积分变换习题.

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复变函数积分变换复习题

复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32．设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是（）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是（）（A ）实变数（B ）虚变数（C ）复变数（D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则（）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （）（A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为。

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

积分变换习题解答

⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1．求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , （3） f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解（1） F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω

积分变换习题解答

π −∞
∫ ∫ ∫ ∫ 证 f (t) = 1
( ) +∞
+∞
f
τ
e− jωτ dτ ejωt dω =
1
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) cosωtdτ dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ + 1
2π
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) jsin ωtdτ dω =
−∞
1+i 1−ω
+
e⎡⎣1−i(1+ω )⎤⎦t 0
−∞
1−i 1+ω
+
e⎡⎣−1+i(1−ω)⎤⎦t +∞
0
−1+ i 1− ω
+
e⎡⎣−1−i(1+ω )⎤⎦t +∞
0
−1− i 1+ ω
⎫ ⎪ ⎬ ⎪
⎩
⎭
=
1 2
⎡
⎢ ⎣
1+
1
i (1−ω
)
+
1−
1
i (1+ ω )
+
1−
1
i (1− ω )
+∞ +∞
f
t
e−iωt dteiωt dω = 1
+∞ 1 1− t 2 e−iωt dteiωt dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −1
∫ ∫ ( ) ∫ = 1
π
+∞ −∞
1 1−t2
0
cosωtdteiωtdω = 1 π
+∞ −∞

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模，幅角。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为：，，。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

