第二类修正的贝塞尔函数标准曲线BESSELK0
用matlab画贝塞尔函数图象几例
第一类贝塞尔函数在MatLab中用besselj(NU,Z)来表示：用MatLab的仿真代码是：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselj(0,x);y_1=besselj(1,x);y_2=besselj(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,20,-1,1]);title('0阶、一阶、二阶第一类贝塞尔函数曲线图'); xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)在MatLab中用用bessely(NU,Z)来表示：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=bessely(0,x);y_1=bessely(1,x);y_2=bessely(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([1,20,-2,1]);title('0阶、1阶、2阶第二类贝塞尔函数曲线图');xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)汉克尔函数在MatLab中用BESSELH(NU,K,Z)clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselh(0,2,x);y_1=besselh(1,2,x);y_2=besselh(2,2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);axis([0,20,-0.5,1]);grid on;title('0阶、1阶、2阶第三类贝塞尔函数曲线图');xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');变形第一类贝塞尔函数(modified function of the first kind)变形第一类贝塞尔函数在MatLab中用BESSELI(NU,Z) 表示clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besseli(0,x);y_1=besseli(1,x);y_2=besseli(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,6,0,6]);title('0阶、1阶、2阶变形第一类贝塞尔函数曲线');xlabel('Variable X');ylabel('Varialbe Y');变形第二类贝塞尔函数(modified Bessel function of the second kind)变形第二类贝塞尔函数在MatLab中用BESSELK(NU,Z) 表示clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselk(0,x);y_1=besselk(1,x);y_2=besselk(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,6,0,6]);title('0阶、1阶、2阶变形第二类贝塞尔函数曲线');xlabel('Variable X');ylabel('Varialbe Y');。
Bessel方程及Bessel函数
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值,可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程.●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数;)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼（Neumann ）函数")。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4)其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel)函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ,当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值,所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言,必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件"。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程,其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外,由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ,根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ,通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程,其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ）例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x (0≠x )即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x )例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd R d r r d R d r 令r k x =,xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd y d x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5) 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6)其中,A 、B 为任意实数;)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
Excel公式和函数 贝赛耳函数
Excel 公式和函数 贝赛耳函数贝赛尔（Bessel ）函数是数学上一种特殊的函数。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架 该函数用于理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域。
在Excel 中一共提供了4个贝赛耳函数，下面以BESSELI 函数为例进行介绍。
该函数返回修正Bessel 函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等。
其中，变量x 与n 阶修正Bessel 函数公式为：In （x ）=（i ）-nJn （ix ）。
语法：BESSELI(x,n)在BESSELI 函数中，主要包含两个参数，其中，x 为参数值。
N 为函数的阶数，如果n 不是整数，则截尾取整。
例如，在Excel 中，A 列显示了运算公式，C 列为函数的计算说明。
然后，在B2中，输入“=BESSELI(3,0)”公式，即可求出相应的结果，并运用相同的方法，输入不同的公式，即可得到如图15-1所示的效果。
图15-1 BESSELI 函数提 示从上述的实例中，用户可以发现参数x 与参数n 之间的成反比例关系，当x 固定时，n 的取值越大，则得出的计算结果越小；反之，则计算结果越大。
在该函数的计算过程中，需注意以下几点说明：●如果参数x 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
●如果参数n 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
● 如果参数n<0，则BESSELI 函数返回错误值#NUM!。
另外，在Excel 中还为用户提供3种有关贝赛尔函数的用法，其功能如表15-1所示。
表15-1 贝赛尔函数功能表输入。
bezier曲线参数表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，通常用于计算机图形学、动画设计等领域。
贝塞尔曲线的参数表达式可以通过一系列控制点来定义。
对于n阶贝塞尔曲线，需要n+1个控制点P0, P1, ..., Pn。
贝塞尔曲线的参数表达式可以表示为：
B(t) = ∑(P[i] * C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i)，其中t∈[0,1]
其中，C(n, i)表示组合数，即从n个不同项中取出i个的组合方式数量。
具体来说，对于二次贝塞尔曲线（n=2），参数表达式可以简化为：
B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2*(1-t)*t * P1 + t^2 * P2
对于三次贝塞尔曲线（n=3），参数表达式可以表示为：
B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3
其中，P0, P1, ..., Pn是控制点。
通过改变参数t的值，可以得到贝塞尔曲线上的不同点。
通常，t的值从0变化到1，以获得从起点到终点的曲线。
通过计算t的不同值，可以得到曲线上的其他点。
第二章 Bézier曲线
Bézier曲线递推公式图例2
凸包性
凸包的定义
几何不变性例1
几何不变性例2
三次Bézier曲线等分作图
三次Bézier 曲线插值
三次Bézier曲线的几何特征1
三次Bézier曲线的几何特征2
三次Bézier曲线的几何特征3
三次Bézier曲线的几何特征4
三次Bézier曲线等分作 图
连接点处的参数连续性(1)
连接点处的参数连续性(2)
连接点处参数连续性图例
Bézier曲线的几何连续性
组合Bézier 曲线图例
Bézier曲线几何连续性图例
§6.Bézier曲线修形及升阶
Bézier 曲线的形状修改
Bézier 曲线的升阶
有理Bézier曲线
升阶图例1
第二章 Bézier曲线
§1.一般介绍 §2.Bézier曲线的定义及性质 §3.de Casteljau算法 §4.Bézier曲线的其它表示形式及导数 §5.组合Bézier曲线和几何连续性 §6.Bézier曲线修形及升阶
§1.一般介绍
Bézier曲线是分别由法国 Citroën 汽车公司的de Casteljau大约于1959年 和法国Renault汽车公司的Bézier大约 于 1962 年独立研制的.由于以Bézier 方法为基础的 UNISURF 系统首先公开 发表,所以现在这一方法冠以Bézier的 名字.
