基本初等函数的导数公式及四则运算2
第二部分导数的运算
u v u v u v,
(uv)' lim (uv) lim u v u v u v
x0 x x0
x
lim u v u lim v lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则 u v可导，且有 (u v)' u' v'.
证 设自变量在x取得增量 x时，函数u，v分别取得 增量 u u(x x) u(x)，
v v(x x) v(x), 于是
(u v) [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)] [u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] u v
x)'
(sin x) cos2 x
sec
x
tan
x.
同样可以得到另外两个基本公式： (cot x)' csc2 x, (csc x)' csc x cot x.
例4
计算(cos 2
x)', (sin 2
x 2
)'
,
(exx
)'.
解 (cos 2 x)' (cos x cos x)'
f'(0) 1 2 10 55.
三、反函数的求导法则
定理2.5 设函数 x ( y)在某区间内严格单调、可导， 且( y) 0，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单
调且可导，且有
f'
(
x)
1 ( y)
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
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练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
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思考如何求下列函数的导数：
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切线的方程为 y x 2
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)． 两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________． 解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)． 解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)
§3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 预习内容1．根本初等函数的导数公式表 2.(2 )推论：[]'()cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )三． 提出疑惑同学们 ,通过你的自主学习 ,你还有哪些疑惑 ,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 学习过程(一 ) .【复习回忆】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x = (二 ) .【提出问题 ,展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-= ,以后看见这种函数就可以直接按公式去做 ,而不必用导数的定义了 .那么其它根本初等函数的导数怎么呢 ?又如何解决两个函数加 .减 .乘 .除的导数呢 ?这一节我们就来解决这个问题 . (三 )、【合作探究】 1． (1 )分四组比照记忆根本初等函数的导数公式表函数导数 y c = y x =2y x =1y x=y x =*()()n y f x x n Q ==∈函数导数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a =='ln (0)x y a a a =⋅>(2 )根 据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy =(2 )3xy =与3log y x =2. (1 )记忆导数的运算法那么 ,比拟积法那么与商法那么的相同点与不同点导数运算法那么1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心． (四 )．典例精讲例1：假设某国|家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元 )与时间t(单位：年 )有如下函数关系0()(15%)tp t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品()xy f x e == 'xy e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?分析：商品的价格上涨的速度就是： 解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加．将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率： (1 )90% (2 )98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比拟上述运算结果 ,你有什么发现 ? 三．反思总结：(1 )分四组写出根本初等函数的导数公式表： (2 )导数的运算法那么：四．当堂检测1求以下函数的导数(1 )2log y x = (2 )2xy e =(3 )32234y x x =-- (4 )3cos 4sin y x x =- 2.求以下函数的导数(1 )ln y x x = (2 )ln xy x=课后练习与提高1．函数()f x 在1x =处的导数为3 ,那么()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切 ,那么a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点 (1,1 )处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ,那么12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点 (0,1 )处的切线方程为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5.在平面直角坐标系中 ,点P 在曲线3103y x x =-+上 ,且在第二象限内 ,曲线在点P 处的切线的斜率为2 ,那么P 点的坐标为 - - - - - - - - - - - -6.函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P (0,2 ) ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+= ,求函数的解析式 .课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4.310x y -+= 5. ( -2,15 )6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P (0,2 ) ,知2d = ,所以32()2f x x bx cx =+++ ,由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的解析式是32()332f x x x x =--+3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么 (教案 )教学目标：1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数 . 教学重难点： ：根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么 教学过程：检查预习情况：见学案 目标展示： 见学案 合作探究：(1 )根本初等函数的导数公式表(2 )根据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy = (2 )3x y =与3log y x = 2. (1 )导数的运算法那么导数运算法那么函数 导数y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于常数乘函数的导数 )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心．