17-信道编码-卷积码1
数字通信中的信源编码和信道编码
数字通信中的信源编码和信道编码摘要：如今社会已经步入信息时代，在各种信息技术中，信息的传输及通信起着支撑作用。
而对于信息的传输，数字通信已经成为重要的手段。
本论文根据当今现代通信技术的发展，对信源编码和信道编码进行了概述性的介绍.关键词：数字通信；通信系统；信源编码；信道编码Abstract：Now it is an information society. In the all of information technologies, transmission and communication of information take an important effect. For the transmission of information, Digital communication has been an important means. In this thesis we will present an overview of source coding and channel coding depending on the development of today’s communication technologies.Key Words：digital communication; communication system; source coding; channel coding1.前言通常所谓的“编码”包括信源编码和信道编码。
编码是数字通信的必要手段。
使用数字信号进行传输有许多优点, 如不易受噪声干扰, 容易进行各种复杂处理, 便于存贮, 易集成化等。
编码的目的就是为了优化通信系统。
一般通信系统的性能指标主要是有效性和可靠性。
所谓优化，就是使这些指标达到最佳。
除了经济性外，这些指标正是信息论研究的对象。
按照不同的编码目的，编码可主要分为信源编码和信道编码。
在本文中对此做一个简单的介绍。
信道编译码技术
信道编译码技术信道编码与解码技术（Channel Coding and Decoding）是数字通信领域的一个重要技术，其作用是提高数据传输的可靠性和安全性。
在数字通信中，信道（Channel）指的是信号在传输过程中可能遭受到的各种扰动，如噪声、衰落、多径等。
这些扰动会使信号发生失真，使接收端无法正确解读信号。
为了保证数据能够正确地传输，需要采用信道编码技术对原始数据进行编码和解码，以实现数据的纠错和校验。
信道编码的原理是通过在信号中添加冗余信息，使得即使在信道受到扰动的情况下，接收端仍能够正确还原出原始信号。
这种冗余信息一般是一些校验码或纠错码，它们能够使得接收端检错并纠正信号中的错误位。
常见的信道编码方案有卷积码、海明码、BCH码、RS码等。
卷积码是一种线性编码，其原理是通过将输入数据与一个预定义的信道决策器进行卷积运算，得到一个编码后的序列。
在接收端，利用与发送端相同的决策器对编码序列进行解码，得到原始数据。
卷积码的主要缺点是码长较短，冗余信息较少，因此在高信噪比的信道中表现良好，但在低信噪比下表现不佳。
BCH码是一种多项式编码，其原理是将信息序列看作一个多项式，通过除法得到余数，将余数作为纠错码添加到信息序列中，得到一个编码序列。
在接收端，利用BCH解码器进行解码，可以检测并纠正多个错误位。
BCH码适用于低速率的数字通信系统和存储系统中。
信道编码技术对于提高数字通信的可靠性和安全性至关重要。
各种编码方案都有其特点和适用范围，我们需要根据实际应用场景选择适合的编码方案。
下面我们来深入了解一下信道编码的相关概念和性质。
1. 码率与编码效率信道编码系统中，码率是指源码经过信道编码后变成的码字的速率，通常用R表示，单位为咪比特/秒（Mbits/s）。
编码效率是指码率与信源熵率之比，即R/H(X)，表示利用编码所能达到的信息传输效率。
编码效率越高，表示可以用更少的码字传输更多的信息，同时也意味着在相同的信道条件下，可以得到更高的传输速率。
信道编码
前言计算机通信是一种以数据通信形式出现，在计算机与计算机之间或计算机与终端设备之间进行信息传递的方式。
它是现代计算机技术与通信技术相融合的产物，在军队指挥自动化系统、武器控制系统、信息处理系统、决策分析系统、情报检索系统以及办公自动化系统等领域得到了广泛应用。
计算机通信系统是经典的数字通信系统，它是计算机技术和通信技术结合的产物，一方面通信网络为计算机之间的数据传递和交换提供必要的设施和手段；另一方面，数字计算机技术的发展渗透到通信技术中，又提高了通信网络的各种性能，二者相互渗透、互相促进、共同发展。
由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。
第一章 信道编码1.1 信道编码概述1.1.1信道模型信息必须首先转换成能在信道中传输或存储的信息后才能通过信道传送给收信者。
在信息传输过程中，噪声或干扰主要是从信道引入的，它使信息通过信道传输后产生错误和失真。