升阶图例2
形状修改图例
图例：三次Bézier曲线
Bézier曲线的定义(现在)
Bernstein多项式的性质(1)
1.单位分解性
2.非负性 3.端点性质
Bernstein多项式的性质(2)
COMSOL_Multiphysics中各常用内置参量
Summary of Built-In Variables With Reserved NamesThis section is an overview of the built-in elements of the following categories as defined by the underlying COMSOL language:•C onstants•V ariables•F unctionsThese language elements are built-in or user-defined. In addition there are operators that cannot be user-defined, and expressions, which are always user-defined.具有保留名称的内置变量摘要本节概述了由基础COMSOL语言定义的以下类别的内置元素：•常量•变量•功能这些语言元素是内置的或用户定义的。
此外，还有不能由用户定义的运算符，以及始终由用户定义的表达式。
ABOUT RESERVED NAMES关于预留名称Built-in variables have reserved names, names that cannot be redefined by the user. It is not recommended to use a reserved variable name for a user-defined variable, parameter, or function. For some of the most common reserved variable names, such as pi, i, and j, the text where you enter the name turns orange and you get a tooltip message if you select the text string. Reserved function names are reserved only for function names, which means that such names can be used for variable and parameter names, and vice versa. The following tables list most built-in elements and hence those reserved names.内置变量具有保留名称，用户无法重新定义。
Bessel函数介绍
[1] 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第 82 页~第 123 页，ISBN 7-312-00799-6/O·177
[2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) （英文） Chapter 9 整阶贝塞尔函数 ■ Section 9.1 J, Y （韦伯） and H （汉开尔） ■ Section 9.6 修正贝塞尔函数（I 和 K） ■ Section 9.9 开尔文函数 ■ Chapter 10 分数阶贝塞尔函数 ■ Section 10.1 球贝塞尔函数（j、y 和 h） ■ Section 10.2 修正球贝塞尔函数（I 和 K） ■ Section 10.3 黎卡提-贝塞尔函数 ■ Section 10.4 艾里函数（Airy functions） [3] George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001). [4] Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958) ISBN 0486604624. [5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1966) Cambridge University Press. [6] G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25(1908), p.377. [7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics 43 (9), 1951-1956 (2004).
matlab的第一类第零阶开尔文函数
matlab的第一类第零阶开尔文函数开尔文函数是一类特殊的数学函数，被广泛应用于物理学、工程学和数学领域。
它以数学家和物理学家威廉·开尔文（William Thomson）的名字命名。
在Matlab中，开尔文函数可以使用besselk 函数来计算。
besselk 函数是用来计算第一类第零阶开尔文函数（Bessel function of the second kind），也被称为调整过的贝塞尔函数（Modified Bessel function）。
第一类第零阶开尔文函数用符号K_0(x)表示，定义为：K_0(x) = ∫[0, ∞] e^(-x cosh t) dt其中，x 是自变量，cosh 是双曲余弦函数。
第一类第零阶开尔文函数在物理学和工程学中的应用非常广泛。
它们常常出现在电磁波传播、随机过程、热传导、傅里叶变换等问题中。
其特点是在x接近0时，函数值趋于无穷大，而在x趋向于正无穷大时，函数值趋于0。
在Matlab中，使用besselk 函数计算第一类第零阶开尔文函数的值。
例子如下：matlabx = 1; % 自变量K0 = besselk(0, x); % 计算第一类第零阶开尔文函数值disp(K0); % 显示函数值上述代码中，我们设置自变量x 的值为1，然后使用besselk 函数计算第一类第零阶开尔文函数的值，并将结果存储在变量K0 中。
最后，使用disp 函数显示函数值。
还可以通过绘图来可视化第一类第零阶开尔文函数。
例如，绘制函数在x 范围从0 到10 的曲线：matlabx = 0:0.1:10; % 自变量范围K0 = besselk(0, x); % 计算第一类第零阶开尔文函数值plot(x, K0); % 绘制曲线xlabel('x'); % 设置x 轴标签ylabel('K_0(x)'); % 设置y 轴标签title('Bessel Function of the Second Kind'); % 设置标题以上代码中，首先通过x = 0:0.1:10 定义了自变量x 的范围，然后使用besselk 函数计算相应的函数值，并将结果存储在变量K0 中。
android二阶贝塞尔曲线公式