典型例题例1 假设某国|家在20年期间的年均通贷膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据根本初等函数导数公式表 ,有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈ (元/年 )因此 ,在第10个年头 ,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加. 将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率：(1 )90%； (2 )98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为90%时 ,费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为98%时 ,费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知 ,''(98)25(90)c c =．它表示纯洁度为98%左右时净化费用的瞬时变化率 ,大约是纯洁度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明 ,水的纯洁度越高 ,需要的净化费用就越多 ,而且净化费用增加的速度也越快． 反思总结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导 ,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导 ,一般要遵循先化简 ,再求导的根本原那么.求导时 ,不但要重视求导法那么的应用 ,而且要特别注意求导法那么对求导的制约作用.在实施化简时 ,首|先要注意化简的等价性 ,防止不必要的运算失误.当堂检测1. 函数1y x x=+的导数是 ( ) A ．211x - B ．11x - C ．211x+ D ．11x +2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是 ( ) A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是 ( )A ．2sin xx- B ．sin x -4. 函数2()1382f x x x =-+ ,且0()4f x '= , 那么0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为 板书设计 略。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式导数是数学中的一个重要概念，表示函数在特定点上的变化率。
在微积分中，我们常常需要求出各种函数的导数，以便解决实际问题和进行更深入的研究。
在这篇文章中，我们将介绍一些基本初等函数的导数公式。
1.常数函数的导数：如果f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
因为对于常数函数来说，它在任何点上的变化率都为零，所以导数为零。
2.幂函数的导数：a. 若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x) = nx^(n-1)。
这是最常见和最基本的导数公式之一b. 若f(x) = a^x（a>0, a≠1），则f'(x) = ln(a) * a^x。
这个公式可以通过对等式两边取对数得到。
3.指数函数的导数：若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数的导数恒等于自身，这是指数函数的一个重要性质。
4.对数函数的导数：a. 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
这是自然对数函数的导数公式。
b. 若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
这是以a为底的对数函数的导数公式，可以通过换底公式和链式法则推导得到。
5.三角函数的导数：a. 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
正弦函数的导数是余弦函数。
b. 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
余弦函数的导数是负的正弦函数。
c. 若f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x)，则f'(x) = sec^2(x) =1/cos^2(x)。
正切函数的导数可以通过商法则和基本三角函数的导数公式推导得到。
6.反三角函数的导数：a. 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
反正弦函数的导数可以通过隐式求导和三角函数的导数公式得到。
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
常用导数求导公式
常用导数求导公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点的变化率。
求导是求解导数的过程，常用导数求导公式是求导常用的一些规则和技巧的总结。
下面是一些常用导数求导公式的介绍：一、基本初等函数的导数公式：1.常数函数的导数为0：f(x)=c，其中c为常数，f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为任意实数，f'(x) =nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，f'(x)=e^x。
4. 对数函数的导数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)。
- 反正弦函数的导数：f(x) = asin(x)，f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = acos(x)，f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = atan(x)，f'(x) = 1/(1+x^2)。
二、基本初等函数的组合求导公式：1.和、差、积的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，则有以下运算法则：-(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
2.商的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有以下运算法则：-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2三、复合函数求导：若y=f(g(x))是由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数，则求导的链式法则如下：y'=f'(g(x))*g'(x)。
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
基本初等函数的导数公式及四则运算
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二
3.
f g
x x
′
f′ x
g
x f x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？
若设u=我3x们+无2，法则用y=现ln有u的.即方y=法㏑求（函3x数+2） 可以y=看㏑成（是x由+2y）=l的n 导u和数u.=下3x面+，2经我过们“先复合” 得到分的析，这即个y函可数以的通结过构中特间点变.量u表示为自 变量x的函数.
练习 1：指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(a＋bxn)m； (2)y＝ln3 ex＋2；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．
解：函数的复合关系分别是：
(1)y＝um，u＝a＋bxn；
(2)y＝lnu，u＝3 v，v＝ex＋2； (3)y＝3 u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx lnx,则f ' x
1 .
