第五节 理论板数的求法

第五节 理论板数的求法

所谓求理论塔板数，就是利用前面讨论的平衡关系，()n n x f y =和操作关系，

()()m n n x f y x f y ''='=+或1计算达到指定分离要求所须的汽化-冷凝次数。

（1）逐板计算法

每利用一次平衡关系和一次操作关系，即为一块理论板。提馏段也是一样。 （2）图解法

通常采用直角梯级图解法，其实质仍然是以平衡关系与操作关系为依据，将两者绘在y x -图上，便可图解得出达到指定分离任务所须的理论塔板数及加料板位置。

图解步骤如下： ①作平衡线与对角线

②作精馏段操作线111++

+=+R x x R R y D n n ，即连()D D D x x A R x C ,1,0与⎪⎭⎫ ⎝⎛+的直线。 ③作进料线11---=q x x q q

y F

，过()d AC q q x x e F F 于的直线交点，作斜率为1,- ④作提馏段操作线W L Wx x W L L y W m m -'--''

=

+1，即连()d x x B W W 与,所得直线即是。

⑤从A 点开始，在平衡线与操作线之间作直角梯级，直到超过B 点。有多少直角梯级，就有多少块理论板数。跨越d 点的阶梯为加料板。

如图所示，共有5.2块理论板，第三块板为加料板。

图解法示意图

a. 回流比与吉利兰图

b. 回流比的影响因素

（1）回流比R 对理论板数T N 的影响。如图。

回流比对T N 的影响

↑

+↓1R x R D ，，操作线靠近平衡线，↑T N 反之，

↓

+↑1R x R D ，，操作线远离平衡线，↓T N 即 T N 正比于R 1

（2）回流比对设备费与操作费的影响 ()D R D L V 1+=+=

↑↑V R ,，塔直径↑，冷凝器↑，蒸馏釜↑ 设备费↑

↓↑T N R ,，塔高下降，设备费↓

↑↑V R ,，冷却水量↑，加热蒸汽量↑， 操作费↑

须选一个合适回流比R ，使总费用最省。如图所示。

费用示意图

１线为“设备费～Ｒ”的关系式 ２线为“操作费～Ｒ”的关系式 ３线为“总费用～Ｒ”的关系式。

c. 全回流与最小回流比)(min R

全回流——当0→D 时，则∞→R ，此时称为全回流。这时精馏段与提馏段操作线方程均与对角线)(x y =重合，此时理论板数最少)(m N 。

最小回流比——当R 减小时，↓+)1(R R ，当R 减至两操作线交点逼近平衡线时，此

时∞→T N ，此时Ｒ称为最小回流比min R 。

最小回流比推导图

min

11R R h d ah

R R 即为时，如图所示，当=+

q D q

D x x y x h d ah R R --=

=+∴1min min 1

()()q D q D q D y x y x R R x x -+-=-min min ()q D q D q D y x y x x x R -=+--min

解之得，

q q q

D x y y x R --=

min ………………)(X

q x 与q y 是平衡线与进料线之交点。最小回流比是指对于一定分离要求的最小回流比，

分离要求变动了（例如D x 变了），对应的min R 亦要改变。

d. 吉利兰图法求理论板数

吉利兰图是一种经验关联图，它总结了八种不同的物系，112→个组分，操作压力由真空40→个大气压，进料由过冷液体→过热蒸汽。它如何归纳得到，本章并不关心，重点是如何应用它？下面是吉利兰图法应用举例。

【例】某二元理想混合液其平均相对挥发度为3.1=α。若进料组成5.0=F x ，要求馏出液组成为9.0=D x ，釜液组成1.0=W x ，泡点进料，回流比R 取为0.8。试求所需理论板数。

解：（1）求全回流时的理论板数m N ，

m N 用芬斯克公式求得的全回流时的理论板数

()()1log 11log -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=αW W D D m x x x x N 75.1513

.1log 9.01.01.09.0log =-⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

（不包括再沸器）

（2）求最小回流比m R ，

()565

.05.03.015.03.111=⨯+⨯=-+=q q q x x y αα

154

.55.0565.0565

.09.0=--=

--=

q q q

D m x y y x R 316

.018154.581=+-=+-∴R R R m 由吉利兰图查得32

.02=+-N N N m

，如图所示。解得 24=N

吉利兰图

式中，N ——所要求的理论板数， R ， min R ——分别为回流比与最小回流比

e. 芬斯克公式推导

全回流时，最少理论板数的计算式。如图所示。

芬斯克公式推导图

对于二元理想溶液，则有

A B

B A B B A A x x

p p x p x p ⋅==

α 而

B A B A B A x x P p P p y y ⋅==α

对于第一块理论板

1111B A B A x x

y y ⋅=α

对于第二块理论板22

2

2B A B A x x

y y ⋅=α 而全回流时，1212B B A A x y x y ==，

22

222221111B A B A B A B A B A x x x x y y x x y y ⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅=⋅=⋅=∴

ααααα

同理，对于第一块板的1A y 与第三块板的1A x

33333222211B A B A B A B A x x y y x x

y y ⋅=⋅=⋅=ααα

继续下去，对于第一块板的1A y 与第N 块板的AN x

AN BN B A N BN AN N B A x x y y x x y y ⋅=⇒⋅=1111αα

⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⋅∴AN BN B A x x y y N 11ln ln α

全回流时，D

B D A x y x y -==1,11

W

BN W AN x x x x -==1,

α

ln 11ln ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

∴W W

D D x x x x N （包括再沸器的最小理论板数）

α为塔顶与塔底的α的几何平均值W D ααα⋅= 若只计算精馏段的理论板数，则将上式中的W x 改为F x

α

ln 11ln ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=F

F D D x

x x x N 精