android二阶贝塞尔曲线公式Android二阶贝塞尔曲线公式（Formula for Quadratic Bezier Curve in Android）贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和动画中的数学曲线。
在Android开发中，二阶贝塞尔曲线是一种经常被使用的类型，它由三个点共同决定。
以下是描述Android二阶贝塞尔曲线的公式。
公式：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * (1-t) * t * P1 + t^2 * P2在这个公式中，B(t)表示在t时刻曲线上的一个点，P0表示起始点，P1表示控制点，P2表示结束点。
t是取值范围为0到1的参数，用来表示曲线上的位置。
根据这个公式，我们可以计算出曲线上的任意一个点的坐标。
例如，当t等于0时，B(t)的值将是曲线的起始点P0。
当t等于1时，B(t)的值将是曲线的结束点P2。
二阶贝塞尔曲线相比一阶贝塞尔曲线更加复杂和灵活。
通过改变控制点P1的位置，我们可以改变曲线的形状。
当P1位于起始点和结束点之间时，曲线将呈现出弯曲的效果。
当P1位于起始点和结束点的外侧时，曲线将呈现出S形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类的drawPath()方法来绘制二阶贝塞尔曲线。
首先，我们需要创建一个Path对象，并通过调用Path对象的quadTo()方法来设置曲线的起始点、控制点和结束点。
然后，我们可以使用Canvas的drawPath()方法将曲线绘制在屏幕上。
总结：Android二阶贝塞尔曲线公式是一个通过起始点、控制点和结束点来描述曲线形状的数学公式。
通过调整控制点的位置，我们可以创建出各种各样的曲线形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类来绘制二阶贝塞尔曲线，为我们的应用程序增添更多的动画和设计效果。
第二章 Bézier曲线精品文档
二次Bézier曲线等分作图
包络形成的二次Bézier曲线
二次Bézier曲线的拼接
二次Bézier曲线插值
二次Bézier曲线插值图例1
二次Bézier曲线插值图例2
二次Bézier曲线插值图例3
二次Bézier曲线插值图例4
二次Bézier曲线拼接图例1
P2 Q1
Q2 P1
P0
Bézier曲线递推公式图例2
凸包性
凸包的定义
几何不变性例1
几何不变性例2
三次Bézier曲线等分作图
三次Bézier 曲线插值
三次Bézier曲线的几何特征1
三次Bézier曲线的几何特征2
三次Bézier曲线的几何特征3
三次Bézier曲线的几何特征4
三次Bézier曲线等分作 图
P4
Q3
P3 P5
二次Bézier曲线拼接图例2
二次Bézier曲线等分作 图
三次Bernstein基函数
四次Bernstein基函数
递推公式的证明
求导运算
升阶公式的证明一
升阶公式的证明二
分割公式的证明
积分公式的证明
基转化公式的证明
Bézier曲线递推公式的证明
Bézier曲线递推公式图例1
升阶图例2
形状修改图例
连接点处的参数连续性(1)
连接点处的参数连续性(2)
连接点处参数连续性图例
Bézier曲线的几何连续性
组合Bézier 曲线图例
Bézier曲线几何连续性图例
§6.Bézier曲线修形及升阶
Bézier 曲线的形状修改
Bézier 曲线的升阶
有理Bézier曲线
二次方贝塞尔曲线(PPT课件)
当K (s) 0时， ( s) K ( s) 称为曲线在 P (s)点的曲率 半径。
1
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
由于 T (s)和T (s s) 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 h (图 10.3)大小相等。弧长 h 和 | T |的极限相同，因此 lim | | 1 ，所以 0
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
S (t ) P (t ) dt
0
t
可看作是曲线从 P (0) 到 P (t )
0
的折线长度的极限。记 P (0) 为 P0 ， P (t ) 为 Pn ，在曲线从 P 到 Pn 之间沿着递增 的方向，取n－1个点 的折线，它的长度为
P 1, P 2, , Pn1
n
，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线 ，当
dT dT ds ds KN dt ds dt dt
dt 同方向
dT dT | | N KN ds ds
，其中K
KN称为曲线的曲率矢量。
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
矢量 B T N 垂直于T 和N，把B 称为单位副法线矢量。 过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、B，它们满足 B T N T N B 、 N B T 。把通过给定点且分别包含切矢量T和主法矢量N，主 法矢量N和副法矢量B，副法矢量B和切矢量T的平面分别称之为密切平 面、法平面和从切平面，如图10.4所示。
贝塞尔曲线的参数形式表达方式
贝塞尔曲线的参数形式表达方式
贝塞尔曲线（Bézier curve）是一种参数化的数学曲线，它由控制点和插值点组成。
贝塞尔曲线的参数形式表示为：
B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * P1 + 3 * (1 - t) * P2 + t³ * P3
其中，t 是参数，取值范围为0到1；P0、P1、P2、P3 是控制点；B(t) 是曲线在t参数下的坐标。
贝塞尔曲线可以根据需要分为一阶、二阶和三阶等不同阶数。
不同阶数的贝塞尔曲线具有不同的特性和灵活性。
一阶贝塞尔曲线（Linear Bézier Curve）由两个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t) * P0 + t * P1
二阶贝塞尔曲线（Quadratic Bézier Curve）由三个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * (1 - t) * P1 + t² * P2
三阶贝塞尔曲线（Cubic Bézier Curve）由四个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * P1 + 3 * (1 - t) * P2 + t³ * P3
在计算机图形学中，贝塞尔曲线常用于绘制平滑曲线、曲面、路径等。
它的优点是可以通过调整少量的控制点来精确控制曲线的形状，同时具有良好的数学性质和计算效率。
[整理]math studio函数.
