§25 用三种方式表示二次函数解析法,列表法图象法PPT课件
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九年级数学上册《二次函数的三种表达方式》PPT
了解中考
中考数学命题趋势，贴近 学生生活，联系实际，把实际 问题转化为数学模型，培养学 生分析问题、解决问题的能力， 增强学以致用的意识。
课堂例选
例2、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交
桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把
它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解
析式．
解：设抛物线为y=a(x-h)2＋k 由题意可知:抛物线的顶点为(20,16),
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点坐标或三对对应值， 通常选择一般式 ▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式 ▪ 已知图象交于x轴的两点坐标， 通常选择交点式
求解二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，选用恰当的一种函数解析式。
课后练习
1．已知抛物线经过点A（－1，0），B（0， -3），C（3，0），求这个抛物线的解析式．
了解中考 二次函数是初中代数的重要内
容之一，也是历年中考的重点。这 部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题，又有解答题，而 且常与方程、几何、三角等综合在 一起，出现在压轴题之中。 因此，
熟练掌握二次函数的相关知识，会 灵活运用一般式、顶点式、交点式 求二次函数的解析式是解决综合应 用题的基础和关键。
1.已知：二次函数的顶点（2，1），且 图象经过点P（1，0）. 求：二次函数的解析式.
解:设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2). 由已知， 函数图象交于x轴于（1，0），（3，0），且经 过（2，1），得：
1 a(2 1)(2 3)
解这个方程，得a= -1.
因此，所求二次函数是y= -(x-1)(x-3).
b、c的三元一次方程组， 求出a、b、c的值，从 而确定函数的解析
《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT课件
独立 作业
知识的升华
（1）P58 第1,2题 P73 第1题 P74 第6题 （2）预习P59~60
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
x y
用函数表达式表示 ： 2
Y=x(10-x)=-x +10x
做一做
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
x y
用表格表示 ： x 1 2
10-x y 9 9 8
3 7
4 6
5 5
6 4
7 3
8 2
9 1 9
16 21 24 25 24 21 16
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会 x 10 x ( x 5) 25
二次函数解析式的几种求法ppt课件
解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：
精选ppt课件
9
课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3，5)； (2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过点
(1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐标 是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
பைடு நூலகம்
即
y＝4x2－8x＋1
精选ppt课件
7
例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由 与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为 （1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－2，即可 求出a的值．
精选ppt课件
6
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：
精选ppt课件
9
课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3，5)； (2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过点
(1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐标 是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
பைடு நூலகம்
即
y＝4x2－8x＋1
精选ppt课件
7
例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由 与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为 （1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－2，即可 求出a的值．
精选ppt课件
6
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
§2-5 用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
例1、已知点 （-1，-1）在抛物线 、已知点A（ ， ） y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上 上 （1）求抛物线的对称轴； ）求抛物线的对称轴； 与点B关于抛物线的对称 （2）若点 与点 关于抛物线的对称 ）若点A与点 轴对称， 轴对称，问是否存在与抛物线只交于 一点B的直线 若存在， 的直线？ 一点 的直线？若存在，求出符合条 件的直线；若不存在，请说明理由。 件的直线；若不存在，请说明理由。
问题研究
已知矩形周长20cm, 已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为 面积为ycm xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的而变化的规律是什么？ 随 的而变化的规律是什么 的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式， 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？ 和图象表示出来吗？