x
三角函数 指数函数 对数函数
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′;
类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数．
练习 3：
若函数 f(x)是可导函数，求函数 y ＝f(1x)的导数．
[答案] y′＝－x12 f′(1x)
随堂练习
1.函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
初等函数导数公式表
初等函数导数公式表一、常用初等函数的导数公式表：1、函数f(x)=C（C为常数）的导数为：f'(x)=02、函数f(x)=x的导数为：f'(x)=13、函数f(x)=x^n（n为正整数）的导数为：f'(x)=nx^(n-1)4、函数f(x)=ax^n（a为常数，n为正整数）的导数为：f'(x)=anx^(n-1)5、函数f(x)=ax^(-n)（a为常数，n为正整数）的导数为：f'(x)=-nanx^(-n-1)6、函数f(x)=sinx的导数为：f'(x)=cosx7、函数f(x)=cosx的导数为：f'(x)=-sinx8、函数f(x)=tanx的导数为：f'(x)=sec^2x9、函数f(x)=Cotx的导数为：f'(x)=-Csc^2x10、函数f(x)=secx的导数为：f'(x)=secxtanx11、函数f(x)=Cscx的导数为：f'(x)=-CscxCotx12、函数f(x)=e^x（e为自然对数的底数）的导数为：f'(x)=e^x13、函数f(x)=lnx（ln为自然对数）的导数为：f'(x)=1/x14、函数f(x)=a^x（a>0，a≠1）的导数为：f'(x)=a^xlnx15、函数f(x)=Sinx的导数为：f'(x)=Cosx16、函数f(x)=ArcSinx的导数为：f'(x)=1/√1-x^217、函数f(x)=ArcCosx的导数为：f'(x)=-1/√1-x^218、函数f(x)=Arctanx的导数为：f'(x)=1/(1+x^2)二、初等函数的极限定理和导数性质：1、极限定理：如果函数g(x)和h(x)在点a上可导，则：(1)存在极限lim x→a [f(x)·g(x)]=f(a)·lim x→a g(x)(2)存在极限lim x→a [f(x)/g(x)]=f(a)/lim x→a g(x)2、导数的运算性质：(1)联立法则：若f(x)、g(x)是在区间a≤x≤b内可导的函数，则下列关系成立：d/dx[f(x)±g(x)]=f'(x)±g'(x)d/dx[f(x)·g(x)]=f'(x)·g(x)+g'(x)·f(x)d/dx[f(x)/g(x)]=[f'(x)·g(x)-g'(x)·f(x)]/[g(x)]^2(2)链式法则：若函数f(x)是区间a≤x≤b内可导的，则d/dx[f(g(x))]=f'(g(x))·g'(x)(3)复合函数求导法则：若f(x)、g(x)都可导，则d/dx[f[g(x)]]=f'[g(x)]·g'(x)。
2019教育第一章12123基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)数学
类型 1 导数运算法则的应用(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； (2)y＝lg x－ex； (3)y＝ 1x·cos x； (4)y＝x－sinx2·cosx2.
解：(1)y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
温馨提示 求导过程中，分步计算的每一步必须明 确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的导数．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) (4)y＝e2x 的导数是 y′＝2·e2x.( )
(3)法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1 x(cos
x)′＝(x
－12)′cos x－ 1xsin x＝－12x－32cos x－ 1xsin x＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x.
法二
y′
＝
1x·cos
x
(2)由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，所以 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线 过点(2，7)， 所以 7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1. 答案：(1)4x－y－3＝0 (2)1
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则制作人：徐凯精讲部分：年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：中建议用时：20-25min一.知识点：1．导数运算法则2．复合函数的求导法则二.题型一利用导数的运算法则求函数的导数(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝x－sin x2cosx2.解(1)法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9. 法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x . 题型二求复合函数的导数(1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝(x －2)2. 解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝2(x －2)⎝⎛⎭⎫12·1x －0＝1－2x .题型三 导数的应用已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.三.课堂小结：求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.精练部分：年级：高三 科目：数学 类型:同步难易程度：中建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min四.随堂练习：1．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－22．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 3．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2. 5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.五.课后作业：1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πB ．[0，π)C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2. 5．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝⎛⎭⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.6．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 7.求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln13＝－1x ln 3.8.已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.9．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.10．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．。
1.2.2 基本初等函数的导数公式和运算法则
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的
积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
( f (x)) f (x)g(x) f (x)g(x) (g(x) 0)
g(x)
g 2 ( x)
例5. y x2 的导数 sin x
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
[ f (x) g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
推论: (Cu) Cu
例3.求 y 2x3 3x2 5x 4的导数
例4. 求 y (2x2 3)(3x 2) 的导数
小结:
可导函数四则运算的求导法则 1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(或差),即
函数求导的基本步骤： 1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
yx ' yu '•ux ' (eu )'•(0.05x 1)' 0.05eu 0.05e0.05x1
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则%5B二%5D(学生版)
湖州二中高二数学第二学期导学案1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g(x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3； (2)y ＝lg x －e x ； (3)y ＝1x·cos x ； (4)y ＝x －sin x 2·cos x 2.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1) y ＝(1＋cos 2x )3； (2) y ＝sin 2 1x； (3) y ＝11－2x2； (4) y ＝(2x 2－3)1＋x 2.跟踪训练2 求下列函数的导数：(1) y ＝(2x ＋1)5； (2) y ＝1(1－3x )4； (3) y ＝31－3x ； (4) y ＝x ·2x －1； (5) y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)； (6) y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 .例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193 B.103 C.133 D.1632.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ .。
(学习指导) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)Word版含解析