积分变换课后题答案

第一章傅里叶变换内容提要：一傅里叶变换定义1定义2定义34傅里叶积分定理二 δ函数型序列的充分条件构成δ1.)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ=)(t f [])(1-w F ℱ;)()()(21逆变换的傅里叶为Fourier w F dw e w F iwt ⎰+∞∞-=π=)(w F [])(t f ;)()()(变换的傅里叶为Fourier t f dt e t f iwt -+∞∞-⎰=ℱ .)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ满足如下两个条件：若函数)(t f 限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件上满足狄利克雷在实轴的任何有限区间],[)( ,)(],[)( )b a t f Dirichlet b a t f i .],[)( )的反常积分收敛在区间+∞-∞t f ii .)()(,)(21)]0()0([21)(dt e t f w F dw e w F t f t f t f iwtiwt -∞+∞-∞+∞-⎰⎰==-++其中且的傅里叶变换存在，则函数π函数列的该趋向下，，则在）（的某种趋向下，函数若在参数可积，且满足在实轴的任何有限区间设普通函数βεβϕβ++∞∞→==⎰0,1)()(-dt t f t f ).()( )0)(( ))(1()(1)(t t f t f t f δδβϕβϕβϕββ→>=即：型序列，构成一个型序列几个常用 2δ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎩⎨⎧<<=. 0)0( 1)1(1)( . 0)10( 1)( )1其它，，则令其它，εεεεβεεt t f t f t t f ).()(lim 00t t δδδεεε=→+→+型序列，即时为当.)()1(1)(,1)(,)1(1)( )2(22-2πεεεεδπεw w f w dt t f t t f R +===+=⎰+∞∞构造：显然).()(lim 00w w R δδδεεε=→+→+即型序列，时为当.)cos(21sin )()(,sin ,sin )( )3(-⎰⎰-+∞∞=====RRIR dw wt t Rt Rt Rf t dt tt t tt f ππδππ构造：因为).()(lim t t R IR R δδδ=+∞→+∞→型序列，即时为当.2)1(1)(,2,2)( )4(2222-22πβββδππββw G t t ew f w dt eet f -∞+∞--====⎰构造：因为).()(lim 00w w G δδδβββ=→+→+型序列，即时为当函数的积分3δ).)(()()(lim )()()1-00-0处处无穷次可微，定义：t f dt t f t t dt t f t t ⎰⎰+∞∞→+∞∞-=-+εεδδ三傅立叶变换的性质四几个常用函数傅里叶变换对1.线性性质2.位移性质)( t f 若ℱ, )(w F 3.微分性质)( n1k ∑=t f C k k . )(1∑=nk k k w F C ℱ )( )1 a t f ±ℱ ;)( )(为实数a w F e iwa ±t iw et f 0)( )2±.)( )(00为实数w w w F ℱ)( t f k 若),,2,1( )(n k w F k =ℱ)( t f 若ℱ, )(w F )( )1 )(t fn ;)( )()(为自然数n w F iw n ℱ)()( )2t f -it n .)( )()(为自然数n w F n ℱ)( t f 若ℱ)(w F 4.积分性质则ℱ []).(1)(w F iw t g =).( )10)((lim )(1lim )()(lim)()()2000-00-000t f t f dt t f dtt f t t dt t f t t t t =<<+==-=-+++→+→+∞∞→+∞∞⎰⎰⎰θεθεδδδεεεεε函数的筛选性质：2sin 2τw w E).2( 0),2( )()1⎪⎩⎪⎨⎧><=ττt t E t f ℱ)0( )0( 0)0( )()2>⎩⎨⎧<>=-ββt t e t f t 1iw+βℱ习题1.11. 求下列函数的Fourier 变换. （1）ℱ)]([t f =dt e A t i ⎰-τω0=0τωωt i e i A --=)1(ωτωi e i A --.(2) ℱ)]([t f =dt te e t i t⎰+∞∞---ωcos =dt te t i ⎰+∞+-0)1(cos ω+dt te t i ⎰∞--0)1(cos ω由201cos a a dt te at +=⎰+∞-，2001cos cos aa dt te dt te at at +==⎰⎰+∞-∞-，可知：ℱ)]([t f =22)1(11)1(11ωωωωi i i i -+-++++=22424ωω-+.2. 求Fourier 逆变换. ℱ)]([1ωF -=ωπωωβd e et i ⎰+∞∞--21=ωωπωβωβd e d e it it ⎰⎰∞-++∞+-+0)(0)([21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-++∞++-++-010121)()(ωβωβββπit it e it e it=22221t +ββπ=)(22t +βπβ.3. ℱ)]([t f =⎰--⋅ππωdt e t t i sin=-⎰--ππωt d e t i cos =-⎰---⋅--⋅ππωωωππdt e t i te t i t i cos cos=()⎰-----ππωωωωπt d e i e e t i t i t i sin cos=⎰----⋅+-ππωωωωωdt te i i e e t i t i t i sin )(=⎰---+-ππωωωωdt teeeti ti ti sin 2ℱ)(1w iwπδ+)( )5t u )( )3t δℱ 1)( 2w πδ1)4ℱℱ)]([t f =1sin 22-ωωπi由ℱ)()]([1t f F =-ω可知下面的等式成立.4. 求下列函数的Fourier 积分。

复变函数与积分变换试题及解答

复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。

处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。

]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。

是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。

)4. 尸——二~＜公J 。

1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

积分变换_(Laplace)课件与习题

5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习：求 f (t) cost 的Laplace变换.
解因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据微分性质和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2

复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1)i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2)-1解：1cos sin i e i πππ-==+(3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5)3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑ (6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++ 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡ (3
+
4

