流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)
液体运动的流束理论
液体运动的流束理论本章先建立液体运动的基本概念,然后依据流束理论,从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。
1、描述液体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性，所以这种方法又称为“质点系法”。
欧拉法，以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做“流场法”。
2、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，即“运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关”。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。
3、迹线与流线迹线，拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况而引出的，是指某一液体质点在运动过程中不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线，欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出的，是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
流线具有瞬时性（对于非恒定流来说，其图形会随时间变化），迹线没有瞬时性；流线与迹线都具有族线。
流线的基本特性：1恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变；2恒定流时液体质点运动的流线与迹线相重合；3流线不能相交。
4、流管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速流管：在水流中任意一微分面积dA ，通过该面积的周界上的每一个点均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。
微小流束：充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
微小流束性质：1微小流束内外液体不会发生交换；2恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将会随时间而改变；3横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。
总流：任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
流体力学概念精简版
1.拉格朗日法：以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性2.欧拉法：以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流体空间内的流动情况3.过流断面：在流束上作出的与流线正交的横断面4.流场：运动流体占据的空间5.恒定流：流体的各点运动要素不随时间变化非恒定流：流体上点的运动要素随时间改变6.当地加速度：由于时间过程而使空间上的质点速度发生变化的加速度迁移加速度：流动过程中质点由于位移占据不同的空间点而发生速度变化的加速度全加速度：流体质点速度随时间的变化率7.迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹流线：某一时刻不同流体质点的速度方向8.流管：一非流线且不自交的封闭曲线，从封闭曲线上各个点绘出流线，组成封闭管状曲面流束：流管内的流体元流：过流断面面积无限小的流束总流：过流断面面积具有一定大小的有限尺寸的流束9.流量：单位时间内通过某一过流断面的流体数量（体积流量，重量流量，质量流量）10.均匀流：某一时刻，各点速度不随位置而变化的流体运动相应点速度相等的流体运动非均匀流：在某一时刻，各点速度随位置而变化相应点速度不相等的流体运动渐变流：所有流线是一组几乎平行的直线急变流：各流线之间夹角很大，或各流线的曲率半径很小11.有压流：边界全部为固体的流体运动无压流（明渠流）：边界部分为固体，部分为大气射流：运动的流体脱离原来限制它的固体边界在充满流体的空间继续流动的流体运动12.三维流：流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数的流体运动二维流：流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数的流体运动一维流：流体的运动要素是空间一个坐标和时间t的函数的流体运动13.流体微元：由大量流体质点组成的具有线性尺度效应的微小流体团流体运动的形式：平移，变形（线变形，角变形），转动14.无涡流：每一流体微元的角转速为零，又称有势流速度势有涡流：每一流体微元的角转速不为零，流场中有角转速存在15.皮托管：测量流体点速度16.驻点：速度为零的点，驻点处流体的动能全部转化为压能17.平面势流18.水力坡度（能线坡度）：单位长度上的水头损失19.总流伯努利方程的物理意义：总流各过流断面上单位重量流体所具有的势能平均值与动能平均值之和，即总机械能的平均值沿流程减少20.能量损失：沿程阻力和沿程损失，局部阻力和局部损失21.文丘里管：测量恒定有压管流的流量22.水泵扬程：单位重量的水流通过水泵后增加的能量水泵扬程=上下游水面高差+全部管路中的水头损失提水高度（扬水高度：上下游水面高差）23.断面平均流速：假设总流同一过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速，以断面平均流速通过的流量等与该过流断面上各点实际速度不相等情况下所通过的流量。
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
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流体力学欧拉法和拉格朗日法
流体力学欧拉法和拉格朗日法流体力学是研究流体运动规律的学科，它是物理学、数学和工程学的交叉学科。
在流体力学中，欧拉法和拉格朗日法是两种常用的描述流体运动的方法。
欧拉法是以欧拉方程为基础的一种描述流体运动的方法。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程，它是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个基本方程组成的。
欧拉法的基本思想是将流体看作是一个连续的介质，通过对流体的宏观性质进行描述，如流体的密度、速度、压力等。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流体的流量、压力、速度等。
拉格朗日法是以拉格朗日方程为基础的一种描述流体运动的方法。
拉格朗日方程是描述流体运动的另一种基本方程，它是由质点的运动方程和流体的连续性方程组成的。
拉格朗日法的基本思想是将流体看作是由无数个质点组成的，通过对每个质点的运动进行描述，如质点的位置、速度、加速度等。
拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如流体的粘性、湍流等。
欧拉法和拉格朗日法各有优缺点，应用范围也不同。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，但对于流体的微观性质，如粘性、湍流等，欧拉法的描述能力较弱。
而拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如粘性、湍流等，但对于流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，拉格朗日法的描述能力较弱。
在实际应用中，欧拉法和拉格朗日法常常结合使用，以充分发挥它们各自的优势。
例如，在研究飞机的气动力学问题时，可以使用欧拉法来研究飞机的气动力学特性，如升力、阻力等；而在研究飞机的流场问题时，可以使用拉格朗日法来研究流体的微观性质，如湍流、涡旋等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种基本方法，它们各有优缺点，应用范围也不同。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法，以充分发挥它们的优势。
流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)
在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。
欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。
在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。
如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。
那么YC是在用欧拉方法研究流体。
这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。
现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。
于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。
假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。
每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。
为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。
于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。
YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。
Understood?而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。
在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。
如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。
它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。
我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。
为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是一种以固定坐标系为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一个连续的介质，通过考虑流体中每个点的速度和压力来描述流体的运动。
欧拉法关注的是流体中不同位置的性质和特征的变化，如速度、压力和密度等。
通过欧拉法，可以得到流体运动的偏微分方程，如连续性方程、动量方程和能量方程等。
拉格朗日法是一种以流体质点为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一组流体质点，通过跟踪和描述每个质点的运动来描述整个流体的运动。
拉格朗日法关注的是流体中不同质点的性质和特征的变化，如位置、速度和加速度等。
通过拉格朗日法，可以得到流体质点的运动方程，如位置方程、速度方程和加速度方程等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种重要方法，各有其优势和适用范围。
欧拉法适用于研究大规模流体运动和宏观性质的变化，如流体的整体运动特性和力学过程；而拉格朗日法适用于研究小尺度流体运动和微观性质的变化，如流体颗粒的运动规律和相互作用。
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。
2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u ua u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du ua u u dt t∂==+⋅∇∂在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。
()u u ⋅∇v v 为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dzu u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)AQ udAm s =⎰质量流量 (/)m AQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()u f p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂r r r r（2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()u f p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂r r r r r 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程（1）实际流体元流的伯努利方程2211221222w p u p u z z h g g g gρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q v v ρββ=-∑r r r投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v FQ v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
(完整版)第二章液体运动的流束理论
pdA p dpdA dG cos dm a
其中， dm dAds
cos dz
ds
a du du ds du u dt ds dt ds
z p u2 C
2g
28
z p u2 C
2g
或
z1
p1
u12 2g
z2
p2 u22
2g
理想液体恒定元流的能量方程
29
二、实际液体恒定元流的能量方程
恒定流的运动要素仅随空间位置变化，不随时间 变化。 例子：库水位不变时，引水隧洞中的水流。
5
2、非恒定流 流场中空间点的运动要素随时间变化的水流。 非恒定流的运动要素是时间和空间的函数。 实际水流严格上讲均为非恒定流。
6
二、流线、迹线 1、迹线 单个液体质点在空间的运动轨迹。 2、流线 某时刻在流场中绘制的一条光滑曲线。曲线上各 点切线的方向代表了同一时刻处于该点处的液体 质点的运动方向。
1、均匀流
流速的大小、方向沿流动方向（空间）都不变 的流动。
明渠均匀流
管道均匀流
31