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学 习 目 标核 心 素 养 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养. (1)设两个函数f (x )，g (x )可导，则 和的导数[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 差的导数[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 积的导数[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) [cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y ＝1x 的导数．[提示]y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(1)′×x －1×(x )′x 2＝－1x 2. 1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．xB ．1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x C [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.]2．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( )A ．y ′＝4x 3B ．y ′＝cos xC ．y ′＝4x 3＋sin xD ．y ′＝4x 3＋cos xD [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．]3．函数y ＝9x 的导数为__________．y ′＝－9x 2[y ′＝(9)′×x －9×(x )′x 2＝－9x 2.]利用导数的运算法则求导数 (1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2； (3)y ＝cos x ln x ；(4)y ＝x e x .[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′ ＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′ ＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos x x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x )′(e x )2＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x .利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝x ln x.[解](1)y＝e2x＝e x·e x，∴y′＝(e x)′·e x＋e x·(e x)′＝2e2x.(2)y＝x2＋log3x，∴y′＝2x＋1 x ln 3.(3)y＝xln x，∴y′＝ln x－1(ln x)2.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)＝13x3－x2－3x－5，点P是曲线y＝f(x)上的一个动点．(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围；(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程．[思路点拨]求出f′(x)，转化为求f′(x)的最值问题．[解](1)因为f(x)＝13x3－x2－3x－5，所以f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为[－4，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)min＝－4，即当x＝1时，k＝f′(x)min＝－4，又因为f(1)＝13－1－3－5＝－263，故此时的切线方程为y＋263＝－4(x－1)，即12x ＋3y ＋14＝0.1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程．2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题；③求与切线有关的定值问题等． [跟进训练] 2．设函数f (x )＝x －3x ，求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解]设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20 (x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)，所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数求函数解析式对于函数y ＝f (x )而言，f ′(x )与f ′(a )相同吗？提示：不同，f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，而f ′(a )是f ′(x )在x ＝a 处的函数值．【例3】 (1)已知函数f (x )＝ln x x ＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .[思路点拨] (1)求f ′(x )―→令x ＝1―→求f ′(1)―→比较f (e )与f (1)的大小(2)计算f ′(x )―→由f ′(x )＝x cos x 求a ，b ，c ，d[解](1)由题意得f ′(x )＝1－ln x x 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)．则f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.[跟进训练]3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，又f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1，故选B ．] 求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．1．判断正误(1)[x 2f (x )]′＝2xf ′(x )．( )(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝12x .( ) (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2′＝sin x ． ( ) (4)(ln 5x )′＝1x .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3＋3x ln 3 C [f ′(x )＝(x 3)′＋(3x )′＋(ln 3)′＝3x 2＋3x ln 3，故选C ．]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________．f (x )＝2x 3－9x 2＋12x [因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .]4．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，求a ，b 的值． [解] f ′(x )＝2ax －b cos x ，则⎩⎨⎧ f ′(0)＝－b ＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2a π3－b cos π3＝12，即⎩⎨⎧ b ＝－1，2a 3π－12b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＝0.。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程一、幂函数的导数公式：考虑函数y=x^n，其中n是实数。
为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成y=x*x*...*x(n个x相乘)的形式。
然后，我们计算x处的斜率，即函数在x0处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=x^n，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ (x0 + h)^n - x0^n ] / h利用二项式定理展开，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ C(n, 0) * (x0)^(n-0) * h^0 + C(n, 1) * (x0)^(n-1) * h^1 + C(n, 2) * (x0)^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * (x0)^(n-n) * h^n ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = n * x0^(n-1)所以，幂函数 y = x^n 在任意一点 x0 的导数为 dy/dx = n *x^(n-1)。
二、指数函数的导数公式：考虑函数y=a^x，其中a是一个正实数且a≠1、为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成 y = e^(x * ln(a)) 的形式。
然后，我们计算 x 处的斜率，即函数在 x0 处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=a^x，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ a^(x0 + h) - a^x0 ] / h利用指数的性质a^(b+c)=a^b*a^c，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ a^x0 * a^h - a^x0 ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = a^x0 * lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ]当 h 趋近于 0 时，我们可以使用极限公式 lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ] = ln(a)。
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( x 2 1) 2 x( x 1) 2 x x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.