积分变换复习题解答

积分变换复习题解答一、求下列函数的付氏变换1、设(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β求()[]()[]()[]t f F t f F t f F -+'',1,解：()()()2117152F f t j F f t j ωωβω---''==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()11415(1)11j j F f t eF f t ej ωωβω---⋅-+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()1212151F f t F j ωβω----=-=⎡⎤⎣⎦-2、()()()()1151141722111122{[]}{}itj j F e u t F u t eF u t e j ωωωωωωωωπδωω-----⋅-⋅=+=+=+⎡⎤⎡⎤-=-==+⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2(1)11(1)j e j ωπδωω-+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦3、[]()()112000sin F t j ωωδωωδωω-=+--⎡⎤⎣⎦4、()()()55114173351353j j F u t F u t e F u t e j ωωπδωω----⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=-==+⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦5、()()()()()1181721122d d d F tu t j F u t j F u t j j d d d j πδωπδωωωωωω--⎡⎤'===+=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、()()()()()114118111j j j j F t eF t e j F t e j j e ωωωωδδωδωω---⋅---''-===⋅=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦7、()()()()1111111[11]cos F t t F t t t δδπδδππ-++-=++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8、()110323itF e πδω-⎡⎤=-⎣⎦二、计算：1、()127sin sin 0332t t dt ππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2、128sin sin 42242t t dt ππππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰三、求卷积：1、设()(),0,00,,0,00,221⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=--t t e t f t t e t f t t 求：()()t f t f 21*解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()22212120()()tttt tt t f t f t f f t d e ed ee d e e ττττττττ------*=-===-⎰⎰⎰212,0()()0,0t te e tf t f t t --⎧-≥∴*=⎨<⎩2、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21* 解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()24121201()()12ttf t f t f f t d t d t ττττττ*=-=-=⎰⎰ 412,0()()120,0t t f t f t t ⎧≥⎪∴*=⎨⎪<⎩四、求下列函数的拉氏变换： 1、219126333222255[sin5][sin5]5(3)5ts s s s L e t L t s s ---=-=-===+-+ 2、()(1)1221[cos2][cos2]12t ts L et e L e t e s ---+=⋅=⋅++同上题3、()()()(){}22221521812422222222231442[2]1[2][]ss s d d d L t u t L u t e L u t e e ds ds ds s s s s -------⎧⎫⎛⎫-=--==⋅=++⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭4、()222511[521]2ts L e t t e s s sδ-+-++=+++- 5、[]272822211sin sin cos cos sin sin cos 444221121s s L t L t t L t t s s s πππ--⎡⎤-⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、(){}21312191271122[cos2]1[cos2]{[cos2]}2tts s s s d d d sL te t L e t L t ds dsds s -----=-=-⎧⎫=-=-=-⎨⎬+⎩⎭()22222123(1)225d s s s ds s s s ⎧⎫---=-=⎨⎬-+⎩⎭-+ 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t L 2sin []21712822sin 2arctan arctan 2222ss s s sL t ds ds s π---+∞+∞+∞====-+⎰⎰ 8、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-tt tdt e L 023sin []()21621912622221113sin3sin323t s s L e t L t s ss s -----=+⎡⎤==⋅=⋅⎣⎦++9、20t t e e dt t --+∞-⎰21722000111ln ln 2122t ts L e e ds ds s s s --+∞+∞--+∞+⎛⎫⎡⎤=-=-== ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎰⎰10、设()5,122,24,0,4t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()t f ，并求[])(t f L 。

复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 27、第二章解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续，处不连续。

f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。

uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。

积分变换第2讲----傅氏变换的概念

31
图例: O
t
32
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
强度.
d(t)
1
O
t
33
d-函数有性质
d (t)dt 1
d (t) f (t)d t f (0)
及
d (t
t0 ) f
(t)d t
如f(t)在0点连续, 则在0附近的非常小的一个领域可以看作是常数c=f(0). 因此, 任给一个在(,)上积分值为1的函数g(t)
g(t) d t
1,则
1
g t
d t 1
e e
令d e
(t )
1
e
g
t
e
, 则d
(t )
lim
e 0
de
(t )
当e非常小, 则
de (t) f (t) d t de (t)c d t c f (0)
cost
d
042
因此可知当t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
sin x d x
sinc( x) d x
0x
0
2
9
普阿松积分公式
I et2 dt ,
证 I 2 ex2 y2 dydx,
作极坐标变换,令x r cos , y r sin , 积分元为rdrd ,则
1.傅氏变换的概念
15
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2
f
(
)