y = x − 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么? 1.自变量x的取值范围是什么? 自变量 ∵x表示任意一个数 ∵x表示任意一个数 自变量x的取值范围是: ∴自变量x的取值范围是: 或y = ( x − 1) − 1. 全体实数
例3、如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正 、如图，有一座抛物线型拱桥， 常水位AB时宽为 时宽为20米 水位上升3米就达到警 常水位 时宽为 米，水位上升 米就达到警 戒线CD，这时水面宽度为10米 戒线 ，这时水面宽度为 米. (1)在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式; 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 (2)若洪水到来时 水位以每小时 米的速度上升 若洪水到来时,水位以每小时 米的速度上升, 若洪水到来时 水位以每小时0.2米的速度上升 从正常水位开始,再持续多长时间 会达到共拱顶? 再持续多长时间,会达到共拱顶 从正常水位开始 再持续多长时间 会达到共拱顶
问题研究
已知矩形周长20cm, 已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为 面积为ycm xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的而变化的规律是什么？ 随 的而变化的规律是什么 的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式， 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？ 和图象表示出来吗？
y = x − 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么? 1.自变量x的取值范围是什么? 自变量 ∵x表示任意一个数 ∵x表示任意一个数 自变量x的取值范围是: ∴自变量x的取值范围是: 或y = ( x − 1) − 1. 全体实数
例3、如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正 、如图，有一座抛物线型拱桥， 常水位AB时宽为 时宽为20米 水位上升3米就达到警 常水位 时宽为 米，水位上升 米就达到警 戒线CD，这时水面宽度为10米 戒线 ，这时水面宽度为 米. (1)在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式; 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 (2)若洪水到来时 水位以每小时 米的速度上升 若洪水到来时,水位以每小时 米的速度上升, 若洪水到来时 水位以每小时0.2米的速度上升 从正常水位开始,再持续多长时间 会达到共拱顶? 再持续多长时间,会达到共拱顶 从正常水位开始 再持续多长时间 会达到共拱顶
《用三种方式表示二次函数》二次函数2 最新小学精品公开课件
y x2 2x
教材62页：题略
议一议
3.如何描述y随x的变化而变 化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变 化而变化的情况是: 当x<1时,y随x的增大而减小; 当x>1时,y随x的增大而增大.
y x2 2x
二次函数的三种表示方式各有什么特点? 它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示
y ( x 3)2 8
1、作出函数 y x2 6x 1 的图像，
并根据图像填空： 当x= -3 时，函数取到最小值 -8 ； 当x≥－3时，y随x的增大而增大． （增大、减小）
点击打开图像
y (x 1)2 6
2、函数 y x2 2x 5 的顶点坐标
点击打开图像
教材61页：题略
议一议
当x取何值时,长方形的面积最大？ 它的最大面积是多少?你是怎样得到的？
教材61页：题略
议一议
解析法：
y x2 10x (x 5)2 25
∴当x=5时,y最大=25． 即当x=5cm时,长方形的面积最大, 它的最大面积=25cm２．
教材61页：题略
为(1,6)，图像的开口向下， 当ｘ＝ 1 时，函数有最大（大， 小）值为 6 ．
点击打开图像
一、P63 数学理解
第1题【分析及答案：设其中一个数为x则两数的
积为
y x2 6x
】
第2题【分析及答案：设其中一部分的长为xcm，
则面积和为 y 1 x2 15x 900 】
8
联系拓广 第3题【参考答案：(1)0<x<12
练一练
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么 它们的积y是如何随x的变化而变化的? 你能分别用函数表达式、表格和图象表示 这种变化吗?
《用三种方式表示二次函数》二次函数4精品 课件
m=1+2+3+4+ ……+nn(n=1)
2
1.（乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，
则a的值为（ ）
y
y
y
y
－1 O
1x
－1 O 1 x
O
x
A.6或－1 C.6
B.－6或1 D.－1
【答案】选D.
O
x
2.(鄂尔多斯·中考)已知二次函数 y x 2 bx c
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
•
十二、世上最好的缘，便是有个聊得来 的伴， 永远不 嫌你的 话多， 不厌其 烦且久 处不厌 ，永远 会陪在 身边， 念你冷 暖，且 懂你悲 欢。
•
十三、你相信吗，未来要和你共度一生 的那个 人，其 实在与 你相同 的时间 里，也 忍受着 同样的 独。那 个人一 定也怀 着满心 的期待 ，拥着 一腔孤 勇，穿 过茫茫 人海， 也要来 与你相 见。
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。环境 影响下 ，公司 面临改 革，需 要裁员 ，高学 历出身 的她赫 然在列 。
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
用三种方式表示二次函数PPT课件
(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3
《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT(上课用)
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线,顶点坐标 是:().
.如何描述随的变化而变化的情况?
由表格和图象可知随的变化而变化 的情况是:当<时随的增大而减小;当 >时随的增大而增大.