解： f ( x) cos x, f ( x) sin x, 3 f ( ) sin . 3 3 2 1
3
y 60 x 120 x 21
' 3 2
x （ 3Байду номын сангаас y 2 x 1
（ 4）
1 x y 2 2 ( x 1)
' 2
sin x y x
x cos x sin x y 2 x
'
7、（1）已知 f ( x) ax 3x 2 若 f (1) 4 则a=( D )
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
'
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
' '
f ( x) ' f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) （3） ( g ( x) ) 2 g ( x)
特殊地
'
'
(cf ( x)) cf ( x)（c为常数）
' '
g x 1 ' ( ) 2 g ( x) g ( x)
(sin x) cos x sin x(cos x) 2 cos x
cos x sin x 2 cos x
2 2
'
1 2 cos x
6、求下列函数的导数
（1）y
(3x 2)( x 5) y 9 x 30 x 2
2
'
2
（ 2）
y (5 x 7)(3x 8)
根据除法公式，有
2 2 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )
( x 2 1)[(x ) (1)] [( x 2 ) (1)]( x 1) ( x 2 1)2
注意:牢记公式呦
三、巩固练习
1、函数 f ( x) sin cos x 则
f ' ( )
2
2 x ' x y 2 2 ２、函数 y 2 的导数是 ( 2 x x ) x x2
sin 2 x 2 x ３、函数 y x tan x 的导数是 y 2 2 cos x
'
注意：1、前提条件导数存在； ２、和差导数可推广到任意有限个； ３、商的导数右侧分子中间“－”， 先 子导再母导。
例1求 f ( x) x 2x sin x 在 x 0 时的导数 .
3 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
例3
解
x 1 设 y x 2 1 , 求 y .
1 练习:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平
行且距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0)，其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x00). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 , - 3 ). 切点坐标是 ( ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x , 8 2 4
即x-y-1=0
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
3
3 3 1 2 解： y ( x ) 3 x 3x
2 f (2) 3 (2) 12
解： y ( x ) 2 x
3
1 (2)已知 y 2 , 求f (3). x
2 2 1
2 x
3
1 2 f (3) 2 (3) 2 27 27
切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.
3 2
'
A
19 3
B
16 3
C
13 3
D
10 3
ax ' f ( x) （2） 若 f ( )3 sin x 2
则a=（ B ） D -2
A6
B3 C0
例3.求下列函数的导数
(1) y sin( x) 2 (3) y cos(2 x)
(2) y sin
3
例4.求下列函数的导数
(1) y 4
x
(2) y log x
3
(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的 （1） [ f ( x) g ( x)]' f ' ( x) g ' ( x); （2） ( f ( x) g ( x))
切线问题
3 故曲线在点 P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为 y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
2.
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).
注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln a
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
三角函数的求导公式
(sin x)' cos x.
(cos x)' sin x.
(tan x)' sec x.
2
(cot x)' csc x.
2
例2: (1)已知y x , 求f (2).
y (3) 当x 0, f ( x) x
总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
4 、 求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '