四年级下册数学试题-思维训练：第11讲 统筹与对策-对策的构造(含答案)全国通用
四年级下册数学竞赛试题：统筹规划(ABC级)全国通用
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
一、合理安排时间【例 1】 星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】 妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，例题精讲知识框架统筹规划洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?【例2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【例3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？二、合理安排地点【例 4】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？【巩固】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【例 5】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？40吨20吨10吨五四三二一【巩固】 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？6010吨20吨30吨10吨【例 6】 某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择 十字路口附近的地点。
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
小学数学四年级《统筹与对策》练习题(含答案)
小学数学四年级《统筹与对策》练习题（含答案）【例1】一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问：煎三只饼最少需几分钟？怎样煎？分析：因为这只平底锅上可煎两只饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟。
但这不是最省时间的办法。
因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3分钟。
答案：最少需3分钟。
第一分钟煎A饼和B饼的一面，第二分钟煎A饼的另一面和C饼的一面，第三分钟煎B饼和C饼的另一面。
【例2】 6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？分析：第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候；……第6个人接水时，只有他1个人等候。
可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。
答案：应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是3×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10=100（分）。
【例3】在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。
现在要在这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？分析：1号：120＋80×2＋215×3＝9252号：100＋80＋215×2＝6103号：100×2＋120＋215＝5354号：100×3＋120×2＋80＝620答案：这个车站应设在4号工厂门口。
【例4】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如下表：（单位：百元）上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？分析：北京运重庆应尽量少。
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
四年级下册数学试题-思维训练：第11讲 统筹与对策-对策的构造(含答案)全国通用
例1：甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向下图所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜。
如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？统筹与对策第11讲——对策的构造情课堂激例2：两个人做一种游戏：轮流报数，必须不大于6的非零自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100，谁就获胜。
如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报_____，以后怎样报？例3：有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_____有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
练习1：有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取2枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
例4：现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。
每次最少从中取出2根，最多取出4根。
谁无法再次取出火柴谁就赢。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
练习2：现有2009个石子，甲、乙两个人轮流从中取出石子。
每次最少从中取出2个，最多取出5个。
谁无法再次取出石子谁就赢。
若甲先取，那么________有必胜策略。
例5：甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。
那么如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么_______有必胜策略，请说明理由。
练习3：甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆205个，一堆209个。
甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可。
规定拿到最后一个金币的人为胜者，胜者可以获得所有金币。
如果甲先拿，那么_______有必胜策略。
四年级下册数学竞赛试题：统筹规划(ABC级)全国通用
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
一、合理安排时间【例 1】 星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】 妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，例题精讲知识框架统筹规划洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?【例2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【例3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？二、合理安排地点【例 4】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？【巩固】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【例 5】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？40吨20吨10吨五四三二一【巩固】 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？6010吨20吨30吨10吨【例 6】 某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择 十字路口附近的地点。