表 示 表 达 式
优点
缺点
变量间关系简 需要通过计算, 捷明了,便于分 才能得到所需 析计算. 结果 能直接得到某些 不能反映函数整 表 具体的对应值 体的变化情况 格 直观表示了变量 图 间变化过程和变 象 化趋势. 函数值只能是 近似值
()
做一做
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长,并设它的一边 长为,面积为.
x y
用表格表示 ：
做一做
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长,并设它的一边 长为,面积为.
用图象表示:
x y
议一议
在上述问题中,自变量的
取值范围是什么？
x
y
因为表示周长为矩形的边长,所
以>>.因此，自变量的取值范围 是<<.
y x 2x
y x 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
.自变量的取值范围是什么? ∵表示任意一个数 ∴自变量的取值范围是: 或y x 1 全体实数
2
1.
y x2 2x
.图象的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
或y x 1 1.
2
y x2 2x
y x x 2 即y x 2 x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差,设其中较大的一个数 为,那么它们的积是如何随的变化 而变化的?
()
用表格表示：
二次函数的解析式的三种解法ppt课件
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封面 10
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11
由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
x o
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
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封面 4 例题
例题选讲
例 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
一般式： 3 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
y=ax2+bx+c
例题选讲
例一般式： 1ຫໍສະໝຸດ y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式： y=a(x-h)2+k
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10 a+b+c=4
4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5
与Y轴交点的纵坐标是，求这个抛物线的解析式？
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封面 9小结
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
y
通常选择一般式
▪ 已知图象的顶点坐标＊对称轴和最值）
通常选择顶点式
x
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择两根式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一次方程组，求出a、
【小学课件】《用三种方式表示二次函数》二次函数优质PPT课件
九年级数学(下)第二章 二次函数
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
y x 1 1.
2
x2-2x= (x-1)2-1
… … -2 -1 0 1 2 3 4 … …
用表格表示：
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
y x 1 1.
2
x2-2x= (x-1)2-1
… … -2 -1 0 1 2 3 4 … …
用表格表示：
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
用三种方式表示二次函数4ppt
４ ３
1．已知函数y=ax ＋bx＋c（a≠0）的图 象，如图所示，则下列关系式中成立的是 ( ) b b B．0＜－ ＜2 A．0＜－ 2 a ＜1 2a b b C．1＜－ 2 a ＜2 D．－ 2 a =1
训练反馈 2
2.抛物线 y ax bx c 和直线 y = ax + b 可以在同一直角坐标系中的是（ ）
问题导学
1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。
2. 刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度
及路面的摩擦系数.
有研究表明:汽车在某段公路上行驶 时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式：
那么刹车距离与什么因素有关？ 1 v2 晴天时：s= 100 雨天时：s= 1 v2 50
14．等边三角形的边长2x与 面积y之间的函数表达式为 ． 2＋kx－2k通 15．抛物线y=x 过一个定点，这个定点的坐 标为 ．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用 品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈 利的过程．图中二次函数图象（部分）刻 画了该公司年初以来累积利润S（万元）与 销售时间t（月）之间的关系（即前t个月 的利润总和S与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，：
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
《用三种方式表示二次函数》二次函数4精选优质 PPT
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
用三种方式表示二次函数
(1)自变量函x的数取值的范围表是什格么? 表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值
格和图象表示这种变化吗?
6或－1 对B应. 关系；
y1＜y2 函D数. 的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化
趋势； （乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
2<x2<3时，y1与y2的大小关系正确的是(
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+n=No Image
1.（乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，
则a的值为（ ）
x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 -1 0 3 8 …
3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式回答下列问题： (1)自变量x的取值范围是什么? (2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? (3)如何描述y随x的变化而变化的情况? (4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三 个问题的?
