重大数统学院随机过程复习资料
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程复习资料.doc
丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。
又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。
数理统计与随机过程知识点总结
数理统计与随机过程知识点总结数理统计与随机过程是一门关于定量方法研究和应用统计和数学知识来描述和分析数据的学科。
它是一门极具挑战性的课程，帮助专业人士在统计学和数学方面更好地理解和使用相关概念，以分析重要的问题。
为此，本文将总结数理统计与随机过程的知识点，以便更好地掌握这门课程。
首先，需要了解数理统计与随机过程的基础概念。
数理统计与随机过程涉及数据收集，描述统计学和概率论。
其中，描述统计学是一种用来研究特定群体的统计方法，涉及描述统计总体和抽样方法。
概率论是一种研究事件发生的可能性和概率的科学，其目的是对自然和社会现象的发生概率进行估计和预测，以及了解概率的行为。
其次，也需要明确数理统计与随机过程研究中的一些基本概念。
数理统计与随机过程研究中的常见概念包括分布，假设检验，回归和管理统计，以及各种数据挖掘技术。
分布是指描述变量的分布类型，而假设检验是指使用统计技术来检验假设的过程。
回归分析是一种统计分析方法，可以根据实际变量的变化来预测变量的值，以及它们之间的关系。
而管理统计则是一种定量分析技术，用于确定管理决策的最优选择。
此外，数据挖掘技术是一种流行的数据分析技术，用于从海量数据中挖掘出有用的信息。
此外，数理统计与随机过程研究中还涉及许多数学概念，包括矩阵分析，概率分析，随机变量，概率分布，多变量分析，概率论，等等。
矩阵分析是一种用于组织和处理大量数据的非常有用的方法，可以用来对数据进行汇总和分析。
而概率分析是概率论研究中的重要概念，可以用来估计某个事件发生的可能性和概率，也可以用来分析复杂的统计问题。
而随机变量是概率分布中的一种重要概念，可以用来表示不同类型的变量。
多变量分析是一种特殊的回归分析，可以用来涉及多个变量的数据分析，而概率论是一种研究事件发生的可能性的科学，可以用来预测事件发生的概率。
最后，在处理数理统计与随机过程问题时，需要熟悉使用软件，包括分析软件，统计软件，数据库管理系统，以及数据可视化工具。
随机过程复习提纲
X (t ) E (eitX ) e itxk pk k 1
连续型随机变量X： 概率密度函数f (x)
X (t ) E(eitX )
e itx f ( x)dx
对一切随机变量，其特征函数都存在！
X (0) E(ei0X ) 1
23 March 2020
随机过程
常见分布的特征函数
随机过程
严平稳过程与宽平稳过程关系
➢ 严平稳过程不一定是宽平稳过程；反之， 宽平稳过程也不一定是严平稳过程；
➢ 宽平稳正态过程是严平稳过程。
联合平稳过程（平稳相关）
E[X (t)Y(t )] RXY ( ), t, t T
23 March 2020
随机过程
时平均 时相关函数 遍历性的验证
X (t) l.i.m 1
以连续型为例
E(X)
( xfX Y ( x y)dx) fY ( y)dy
xf (x, y)dxdy
xfX ( x)dx
23 March 2020
随机过程
特征函数
定义
X (t) E(eitX ), t (, ).