数学四年级下册暑期数学思维训练(110讲)
第1讲简单的数列问题（一）例题1（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？练习1一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大7，并且末相为125，那么首项是多少？（2）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小7，并且末相为125，那么首项是多少？练习2一个等差数列共有12项，每一项都比它的前一项小4，并且末相为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？练习4已知等差数2,9,16,23,30，…那么709是其中第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差是多少？第19项等于多少？305是第几项？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+1,2+3,3+5,1+7,2+9,3+11,1+13,2+15,3+17，…请写出其中所有结果为98的算式。
作业1. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是多少？2. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是多少？3．一个等差数列首项为13，第9项为29，那么这个等差数列的公差等于多少？第20项等于多少？4. 一个等差数列第5项为47，第15项为87，那么这个等差数列的公差等于多少？63是第几项？5．如图所示，有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……，按照这个规律，第19层有多少块砖？第2讲简单的数列问题（二）例题1计算下面各题：（1）3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30（2）41＋37＋33＋29＋25＋21＋17＋13＋9＋5＋1练习1计算：6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46例题2计算下列各题：（1）5＋11＋17＋…＋77＋83（2）82＋77＋72＋…＋12＋7练习2计算：100＋92＋84＋…＋12例题3计算下面各题：（1）12＋18＋24＋…共10项（2）193＋187＋181＋…共13项练习3计算：（1）10＋13＋16＋…共12项例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完，请问：萱萱一共对了多少天，这本课外书共有多少页？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米。
4年级奥数统筹与对策问题例题
1．妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?[分析与解]在这道题里，最合理的安排应该最省时间．先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟．2．图9-1是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小王走这段路所需的分钟数．问小王从A出发走到B最快需要多少分钟?[分析与解]如下图所示，标上字母：注意关键点C．从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路连接起来，即AGCFB．它对应的总时间时48分钟．剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB看哪个更加节省时间．不经过C点的道路有两条：ADHFB，需49分钟；AGIEB，需49分钟．所以，从A到B最快需要48分钟．3．甲、乙、丙3名车工准备在同样效率的3个车床上车出7个零件，加工各零件所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟．3人同时开始工作，问最少经过多少分钟可车完全部零件?[分析与解]加工所有的零件共需：4+5+6+6+8+9+9＝47分钟，平均到三台车床上加工，平均每台加工时间为分钟．由于加工各零件都需要整数分钟，因此最快需16分钟完成，但是无论怎么分组，都做不到；因此延长1分钟，即17分钟，有(6，9)，(6，9)，(4，5，8)，满足题意．所以，最少经过17分钟可车完全部零件．4．如图9-2，5所学校A，B，C，D，E之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数．现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的代表A，B，C，D，E校分别有6人、4人、8人，7人、10人．为使参加会议代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开?[分析与解]先比较A、B两地，以B地为集合地较A地，使29人少走2千米，6人多走2千米，所以B地比A地好．B，C，D，E，F不能简单的比较出．B地集合，共行走6×2+8×3+7×2+10×(3+2)＝100千米；C地集合，共行走6×(2+3)+4×3+7×(2+3)+10×2＝97千米；D地集合，共行走6×(2+2)+4×2+8×(3+2)+10×4＝112千米；E地集合，共行走6×(2+3+2)+4×(3+2)+8×2+7×4＝106千米．有到C地的路程总和最小，所以集合地应选在C学校．5．如图9-3，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?[分析与解]将这个村子依离县城从近到远记为A1，A2，A3，…，A10，由上表知，每车上跟车4名或5名工人，这样所需的装卸工人数最少为26名．7．有5个工件需要先在甲机床上加工，然后在乙机床上加工，每个工件需加工的时间如图9-5所示，单位是小时．那么加工完这5个工件所需的总工时最短是多少小时?[分析与解]从表中可看出机床A总加工时间是26小时，机床B总加工时间是22小时．同一工件不能同时在两个机床上加工，先在机床A加工，后在机床B加工的顺序不能颠倒．但两个机床可以同时工作，所以把工件2放在最后加工，所需工时数最少．用机床A的总加工时间加上工件2在机床B加工所需时间就是本题的解．所以，加工完这五个工件至少需要：3+4+7+5+7+2＝28小时．8．北京和上海分别制成同样型号的车床l0台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图9-6所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?[分析与解]如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元．交换它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元．由此知北京运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳．北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，从而知最佳方案为上海的车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：6×700+5×500+5×600＝9700元．9．电车公司维修站有7辆电车需要维修．如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12，17，8，18，23，30，14分钟．每辆电车每停开1分钟的经济损失是11元．现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的损失是多少元?