因此信道的输入和输出之间一般不是确定的函数关系，而是统计依赖的关系。
只要知道信道的输入信号、输出信号以及它们之间的统计依赖关系，就可以确定信道的全部特性。
信道的种类很多，这里只研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。
1．离散信道的数学模型离散信道的数学模型一般如图6.1所示。
图中输入和输出信号用随机矢量表示，输入信号为 X = (X 1, X 2,…, X N )，输出信号为Y = (Y 1, Y 2,…, Y N )；每个随机变量X i 和Y i 又分别取值于符号集A ={a 1, a 2, …, a r }和B ={b 1, b 2, …, b s }，其中r 不一定等于s ；条件概率P (y |x ) 描述了输入信号和输出信号之间的统计依赖关系，反映了信道的统计特性。
卷积码编码器
• 信道编码的基本原理：
5
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7.1.2. 信道编码的分类
1. 从功能上看可以分为三类
仅具有发现差错功能的检错码，比如循环冗 余校验CRC码、自动请求重传ARQ等。 具有自动纠正差错功能的纠错码，比如循环 码中BCH码、RS码以及卷积码、级联码、 Turbo码等。 既能检错又能纠错的信道编码，最典型的是 混合ARQ，又称为HARQ。
传输中无差错，即e=0，则接收端必然要满足监督方程 H· Cτ=0τ ，若传输中由差错，即e≠0，则接收端监督方 程应改为：
HYT H(C e)T HCT HeT HeT ST (7.2.11)
• 由上式还可求得
S (S ) (HY ) YH CH eH eH
4
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• 信道编码的意义：
由于实际信道存在噪声和干扰，使发送的码字与信道传 输后所接收的码字之间存在差异，称这种差异为差错。 信道编码的目的是为了改善通信系统的传输质量。 基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一 些多余的码元，以保证传输过程的可靠性。信道编码的 任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能 的“好码”。
移项 • 并将它进一步改写为: C0 C2 C3 0 C C C C 0 0 1 2 3 C0 C1 C3 0 C1 C2 C6 0 • 将上述线性方程改写为下列矩阵形式为:
信道编码概念
信道编码概念信道编码是一种在数字通信中使用的技术，它可以提高数据传输的可靠性和效率。
在数字通信中，数据传输过程中会受到各种干扰和噪声的影响，这些干扰和噪声会导致数据传输错误。
信道编码技术可以通过在数据传输过程中添加冗余信息来提高数据传输的可靠性，从而减少数据传输错误的发生。
信道编码技术的基本原理是在发送端对原始数据进行编码，生成一些冗余信息，并将编码后的数据传输到接收端。
接收端通过解码过程来恢复原始数据。
在解码过程中，接收端可以利用冗余信息来检测和纠正数据传输中的错误。
常见的信道编码技术包括前向纠错编码、卷积码和块码等。
前向纠错编码是一种常用的信道编码技术，它可以在数据传输过程中检测和纠正错误。
前向纠错编码的基本原理是在发送端对原始数据进行编码，并在编码后的数据中添加一些冗余信息。
接收端在接收到编码后的数据后，可以利用冗余信息来检测和纠正数据传输中的错误。
前向纠错编码的优点是可以在数据传输过程中实时检测和纠正错误，从而提高数据传输的可靠性。
卷积码是一种常用的信道编码技术，它可以在数据传输过程中检测和纠正错误。
卷积码的基本原理是在发送端对原始数据进行编码，并在编码后的数据中添加一些冗余信息。
接收端在接收到编码后的数据后，可以利用冗余信息来检测和纠正数据传输中的错误。
卷积码的优点是可以在数据传输过程中实时检测和纠正错误，从而提高数据传输的可靠性。
块码是一种常用的信道编码技术，它可以在数据传输过程中检测和纠正错误。
块码的基本原理是将原始数据分成若干个块，并对每个块进行编码。
在编码过程中，会添加一些冗余信息。
接收端在接收到编码后的数据后，可以利用冗余信息来检测和纠正数据传输中的错误。
块码的优点是可以在数据传输过程中实时检测和纠正错误，从而提高数据传输的可靠性。
总之，信道编码技术是一种在数字通信中使用的重要技术，它可以提高数据传输的可靠性和效率。
常见的信道编码技术包括前向纠错编码、卷积码和块码等。
在实际应用中，需要根据具体的应用场景选择合适的信道编码技术，以提高数据传输的可靠性和效率。
信道编码-MATLAB仿真实验中的应用
⚫ 输入参数2——trellis，卷积码编码器的网格结构；
⚫ 输入参数3——tblen，a positive integer scalar，用于规定回溯深 度。If the code rate is 1/2, a typical value for tblen is about five times the constraint length of the code；