离散型随机变量X： P( X xk ) pk , k 1, 2,L
T
X (t)dt
T 2T T
X (t)X (t ) l.i.m 1
T
X (t)X (t )dt
T 2T T
均值具有遍历性
P{ X (t) mX } 1
自相关函数具有遍历性
P{ X (t) X (t ) RX ( )} 1
遍历性定理 —— 了解即可！
23 March 2020
绝对分布 X(n)的分布 P(n) [ p1(n), p2(n),L , pi (n),L ]
随机过程复习提纲汇总
随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。
随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。
在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。
在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。
同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。
复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。
随机过程复习题答案
随机过程复习题答案
1. 随机过程的定义是什么？
答：随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量是时间或空间的函数，用来描述系统随时间或空间的演变。
2. 什么是马尔可夫链？
答：马尔可夫链是一种随机过程，其中未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与之前的状态无关。
3. 描述随机游走的特点。
答：随机游走是一种马尔可夫过程，其中每一步移动到相邻状态的概率是固定的，并且每一步都是独立的。
4. 什么是平稳过程？
答：平稳过程是指其统计特性不随时间变化的过程，即过程的均值、方差和自相关函数不随时间变化。
5. 如何定义一个过程的遍历性质？
答：一个过程的遍历性质是指该过程的样本函数的统计特性与该过程的总体统计特性相一致。
6. 什么是鞅？
答：鞅是一种随机过程，其中给定当前和过去信息，未来某个时间点的期望值等于当前的值。
7. 描述泊松过程的基本性质。
答：泊松过程是一种计数过程，具有独立增量、平稳增量和泊松分布的到达时间间隔等基本性质。
8. 什么是布朗运动？
答：布朗运动是一种连续时间随机过程，其增量服从正态分布，且具有独立性和平稳性。
9. 如何确定一个过程是否是高斯过程？
答：如果一个过程的所有有限维分布都是多元正态分布，则该过程是高斯过程。
10. 什么是随机过程的谱分析？
答：随机过程的谱分析是研究过程功率谱密度的方法，它描述了过程在不同频率上的功率分布。
随机过程复习
第一章1. 随机过程的定义2. n 维概率分布:性质:1212(,,,,,;,,,,)0X n i n F x x x t t t t -∞= 12(,,,;,,,)1X n F t t t ∞∞∞= 1212(,,,;,,,)0X n n f x x x t t t ≥121212n (,,,;,,,)1X n n n f x x x t t t dx dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 重3. 随机过程的数字特征 (1)数学期望()[()](;)X m t E X t xf x t dx ∞-∞==⎰物理意义：某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化.如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。
(2)均方值222()[()](;)XX t E X t x f x t dx ∞-∞ψ==⎰方差2222()[()][(()())][()]()X X X t D X t E X t m t E X t m t σ==-=-物理意义：如随机过程表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。
(3) 自相关函数1212(,)[()()]X R t t E X t X t = 物理意义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系. (4) 自协方差函数121122(,)[(()())(()())]X X X K t t E X t m t X t m t =--物理意义：反映了随机过程任意两个时刻的起伏值之间相关程度。