[分析与解]因为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修得时间应尽量相等，设需维修得车辆分别为：A、B、C、D、E、F、G，修复得时间依次是12，17，8，18，23，30，14分，则第一个工人应修复的车是：C、G、D；第二个工人应修复的车是：B、E；第三个工人应修复的车是：A、F．又因为要求把损失减少到最低程度，所以，每人应尽量先修复需短时间修好的车辆，这样，可按以下的顺序开修：第一个人：8，14，18；第二个人：17，23；第三个人：12，30．第一个人修复的车辆经济损失总和是：(8+8+8+14+14+18)×11＝770元．第二个人修复的车辆经济损失总和是：(17+17+23)×11＝627元．第三个人修复的车辆经济损失总和是：(12+12+30)×11＝594元．所以，7辆车经济损失最少为770+627+594＝1991元．10．某花园的小径如图9-7所示，一个人能否从图中标有1的点出发，不重复地走遍所有小径?如果能，请给出走法；如果不能，请标出最少必须重复的那些小径．[分析与解]一个人不可能从图中的第1个点的位置出发，不重复地走过花园的所有小径．因为图中3，4，5，6，7，8都是奇点，所以知道必须重复的小径有3→4，5→6，7→8三段．11．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取1～10根火柴，以先取完火柴的人为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?[分析与解]先取者甲一定能得胜．因为100＝9×11+1．甲开始取1根，(余下99根是11的倍数)．这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才的数目凑成11．这时余下88根，仍是11的倍数．依此进行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴，余下的火柴甲都可一次取完．12．桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?[分析与解]若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行．这样上一次留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，要留给对手2行或2列，必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况．……依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只要他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜．13．有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的2个、4个或8个，谁最后取完棋子，就算谁获胜．那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子?[分析与解]易知若最后剩下6个棋子给对方就可以获胜．进一步推知，剩下12个棋子给对方时，若对方取2个或4个可以使下一次剩给对方6个棋子．若对方取8个则取走余下的4个可以直接获胜．因此我们考虑如果每次剩下棋子使6的倍数，就可以保证必胜．由1996÷6＝332……4，知先取的人第一次应取4个棋子．14．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．，如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?[分析与解]获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数．那么前一次留给对方只能是10．这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．……依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出．即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可．现在黑板上原始数为1994，则甲开始减去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字，留下1980给乙；……15．甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过l0的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何倍数都不能是黑板上已写的数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略?[分析与解]甲一定获胜，甲可以先写6，去掉其能作为倍数的数：1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个．将4，5，7，8，9，10分成三组：(4，5)，(7，8)，(9，10)乙写任何一组中的某个数，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜．。
四年级下册数学试题-思维训练：第11讲 统筹与对策-对策的构造(含答案)全国通用
例1：甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向下图所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜。
如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？统筹与对策第11讲——对策的构造情课堂激例2：两个人做一种游戏：轮流报数，必须不大于6的非零自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100，谁就获胜。
如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报_____，以后怎样报？例3：有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_____有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
练习1：有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取2枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
例4：现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。
每次最少从中取出2根，最多取出4根。
谁无法再次取出火柴谁就赢。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
练习2：现有2009个石子，甲、乙两个人轮流从中取出石子。
每次最少从中取出2个，最多取出5个。
谁无法再次取出石子谁就赢。
若甲先取，那么________有必胜策略。
例5：甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。
那么如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么_______有必胜策略，请说明理由。
练习3：甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆205个，一堆209个。
甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可。
规定拿到最后一个金币的人为胜者，胜者可以获得所有金币。
如果甲先拿，那么_______有必胜策略。
外校四年级创新思维训练电子版