![[整理]math studio函数.](https://img.taocdn.com/s3/m/3d676e5d5a8102d276a22f6a.png)
Apart（部分分式，做积分时常用的那个，与Together相反）, Coefficient（系数）,Degree（返回多项式的系数）,Denominator（得到一个表达式的分母）,Divisors（得到给定整数的所有因数,与nFactors相同）, DivisorSigma（给定整数的所有因数的和）,Eval（evaluate，求值）,Expand（展开）,Factor（实数范围内因式分解）,GCD（最大公约数）,LCM（least common multiple最小公倍数）,PolyDivide（多项式除法）,PolyFit（多项式拟合）,PolyGCD（多项式的最大公因式）,PolyLCM（多项式的最小公倍式）,PowerExpand（展开所有的幂次形式）,Quotient（多项式相除的商式）,Remainder（多项式相除的余式）,Sequence（计算数列的取定项）,SimplifyPoly（简化多项式，某些时候就是因式分解）, Solve, SolveSystem（解非线性方程组）,Together与Apart相反，将分式通分）Abs(绝对值),Arg（幅角）,Conj（求共轭复数）,Hyperbolic Functions（双曲函数）,Im（复数的虚部）,Imag（复数表达式的虚部）,Ln,Log,D（求对指定变量的指定阶导数）,Diff（求对指定变量的一阶导数）,DSolve（求解微分方程，可带初始条件）,fDiff（求多元函数的全微分）,FourierCos（傅里叶余弦变换）,FourierSeries（函数展开成傅里叶级数）,FourierSin（傅里叶正弦变换）,iDiff（隐函数求导）,iLaplace（拉普拉斯逆变换）, Integrate（对指定变量进行定积分或不定积分）,Laplace（拉普拉斯变换）,Limit（求极限）,NIntegrate（数值积分，定积分）,pDiff（多元复合函数求导）,Product（数列连续项的连乘积）,Series（将给定函数展开到指定阶的迈克劳林级数）,Sum（数列连续项的和Append（数组加长，字符串连接）,Call（求函数在指定点的值）Caps（测试字符串在指定位置字母的大小写或更改指定位置字母的大小写）, Char（求字母的ASCII值或求某ASCII值对应的字母）,Choose（创建分段函数）,Clear（将已赋给符号变量的值清除）,Command,Date（返回系统时间的时、分或秒）,Delete（删除数组或字符串的指定项）,Extract（提取数组或字符串的指定项）,Insert（在数组或字符串的指定位置插入项）,IsList（测试符号变量是否为数组）,IsMatrix（测试符号变量是否为矩阵）,IsNumber（测试符号变量是否为复数（包括实数））,IsPoly（测试符号变量是否为多项式）,Left（返回等式的左边部分）,Length（返回字符串或数组的长度）,List（按指定规则生成指定长度的数组）,Matrix（创建指定行数和列数的矩阵）,Part（表达式在指定位置的成分）,Replace（替换表达式的一部分）,Reshape（保持总元素个数不变，修改矩阵的行数和列数）,Reverse（将数组按升序或降序排列）,Right（返回等式的右边部分）,Size（返回矩阵的行数和列数）,Sort（将数组排序）,String（将一维数组按顺序连接成字符串或者连接两个字符串）,Value（将字符串转化成相应的变量值）,Variables（找出一个表达式中的全部变量）Constant（返回物理学常数的具体数值）,Finance（金融，当前价值、未来价值、利率、时长，贷款或投资什么的）, HRStoHMS（将用小数表示的时间转化成用时分秒表示的时间，也相当于将小数表示的角度转化为用度分秒表示的角度（DEGtoDMS））,LoadList（读取文本中的数据生成数组）,LoadMatrix（读取文本中的数据生成矩阵）,Table（给某函数赋一系列自变量的值然后得出对应的系列函数值）Binomial（二项式系数，就是组合数nCr）,Ceil（不小于给定值的最小整数，就是取整函数再加1）,Eulerian（1到n连续n个自然数中有k个数大于前一个数的排列数）, Factorial（n的阶乘，n！）