自协方差和自相关函数的关系:121212(,)(,)()()X X X X K t t R t t m t m t =-自协方差和方差的关系: 2212(,)(,)[(()())]()X X X X K t t K t t E X t m t t σ==-=})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121n n n n X x t X x t X x t X P t t t x x x F ≤≤≤= nn n X n n n X x x x t t t x x x F t t t x x x f ∂∂∂∂=2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(12121212(,;,)X x x f x x t t dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰1.2 平稳随机过程及其遍历性1. 宽平稳或广义平稳随机过程:121222()(,)(,)()()[()]XX XX t t X m t m R t t E X X R t E X t τψ====<∞2. 平稳随机过程的性质 (1)平均功率 22(0)[()]0X X R E X t ψ==≥(2)偶对称性 ()(),()()X X X X R R K K ττττ=-=-(3)极值性(0)()X X R R τ≥(4)若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，2lim ()()X X XR R m ττ→∞=∞=,lim ()()0X X K K ττ→∞=∞=3. 平稳过程的相关系数:22()()()(0)X X XX X XK R m r K τττσ-==()0X r τ=表示不相关， ()1X r τ=表示完全相关，()0X r τ>表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
随机过程复习提纲
第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。
（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xtxi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni n i Y q e p q e p g g it n it n t X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i ii X =λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g it ii,...2,1,1==⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
随机过程第四章复习题及其解答马尔科夫链
第四章一、填空1.参数集和状态集均为离散集的马尔可夫过程称为马尔可夫链。
2.设{X n ,n єT}为马尔可夫链，称pj=p{X0=j}为{X n ,n єT}的初始概率，称pj （n ）=p{Xn=j}为{X n ,n єT}的绝对概率。
3.设{X n ,n>=0}为马尔可夫链，则一步转移概率p ij =P{X n+1=j|X n =i}4.矩阵()ij a 其元素非负且对每i 有1j=∑ija，称矩阵()ij a 为随机矩阵。
5.f (n)ij =P{T ij =n|X 0=i}=P{X n =j,X k ≠j,1<=k<=n-1|X 0=i}为首达概率。
6.若1=ii f ,称i 为常返状态；若1<ii f ，称i 为非常返状态。
7.状态相通关系为等价关系，具有自反性、对称性、传递性。
8.设马尔可夫链的状态集为E={0，±1，±2，…}或其有限子集，其初始时刻n=0的概率记为p i (0)=P{X(0)=i},i єE,称集合{p i (0)}为该马尔可夫链的初始分布。
9.设马尔可夫链的状态集为E={0，±1，±2，…}或其有限子集，其绝对时刻n 时的概率记为p i (n)=P{X(n)=i},i єE,称集合{p i (n)}为该马尔可夫链的绝对分布。
10.设C ⊂S ，如对任意i ∈C 及j ∉C,都有p ij =0,称C 为闭集。
若C 的状态相通，C 成为不可约的。
11.若平稳齐次马尔可夫链的初始分布为平稳分布，则绝对概率等于初始概率。
12.不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈I j ,u 1j 。
13.马氏链的绝对分布由其初始分布及相应的转移概率唯一确定。
二、1.设昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为0.7；昨日无雨，今日有雨、明日有雨的概率为0.5；昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2。
随机过程复习要点
一．答疑说明应各位同学要求，我和老师联系几次未能调解一个时间给大家当面答疑，我表示很抱歉，也希望大家理解。
于是我和老师通电话将大家的一些疑问和考试要点再和老师沟通了一下，在看下面内容之前说明几点：1.这些是我从老师那里转述的，范围其实不是很大，但是比较细，这可能已经是极限了；2.从我和老师的交流来看的话，应用计算类的题目可能每章都会有（这是我猜测的，大家自己衡量），下面也有讲到，所以课后习题以及一些简单的例题还是要反复看。