数学创新思维训练(四年级分册)主编: 黄敏副主编: 吴昌全编委: 邝淑艺朱凤利李虹目录上学期第一讲：加减法中的巧算第二讲：乘除法中的巧算第三讲：较复杂的和、差、倍问题第四讲：较复杂的还原问题第五讲：用消去法解题第六讲：趣味算式谜第七讲：巧求周长与面积第八讲：简单的等差数列下学期第九讲：统筹优化与获胜对策第十讲：定义新运算第十一讲：归一问题第十二讲：盈亏问题第十三讲：简单的鸡兔同笼问题第十四讲：逻辑推理第十五讲：植树问题第十六讲：简单的方阵问题第一讲加、减法中的巧算〈知识广角〉1、加法的运算定律。
加法交换律：交换两个加数的位置和不变。
即：a＋b=b＋a。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
即：a＋b＋c= a＋(b＋c)。
2、减法的运算性质。
连续减去两个数等于减去这两个数的和。
即：a－b－c=a－(b＋c)加法的运算定律和减法的运算性质适合多个加数或减数的计算。
3、加减混合运算性质。
（1）“带着符号走”的交换性质：a－b－c= a－c－b或a－b＋c=a＋c－b （2）去括号和添括号的性质。
去括号a＋(b－c) a＋b－c （括号前面是“＋”，括号内的符号不变）去括号a－(b－c) a－b＋c（括号前面是“－”，括号内的符号要变）添括号〈方法探究〉例1：.计算：（1）298＋76(2) 835－497（3）9＋99＋999＋9999＋3【思路导航】这三道题都有一个共同的特征：在参与运算的数中都有一个或多个数接近于整十、整百、整千，在计算时就可以利用这一特征。
例如（1）298接近于300，原式就变成300＋76－2（因为298看成300，多加了2）；（2）497接近于500，原式就变成835－500＋3（因为本来只去掉497，此时去掉了500，多去掉了3，所以将多去的3补回来）；（3）9接近于10，99接近于100，999接近于1000，9999接近于10000。
所以原式就变成10＋100＋1000＋10000＋3－4。
四年级简单的统筹规划思维训练
随堂练习：
三车货物同时到达仓库门口，A车货物卸 完需要20分钟，B车货物卸完需要10分钟， C货物卸完需要30分钟，只能一车一车卸货， 怎么安排顺序，才能使三辆货车等候时间的 总和最少？
例4 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的 载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡 车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与 5公升．问如何选派车辆才能使运输耗油量 最少？这时共需用油多少公升？
拓展训练
妈妈开始做饭，切菜3分钟，从冰箱取肉 并解冻5分钟，切肉4分钟，倒油烧油3分 钟，炒菜7分钟，你给妈妈安排一个合理 的顺序，节省时间。并计算使用你安排的 顺序，共需用多少分钟？
2．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两 个饼．如果煎一个饼需要4分钟（假定正、 反面各需2分钟），问煎9个饼至少需要几 分钟？
才能使每个人排队和打水时间的总和最小？ 并求出最小值．
解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打 水时间需1分钟的人排在第一位置．
假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中 2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中 2≤b≤5）．我们将这两个人位置交换，其他三人位 置不变动．这样调整以后第b位后面的人每人排队 打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人 打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的 人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明
随堂练习：
用一只平底锅煎饼，每次能同时放 两个饼．如果煎一个饼需要4分钟 （假定正、反面各需1分钟），问煎 7个饼至少需要几分钟？
例3 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打 水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分 钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个 水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
小学四年级下册经典数学奥数题-统筹规划(全国通用版含答案)
小学四年级下册经典数学奥数题-统筹规划1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。
2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。
5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。
因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。
现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。
最短时间是多少分钟呢？6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
要过河时间最少？是多少？四年级奥数题：速算与巧算（一）1.【试题】计算9＋99＋999＋9999＋999992【试题】计算199999＋19999＋1999＋199＋193【试题】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999)4【试题】计算9999×2222＋3333×33345.【试题】56×3+56×27+56×96-56×57+566.【试题】计算98766×98768－98765×98769四年级奥数题：年龄问题1、父亲45岁，儿子23岁。
小学四年级数学思维专题训练—统筹与对策(含答案解析)
小学四年级数学思维专题训练—统筹与对策1、甲、乙、丙三人过桥，桥上每次只能走两个人，每人过桥后再返回需要2分钟（往返各需1分钟），三人过桥后再返回一共至少需要分钟？、从甲城往乙城运吨的中卡车运一趟，运费放白子，最先在横行或竖列（对角线除外）上将四个棋子连成一线胜者。
如图，接下来是甲放棋子，请问甲应将第四个棋子放在4、喜羊羊和懒羊羊做游戏，喜羊羊说：你随便想一个数，并记住这个数，但不要说出来。
然后用这个数加上70，减去32，再减去所想的数，再乘以5，再除以2，我就能猜出答案。
小朋友你能猜出最终的答案是多少吗？请说出其中的奥秘。
5、桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根或2根或3根。
（1）规定谁取走最后一根火柴就获胜，如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。
（2）规定谁取走最后一根火柴就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。
6、有这样一个游戏：把100根火柴棍堆在一起，两人轮流取剩下的火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，谁能取到最后剩下的火柴，谁是胜利者，先取者为战胜对手第一次应该先取几根火柴？7、小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只能有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿手电筒过桥，由1人将手电筒放回……直到4人都过小桥，已知：小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟；那么，4个人都通过小木桥，最少要分钟。
8、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库（见下图）。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？9、一个探险者准备穿过长为80千米的沙漠，他一天能走20千米，最多可似携带够3天用的食物和水。