均匀流特性 ①所有流线为相互平行的直线。
推论：过水断面为平面。 ②同一流线上各点流速相同。
推论：过水断面平均流速沿程不变。 注：不同流线上流速不一定相同。
7
3、流线的基本特性 对恒定流，流线形状不随时间变化，流线与 迹线重合；对非恒定流，流线只具有瞬时性， 流线与迹线不重合。 同一时刻，流场中的各条流线不相交。 流线为光滑的曲线。
8
流线分布的疏密程度反映流速的大小。流线 密的地方则流速大，流线疏的地方流速小。
1
2
9
溢流坝流线
10
三、 微小流束、总流 1、流管 在流场中，通过一个封闭线的周边上所有流线 围成的一个管状曲面。
工程流体力学1718(2)3.1描述流体运动的两种方法
点，也就是说质点的空间坐标也会随时间发生变化。由此可 见，x, y, z 也是时间的函数。
即：x=x(t);y=y(t);z=z(t)
2.质点的加速度
第一节 描述流体运动的两种方法
u u( x, y, z, t ) 按复合函数求导原则，对时间t 求全导数，得：
第一节 描述流体运动的两种方法 1.拉格朗日法（跟踪法）描述
初始（t0）时刻:跟踪某个流体质点(a,b,c)
任意（t）时刻:质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）
基本参数： 位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t)
（流体质点的位置坐标） z z(a，b，c，t)
3. 在工程实际中，并不关心每一质点的运动。基于上述三点原因， 欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
1.研究流体在外力作用下流体运动参数（速度、加速度等）随空间和 时间的变化规律（流体运动学）；
2.研究运动流体与相接触固体壁面间的相互作用（流体动力学）。
四个基本方程：
连续性（微分）方程 ； 运动（微分）方程 能量方程（伯努利方程）； 动量方程
本章研究重点：
本章将围绕流体力学中“运动”和“受力”展开讨论。主要包括以 下几点：
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z, t) p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
独立变量： (x, y, z,t)
第一节 描述流体运动的两种方法
u u(x, y, z, t)；v v(x, y, z, t)；w w(x, y, z, t)
ax
du dt
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
期末流体力学考试题及答案
一、填空题：1.描述流体运动的方法有 拉格朗日法和 欧拉法 。
2.流体的主要力学模型是指连续介质、无粘性和不可压缩性。
3.雷诺数是反映流体流动状态的准数，它反映了流体流动时惯性力与粘性力的对比关系。
4.流量Q1和Q2，阻抗为S1和S2的两管路并联，则并联后总管路的流量Q 为Q=Q1+Q2，总阻抗S 为21111S S S +=。
串联后总管路的流量Q 为 Q=Q1=Q2，总阻抗S 为S=S1+S2。
5.流体紊流运动的特征是脉动现象，处理方法是时均法。
6.流体在管道中流动时流动阻力包括沿程阻力和局部阻力。
7、流体微团的基本运动形式有：平移运动、旋转运动 和变形运动。
8.稳定流动的流线与迹线重合。
9.理想流体伯努力方程=++g2u r p z 2常数中，其中r p z +称为测压管 水头。
10.雷诺数之所以能判别流态，是因为它反映了惯性力和粘性力 的对比关系。
11.流体的主要力学性质有惯性；重力性；粘滞性；压缩性和热胀性；表面张力特性。
12.流体的力学模型按粘性是否作用分为理想流体和实际流体。
作用在液体上的力包括质量力，表面力。
13、力学相似的三个方面包括运动相似、几何相似与动力相似。
14、流体的力学模型是连续介质模型。
15.流体的牛顿内摩擦定律的表达式ι=μdy/dt，u的单位为pa.s 。
16.流体微团的运动是由平移运动、旋转运动，角变形运动和线变形运动四种基本运动形式符合而成。
17.几何相似是力学相似的前提，运动相似是模型实验的目的，动力相似是运动相似的验证。
18.流体流动的状态分为层流和紊流。
二、选择题1、按连续介质的概念，流体质点是指 D 。
A、流体的分子B、流体内的固体颗粒C、无大小的几何点D、几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体2、一下哪种流体为非牛顿流体 C 。
A、空气B、清水C、血液D、酒精3、绝对压强Pabs 、相对压强p、真空值pv、当地大气压强ap之间的关系是 C 。
拉格朗日法与欧拉法
描述流体运动（连续介质变形）的两种方法
拉格朗日法是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。
以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。
任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c）和t
的函数
拉格朗日法基本特点: 追踪流体质点的运动
优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析
在涉及几何非线性问题的有限单元法中，通常都采用增量分析方法，它基本上可以采用两种不同的表达格式。
第一种格式中所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形，即在整个分析过程中参考位形保持不变，这种格式称为完全的Lagrange格式。
另一种格式中所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷或时间步长开始时的位形即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式称为更新的Lagrange格式。
欧拉法是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。
——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间——流场为对象。
研究各时刻质点在流场中的变化规律。
将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。
通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
》》》》》》》》》》》》》》》》》》》
几何非线性问题塑性变形——拉格朗日法。
4.1欧拉方法和拉格朗日方法
称 为 局 部 导 数 或 当 地 导 数 .
4.1.2随体导数
rr
r
r
r
宇 航
D Vlim V (M ',t t) V (M ',t) l i m
D t t 0
t
t 0
MM t
'
V(M',t)V(M,t)
•lim
M M' 0
M M'
推
进 系
第 二 项 当 M M '时
对 速 度 的 简 单 导 数
L
----
系
速 度 的 变 化 有 两 方 面 的 原 因 :
M’
一方面的原因,质点由M点运动至M'点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引 M
力
起速度的变化
学
另一方面,质点由M点运动至M'点时,位置 r r
r
发生了变化,由于场的空间不均匀性引起D Vlim V (M ',t t) V (M ,t)
L
系
M’
----
流 体
如 图 M 点 的 加 速 度 就 是 此 时 过 M 点
的 流 体 质 点 的 加 速 度 .