3.老师反复和我说明，考试难度肯定不大，不会超过我们做过的习题难度，任何定理证明、计算量过大以及难度过大的题目是都不会考的，希望大家还是以课本和老师讲过的东西为主。
4.祝大家考出好成绩。
二．题型说明共有选择、填空、应用三类大题，选择题为3~4道，填空题考基本概念（最最基本的概念），应用题就是每章的计算题。
三．范围说明第一章第一章大家问到很多的关于难的例题，老师说到是不会考的，第一章主要是要掌握有关随机过程的基本概念，包括随机变量、分布函数、密度函数、期望、方差、条件期望、特征函数，其中老师在答疑时特别有说到的是特征函数的概念，我不敢做过多猜测，大家自己考量吧。
第二章第二章比较简单，大家也没有什么问题。
老师主要说到的也就是随机过程的概念、相关函数以及作业类型的计算题。
第三章第三章有部分同学问过一些问题，老师说不会考非常难的例题，难度以习题为主，在掌握基本概念的同时要能够很好的进行应用，计算量不会太大，计算方面主要会考的应该是（区间长度+条件概率）来解题的方式（老师说到的，我不敢保证），应用题基本题这章应该是都会出的。
第四章第四章主要就是考4.1 4.2 ，考马尔可夫的基本概念，一本转移矩阵和n步转移矩阵。
第六章平稳过程的定义、概念以及证明方法还有各态历经这些都是会考的，大家多记一下吧。
第七章谱密度的概念，傅里叶变换、基本关系，主要是这些内容。
随机过程总复习共89页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
随机过程总复习
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
随机过程复习题
随机过程复习题随机过程复习题随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了随机现象随时间的演化规律。
在学习随机过程的过程中，复习题是一个很好的方式来检验自己的理解和掌握程度。
本文将给出一些随机过程的复习题，帮助读者巩固所学知识。
一、马尔可夫链1. 什么是马尔可夫链？它具有什么样的性质？2. 什么是平稳分布？如何判断一个马尔可夫链是否存在平稳分布？3. 请解释马尔可夫链的转移概率矩阵和状态转移图的概念，并给出一个具体的例子。
4. 马尔可夫链的状态转移概率矩阵是否一定存在？为什么？二、泊松过程1. 什么是泊松过程？它有哪些重要性质？2. 泊松过程的定义中，参数λ表示什么意思？如何计算泊松过程的期望和方差？3. 请解释泊松过程的独立增量和无记忆性的概念，并给出一个具体的例子。
4. 泊松过程的超过某个固定值的等待时间服从什么分布？请给出证明。
三、布朗运动1. 什么是布朗运动？它有哪些重要性质？2. 布朗运动的定义中，参数μ和σ表示什么意思？如何计算布朗运动的期望和方差？3. 请解释布朗运动的连续性和无界性的概念，并给出一个具体的例子。
4. 布朗运动的极限定理是什么？请给出证明。
四、马尔可夫过程1. 什么是马尔可夫过程？它有哪些重要性质？2. 马尔可夫过程的定义中，状态空间和状态转移概率矩阵分别表示什么意思？3. 请解释马尔可夫过程的平稳分布和细致平衡条件的概念，并给出一个具体的例子。
4. 马尔可夫过程的极限定理是什么？请给出证明。
通过以上的复习题，读者可以回顾和巩固自己对随机过程的理解和掌握程度。
同时，这些问题也涵盖了随机过程的一些重要概念和性质，有助于读者深入理解随机过程的本质。
希望读者能够通过这些复习题，进一步提升自己在随机过程方面的知识水平。
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
20
10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
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h
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
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第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
随机过程总复习
Y (t) 1(t ) 2 (t ) … r (t )
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它 们的特征函数之积.
练习:设随机变量X的概率密度函数为
p(
x)
1 2
x
0 x2
0 其 它
试求X的矩母函数。
解： (t ) E[etX ] 2 etx 1 xdx
2, 3 1，
t x1 3
t 3
x1
et
x1 et
随机过程的数字特征
1．均值函数 X (t) E[X (t)]
2．方差函数
D[X(t)] E[(X(t) X (t))2]
3．协方差函数
E[X 2(t)] X 2(t)
(t1, t2 ) E[(X (t1 ) X (t1 ))(X (t2 ) X (t2 ))]
注意：分母不等于0
2、条件期望的定义
离散型 连续型
E(X |Y yj ) xi P( X xi |Y y j ) i 1
其中