⚫ 输入参数1——msg，未编码的信息符号序列，二进制矢量形式； ⚫ 输入参数2——trellis，卷积码编码器的网格结构； ⚫ 输出参数——code，编码后的卷积码符号序列，二进制矢量形式。
⚫ 卷积码译码的MATLAB函数为：
⚫ vitdec
卷积码的维特比译码（二进制数据）
⚫ 最常用的函数格式为：
⚫ 输入参数5—— dectype，指示译码器的判决类型。其取值不同， 对应的输入参数1——code的数据类型也不同。其取值如下表：
Values of Meaning dectype Input
'unquant' 软判决，code的数据类型为实数（未量化），其中1表示逻 辑‘0’，-1表示逻辑‘1’ 。
decoded = vitdec(code,trellis,tblen,opmode,dectype)；
decoded = vitdec(code,trellis,tblen,opmode,'soft',nsdec)
⚫ 输入参数1——code，维特比译码器的输入符号序列，矢量形式。以 前述2/3码率的编码器结构为例，每个符号代表编码器输出的3个bit；
一、信道编码概述 四、卷积码译码
二、卷积码的结构 描述
三、卷积码编码
⚫ 信道编码又称检纠错编码，通过增加一定的 冗余度以提高数字通信系统的可靠性。
第8讲 信道编码：卷积码汇总
BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为：
g(x) LCM m1(x), m3(x),L , m2t1(x)
其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 小码距d ≥ 2t+1
BCH码分为两种： 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子
其中m表示素多项式的次数
多项式的序号
多项式系数的 八进制形式
英文字母的含义： ABCD表示本原多项式； EFGH表示非本原多项式
BCH码的构造 例如，(15, 5)BCH码可纠正3个错误，确定其生成多项式 1）t = 3，所以d ≥ 7 2）n = 15，即 2m – 1 = 15，所以m = 4 3）查既约多项式表可知4阶多项式分别有：
u(x) 1gx0 0gx1 1gx2 1gx3 1gx4 L 1 x2 x3 x4 L
x的幂次表示相对于时间起点的单位延时数目，一般情况下输入序 列可表示为：
u(x) u0 gx0 u1gx1 u2 gx2 u3 gx3 u4 gx4 L
同样可以用x延时算子表达式表示各输入点与模2加法器连接关系 ，若某输入点与某个模2加法器相连，则多项式中的系数为1，否 则为0。以(2, 1, 3)卷积码编码器为例
m1(x) = (23)8 = 010011 = x4 + x + 1 m3(x) = (37)8 = 011111 = x4 + x3 + x2 + x + 1 m5(x) = (07)8 = 000111 = x2+ x + 1 g(x) = LCM[ m1(x), m3(x), m5(x) ] = x10 + x8 + x5 + x4 + x2 + x + 1
信道编码综述
信道编码综述
信道编码是一种将信息源编码为特定格式以适应信道传输的技术。
在信息传输过程中，信号可能会受到干扰和噪声的影响，导致信息的失真或丢失。
信道编码通过在传输过程中添加冗余信息来增加信号的可靠性和纠错能力，从而减少错误率。
信道编码通常由两个阶段组成：编码和解码。
编码器将输入的信息源转化为编码序列，而解码器则根据接收到的编码序列还原出原始信息。
编码和解码的算法是信道编码的核心部分，常见的编码算法包括奇偶校验码、海明码、重复码、卷积码等。
奇偶校验码是最简单的信道编码方法，通过在每个数据位后添加一个校验位，以检测并纠正单个错误。
海明码则是一种更高级的编码方法，它可以检测并纠正多个错误，适用于高信噪比的信道。
重复码将每个数据位重复发送多次，以增加错误检测和纠正的能力。
卷积码则是一种更复杂的编码方法，它可以在较低的误码率下提供更高的数据传输速率。
除了以上的编码方法，还有其他一些更高级的编码技术，如Turbo码、低密度奇偶校验码（LDPC码）等。
这些编码方法采用了更复杂的算法和结构，可以在更差的信道条件下达到较低的误码率。
综上所述，信道编码是一种重要的信息传输技术，它通过增加冗余信息来提高信号的可靠性和抗干扰能力。
不同的信道编码方法适用于不同的应用场景，选择合适的编码方法可以有效提升通信系统的性能。
信道编码
4、GSM系统中的
GSM系统把20ms语音编码后的数据作为一帧，共260bit，分成50个最重要比特、132个次重要比特和78个不 重要比特。
在GSM系统中，对话音编码后的数据既进行检错编码又进行纠错编码。如图5所示。
图5 GSM系统中对语音业务的信道编码