, Floor（取整函数，高斯函数）,fPart（以分数或小数形式给出非整数的小数部分）,iPart（一个数的整数部分，注意这不是取整函数）,Mod（模，余数）,Multinomial（多项式系数）,nCr（组合数）,nPr（排列数）,nRoot（n次方根）,Pochhammer（求n*(n+1)*(n+2)…*（n+k-1）的值）,Round（将小数精确到指定位）, Sign（判定所给数字的正负或者是否为0）, Sqrt（开平方）clip（给定范围[a,b],削去小于a和大于b的部分，即绘出函数在a和b之间的部分）,FullRectSineWave（经全波整理后的正弦波,即|sin(x)|）, HalfRectSineWave(经半波整流后的正弦波，即（sin(x)+|sin(x)|）/2), SawToothWave(锯齿波),SquareWave（方波）,StaircaseWave（阶梯波）,TriangleWave（三角波）Code Files（代码文件）,Commands（角度弧度互化、重置时间零点）,Creating Scripts（脚本）,Entering Expressions,Graphing Equations,Include Folder,Lists, Matrices（矩阵）,Strings（字符串）,Symbols（符号，Time Graphing（参数动画）Cholesky（乔里斯基，返回正定矩阵的奇异值，与Cholesky分解无关）, coFactor（计算aij的余子式）,Det（计算矩阵的行列式值）,Eigenvalues（矩阵的特征值）,Eigenvectors（计算矩阵的特征向量）,Identity（n阶单位矩阵）,Inverse（求逆矩阵）,LUDecomposition（返回由三个元素组成的一个列表. 第一个元素是上三角和下三角矩阵的组合，第二个元素是一个指定用于绕轴旋转的行向量，并且对近似数值矩阵 m，第三个元素是m的L∞条件数的一个估计.）,QR（QR分解法，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积）,RowReduce（给出矩阵的行约化形式.）,SVD（给出一个数值矩阵的奇异值分解）,Transpose（矩阵转置）AlternatingSeries（用交错级数的部分和近似表达给定数）,Catalan，该函数返回第n个Catalan数，（2n!）/(n+1)!）,cFrac（用连分数表示给定数）,Convergents（单词意为收敛，，给出无理数的近似分数表示）,IsPrime（检测给定整数是否为质数，是就返回1，否就返回0）,LegendreP（n次Legendre(勒让德)多项式，数学物理方程中常见）,nFactors（求给定整数的所有因数，等同于Divisors）,nPrimes（得到整数的所有质因数及每个质因数的指数）,Pi-Digits（显示π的前n位小数）,Random（在指定范围内生成随机数）ContourPlot（等高线，等值线）,CylindricalPlot3D（柱坐标3D图像）,FractalPlot（分形图形，绘出的东西很漂亮，ImagePlot（不懂啊）,ImplicitPlot（隐函数图象）,JuliaPlot（绘制分形图形，不知道与FractalPlot有什么区别）,ListPlot（离散数据的散点图、柱状图、箱型图、折线图）,ListPlot3D（3D散点图……）,MultiPlot（在同一个坐标系中同时绘制多个函数图像）,MultiPlot3D（在同一个坐标系中同时绘制多个3D函数图像）, ParametricPlot（参数动画）,ParametricPlot3D（3D参数动画）,Plot（绘图）,Plot3D（3D绘图）,PolarPlot（极坐标绘图）,SphericalPlot3D（球坐标绘图）,VectorPlot（绘制向量场）,VectorPlot3D（绘制3D向量场）Animate（动画？？？）,CheckBox（复选框）,Draw（？）,DrawColor（绘图的颜色）,DrawWindow（绘图的窗口）,Else If,Error, If, Include, Loop, Message, Return, WhileScroll（创建滚动条，先设置参数的起始值、终止值和增加的步长，拖动滚动条参数便按步长变化）,Trace（在二维图像中单击此项后，点击曲线上的点便可以显示横纵坐标，在脚本调试时有别的作用和含义）, AiryAi（第一Airy（艾里）函数，Ai(z) 是微分方程 y”-xy=0的解）,AiryBi（第二Airy（艾里）函数，Bi(z) 是微分方程y”-xy=0的另一个解）, BesselI（第一类修正贝塞尔函数）,BesselJ（第一类贝塞尔函数）,BesselK（第二类修正贝塞尔函数）,BesselY（第二类贝塞尔函数）,−1(−1)−1）,Beta（贝塔函数B（a,b）= 01Chi（双曲余弦积分函数，与双曲正弦积分函数的定义不对称，很复杂）,Ci（余弦积分函数，对cos(t)/t在[x,+∞]上积分再加再加负号）,Dawson（Dawson积分函数）,DiGamma（双伽马函数，即0阶多伽马函数，对gamma函数取自然对数后求导）, DiLog（二重对数函数）,Dirichlet_Eta （）,Dirichlet_Lambda,Ei （指数积分函数，）,Erf（误差函数）,Erfc（余误差函数）,FresnelCos（菲涅尔余弦积分函数，对cos（t^2）在[0,x]上积分）, FresnelSin（菲涅尔正弦积分函数，对sin(t^2)在[0,x]上积分）,Gamma(伽马函数）,Gudermannian(古德曼函数（gd(x)=arcsin(tanhx)=arctan(sinhx)=2arctan[tanh(x/2)]=2arctan(e^x)-π/2）,HankelH1（第一类Hankel(汉克尔)函数，也称第三类贝塞尔函数）,HankelH2（第二类Hankel(汉克尔)函数，也称第三类贝塞尔函数）, Harmonic（输入值为正整数时得到调和级数前n项和，非正整数时很复杂）, Hypergeom_2F1（超几何函数）,invGudermannian（反古德曼函数，对[cos（t）]^(-1)在[0,x]上积分，inv是inverse（反的、逆的）的缩写）,KelvinBei（开尔文函数）,KelvinBer（开尔文函数）,KelvinKei（开尔文函数）,KelvinKer（开尔文函数）,LambertW（朗伯W函数，是xe^x的反函数）,Li（对数积分函数，对（lnx）^(-1)在[0,x]上积分）,LnGamma（对伽马函数取自然对数）,PolyGamma（n阶多伽马函数，对伽马函数取自然对数再求n+1阶导数）, PolyLog（多重对数函数，前面的DiLog是二重对数函数）,Psi（就是双伽马函数）,RK4（Runge–Kutta methods，龙格-库塔方法，常微分方程数值解法中的迭代法）, RK45（Runge–Kutta methods，不知道与前一个有什么区别）,Shi（双曲正弦积分函数，对sinh(t)/t在[0,x]上积分）,Si（正弦积分函数，对sin(t)/t在[x,+∞]上积分）,Zeta（Zeta(s)等于无穷级数{k^(-s)}的和）Bernoulli（伯努利多项式，其生成函数为te^(xt)/(e^t-1)）,ChebyshevT（第一类切比雪夫多项式，是微分方程（1-x^2）y”-xy’+n^2*y=0的解）,ChebyshevU（第二类切比雪夫多项式，是微分方程（1-x^2）y”-3xy’+n(n+2)y=0的解）,Euler（欧拉多项式，其生成函数为 2e^(xt)/(e^t+1)）,Fibonacci（斐波那契额多项式，若只输入整数n，便返回第n+1个斐波那契数，0、1、1、2、3、5、8、13……）,GegenbauerC（盖根鲍尔多项式，生成函数为(1-2xt+t^2)^(-α)）,HermiteH（厄米多项式）,LaguerreL（拉盖尔多项式，是微分方程xy”+(1-x)y’+ny=0的标准解）,LegendreQ（第二类勒让德函数）,Lucas（卢卡斯多项式，若只输入整数n，便返回第n个卢卡斯数，卢卡斯数列的递推规则与斐波那契数列相同，但将斐波那契数列的前两项0、1换成2、1） BinomialCDF（CDF即Cumulative distribution function，累积分布函数，BinomialCDF为累计二项分布函数）,BinomialPDF（PDF即Probability Density