P(X
xi
|Y
yj
)
P(X xi ,Y P(Y yj )
yj
)
E(X |Y y)
x f ( x | y)dx
其中 f ( x | y) 条件概率密度
3、全数学期望公式
5．互协方差函数 XY (t1, t2 ) E[X(t1 ) X (t1 )][Y (t2 ) Y (t2 )]
6．互相关函数 RXY (t1, t2 ) E[X (t1 )Y (t2 )]
XY (t1, t2 ) = RXY (t1 , t2 ) X (t1 )Y (t2 )
练习 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量 且 E(U ) 3 ， D(U ) 4
随机过程复习指南
“随机过程”复习指南一、随机过程的基本概念随机过程的基本概念，有限维分布函数，n 维概率密度函数。
随机过程的数字特征：均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数。
几种关系：独立，不相关，正交。
几种重要的随机过程的概念：复随机过程，二阶矩过程，正交增量过程，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程，正态过程。
泊松过程的有关概念：泊松过程的定义，概率分布（泊松分布），泊松过程的数字特征，时间间隔，等待时间。
马尔可夫链有关概念：定义，无后效性，转移概率，齐次马尔可夫链，初始概率，绝对概率，首中概率；状态的周期性，常返性，平均返回时间，可达，互通，基本常返闭集，平稳分布。
平稳随机过程的有关概念：严平稳和宽平稳的定义，联合平稳，时间均值，统计均值，时间相关函数，统计相关函数，各态历经性，自相关函数，功率谱密度，互相关函数，互谱密度。
二、基本原理与方法关于运算符E 的计算方法，随机过程的几个典型的数字特征（均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数）的计算、性质以及之间的相互关系。
泊松过程的有关性质，数字特征的计算，时间间隔与等待时间的概率分布，条件概率的计算方法。
马尔可夫链的描述方式（转移概率矩阵、状态转移图），周期的判断，常返性的判断（常返态、非常返态、正常返态、零常返态、遍历态），状态空间的分解方法，平稳分布的求解。
平稳随机过程的有关概念：平稳（包括联合平稳）的判断，各态历经性的判断，自相关（互相关）函数的性质与计算，功率谱密度（互谱密度）的性质与计算。
平稳过程通过线性时不变系统后，输出过程的数字特征、平均功率、功率谱密度等分析与计算，会在简单的电路系统中求输出过程的均值、自相关、功率谱密度、平均功率等。
三、思考题1. 各章布置的作业题和讲授的例题。
2. 设随机过程∞<<∞-Φ+=t t A t X , )cos()(ω，式中A 和ω是常数，Φ是在（0, 2π）上具有均匀分布的随机变量，求该随机过程的均值、方差和相关函数。
重大数统学院随机过程复习资料
重大数统学院随机过程复习资料1.某城市每天发生交通事故数N 是随机变量，具有均值m ，方差2σ，设Y 为造成死亡的事件，如果每次事故造成死亡的概率为p ，且发生死亡交通事故与其它交通事故相互独立，且与每天发生交通事故数N 相互独立，求Y 的均值与方差。
2.设随机变量n X X X ,,,21…相互独立，如果：~(),1,2,P i n X i i λ= 求12n Y X X X =+++…的分布3.设随机变量X 的分布函数为()X F x ，()X F x 连续严格单调，求()X Y aF x b =+的特征函数。
4.设X 为非负随机变量，其分布函数为()X F x ，证明0()[1-()]X E X F x dx +∞=∫5.设随机过程{(),}X t t T ∈为正交增量过程，证明：22(,)min(,) ,X R s t s t st s t T σμ=+∈6.设1233(,,)~(,)N a ξξξΣ。
其中211(2,1,2)',130101a =Σ=??。
求1123212,ηξξξηξξ=++=?的联合分布。
7.设{(),}X t t T ∈为一随机过程。
令1()()0()X t x Y t X t x8.设随机过程{(),[,]}X t t a b ∈满足2[()]0,()0,[()]E X t X a E X t ==<+∞，且当 s t <时(,)(,)X X R s t R s s =，则{(),[,]}X t t a b ∈有正交增量性。
9.设}0),({≥t t X 为维纳过程，求随机过程{()(),0,0}X t l X l t l +?≥≥的协方差函数，其中l 为常数10.设}0),({≥t t N 为泊松过程，证明：对于任意t s <<0，有 k n k kn t s t s C n t N k s N P ===1})()({，其中n k ≤均为非负整数。
重邮随机过程复习题
；
（18）设 pij (t ) 是齐次马尔可夫过程的转移概率， qij 为 齐次马尔可夫过程从状态 i 到状态 j 的转移速率，则柯 尔莫哥洛夫向后方程为
lin X m X n =
；