首先对50个最重要比特进行循环冗余编码(CRC)，编码后为53bit；再将该53bit与次重要的132bit一起进 行约束长度为K=5，编码效率为R=1/2的卷积编码，编码后为2(53+132+4)=378bit；最后再加上最不重要的78bit， 形成信道编码后的一帧共456bit。
②构造性的编码方法以及这些方法能达到的性能界限。
发展简史
发展简史
人类在信道编码上的第一次突破发生在1949年。R.Hamming和M.Golay提出了第一个实用的差错控制编码方 案——汉明码。
汉明码每4个比特编码就需要3个比特的冗余校验比特，编码效率比较低，且在一个码组中只能纠正单个的比 特错误。
信道编码之所以能够检出和校正接收比特流中的差错，是因为加入一些冗余比特，把几个比特上携带的信息 扩散到更多的比特上。为此付出的代价是必须传送比该信息所需要的更多的比特。
2、发展
编码定理的证明，从离散信道发展到连续信道，从无记忆信道到有记忆信道，从单用户信道到多用户信道， 从证明差错概率可接近于零到以指数规律逼近于零，正在不断完善。编码方法，在离散信道中一般用代数码形式， 其类型有较大发展，各种界限也不断有人提出，但尚未达到编码定理所启示的限度，尤其是关于多用户信道，更 显得不足。在连续信道中常采用正交函数系来代表消息，这在极限情况下可达到编码定理的限度。不是所有信道 的编码定理都已被证明。只有无记忆单用户信道和多用户信道中的特殊情况的编码定理已有严格的证明；其他信 道也有一些结果，但尚不完善。
信源编码和信道编码
信源编码：主要是利用信源的统计特性，解决信源的相关性，去掉信源冗余信息，从而达到压缩信源输出的信息率，提高系统有效性的目的。
第三代移动通信中的信源编码包括语音压缩编码、各类图像压缩编码及多媒体数据压缩编码。
信道编码：为了保证通信系统的传输可靠性，克服信道中的噪声和干扰的。
它根据一定的（监督）规律在待发送的信息码元中（人为的）加入一些必要的（监督）码元，在接受端利用这些监督码元与信息码元之间的监督规律，发现和纠正差错，以提高信息码元传输的可靠性。
信道编码的目的是试图以最少的监督码元为代价，以换取最大程度的可靠性的提高。
信道编码从功能上可分为3类：仅具有发现差错功能的检错码，如循环冗余校验码、自动请求重传ARQ等具有自动纠正差错功能的纠错码，如循环码中的BCH码、RS码及卷积码、级联码、Turbo 码等既能检错又能纠错功能的信道编码，最典型的是混合ARQ信道编码从结构和规律上分两大类线性码：监督关系方程是线性方程的信道编码非线性码：监督关系方程是非线性的FEC是前向就错码，在不同系统中，不同信道采用的FEC都不一样，有卷积码，Turbo码等信源编码&信道编码区别（通院的必杀技）：官方课本如是介绍：信源编码：表示信源和降低信源的信息速率。
信道编码：消除或减轻信道错误的影响。
通过适当的调制方式来运载信息，以适应信道特征。
本人总结：一．信源编码信源编码的作用之一是设法减少码元数目和降低码元速率，即通常所说的数据压缩。
码元速率将直接影响传输所占的带宽，而传输带宽又直接反映了通信的有效性。
作用之二是，当信息源给出的是模拟语音信号时，信源编码器将其转换成数字信号，以实现模拟信号的数字化传输。
模拟信号数字化传输的两种方式：脉冲编码调制(PCM)和增量调制(ΔM)。
信源译码是信源编码的逆过程。
1.脉冲编码调制(PCM)简称脉码调制:一种用一组二进制数字代码来代替连续信号的抽样值，从而实现通信的方式。
由于这种通信方式抗干扰能力强，它在光纤通信、数字微波通信、卫星通信中均获得了极为广泛的应用。
信道编码(差错控制编码)
行监督码元 ↓
0101101100
1
0101010010ຫໍສະໝຸດ 00011000011
0
1100011100
1
0011111111
0
0001001111
1
1110110000
1
列监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
0
5.2.3 群计数码
把信息码元中“1”的个数用二进制数字 表示，并作为监督码元放在信息码元的后面， 这样构成的码称为群计数码。
表5-2
国际通用的七中取三码
5.2.5 ISBN国际统一图书编号
国际统一图书编号也是一种检错码，主 要目的是为了防止书号在通信过程中发生误 传。图书编号的格式有统一的规定。
5.3 线性分组码
5.3.1 线性分组码基本概念 5.3.2 汉明码 5.3.3 对一般线性分组码的讨论
上一节介绍了一些简单编码，其中奇偶 监督码的编码原理利用了代数关系式，这类 建立在代数学基础上的编码称为代数码。
系。
图5-5 最小码距与检纠错能力的关系示意图
5.2 几种常用的检错码
5.2.1 奇偶监督码（奇偶校验码） 5.2.2 二维奇偶监督码 5.2.3 群计数码 5.2.4 恒比码 5.2.5 ISBN国际统一图书编号
5.2.1 奇偶监督码（奇偶校验码）
奇偶监督码（又称为奇偶校验码）是一 种最简单也是最基本的检错码，在计算机数 据传输中得到了广泛的应用。
第5章 信道编码（差错控制编码）