Function，概率密度函数，BinomialPDF就是二项分布概率密度函数）,ChiSquareCDF（卡方分布函数）,ChiSquarePDF（卡方分布概率密度函数）,Fcdf（累计F分布函数）,Fpdf（F分布概率密度函数）,GeoCDF（累计几何分布函数），GeoPDF（几何分布概率密度函数）,InverseNormal（逆累积正态分布函数）,Max（一组数据的最大值）,Mean（一组数据的平均值）,Min（一组数据的最小值）,NormalCDF（正态分布函数）,NormalPDF（正态分布概率密度函数）,PoissonCDF（累计泊松分布函数）,PoissonPDF（泊松分布概率密度函数）,StandardDeviation（计算一组数据的标准偏差）,StudentTCDF（student-t分布函数）,StudentTPDF（student-t分布函数概率密度函数）Variance（计算一组数据的方差）DEGtoDMS（将小数表示的角度转化为用度分秒表示的角度，与HRStoHMS类似）, ExpConvert（用双曲函数表示e^[f(x)]）, sin, TrigCollect（用尽可能少的sin和cos表示给定的含三角函数的式子，就是对复杂的式子进行简化和整理，等同于TrigReduce）,TrigConvert（借助欧拉公式将三角函数用指数表达）,TrigExpand（将含和角、差角、倍角的式子全部展开成单角）,TrigReduce（化简和整理，等同于TrigCollect）Angle（计算两个向量的夹角）,Cross（计算两个向量的叉积）,Curl（计算向量场的旋度，Curl(F)=∇×F）,Divergence（向量场的散度，Divergence(F) = ∇·F）,Dot（计算两个向量的点积）,Duf（计算给定函数在指定点和指定方向的方向导数）,Gradient（计算函数的梯度）,Hessian（计算给定函数的Hessian矩阵或Hessian行列式）,Jacobian（计算给定函数的Jacobi矩阵或Jacobi行列式）, Laplacian（拉普拉斯算子）,Norm（计算n维向量的范数，也就是模）,SurfaceNormal（计算曲面在给定点的单位法向量）。
Excel函数在工程函数中应用文档资料
使用BESSELK函数修正BESSEL函数值Kn（x）
【具体实例】计算5.6的2阶修正BESSEL函数值Kn（x），具体的操作步骤：在C2单 元格中输入公式“=BESSELK(A2,B2)”，即可计算变量x的n阶修正Bessel函数值， 如图12-6所示。
度量衡转换函数的应用
• 长度和面积单位的转换 • 重量和质量单位的转换 • 液体度量单位的转换
液体度量单位的转换
具体的操作步骤如下： 步骤1：在D13单元格中输入公式“=CONVERT(C13,E13,F13)”，如图12-65所示。 按Enter键确认输入，即可将度量单位gal（加仑）转换为l（升），如图12-66所示。
液体度量单位的转换
具体的操作步骤如下： 步骤2：在D14单元格中输入公式“=CONVERT(C14,E14,F14)”，如图12-67所示。 按Enter键确认输入，即可将润滑油的采购单位gal（加仑）转换为l（升），如图12-68 所示。
积分函数的应用
• 使用ERF函数计算设计模型的误差值 • 使用ERFC函数计算设计模型的余误
专家课堂（常见问题与解答）
点拨1：如何灵活地记住这些进制转换函数？ • 解答：在Excel2010工程函数中只要记住二进制为BIN，八进制为OCT，十进制为
DEC，十六进制为HEX，如果要进行进制转换，只需要在中间加上2即可，例如 ，二进制要转换为十进制，函数为BIN2DEC。 点拨2：如何实现取消网格线的显示？ • 解答：单击【Office】按钮，从下拉列表中选择“Excel选项”选项，即可弹出【 Excel选项】对话框，在“高级”选项卡右侧区域的“此工作表中的显示选项”栏 中分别取消勾选“显示网格线”复选框，单击【确定】按钮，工作表中就取消了 “显示网格线”的显示操作。
贝塞儿函数
∞
k =0
k + ρ −1
k + ρ −2 ′ ′ y = ∑ ck (k + ρ )(k + ρ − 1) x ， k =0 k +ρ
∞
(1) → ∑ [(k + ρ ) 2 −ν 2 ]ck x
( ρ 2 −ν 2 )c0 = 0 (c0 ≠ 0)
2 2
+ ∑ ck x k + ρ + 2 = 0 ( 2)
k =0
∞
2、比较最低次幂 x ρ 的系数：
→ 判定方程：ρ －ν ＝0
→ ρ1 = ν , ρ 2 = −ν (设ν > 0 )
一、 Bessel方程的级数解 15.1 Bessel函数 x 2 y′′( x) + xy′( x) + ( x 2 −ν 2 ) y ( x) = 0 (1) → y ( x) = ?
