高中数学不等式习题及详细答案

第三章 不等式

一、选择题

1．已知x ≥2

5

，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．

A ．最大值45

B ．最小值4

5

C ．最大值1

D ．最小值1

2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221

＋)(x

y 的最小值是( )．

A ．3

B ．

2

7 C ．4 D ．

2

9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋

ab

1≥22

B ．(a ＋b )(

a 1＋b

1

)≥4 C

22

≥a ＋b

D ．

b

a ab

+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x

x f x f )

()(－－＜0

的解集为( )．

A ．(－1，0)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－1)∪(0，1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(－1，0)∪(0，1)

5．当0＜x ＜2

π时，函数f (x )＝x x

x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．

A ．2

B ．32

C ．4

D ．34

6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18

B ．6

C ．23

D ．243

7．若不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧4≤ 34 ≥

30 ≥

y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．

A ．

7

3

B ．

37

C ．

43

D ．

34

8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为

35，则点P 的坐标是( )．

A ．(－5，1)

B ．(－1，5)

C ．(－7，2)

D ．(2，－7)

9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．

A ．－207

B ．

20

7 C ．

2

1

D ．不存在

10．当x ＞1时，不等式x ＋1

1

-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，2]

B ．[2，＋∞)

C ．[3，＋∞)

D ．(－∞，3]

二、填空题

11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．

12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，

0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．

13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，x

a

＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．

15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则

m 1

＋n

2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．

(x －y ＋5)(x ＋y )≥0

0≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0

(第9题)

三、解答题

17．求函数y ＝1

＋10

＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．

18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．

(第18题)

19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？

20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5

－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊

(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；

(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋

2

2

b ＝1，求2＋1b a 的最大值．

参考答案

1．D

解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝

2

1

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥

2

5

，x －2＞0， ∴

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝

2

－1

x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋

)(y x ＋221＋)(x

y ＝x 2＋2

2

241＋＋＋41＋

x x y y y

y x ＝⎪⎭⎫ ⎝

⎛

22

41＋

x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋

241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x

2＝2

41x ，x ＝22时取等号； 41＋

2

2y y ≥22

241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x y

y x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝x

y

，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝

2

2

时原式取最小值4． 3．D 解析：

方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有b

a ab

+2≥ab 不成立．