5.1 信道编码基本概念 5.2 几种常用的检错码 5.3 线性分组码 5.4 循环码 5.5 卷积码 5.6 交织编码 本章内容小结
学习要点
信源编码的概念 差错控制编码的分类及其工作原理 常用的检错码 线性分组码 循环码 卷积码 交织码
信道编码
2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发 端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传 输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备 较复杂。
3. 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC 和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错 能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的
现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判 为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。
码的最小距离d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任 一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小 距离d0≥t+e+1。
2.3.5 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。
由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比
码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元 中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3”
S3指示23-1种不同的错误图样，校正子与错码位置的对应关 系如表2-5所示。
表2-5 校正子与错码位置的对应关系
S1 S2 S3 001 010 100 011
错码位置 a0 a1 a2 a3
S1 S2 S3 101 110 111 000
无线通信工程—无线通信的信道编码总结
且 (g(x)) r n k – h(x) (xn 1) / g(x) 称为以g(x)为生成多项式的( n , k )
奇偶校验码 汉明码 BCH码
信
卷积码
非系统卷积码
道 编
正交码
码
系统卷积码
W-A码
正
m序列
交 编
岩垂码
码
L序列
扩散码
RS码
线性分组码
概述
– 基本概念 – 基本性质 – 伴随式译码 – 纠错能力和码限
举例
– 循环码 – BCH码和RS码
线性分组码----概述
基本概念
– 生成矩阵和校验矩阵
满足 v mG 的G矩阵称为生成矩阵；
求接收多项式的伴随式，只需求接收多项式除以生成多项 式的余式即可。 设伴随多项式 s(x) sr1xr1 s1x s对0 应的错误图样为
量或全部为偶数，或奇数重量码字的个数与偶数重 量码字的个数相等 – 一个( n , k )线性分组码的最小距离为d的充分必要条 件是它的校验矩阵H的任意d-1列线性无关，而有d 列线性相关
线性分组码----概述
伴随式译码
定义 S vH T (m e)H T eH T为伴随式
则S仅由差错向量决定，而与发送码字无关。由此，当码字的第i
满足 dmin 2t 1
– 辛格尔顿（Singleton）限：任一个( n , k )线性码的最小距离 dmin
– 满汉足明（dHmaimn minng）k 限1：任何能纠t个错误的( n , k )码满足 t qnk (q 1)i Cni
信息论与编码第6章信道编码
素(既约)多项式
若 p( x) f ( x), deg( p( x)) 1且p( x)在F[ x] 中只有因式 c和cp( x) 则称 p( x) 为域F上的不可约多项式。
的集合
余类环
多项式剩余类环 n n1 f ( x) an x an1x ... a1x a ai Fq 用 Fq [ x] 或者 GF (q)[ x] 表示所有这样多项式
纠错码的分类
根据监督码元与信息组之间的关系 系统码 信息码元是否发生变化 非系统码 代数码 几何码 算术码 线性码 非线性码 分组码 卷积码
构造编码的数学方法
根据监督码元和信息码元的关系
根据码的功能
按纠误的类型
检错码 纠错码 纠删码 纠随机差错码 纠突发差错码 纠混合差错码 二元码 多元码 等保护纠错码 不等保护纠错码
3 3 2 2 3 2 3 2
x x , x x, x x 1, x 1, x ,
3 3 3 3
x x 1, x x, x 1, x , x 1, x,1, 0
2 2 2 2