复变函数有积分变换习题

1=5. 计算下列积分．(1)ctan πd z z ⎰ ，n 为正整数，c 为|z |=n 取正向．解：cc sin πtan πd d cos πzz z z z=⎰⎰．为在c 内tan πz 有 12k z k =+(k =0,±1,±2…±(n -1))一级极点由于()()2sin π1Res ,πcos πk z kzf z z z =⎡⎤==-⎣⎦'∴()c 1tan πd 2πi Res ,2πi 24i πk kz z f z z n n ⎛⎫=⋅⎡⎤=⋅-⋅=- ⎪⎣⎦⎝⎭∑⎰ (2) ()()()10cd i 13zz z z +--⎰ c :|z |=2取正向．解：因为()()()101i 13z z z +--在c 内有z =1，z =-i 两个奇点．所以()()()()[]()[]()()[]()[]()()10c10d 2πi Res ,i Res ,1i 132πi Res ,3Res ,πi3i zf z f z z z z f z f z =⋅-++--=-⋅+∞=-+⎰6. 计算下列积分． (1)π0cos d 54cos m θθθ-⎰因被积函数为θ的偶函数，所以ππ1cos d 254cos m I θθθ-=-⎰令π1π1sin d 254cos m I θθθ-=-⎰则有i π1π1e i d 254cos m I I θθθ-+=-⎰设i e z θ= d 1d i z z θ= 2os 12c z zθ+=则()121211d i 2i 15421d 2i 521m z m z z zI I z z z z z z ==+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-+⎰⎰被积函数()()2521m zf z z z =-+在|z |=1内只有一个简单极点12z = 但()()[]12211Res ,lim232521mmz z f z z z →⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⋅'-+ 所以111πi 2πi 2i 3232m mI I +=⋅⋅=⋅⋅ 又因为π1π1sin d 254s 0co m I θθθ-=-=⎰∴πcos d 54cos π32mm θθθ=⋅-⎰(2) 202πcos3d 12cos a a θθθ+-⎰，|a|>1．解：令2π102cos3d 12cos I a a θθθ+=-⎰2π202sin3d 12cos I a a θθθ+=-⎰32π120i2e i d 12cos I I a a θθθ-++=⎰令z =e i θ．31d d i os 2c z z z zθθ==，则 ()()()3122123221321i d 1i 1221d i 1112π2πi Res ,i 1z z z I I z z za azz z az a z a f z a a a ==+=⋅+-⋅+=-++--⎡⎤=⋅⋅=⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ 得()1322π1I a a =-(3)()()2222d x x a x b∞+-∞++⎰，a >0，b >0．解：令()()()22221R z z a z b =++，被积函数R (z )在上半平面有一级极点z =i a 和i b ．故()[]()[]()()()()()()()()()()22222222ii 22222πi Res ,i Res ,i 112πi lim i lim i 112πi 2i 2i πz a z b I R z a R z b z a z b z a z b z a z b a b a b a b ab a b →→=+⎡⎤=-+-⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦=+（4）. ()222d x x x a ∞++⎰，a >0．