四年级下册数学试题-思维训练：第10讲 统筹与对策-统筹与规划(含答案)全国通用
统筹与对策第10讲——统筹与规划情课堂激例1：小悦中午做烧豆腐，共需七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。
那么小悦烧好这道菜最短需要________分钟。
练习1：早晨，妈妈起来准备早饭。
她烧开水用8分钟，灌开水要1分钟，擦桌子用5分钟，下楼拿牛奶用6分钟，煮牛奶用6分钟，并且灶台上只有一个灶头。
妈妈要做完这些事情最少需要______分钟。
例2：玩具厂给立方体形状的方块积木的六个面染色。
两个面染红色，两个面染绿色，两个面染黄色。
工厂用的染色机可以同时给8个小立方体的一面染上同样的颜色，每次需要5分钟(不论一次染几个都是5分钟)。
现在有15个积木需要染色加工，一台染色机至少需要______分钟完成任务。
例3：小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客。
A 买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟。
请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短？这个最短时间是______分钟。
练习2：四个人各拿一个大小不同的水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和5分钟。
现在只有一个水龙头，请你适当安排他们打水的顺序，使每个人排队和打水的总时间最少。
这个最少时间是________分钟。
例4：有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔。
商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开零售。
5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元。
老师买所需要的笔最少要花_______元。
练习3：甲地有59吨货物要运到乙地，大货车的载重量是7吨，小货车的载重量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。
那么运完这批货物最少耗油_______升。
例5：下图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数，那么小悦从A出发走到B最快需要_________分钟。
四年级数学思维训练：统筹与对策(四年级)竞赛测试.doc
四年级数学思维训练：统筹与对策（四年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【答案】16分钟【解析】试题分析：在这道题里，最合理的安排应该最省时间：先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟． 解：先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用：1+15=16（分钟）． 答：16分钟就能沏茶了．点评：此题属于合理安排时间问题，奔着既节约时间，又不使每个工序相互矛盾进行设计安排，即可解决此类问题．【题文】理发店里同时来了A 、B 、C 三个顾客，A 理板寸需要7分钟，B 理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？【答案】先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟．【解析】试题分析：要顾客等待时间的总和最少，应先安排用时少的先理，即先给A 理板寸用时7分钟的，再给B 理光头用时10分钟的，最后给C 烫卷发用时40分钟，则第一人用时7分钟，第二人等待7+10分钟，第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可．解：要使这三位顾客等待时间的总和最少，应先理用时7分钟的，再理用时10分钟的，最后理用时40分钟的；等待的总时间为：7+（7+10）+（7+10+40）=7+17+57=81（分钟）答：先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟．点评：明确按用时由少到多的顺序做，顾客等待时间的总和最少是完成本题的关键．【题文】西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱？【答案】76元钱．【解析】试题分析：5个一袋的每袋8元，则每个8÷5=1.6元，3个一袋的每袋5元，则每个5÷3≈1.67元，即每袋五个的每个的单价较便宜．由于不能打零售，因此应尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱；由于47=35+12=5×7+3×4，因此买7袋五个的，4袋3个的最省钱，需花8×7+5×4=76元．解：8÷5=1.6元，5÷3≈1.67元，每袋5个的每个的单价较便宜．所以尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱；由于47=35+12=5×7+3×4因此买7袋5个的，4袋3个的最省钱，需花8×7+5×4=76（元）．答：买7袋5个的，4袋3个的最省钱；共用76元钱．点评：通过分析每种包装每支的单价得出应尽量两种包装搭配正好为47个，且尽量多买每袋5个的最省钱是完成本题的关键．【题文】如图的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远？请画出路线．【答案】最少要爬8厘米．如图，【解析】试题分析：由近及远，首先向上走一格，吃掉最左边的，然后向右走两格，向下走1格，吃掉中间的第二个，然后向右1格，再向上3格，吃掉最后一个，共爬行8厘米，即可得解．解：如图，答：最少要爬8厘米．点评：由近及远，不走回头路，是解决此题的关键．【题文】如图，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图16﹣2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米）【答案】700元.【解析】试题分析：就近输送，把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库，把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库，需要的运费最少，是20×10×2+15×10×2，即可得解．解：就近输送，把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库，把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库，需要的运费最少，是：20×10×2+15×10×2=400+300=700（元）答：完成上述调运计划，最少需要700元运费．点评：就近输送，尽量减少路程，是解决此题的关键．【题文】2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略？【答案】乙有必胜的把握．【解析】试题分析：因为甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；解：根据条件可知：甲所放的棋子有很大的受限，从左边数的第二个格子，甲不能放，那么乙先空着，所以最后乙可以放在左数第二个格子里，而甲无处可放，故此乙有必胜的把握．点评：本题考查最佳对策问题：注意结合条件仔细分析才能找出最佳对策．【题文】有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？【答案】乙【解析】试题分析：因为规定每次可以取1根或者2根火柴，所以一定能保证两人所拿火柴数量之和是3，故此，甲先拿，只要乙拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3，那么乙又必胜的策略．解：9÷（1+2）=9÷3=3答：因为规定每次可以取1根或者2根火柴，如果甲先取，那么甲拿几根，只要乙保证拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3，那么乙有必胜的策略．点评：本题考查最佳对策问题：只要除尽的，谁先拿后者只要和前者拿的和是一定的，那么后者有必胜的把握．【题文】有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输．甲先取．问：谁有必胜的策略？【答案】甲【解析】试题分析：因为甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，那么两人所拿的数量之和一定可以保证是5根，100÷5=20，所以甲先拿4根，还剩96根，乙开始拿，甲拿的和乙的和是5即可，因为96÷5=19…1，所以最后一定剩下1根是乙必须拿的，故此甲有必胜的把握．解：根据题意可知：两人所拿的数量之和一定可以保证是5根，甲先拿4根，100﹣4=96（根）96÷5=19…1，甲先拿，只要乙保证每次拿的和甲的和是5根，那么最后一根一定是乙拿的，故此甲有必胜的把握．答：甲有必胜的把握．点评：本题考查最佳对策问题：根据题意后者能保证每次那的数量与前者拿的之和是5根，据此解答即可．【题文】黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的？【答案】甲将获胜．甲先擦去 1，再将剩下的数分组：（2，3）、（4，5）、（6，7）、…、（2008，2009）组中的两个数都是一奇一偶；接下来不论乙擦去哪个数，甲就擦去和这个数同一组的另一个数，则甲必胜．【解析】试题分析：从1到2009共2009个数字，2009÷2=1004…1，所以有1004个偶数，1005个奇数，根据条件，要想使甲获胜，甲先擦去1，那么剩下2008个数字恰好是一奇一偶，乙擦去哪个数，甲就擦去与其同组的数即可获胜．解：甲将获胜．甲先擦去 1，再将剩下的数分组：（2，3）、（4，5）、（6，7）、…、（2008，2009）组中的两个数都是一奇一偶；接下来不论乙擦去哪个数，甲就擦去和这个数同一组的另一个数，则甲必胜．答：甲有必胜的策略．点评：本题考查最佳策略问题：解答本题的关键是甲先擦去奇数即可，剩下的乙擦奇数，甲就擦偶数，乙擦偶数，甲就擦去一个奇数即可．【题文】甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？【答案】如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．【解析】试题分析：我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．解：甲的获胜策略是：把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币．答：如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．点评：此题较难，应利用对称思想获胜，对称思想获胜策略体现出了一种机智，而这种机智来源于数学思想，应灵活运用数学知识解决问题．【题文】小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟？【答案】12分钟．【解析】试题分析：所有七道工序里，可以在烧热锅和烧热油的4分钟里切豆腐2分钟，切肉片2分钟，可以节约2+2=4分钟，由此即可解答．解：根据题干分析可设计如下：共有：3+1+2+2+4=12（分钟）答：小悦烧好这道菜最短需要12分钟．点评：此题是考查了合理安排时间的问题，解决此类问题时，要奔着既节约时间，又不使每道程序相矛盾进行合理安排．【题文】小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短？这个最短的时间是多少？（只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间．）【答案】按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短，最短时间是30分钟．【解析】试题分析：要使等候的时间最少，需要让用时最少的先买，即按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最少；这时当A先买时需要4人等候，当D买时需要3人等候，当C买时需要有2人等候，当E买时需要1人等候，当B买时无人等候，等侯时间的总和为：2×4+3×3+4×2+5×1=30（分钟），据此解答．解：按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短；2×4+3×3+4×2+5×1=30（分钟）答：按A→D→C→E→B的顺序使等侯的时间和最短，最短时间是30分钟．点评：本题实际是统筹优化问题，因为等候的总时间与等候的人数和每个人需要的时间有关，在人数不变的情况下，需要让用时最少的先买东西．【题文】有47位小朋友，老师要给每人发一支红笔和一支蓝笔．商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售.5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元．则老师买所需的笔最少要花几元？【答案】1264元．【解析】试题分析：因为红笔61÷5＜40÷3，蓝笔70÷5＜47÷3．所以都要尽量多买5支1包的才能更节省钱，其次尽量的买的支数正好够分，剩余的数量尽量的少；由此找出方案进行讨论求解．解：因为红笔61÷5＜40÷3，蓝笔70÷5＜47÷3．所以都要尽量多买5支1包的才能更节省钱．方案一：5支包的买7包，3支包的买4包；方案二：5支包的买9包，3支包的买1包（多1支）．买红笔用第一种方案省钱，要67×7+40×4=587（元）；蓝笔用第2种方案省钱，只需：70×9+47×1=677（元）．老师买所买的笔至少花：587+677=1264（元）．答：老师买所需的笔最少要花1264元．点评：解决本题要注意两种颜色笔的单价的不同，所以选择不同的购买方案．【题文】如图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数．问：小悦从A出发走到B最快需要多少分钟？【答案】18分钟．【解析】试题分析：从A到B有很多条路可以选择，因此要抓住关键点C．从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB．它的总时间是18分钟．剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB，看那个更省时间．不经过C点的道路只有两条：①ADHFB，它需要20分钟；②AGIEB，它也需要20分钟．所以，从A到B最快需要18分钟．解：要抓住关键点C．从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC ；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB．它的总时间是5+1+10+2=18（分钟）．剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB相比，看那个更省时间．不经过C点的道路只有两条：①ADHFB，它需要4+6+8+2=20（分钟）；②AGIEB，它也需要5+3+4+8=20（分钟）．所以，从A到B最快需要18分钟．答：小悦从A出发走到B最快需要18分钟．点评：本题在应用数学中有个专门的名称，叫做“最短路线问题“．最短路线问题在交通运输，计划规划等许多方面都有广泛的应用．在实际问题中，道路图往往很复杂，要找出从A到B的所有路线是很困难的．因此，象上面这样的转化方法，就十分必要了．【题文】如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？【答案】车站应该建在D学校，最短为220000米．【解析】试题分析：站点最好设在人数比较多的学校门口，即学校E的门口，但其处在路的末端，所以不合理，只能选中间C、D两个学校，然后计算距离即可作出判断．解：站点设在C门口，200×200+300×100+500×100+600×200=40000+30000+50000+120000=240000（米）站点设在D学校的门口，200×300+300×200+400×100+600×100=60000+60000+40000+60000=220000（米）因为240000米＞220000米，所以车站应该建在D学校，最短为220000米．