是J ()m x ′的第n个零点.J ()m x ′的零点在一般的数学用表中并未列出.0m =的特例还是容易得到的：由公式(6.3.12)得到01J ()J ()x x ′=−这样，至于0J ()x ′的零点不过就是1J ()x 的零点，可从许多数学用表中查出．m ≠的情况,J ()m x ′的零点()m nx11[J ()J ()]m m x x −+−的零点可从曲线1J ()m x −和1J ()m x +对于0m ≠J ()mx ′的情况,的零点()m nx还可以用下面的公式计算：()m nx＝35386(4)15(4)B C D A A A A +−−−−"2222),4,78292207530393537n B m C B B B B π==+−−+这个条件就是(3) 第三类齐次边界条件.0)()(00=′+ρρR H R ()()()00J ()J ()0m m m m nn m nkHk kρρ′+=记()000, /,m nx kh H ρρ==并引用（6.3.5）可将上式改写为，其中010J ()J ()m m x x x h m+=+所以本征值()()20(/)m m nnxμρ=()m nx贝塞尔函数正交性和模对应不同本征值的本征函数分别满足(6.3.35)乘以2()2()2dJ d []{[]}J ()0d d m m m i m i m k k ρρρρρ+−=(6.3.34)2()2()2dJ d []{[]}J ()0d d m m m j m j m k k ρρρρρ+−=（6.3.33）)()m j ρ(J m i k ρ()J (m m ikρ两式相减，再积分，利用分部积分法得到0()()0()()()0J ()J ()d d d J ()J ()J ()]|0d d m m m i m jm m m m j m j m i k k k k k ρρρρρρρρρρρρ−=∫故当2．贝塞尔函数的模()()m m ij kk≠0()()0J ()J ()d 0m m m im jkk ρρρρρ=∫(6.3.36)()m nN为了用贝塞尔函数作基进行广义傅立叶级数展开，需要先()J ()m m nk ρ计算贝塞尔函数的模()m nN()2()2[][J ()]d m m nm nNkρρρρ=∫(6.3.37)注意对于()()()22[][]m m m nnnxkλρ==()0m n x >()0m x>把()m nkρ记为x2221[J ()]d [J ()]d()2x x m m nx x x x x λ=∫∫222001[J ()][J ()]J ()d x x m m m n x x x x x xλ′−∫(6.3.38)()222220011[][J ()][J ()J ()J ()]J ()d2x x m n m m m m m n n N x x x x x x m x x x λλ′′′=++−∫022222000dJ ()11[J ()][J ()(J )]d J dJ 2d x x x mm m mm m n n n x m x x x x x x x λλλ′′′=++−∫∫0220)][J ()]2xm nm x x λ−02222001)J ()][J ()]2x x m m nm x x x λ′+()22()20001)[J ()][J ()].2m m m n m n k k ρρρ′+第一类齐次边界条件则式（6.3.38）成为()0J()0,m mnkρ=()22()201[][J ()]m m Nk ρρ′=(6.3.39)）代入上式，并且考虑到第一类齐次边界条件0)0,ρ=故得2()20101[J ()]2m m n k ρρ+（6.3.40）第二类齐次边界条件（6.3.38）成为()0J ()0,m m nkρ′=2()22()2001[]()[J ()]2m m nm n m Nk ρρλ=−（6.3.41）)m H(6.3.38)成为222()2000)[J ()]m m n n n m k H ρρρλλ−+（6.3.42）6.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()J ()m m nkρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．)(ρ可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数()1()J ()m n m nn f f kρρ∞==∑（6.3.43）广义傅氏系数()20()J ()d ]m m nf kρρρρρ∫(6.3.44)例6.3.4在区间0[0,]ρ上，以(0)0J ()nk ρ为基，把函数0()f uρ=（常数）展开为傅里叶－贝塞尔级数.说明：其中(0)(0)2[]nnk λ=是本征函数(0)0J ()nkρ对应的本征值.【解】根据(6.3.43)和(6.3.44)则(0)001J ()n nn u f kρ∞==∑其中系数这里的0(0)00(0)21J ()d []n nnf u kNρρρρ=∫(0)nN由第一类边界条件所对应的模公式(6.3.40)给出．(0)22[]nxρ=是0阶贝塞尔函数0J ()x 的第n 个零点，贝塞尔函数表查出．这样令(0)2(0)200102J()d[J()]nnnu xfxρρρρρρ=∫(0)nxxρρ=，则(0)10(0)2(0)(0)12[J()]()]J()nxn n nu ux xx x x=(0)(0)(0)1102J()J()nn n nu xx xρρ∞=∑6.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）1. 母函数（生成函数）考虑解析函数)1(2),(zzxezxG−=在此处的x为参变数，不是复变数z的实部.∑∞==2!)2(k kkzx zk x e∞−−−)2(1l l z x x ∑∑∞=∞=−−=00)1)(!)2(!)2(k l l lk k zz l x z k x对于固定的z +∞<<z 0，以上两级数在内是可以相乘的，且可按任意方式并项．,,2,1,0,"±±==−n n l k 2000(1)(1)()[()]!!2()!!2l lk l k l l n n l n l x x z z k l n l l ∞∞∞∞+−+===−∞=−−=+∑∑∑∑称平面波用柱面波的形式展开(,)J()nnn G x z x z∞=−∞=∑(6.3.45))1(2z z x e−为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．x kr=）的傅氏余弦展开式．i cos i i i 01J()i J ()[J ()i J ()i ]kr n n n n n n nn n n n ekr ekr kr ekr eθθθθ∞∞−−−=−∞===++∑∑1()cos n n kr n θ=∑（6.3.46）i cos kr eθ。