本节作业
若 n 为整数，从贝塞尔函数 1. 2. J − n ( x ) = ( − 1) n J n ( x ) J n ( − x ) = ( − 1) n J n ( x ) = J − n ( x ) 定义式出发证明：
附：二阶线性常微分方程的级数解法2
W ′′( z ) + p (z )W ′( z ) + q (z )W ( z ) = 0
(*)
的两线性无关的根为 :
W1 ( z ) = ( z − z 0 )
ρ1
∑ ck ( z − z 0 )
k =0
∞
k
∞ k ρ2 ( z − z ) d ( z − z ) ρ1 − ρ 2 ≠ 整数 ∑ 0 k 0 , k =0 W2 ( z ) = ∞ ρ2 aw1 ( z ) ln( z − z0 ) + ( z − z0 ) ∑ d k ′ (z − z0 )k , ρ1 − ρ 2 = 整数 k =0
二次贝塞尔曲线矩阵
二次贝塞尔曲线矩阵
二次贝塞尔曲线可以通过矩阵进行描述和变换。
以下是关于二次贝塞尔曲线矩阵的基本介绍。
1. 二次贝塞尔曲线的定义
二次贝塞尔曲线是由两个控制点和起点终点确定的。
曲线路径由起点P0开始，以平滑的方式穿过一个控制点P1，最终到达终点P2。
2. 二次贝塞尔曲线矩阵表示
二次贝塞尔曲线可以通过一个变换矩阵进行描述，该矩阵将一个坐标点变换到曲线上。
具体来说，设一个二维平面上的坐标点为(x, y)，变换矩阵为M，则经过变换后的坐标点为M(x, y)T。
3. 二次贝塞尔曲线矩阵的逆
对于二次贝塞尔曲线，其逆矩阵也是存在的。
通过将一个坐标点通过逆矩阵变换到原坐标系下，可以得到与二次贝塞尔曲线对应的标准曲线。
4. 二次贝塞尔曲线矩阵的应用
二次贝塞尔曲线矩阵可以用于各种变换操作，如平移、缩放、旋转等。
例如，要将一个图形从当前坐标系变换到目标坐标系，可以将图形的每个坐标点通过相应的变换矩阵进行变换。
综上所述，二次贝塞尔曲线矩阵是描述和变换二次贝塞尔曲线的重要工具。
通过使用矩阵，可以方便地实现各种复杂的几何变换操作，使得二次贝塞尔曲线在实际应用中更加灵活和可控。
comsol内置参数变量函数
保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。
描述名称值双精度浮点数、机器精度eps2-52(~2.2204·10-16)虚数单位i，j i，sqrt(-1)无穷大，∞Inf，inf一个大于能被计算机处理的值非数字值NaN,nan未定义或者不能表示出来到值如0/0或者inf/infπpi 3.141592653589793描述名称值重力加速度g_const9.80665[m/s^2]阿伏伽德罗常数N_A_const 6.02214129e23[1/mol]玻耳兹曼常量k_B_const1.3806488e-23[J/K]真空特性阻抗Z0_const376.73031346177066[ohm]电子质量me_const9.10938291e-31[kg]元电荷e_const 1.602176565e-19[C]法拉第常数F_const96485.3365[C/mol]精细结构常数alpha_const7.2973525698e-3万有引力常数G_const 6.67384e-11[m^3/(kg*s^2)]标准状态下想气体体积V_m_const 2.2413968e-2[m^3/mol]中子质量mn_const 1.674927351e-27[kg]真空磁导率mu0_const4*pi*1e-7[H/m]真空介电常数epsilon0_const8.854187817000001e-12[F/m]普朗克常数h_const 6.62606957e-34[J*s]普朗克常数/2πhbar_const 1.05457172533629e-34[J*s]质子质量mp_const 1.672621777e-27[kg]真空中的光速c_const299792458[m/s]斯忒藩—玻耳兹曼常数sigma_const 5.670373e-8[W/(m^2*K^4)]通用气体常数R_const8.3144621[J/(mol*K)]维恩位移定律常数b_const 2.8977721e-3[m*K]参数化几何尺寸参数化网格元素大小参数扫描变量，主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式贝塞尔曲线是一种光滑的曲线，它由一系列的控制点来定义。
它可以用于各种各样的应用，包括计算机图形学、动画和物理模拟等。
贝塞尔曲线最常见的形式是二次和三次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线由三个点来定义：起始点、控制点和终止点。
这三个点的位置决定了曲线的形状。
三次贝塞尔曲线由四个点来定义：起始点、两个控制点和终止点。
通过调整这些点的位置，可以创建各种不同形状的曲线。
一般来说，二次贝塞尔曲线可以用以下的形式来表示：P(t) = (1 - t)² * P₀ + 2 * t * (1 - t) * P₁ + t² * P₂其中，P(t)是曲线上的点，t的取值范围是0到1，P₀、P₁和P₂分别是起始点、控制点和终止点。
三次贝塞尔曲线的表达式稍微复杂一些：P(t) = (1 - t)³ * P₀ + 3 * t * (1 - t)² * P₁ + 3 * t² * (1 - t) * P₂ + t³ * P₃其中，P(t)是曲线上的点，t的取值范围是0到1，P₀、P₁、P₂和P₃分别是起始点、两个控制点和终止点。
贝塞尔曲线的特点之一是它具有良好的局部控制性。
这意味着通过调整控制点的位置，我们可以在曲线的局部区域内改变曲线的形状，而不会影响其他区域。
这使得贝塞尔曲线在图形设计中非常有用，因为我们可以通过少量的控制点来创建复杂的曲线形状。
另一个重要的特性是贝塞尔曲线可以近似任何形状。
通过增加控制点的数量，我们可以逼近任何形状，从简单的直线到复杂的曲线。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学和动画中非常有用，因为它们可以用来创建各种各样的图形效果和动画效果。
贝塞尔曲线的计算和渲染算法有多种不同的实现方式。
一种常见的方法是使用递归二分法来计算曲线上的点。
具体来说，我们可以从起始点和终止点开始，然后通过将曲线分成两半并计算中间点来逐步逼近想要的曲线形状。