4．有限域的性质和代数结构
1）有限域 Fq 的结构 对 a Fq , a 0, 满足 na 0, 的最小正整 数 n ，称为元素 a 的周期。 定理6-6：在有限域 Fq中 (1) ( Fq , ) 是循环加群，它的非零元素的周期等于其 域的特征； (2) ( Fq* , ) 是循环乘群，共有 (q 1) 个乘群的生成 元。 a 乘群 ( Fq* , ) 的生成元 a 称有限域 Fq 的本原元， 的阶为 q 1 ，即 a q 1 e ，且 F * a
q
本原元性质定理6-7
* F (1) q
的元素的阶都是 q 1 的因子， Fq* 的所 q 1 x e 0 的根。 有元恰是 (2) 若 a 是 Fq 的本原元，则当且仅当(k , q 1) 1 k k a 时， 也是本原元。非本原元 a 的阶是
无线通信工程—无线通信信道编码总结
这就是说，当 v 的第i位发生一个错误时，S T 等于H矩阵的第i列。 反之，如果收到码字的伴随式 S T 等于H矩阵的第i列，我们就说
量或全部为偶数，或奇数重量码字的个数与偶数重 量码字的个数相等 – 一个( n , k )线性分组码的最小距离为d的充分必要条 件是它的校验矩阵H的任意d-1列线性无关，而有d 列线性相关
线性分组码----概述
伴随式译码
定义 SvH T(m e)H TeH T 为伴随式
则S仅由差错向量决定，而与发送码字无关。由此，当码字的第i
满足
n(q1)qk1
dmin qk 1
线性分组码----举例
循环码
– 数学描述 – 几个基本概念和定理 – 伴随式译码 – 以生成多项式的根定义循环码
BCH码
– 基本概念
RS码
– 基本概念
线性分组码----循环码
循环码的数学描述
– 设V是一个( n , k )线性分组码，如果V中任意一个码 字每次循环移位后得到的n维向量仍是V中的一个码 字，那么就称V为循环码。
循环码的监督多项式或校验多项式。
线性分组码----循环码
循环码的伴随式译码
– 原理 设 s(sr1,sr2, s0)对应的伴随多项式为
s ( x ) s r 1 x r 1 s r 2 x r 2 s 1 x s 0
则由 sTHTrHTe知
k
sr1
h r ki r1 ni
rnk1,
后取模 xn-1，即
x 1 ( x ) v v n 1 ( x n 1 ) v n 2 x n 1 v 0 x v n 1 v2(x)moxnd1()
信道编码分类
信道编码分类信道编码是一种将数据信息转换成特定格式的编码方式，以提高数据的可靠性和传输速率。
根据不同的编码方式，信道编码可分为三大类：前向纠错码、回退纠错码以及分组编码。
下面将对这三类编码进行详细介绍。
一、前向纠错码前向纠错码（Forward Error Correction，FEC）是一种通过向待传输的数据中添加冗余信息来实现纠错的编码方式。
它在发送端将原始数据进行编码，生成纠错码，并将生成的码字一同发送给接收端。
接收端通过对接收到的码字进行解码，可以恢复出原始的数据。
1. 卷积码卷积码是一种经典的前向纠错码，它采用移位寄存器和异或运算来生成纠错码。
卷积码具有连续的编码特性，适用于串行传输和高误码率的信道。
常见的卷积码有卷积码的集结码（Convolutional Code Concatenated，CCC）和卷积码的交织码（Convolutional Code Interleaved，CCI）等。
2. 矩阵码矩阵码是一种通过矩阵运算实现纠错的编码方式。
常见的矩阵码有海明码（Hamming Code）、Reed-Solomon码等。
与卷积码相比，矩阵码具有更高的纠错能力和较低的译码复杂度。
矩阵码广泛应用于存储介质、数字电视等领域。
二、回退纠错码回退纠错码（Automatic Repeat reQuest，ARQ）是一种采用反馈机制来实现纠错的编码方式。
它在发送端将原始数据进行分组，并附加检测码，将分组数据发送给接收端。
接收端在接收到数据后，对数据进行校验，如果发现错误，通过发送请求重传的消息来要求发送端重新发送数据。
1. 奇偶检验码奇偶检验码是一种简单的纠错码，通过统计数据中二进制位的1的个数，来判断数据的奇偶性。
如果数据中1的个数是偶数，则在最后添加一个1，使得数据的奇偶性变为奇数；如果数据中1的个数是奇数，则在最后添加一个0，使得数据的奇偶性变为偶数。
2. CRC码CRC码是一种循环冗余校验码，通过多项式运算来生成校验码。
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i1 t 0
i j 1,2,, k j k 1, k 2,, n
(6.4.4)
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1. 卷积码的基本概念
[例4] (3,2,2)系统卷积码：