（19）设随机序列 { X n , n 1} 均方收敛于随机变量 X，则 ； （ 20 ） 设 随 机 过 程 { X (t ), t T } 的 相 关 函 数 为 R( s, t ) 3s t 2st ， 则 随 机 过 程 { X (t ), t T } 与 其 导 数 过 程 { X (t ), t T } 的互相关函数 RXX ( s, t ) = ；
求其相关函数 RX ( ) 。
16、 有三个黑球和三个白球， 把这六个球任意等分给 甲、 乙两个袋中， 并把甲袋中的白球数定义为该过程 的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、 乙袋中各取一球， 然后相互交换， 即把从甲袋中取出 的球放入乙袋， 而把从乙袋中取出的球放入甲袋， 经 过 n 次交换过程的状态记为 X n 。试问过程是否是马 氏链？若是，试计算其一步转移概率矩阵。
RX ( ) 6cos(0 ) ，则 X(t)的平均功率为
函数 s X ( ) =
；
(28)设白噪声过程的相关函数 RX ( ) 1 ，则它的谱密度 。
。 （ 29） 已 知 白 噪 声 过 程 的 普 密 度 为 sX N0 ( 常 数 ),
则它的相关函数 RX
所 对 应 的 随 机 变 量 的 分 布 函 数 。 （
e
j
2 e d 2 ） 1
☆、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且 有相同的两点分布
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1.某城市每天发生交通事故数N 是随机变量，具有均值m ，方差2σ，设Y 为造成死亡的事件，如果每次事故造成死亡的概率为p ，且发生死亡交通事故与其它交通事故相互独立，且与每天发生交通事故数N 相互独立，求Y 的均值与方差。
2.设随机变量n X X X ,,,21…相互独立，如果：~(),1,2,P i n X i i λ= 求12n Y X X X =+++…的分布
3.设随机变量X 的分布函数为()X F x ，()X F x 连续严格单调，求()X Y aF x b =+的特征函数。
4.设X 为非负随机变量，其分布函数为()X F x ，证明
0()[1-()]X E X F x dx +∞
=
∫
5.设随机过程{(),}X t t T ∈为正交增量过程，证明：
22(,)min(,) ,X R s t s t st s t T σμ=+∈
6.设1233(,,)~(,)N a ξξξΣ。
其中211(2,1,2)',130101a ⎡⎤⎢⎥=Σ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求1123212,ηξξξηξξ=++=−的联合分布。
7.设{(),}X t t T ∈为一随机过程。
令1()()0()X t x Y t X t x
<⎧=⎨≥⎩，求证均值[()]E Y t 和12(,)R t t γ分别为()X t 的一维分布函数和二维分布函数
8.设随机过程{(),[,]}X t t a b ∈满足2[()]0,()0,[()]E X t X a E X t ==<+∞，且当 s t <时(,)(,)X X R s t R s s =，则{(),[,]}X t t a b ∈有正交增量性。
9.设}0),({≥t t X 为维纳过程，求随机过程{()(),0,0}X t l X l t l +−≥≥的协方差函数，其中l 为常数
10.设}0),({≥t t N 为泊松过程，证明：对于任意t s <<0，有 k n k k
n t s t s C n t N k s N P −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===1})()({，其中n k ≤均为非负整数。
11.设}0),({≥t t X 与}0),({≥t t Y 均为泊松过程，且相互独立，以及
0)]([,0)]([21>=>=t t Y E t t X E λλ，证明：对于n k ≤≤0，有
k n n k n q p C n t Y t X k t X P −==+=})()(|)({，其中p q p −=+=1,211
λλλ。
12.证明：独立增量过程是马尔可夫过程。
13.设,1,21≥+++=n U U U X n n 其中}{n U 为独立随机序列，证明}1,{≥n X n 为马氏过程
14.设]2,0[~,sin )(πU A At t X =，证明：},2,1),({ =t t X 是协方差平稳过程
15.设一个坛子装N 个球，他们或者为红色或者为黑色，从坛子中随机摸球，并换成另外一种颜色，记n X 为经过n 次摸球后坛子中的黑球数，写出转移概率矩阵，画出转移概率图。
16.设}0,{≥n X n 为离散分支过程。
(0)111{},0,1,2,2k P Z k k +==
= 求种群灭绝的概率。
17.考虑掷一个均匀的骰子的试验，设n X 表示在前n 次抛掷中出现的最大点数，求这个马氏链}1,{≥n X n 的转移概率矩阵。
18.重复掷一对均匀的硬币，设n X 表示在n 次抛掷中正面出现的次数， 求马氏链}1,{≥n X n 的状态空间和转移概率矩阵。