M
力
学
4.1.2随体导数
宇
航
设 此 质 点 在 场 内 运 动 ,其
推 进
运 动 轨 迹 为 L,在 t时 刻 位 于 M点 ,
系
速 度 为 V M ,t ,过 了 t后 ,该 质
----
宇 4.1欧拉方法和拉格朗日方法
航 推 进 系 流 体 力 学
4.1欧拉方法和拉格朗日方法
宇 航
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日运动学法和欧拉法是在物理学中常用的两种解决运动学问题的方法。
它们分别以法国数学家拉格朗日和瑞士数学家欧拉的名字命名，是经典力学中的两种重要技术方法。
首先来介绍一下拉格朗日运动学法。
拉格朗日运动学法是以拉格朗日力学为基础的一种运动学方法，它是一种基于能量的方法，用于描述系统的运动。
在拉格朗日力学中，系统的运动由广义坐标q和广义速度\dot{q}描述，其中q是系统的广义坐标，\dot{q}是广义坐标对时间的导数。
在使用拉格朗日运动学法求解物体的运动时，我们需要先写出系统的拉格朗日函数，通常用L表示。
拉格朗日函数是系统的动能T和势能V的差值，即L=T-V。
然后，我们可以得到系统的拉格朗日方程，即拉格朗日方程为\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})-\frac{\partial L}{\partial q}=0，其中\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数。
通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统中每个物体的运动方程，并得到物体的轨迹。
拉格朗日运动学法不仅能够描述质点的运动，还可以描述刚体的运动，对于复杂系统的分析具有重要意义。
而欧拉法是一种基于牛顿第二定律的运动学方法。
在欧拉法中，我们将系统的运动描述为物体的加速度与外力之间的关系。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以得到物体的加速度a与外力F之间的关系。
在使用欧拉法解决物体的运动问题时，我们需要确定系统中每个物体的受力情况，并建立物体的受力平衡方程。
然后，我们可以根据牛顿第二定律得到物体的加速度a，并利用积分求解得到物体的速度和位移。
与拉格朗日运动学法相比，欧拉法更加直观和易于理解，适用于描述一些力学问题。
对于复杂系统的分析，欧拉法可能并不适用，因为系统中的受力很难确定。
流体运动的描述方法.
u x 2 x(a, b, c, t ) ax t t 2 u y y (a, b, c, t ) a y t t 2 u z z (a, b, c, t ) az t t
流速场：
u x u x ( x, y, z , t ) u y u y ( x, y, z , t ) u u ( x, y, z , t ) z z
压强场： 密度场：
p p( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
4.加速度的时间变化率
ax dux ux ux dx ux dy ux dz dt t x dt y dt z dt
u x u x u x u x a u u u x y z x t x y z u y u y u y u y a u u u y x y z t x y z u z u z u z u z a u u u z x y z t x y z
dA A (u ) A dt t
d ux uy uy （u ） dt t x y z t
§3.1 流体运动的描述方法
三、两种方法的比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体微元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
拉格朗日运动学法和欧拉法
拉格朗日运动学法和欧拉法是力学中描述物体运动的两种不同方法，它们在处理问题时各有特点和优势。
拉格朗日运动学法，又称为拉格朗日方程，是一种基于能量的方法来描述物体的运动。
它主要关注系统的总能量，包括动能和势能，通过最小化作用量原理或最大化哈密顿作用量来得到物体的运动方程。
这种方法在处理约束问题时尤为方便，因为它可以自动考虑约束条件，而无需显式地引入约束方程。
此外，拉格朗日运动学法还适用于多体系统，因为它可以方便地处理多个物体之间的相互作用。
然而，拉格朗日法在处理非完整约束时可能会遇到困难，因为它依赖于作用量原理，这在某些情况下可能不适用。
欧拉法，又称为牛顿-欧拉法，是一种基于力的方法来描述物体的运动。
它直接从牛顿第二定律出发，通过列出物体的受力方程和约束方程来求解物体的运动。
这种方法在处理简单问题时直观且易于理解，因为它直接反映了物体受力与运动之间的关系。
然而，在处理复杂的多体系统时，欧拉法可能会变得繁琐，因为需要为每个物体分别列出受力方程和约束方程。
此外，欧拉法在处理约束问题时可能需要引入额外的处理步骤，如引入拉格朗日乘子或惩罚函数等。
总的来说，拉格朗日运动学法和欧拉法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。
在选择使用哪种方法时，需要根据具体问题的特点和需求进行权衡。
对于简单的力学问题，欧拉法可能更加直观和易于理解；而对于复杂的多体系统或涉及约束的问题，拉格朗日运动学法可能更加适用。
在实际应用中，可以根据需要灵活选择这两种方法。
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在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。
欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。
在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。
如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。
那么YC是在用欧拉方法研究流体。
这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。
现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。
于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。
假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。
每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。
为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。
于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。
YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。
Understood?
而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。
在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。
如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。
它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。
我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。
为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。
根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。
假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。
所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！
我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。
这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。
这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。
”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。
如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。
但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。
这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。
也就是说，获得爱情有两种方法。
一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。
那么，哪种方法更能获得幸福呢？。