点评：本题考查了优化问题中的最短路程问题，关键尽量把站点选在中间，并且尽量靠近人数多的单位．【题文】北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元？终点武汉西安北京57上海710【答案】10200元．【解析】试题分析：北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，此时，可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案．解：上表中第一行的差价为：7﹣5=2（百元），第二行的差价为：10﹣7=3（百元），说明从北京给西安多发1台车床要多付运费2百元，而从上海给西安多发1台车床要多付运费3百元，所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总运费为：7×5+5×5+7×6=35+25+42=102（百元）．102百元=10200元答：北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总运费是10200元．点评：解答此题的关键是，根据运费表，得出从北京给西安多发1台车床和从上海给西安多发1台车床所多付的费用的多少，来设计运输方案．【题文】甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线（横、竖、斜均可），谁就获胜．如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？【答案】乙要想不败，第1枚棋子应该放在角上．【解析】试题分析：如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，就要最大可能的阻止甲的三枚棋子不能横、竖、斜成一条直线，这样乙要把棋子放在能使横、竖、斜都是的公共点上，这样的点是角上．据此解答．解：要最大可能的阻止甲的三枚棋子不能横、竖、斜成一条直线，这样乙要把棋子放在能使横、竖、斜都是的公共点上，这样的点是角上的点．然后甲下在一个位置，乙下一枚棋子堵住其3枚连成一条直线即可答：乙要想不败，第1枚棋子应该放在角上．点评：本题的关键是找出能使横、竖、斜都是的公共点．【题文】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略？【答案】甲【解析】试题分析：①通过分析可知，因为每人每次可取1根2根或3根，所以只要甲先拿3根，乙无论再是拿1根、2根还是3根，甲再拿时，拿的根数和乙的根数和起来是4，则保证甲获胜．②因为1+1=2，1+2=3，1+3=4，2，3，4都是12的因数，只要甲总是取一个，无论乙怎么取，最后一个一定是乙取的，所以甲必胜．解：①因为，12÷4=3，所以，甲先拿3根，乙如果拿1根，甲就拿3根；乙如果拿2根，甲就拿2根；乙如果拿3根，甲就拿1根；即甲再拿时拿的根数和乙的根数和起来是4，所以，甲一定取到最后一枚棋子而获胜．②因为1+1=2，1+2=3，1+3=4，而2，3，4都是12的因数，只要甲总是取一个，无论乙怎么取，最后一个一定是乙取的，所以甲必胜．点评：本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以4，有余数，先取余数，再与对方取的个数和是4，即可获胜，如果没有余数，就让对方先取，自己再取时与对方取的个数和是4，自己一定获胜．【题文】现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴．每次最少从中取出2根，最多取出4根．谁无法再次取出火柴谁就赢．如果甲先取，请问谁有必胜的策略？【答案】甲【解析】试题分析：因每次最少拿2，最多拿4，所以两人每次最多只能取2+4=6，2008÷6=334（次）…4（个），只要甲先取4个，然后再看乙每次取几个，只要每次与乙所取火柴数的和满足是6，甲就能取胜．解：2008÷（2+4）=2008÷6=334（次）…4（个）；只要甲先取4根，然后再看看乙每次取几根，只要每次与乙所取火柴数满足是6，甲就能取胜．点评：本题的关键是根据题意先求出两人一次最多取几根，再除总根数，然后取余数．再让两人每次取的和是两人一次拿的最多的个数即可获胜．【题文】甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．（1）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略？请说明理由；（3）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略？请说明理由．【答案】（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；（2）甲先从3个一堆中拿2个，无论乙怎么拿，甲必胜；（3）甲先拿其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．【解析】试题分析：（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；（2）（3）其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．解：（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；（2）甲先从3个一堆中拿2个，无论乙怎么拿，甲必胜；（3）甲先拿其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．点评：关键是明确规定拿到最后一个球的人为输，所以甲先拿时要充分考虑这个条件．【题文】如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？【答案】甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．【解析】试题分析：通过分析可知，从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜，据此解答即可．解：甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．点评：此题属于游戏中取胜的策略问题，解答此题的关键是甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，甲先走，因而甲把握主动，从而有必胜的策略．【题文】桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？【答案】甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．因为：巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．如果巧克力是2×2格的，乙胜．如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．所以甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．【解析】试题分析：如果巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．总结一下，如果巧克力是2×2格的，乙胜．如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．再仔细思考，就可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．因此，6×10格的巧克力，甲可以永远获胜．他的策略是：每次将巧克力变为正方形的．解：甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．因为：巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．如果巧克力是2×2格的，乙胜．如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．所以甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．点评：此题考查最佳对策问题，注意结合图形和条件分析得出答案．【题文】甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟．三人同时开始工作．问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件？【答案】17分钟【解析】试题分析：加工完七个零件最少需多长时间，也就是要求三人加工完七个零件用的时间最少．甲乙二人同时加工用时9分钟的零件，丙也同时加工用时8分钟的零件；丙加工完后接着加工用时5分钟的零件，甲乙加工完接着加工用时6分钟的零件；这时丙用时8+5=13分钟，甲乙用时9+6=15分钟．那么还剩余一个。