解：()()2222022221d d 2x x x x x a x a -∞++∞∞=++⎰⎰ 令()()2222z R z z a =+，则z =±a i 分别为R (z )的二级极点故()()[]()[]()()()22222222i 0i 1d 2πi Res ,i Res ,i 2πi lim lim i i π2z a z a x x R z a R z a x a z z z a z a a-→∞→-=⋅⋅+-+⎛⎫''⎡⎤⎡⎤ ⎪=+⎢⎥⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎣⎦⎝⎭=⎰(5) ()222sin d x x x b xβ∞+⋅+⎰，β>0，b>0．解：()()()i 222222222cos sin e d d i d x xx x x xxx xx b x b x b βββ+++--∞∞∞∞∞∞-⋅⋅⋅=++++⎰⎰⎰而考知()()222zR z z b =+，则R (z )在上半平面有z =b i 一个二级极点．()()[]()i i 222i i e d 2πi Res e ,i e π2πi lim e i i 2z x z z bb xx R z b x b z z b b βββββ+--→∞∞⋅=⋅⋅+'⎡⎤=⋅=⋅⋅⎢⎥+⎣⎦⎰()222sin πd e 2bb b xx x x βββ+--∞∞⋅=⋅+⎰从而()022sin ππd e 44e b bx x b b xx b ββββ+-∞⋅=⋅=+⎰(6) 22i e d xx x a +-∞∞+⎰，a >0解：令()221R z z a =+，在上半平面有z =a 一个一级极点()[]i i i 22i e e d 2πi Res e ,i 2πi lim 2πi i e x z zaz a x R z a x a z a a +-→∞∞=⋅⋅=⋅==++⎰7. 计算下列积分(1)()20sin 2d 1x x x x∞++⎰ 解：令()()211R z z z =+，则R (z )有孤立奇点z =0，作以原点为圆心、r 径的上半圆周c r ，使C R ,[-R , -r ], C r ,[r , R 构成封闭曲线，i , 于是()()[]{}22i 01e 1Im d Im 2πi Res ,i lim 221r x c I x R z x x+-∞∞→⎡⎤==⋅-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰而()202e d lim πi 1r iz c r zz z →⋅=-+⎰．故：()221e 1e πIm 2πi lim πi Im 2πi πi 2222zi i z I z z i -→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⋅+=⋅-+= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦．(2)21d 2πi z T a z z ⎰，其中T 为直线Re z =c c >0, 0<a <1解：在直线z =c +i y (-∞< y <+∞)()ln 22e z z aa f z z z==，()ln 22e i c a f c y c y ⋅+=+()ln 22e i d d c af c y y y c y ⋅++--∞∞∞∞+=+⎰⎰积分()i i d c c f z z ∞∞+-⎰是存在的，并且()()(i i i i d limd limc c c c ABR RR Rf z z f z z f ++--→+∞→+∞∞∞==⎰⎰⎰其中AB 为复平面从c -i R 到c +i R 的线段．考虑函数f(z)沿长方形-R ≤x ≤c ，-R ≤y ≤周界的积分．＜如下图＞f (z )在其内仅有一个二级极点z =0，而()[]()()20,0lim ln z f z z f z a →'=⋅=()()()()d d d d 2πi ln BEEFFAz z f z z f z z f z z a+++=⋅⎰⎰⎰)()()()i ln ln ln ln 22222e e e e d d d d 0i x R a x a aC C aRC C R C R R z z x x x C R x R R R x R →+⋅⋅-+--∞==⋅+−−−→++⎰⎰⎰≤≤。