g(1,1)=[g0(1,1) g1(1,1) g2(1,1)]=[100] g(1,2)=[g0(1,2) g1(1,2) g2(1,2)]=[000] g(1,3)=[g0(1,3) g1(1,3) g2(1,3)]=[101] g(2,1)=[g0(2,1) g1(2,1) g2(2,1)]=[000] g(2,2)=[g0(2,2) g1(2,2) g2(2,2)]=[100] g(2,3)=[g0(2,3) g1(2,3) g2(2,3)]=[110]
分别是
子码：在任一时刻单元，送入编码器一个信息元 (k=1)，编码器输 出由2个 (n=2) 码元组成的一个码组，称之为子码。
每个子码中的码元不仅与此时此刻的信息元有关，而且还与前 m 个 (m=3) 时刻的信息元有关。
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1. 卷积码的基本概念
m：编码存储（本例 m=3） 。 N=m+1：为编码的约束度。表明编码过程中相互约束 的子码数。（本例N=4）。 Nn：编码约束长度。表明编码过程中相互约束的码 元数。（本例Nn=8）。
g0(2,1) g0(1,1)
M
g0(2,2) g0(1,2) g0(2,3) g0(1,3)
g1(2,1) g1(1,1)
g1(2,2) g1(1,2) g1(2,3) g1(1,3)
g2(2,1) g2(1,1)
1
K
g2(2,2) g2(1,2)
C
2
g2(2,3) g2(1,3)
3
图6.4.4 (3,2,2)系统卷积码编码电路
g(1,1)=[g0(1,1) g1(1,1)]=[11] g(1,2)=[g0(1,2) g1(1,2)]=[01] g(1,3)=[g0(1,3) g1(1,3)]=[11] g(2,1)=[g0(2,1) g1(2,1)]=[01] g(2,2)=[g0(2,2) g1(2,2)]=[10] g(2,3)=[g0(2,3) g1(2,3)]=[10]
编码器由 N=2 个移位寄存器组和模2加法器构成，每 个移位寄存器组含有 k=2 级移位寄存器，每级移位 寄存器的输出按式 (6.4.2) 的规则引出后进行模2加的 运算。
本例也是非系统码形式的卷积码。
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1. 卷积码的基本概念
推论：(n,k,m) 码完全由 (nk) 个生成序列所生成，每个
序列译码。译码延时是随机的。 维特比译码。译码延时是固定的。
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1. 卷积码的基本概念
(1) 卷积码的生成序列、约束度和约束长度
[例1] (2,1,3)码
该码的编码原理图示于下页图6.4.1；
设待编码的信息序列为 M； 在对信息序列 M 进行编码之前，先将它每 k 个码元分成一组，
M
g1(1,1)
g2(1,1)
g0(1,2) g0(1,3)
g1(1,2) g1(1,3)
g2(1,2) g2(1,3)
1
KC
2
3
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图6.4.3 (3,1,2)系统码编码电路
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1. 卷积码的基本概念
任一时刻子码为
Cl ( j) ml (i)
km
Cl ( j)
mlt (i) gt (i, j)
在每单元时刻内，k 个码元串行输入到编码器； 编码器由 (m+1) 个移位寄存器组构成，每个移位寄存器组内有 k 级寄存器； g(i,j)：表示常数乘法器，i=1,2,…,k；j=1,2,…,n；共有 n•k 个序 列。当 g(i,j) =1时，常数乘法器为一条直通的连接线；当 g(i,j) =0时，连接线断开。每一个码元都是 k•(m+1) 个数据组合，每 一个码字需用 n•k•(m+1) 个系数才能描述； 开关 K 在每一节拍中移动 n 次，每一节拍输入 k 个信息元而输 出 n 个码元。
g(2,1)=[g0(2,1) g1(g1(2,2)]=[10] g(2,3)=[g0(2,3) g1(2,3)]=[10]
M
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g0(2,1) g0(1,1)
g1(2,1) g1(1,1)
g0(2,2) g0(1,2) g0(2,3) g0(1,3)
km
Cl ( j)
mlt (i) gt (i, j)
i1 t 0
j 1,2,3,, n
(6.4.3)
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2. 卷积码的编码
Cl(1)
g0(k,1)
g0(1,1)
g1(k,1)
g1(1,1)
gm(k,1)
gm(1,1)
M
…
…
…
… g0(k,2)
…
…
g0(1,2)
g1(k,2)
(6.4.1)
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1. 卷积码的基本概念