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统筹与对策
第11讲
——对策的构造
情
课
堂
激
例1：甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向下图所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜。
如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？
例2：两个人做一种游戏：轮流报数，必须不大于6的非零自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100，谁就获胜。
如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报_____，以后怎样报？
例3：有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_____有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
练习1：有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取2枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
如果取
走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
例4：现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。
每次最少从中取出2根，最多取出4根。
谁无法再次取出火柴谁就赢。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
练习2：现有2009个石子，甲、乙两个人轮流从中取出石子。
每次最少从中取
出2个，最多取出5个。
谁无法再次取出石子谁就赢。
若甲先取，那么________有必胜策略。
例5：甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。
那么如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么_______有必胜策略，请说明理由。
练习3：甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆205个，一堆209个。
甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可。
规定拿到最后一个金币的人为胜者，胜者可以获得所有金币。
如果甲先拿，那么_______有必胜策略。
练习4：两人轮流往一个圆桌上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方也无处可放，谁就获胜。
问：先放者如何取胜？
例6：如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。
请问：________有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步，结果又如何呢？
B
A
练习5：如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。
请问：______有必胜策略，策略是什么？
B .
A
例7：桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示。
现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏。
规则如下：
①每次只允许沿一条直线把巧克力切成两块；
②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；
③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜。
如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走_____个小方块，才能使你最后获胜。
枚举尝试 互补策略 对称策略
平衡与破坏
1. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏。
规定：
知识小结
力
课
后
能
培 养
课后作业
每人每次只能翻动一张或两张牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜。
问：先翻牌的小朋友先翻多少张，才有必胜策略？
2. 现有200颗糖豆，甲、乙两个人轮流从中取出糖豆。
每次最少从中取出2个，最多取出4个。
谁无法再次取出糖豆谁就赢。
如果甲先取，那么______有必胜的策略
3. 甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人输，现在甲先取球。
(1) 如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么______有必胜策略； (2) 如果开始时两堆球分别是两个和三个，那么______有必胜策略。
4. 甲、乙二人一次在一个正十边形中画对角线(即两个不相邻顶点的连线)。
规定新画的对角线不能与已经画了对角线相交，谁画下最后一条这样的对角线谁获胜。
甲先画，那么_______有必胜策略。
A. 1
B. 2
A. 甲
B. 乙
A. 甲、甲
B.甲、乙
C.乙、乙
D. 乙、甲
A. 甲
B. 乙
5. 如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜。
请问：______有必胜策略。
6. 在一个3×3的方格纸中，甲、乙两人轮流往方格中写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数字不能重复。
最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。
甲能否找出一种必胜的方法？
7. 黑板上写着一排相连的自然数1、2、3、……、51。
甲、乙两人轮流划掉连续3个数。
规定在谁划过之后另一个人再也划不成了，谁就算取胜。
甲要想获胜，需要先划掉哪三个数？
A. 甲
B. 乙
A. 能
B. 不能
A. 1、2、3
B. 7、8、9
C. 25、26、27
D. 30、31、32
1. A
2. B
3. D
4. A
5. B
6. A
7. C
解析
1.先翻牌的小朋友翻1张牌，以后每次给对手剩下的牌数都是3的倍数，即可
获胜。
2.乙有必胜策略，甲取2个，乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙
就取2个。
3.(1)乙有必胜策略，甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个；(2)甲有必胜
策略，必胜策略是从三个球的那堆中取出1个球。
4.甲有必胜策略，画一条最长的对角线。
6.可以，甲只需使上下两行行中间的两个方格中数之和大于左右两列列中间的
两个数之和即可。
甲先写，必定可选到8、9、10三个数中的两个，只需将这两个数填入上下两行中间的方格处，即可获胜。
7.利用对称思想，只要每次乙划完数后甲一定能够划数，则甲必胜。
可使甲第
一次先划去位于中间的25、26、27三个数，之后每次设乙划去的数为n、n+1、
n+2，则甲只需划50－n、51－n、52－n三个数即可，这样甲必胜。
随堂笔记。