积分变换(Fourier)课件与习题

的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1

18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。

Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)

0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1

复变函数与积分变换习题答案

习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+,所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 222222x y kxu v x y x y x y ==-=-+++ v ku =-故1w z =将y kx =映成直线v ku =-.2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+ ,.20.u x y v x y u v y =-=+-=-<所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0<Im(z )<1, i w z=. 解：设z =x +i y , x >0, 0<y <1. 222222i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -====+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222,u vy x u v u v==++ 因为0<y <1,则22221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z =将Re(z )>0, 0<Im(z )<1.映为Re(w )>0,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆心、12为半径的圆)3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转角arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平行实轴正向的向量映成w 平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.→4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w =z 2在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域0<x <1变为本身的整体线性质变换w z αβ=⋅+的一般形式.6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d+=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 1a bb acd c d-+-=⇒=+--+ 因为(1)a z c dw cz d ++-=+,即(1)(1)1a z c z w cz d++++=+,由11→代入上式，得22a ca d c d+=⇒=+. 因此11(1)(1)d cd cd c w z z cz d z +++=+=+⋅++ 令dq c =，得 1(1)(1)/()(1)(1)11(1)(1)/()2(1)(1)1w z q z q z q z a w z q z q z q z +++++++===⋅-+++---- 其中a 为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=⋅--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d+=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满足什么条件？解：若az b w cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c=-映成w =∞. 而dz c =-落在单位圆周|z |=1,所以1d c -=,|c |=|d |.故系数应满足ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作用下，下列集合的像. (1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0. 解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代入得.22222i 1(1i )12i i 1111y y y yw y y y y ----+===+⋅++++ 写成参数方程为2211y u y -+=+， 221yv y =+, y -∞<<+∞. 消去y 得，像曲线方程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是一圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代入得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数方程.354cos u θ=+ 4sin 54cos u θθ=+ 02πθ≤≤ 消去θ得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即22254()()33u v -+=(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-⇒<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+.即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出一个将右半平面Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换. 解：设映射将右半平面z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞，所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=⋅-其中k 为常数.又因为00z z w k z z -=⋅-,而虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则i 00||1e ()z z w k k k z z θθ-=⋅==⇒=∈-R故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=⋅>-.10. 映射e 1i z w zϕαα-=⋅-⋅将||1z <映射成||1w <,实数ϕ的几何意义显什么？解：因为2i i 22(1)()()1||()e e (1)(1)z z w z z z ϕϕαααααα-----'=⋅=⋅-⋅- 从而2i i 2221||1()e e (1||)1||w ϕϕαααα-'=⋅=⋅-- 所以i 2arg ()arg e arg (1||)w ϕααϕ'=-⋅-= 故ϕ表示i e 1z w zθαα-=⋅-在单位圆内α处的旋转角arg ()w α'.11. 求将上半平面Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满足条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f.解：将上半平面Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的一般分式线性映射为w =k z z αα-⋅-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，又由arg (i)0f '=,即i 22i()e (i)f z z θ'=⋅+,πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以ii iz w z -=⋅+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f ,得k α联立解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满足条件： (1) f (12)=0, f (-1)=1. (2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ϕ'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为i e1z w zθαα-=-⋅, |α|<1.(1) 由f (12)=0，知12α=.又由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--⋅=-=⇒=-⇒=+.故12221112zz z w z --=-⋅=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，又i 254e (2)z w z θ-'=⋅- i 11224π()earg ()32f f θθ''=⇒==，于是 π21i 2221e ()i 12zz z w z--==⋅--. (3) 先求=()z ξϕ，使z =a 0ξ→=，arg ()a ϕθ'=,且|z |<1映成|ξ|<1.则可知 i =()=e 1z az a zθξϕ-⋅-⋅再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1. 先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则=()=1w aw a wξψ--⋅.因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z aa w a zθ--⋅-⋅-⋅.13. 求将顶点在0，1，i 的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三角形的内部的分式线性映射.解：直接用交比不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1--2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i- 4z(i 1)(1i)w z -=--+.14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z⇒=-.讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.又w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平面上的曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭映射到w 平面上的什么曲线？解：略.16. 映射w =e z将下列区域映为什么图形. (1) 直线网Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤; (3) 半带形区域Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1）令z =x +i y , Re(z )=C 1, z =C 1+i y 1i =e e Cyw ⇒⋅, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ⇒⋅故=e zw 将直线Re(z )映成圆周1e Cρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ϕ=.（2）令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e ee e ,z x yx y w y αβ+==⋅<<故=e zw 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的张角为βα-的角形区域. （3）令z =x +i y ，x >0，0<y < α, 02πα≤≤.则i =e e e (0,0)e 1,0arg z x yx w x y w αα=⋅><<⇒><<故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,0<Im(z )<α, 02πα≤≤映为 |w |>1, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w )<1,Im(w )=0的映射. 解：先用映射11w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再用分式线性映射. 1211i 1w w w +=-⋅-将|w 1|<1映为上半平面Im(w 2)>0, 然后用幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平面. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ⎛⎫⎛⎫++--⋅- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=====+++⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππIm()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：用1e zw =将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w 1)>0；再用1211ln1w w w +=-将半平面映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；又用3w =平面；再用43ln w w =将区域映为半带形0<Im(w 4)<π,Re(w 4)>0；最后用42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-.19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平面Im(w )>0的映射. 解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域0<Re(z )<π,Im(z )>0保形映射为∞平面上的什么区域. 解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0<Im(w 1)<π,Re(w 1)<0. （2） 12e ww =将区域映为单位圆的上半圆内部|w 2|<1,Im(w 2)>0. （3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平面Im(w )<0.。