若待编码的信息序列
M=[m0(1)m0(2) m1(1)m1(2)… ml(1)ml(2) …] 则码序列 C 中的任一子码为
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1. 卷积码的基本概念
g(1,1)=[g0(1,1) g1(1,1)]=[11] g(1,2)=[g0(1,2) g1(1,2)]=[01] g(1,3)=[g0(1,3) g1(1,3)]=[11]
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2. 卷积码的编码
(1) 串行输入、串行输出的编码电路 (2) (n－k)m 级移位寄存器构成的并行编码电路
（Ⅰ型编码电路）
(3) km 级移位寄存器编码电路（Ⅱ型编码电路） (4) 结论
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2. 卷积码的编码
(1) 串行输入、串行输出的编码电路
非系统码编码器：根据式(6.4.3)构造的是非系统编码器。 图6.4.5是(n,k,m)非系统卷积码串行编码电路。
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1. 卷积码的基本概念
第 l 个时刻的编码器输出为：
上式表明：任一时刻编码器的输出可以由信息元与生
成序列的离散卷积运算求出。这就是卷积码名称的由
来。 卷积公式：y(n) h(m) x(n m) m
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1. 卷积码的基本概念
设M=[m0(1) m1(1) m2(1) m3(1)]=[1011]，则编码器两个输出端的序列
km
Cl ( j)
mlt (i) gt (i, j)
i1 t 0
j 1,2,3,, n
(6.4.3)
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1. 卷积码的基本概念
(2) 系统码形式的卷积码
系统卷积码：是卷积码的一类。它的码序列中任一子
码 Cl，也是有 n 个码元，其前 k 位与待编码信息序列
中的第 l 信息组 ml(i) 相同，而后 (n－k) 位监督元由生 成序列生成；
生成序列中含有 (N =m+1) 个元素。码序列
C=[C0(1)C0(2)…C0(n)C1(1)C1(2)…C1(n)…Cl(1)Cl(2)…Cl(n)…]
任一子码可以由待编码的信息序列
M=[m0(1)m0(2)…m0(k)m1(1)m1(2)…m1(k)…ml(1)ml(2)…ml(k)…]
按如下卷积关系求出
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1. 卷积码的基本概念
g0(1,1)
g1(1,1)
g2(1,1)
g3(1,1)
M
g0(1,2)
g1(1,2)
g2(1,2)
g3(1,2)
1 KC
2
图6.4.1 (2,1,3)码编码电路
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1. 卷积码的基本概念
信息序列 M=[m0(1)m1(1)…]；
本例是非系统码，在码序列 C 中的每个子码不是系统码
字结构。
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1. 卷积码的基本概念
[例2] (3,2,1)码
n=3, k=2, m=1；
它的任一子码有3个码元。每个码元由此时此刻的2个信息元和 前一个时刻进入编码器的2个信息元模2运算和求出。
这些信息元参加模2运算的规则由 [n(m+1)]=3×2=6 个生成序 列 {[nk(m+1)]=3×2×2=12个系数} 所确定，每个输出序列含 有2个元素。这6个输出序列是
ml(1)表示第 l 个时刻的第 k=1个信息元； 卷积码的生成序列 g(1,1)=[g0(1,1) g1(1,1) g2(1,1) g3(1,1)]=[1011] g(1,2)=[g0(1,2) g1(1,2) g2(1,2) g3(1,2)]=[1111]
g(1,1)表明：任一时刻 l 时，输出端1的码元 Cl(1) 是由此时刻 l 输 入的信息元 ml(1) 与前两个时刻输入的信息元 ml－2(1) 以及前三个 时刻 ml－3(1) 输入的信息元模2加后的和； g(1,2)表明：Cl(2) 是由 ml(1)、ml－1(1)、ml－2(1)和ml－3(1) 的模2和。 只要给定 g(i,j) 以后，就可以生成编码器输出的码元。称g(1,1)和 g(1,2)为(2,1,3)卷积码的生成序列。
任一子码由下式计算
Cl ( j) ml (i)
km
Cl ( j)
mlt (i) gt (i, j)
i1 t 0
i j 1,2,, k j k 1, k 2,, n
(6.4.4)