二次函数的解析式的三种形式 ppt课件
驶向胜利 的彼岸抛物线的解析式抛物线的解析式 驶向胜利
一般式 y=ax2+bx+c
的彼岸
： 顶点
b 2a
对称轴
b, 2a
4acb2 4a
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
顶点式 y=a(x-h)2+k
：顶点 (h,k
(h,k)
)
对称轴
h
直线:x=h
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
y＝2x2+5
对称轴 直线x=0(即y轴
：
)
(0,5)
顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3)
对称轴 直线x=0.5 ： 顶点:
(0,12)
(-2, 0.5 (3,0) 0)
与y轴的交点: (0,12)
y＝2(x+1)2
对称轴 ：
顶点:
直线x=-1 (-1,0)
与y轴的交点: (0,2)
(0,2)
-1
y＝-2(x-1)(x-3)
对称轴 ：
顶点:
直线x=2 (2,2)
(1,0) 2
(3,0)
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2
3
对称轴 直线x=3 ：
顶点: (3,0)
与y轴的交点: (0,-27) (0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴 直线x=-3 ： 顶点: (-3,1)
ya(x2)21
已知抛物线 ,
点A(-1,y1), B(1,y2),
C(2,y3)在这条抛物线上，
一般式 y=ax2+bx+c
的彼岸
： 顶点
b 2a
对称轴
b, 2a
4acb2 4a
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
顶点式 y=a(x-h)2+k
：顶点 (h,k
(h,k)
)
对称轴
h
直线:x=h
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
y＝2x2+5
对称轴 直线x=0(即y轴
：
)
(0,5)
顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3)
对称轴 直线x=0.5 ： 顶点:
(0,12)
(-2, 0.5 (3,0) 0)
与y轴的交点: (0,12)
y＝2(x+1)2
对称轴 ：
顶点:
直线x=-1 (-1,0)
与y轴的交点: (0,2)
(0,2)
-1
y＝-2(x-1)(x-3)
对称轴 ：
顶点:
直线x=2 (2,2)
(1,0) 2
(3,0)
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2
3
对称轴 直线x=3 ：
顶点: (3,0)
与y轴的交点: (0,-27) (0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴 直线x=-3 ： 顶点: (-3,1)
ya(x2)21
已知抛物线 ,
点A(-1,y1), B(1,y2),
C(2,y3)在这条抛物线上，
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x
y
5
议一议
①在上述问题中,自变
量x的取值范围是什么？x
y
因为x表示周长为20cm矩形的 边长,所以x>0,10-x>0.因此， 自变量x的取值范围是0<x<10.
6
议一议
②当x取何值时,长方形的面积最 大？它的最大面积是多少?
y x2 1x0 (x5 )225
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
需要通过计算,才能得到 所需结果
不能反映函数整体的变化情况
函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图 关系 象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概
括和形象化的表达. 16
提问与解答环节
Questions And Answers
17
谢谢聆听
18
• 你能分别用函数表达式,表格和图象表 示这种变化吗?
9பைடு நூலகம்
做一做
解析法—用表达式表
示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数 为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
用函数表达式表示：
y x x 2 即 y x 2 2 x .
10
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
7
议一议
③请你描述一下y随x的变化而变化的情
况. yx21x0 (x5)225
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
8
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x, 那么它们的积y是如何随x的变化而变 化的?
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
2
问题研究
已知矩形周长20cm,
并设它的一边长为 x
y
xcm,面积为ycm2.
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
3
列表法—用表格表示：
x
123456789
10-x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
9 16 21 24 25 4 21 16 9
x
y
4
图象法—用图象表示:
1
深思熟虑 抛物线的平移
1.在坐标平面内,点(-2,3)向右平移3个单位 坐标为( 1 ,3),再向下平移2个单位得( 1 ,1) 继续向左移5个单位得到( -4 ,1 ) 2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得到 图象的解析式为 y=-2(x-1)2+3 ,再向下 平移2个单位得到 y=-2(x-1)2+1 ,继续向 左移5个单位得到 y=-2(x+4)2+1 .
坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.15
• 二次函数的三种表示方式各有什么特 点?它们之间有什么联系?
表示
优点
缺点
表达式
变量间关系简捷明了,便于 分析计算.
表格 能直接得到某些具体的对应值
x,那么它们的积y是如何随x的变化而
变化的?
Y= x2-2x=(x-1)2-1
用表格表示：
x
… …
-2
-1
0
1
2
3
4
… …
yx121. … 8 3 0 -1 0 3 8 …
11
做一做
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较 大的一个数为x,那么它们 的积y是如何随x的变化而 变化的?
yx2 2x
用图象表示:
12
yx2 2x
13
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
∵x表示任意一个数
∴自变量x的取值范围是:
全体实数
或 yx121.
yx2 2x
14
2.图象的对称轴和顶点 或 yx121.
坐标分别是什么?
yx2 2x
由表达式的顶点式和
图象,可知图象的对称
轴是:直线x=1,顶点