美国中小学数学课程标准6：问题解决.

美国中小学数学课程标准6:问题解决

数学教学纲要应注重于问题解决,使之成为理解数学的一部分,从而使所有学生-◆通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;◆养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;◆应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;◆对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。说明:幼儿园前-12年级解决问题的能力不仅仅是学习数学的一个目的,而且也同样是学习数学的一种主要方法。当学生们在对数学内容的探索中应用问题解决的方法时,他们得到对数学的新的理解,并提高他们应用所知道的数学的能力。问题解决意味着去从事完成一项事先对解决问题的方法并无所知的任务。为了寻求解决问题的方法,学生们必须以不同的方法应用他们的知识,并且,也许能通过这个过程,来得到新的知识。问题解决是整个数学学习的不可缺少的一部分,而不是数学教学计划中的一个孤立的部分。它应该是支持发展数学理解的课程的一个有机部分。学生们应该有很多的机会去建立公式,设法解决那些需要相当程度的努力的复杂问题。◆通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;问题解决怎样帮助学生学数学呢?精心设计的问题情景提供一种场所,在那里学生能巩固并扩展自己所知道的东西。精心挑选的问题能鼓励进行深入的数学探索。例如,考虑分数的观念,这是中学数学中的一个重要概念。这个概念就可以通过一种展开了的探索方式引进给学生。在此探索过程中,给学生一些不同的果汁配方(水和浓缩果汁的不同的量,并问学生哪一种果汁"果汁味更浓些"。由于没有两种配方的果汁的量相同,这个问题对于那些对分数还不懂的学生来说是一个难题。当试验了种种想法以后,学生们最后集中到了分数概念上。丢弃了其他的一些概念,学生们以各种方法仔细思考了比例并与他人作了讨论,比例这一概念出现了。问题解决能够,而且应该帮助学生发展在一些特殊技能方面的熟练程度。等学生们懂得足够多的时候才给学生以问题解决的机会将会使失去处理一些挑战性的问题的经验,使他们不再有问题解决的经验。当然,问题解决也不会在真空中发生,它也需要一些有关的知识。例如,考虑老师提的这样的一个问题: "在我口袋里有若干一分的小银币(pennies,若干个一角的银币(dimes,若干个五分的镍币(nickels,如果我从口袋里取

出三枚硬币,我可以取到多少钱?(选自NCTM1998,第24页"要解决这个问题,就需要一些知识--关于penny、dime和nickle各是多少钱的知识,加法的一些知识。学生们

在解决这个问题之前并不需要在加法方面多么熟练;实际上,解决这个问题提供了进行加法练习的很好的情景。这个问题的最重要的教学目标--帮助学生对可能性作系统性的思考,并把他们的思维作组织和记录--不必等到学生把加法做得很熟练。◆养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;已经有一种用数学的观点认识世界的人们倾向于以一种数学化的方式来处理事务。对于那些具有数学倾向的人们,可以期望他们有怎样的行为方式呢?好的问题解决者常常用数学的观点来仔细地分析实际情况。在尝试一些比较复杂的处理问题的途径之前他们倾向于考虑是否可能有一种简单的解法。另一方面,他们也会作更加复杂的分析。例如,让中等年级的学生提交两个出租汽车公司的数据,并问哪个公司更加可以信赖(NRC1998,一个基于顾客的平均等待时间而很快得到的答案则是错误的。进一步的数学分析表明,平均等待时间较短的公司也有较大的方差。在此问题中,一种深入的研究倾向能导致对此问题的比较完整的理解,并得到正确的答案。有数学倾向的人倾向于作结构探索以找到是什么使各种事物都打上数学的记号。他们作抽象和一般化。这些人会对一个问题寻找多种方法来处理,因而建立新的联系,找新的合成物,并揭示数学的不同的方面。例如,3~5年级的学生以几何方式来探索平方数,寻找不同的模式。有一个学生看到要得到下一个平方数就是加一个L形的图形,从而得到了一个用前一个数来表示的第n个正方形的面积的公式。另一个学生发现第n个正方形的面积是前n 个奇数的和。这些学生就明白了实际上有多种方法来考虑一个问题,发现一种方法未必意味着你已经可以对这个问题束之高阁了。问题解决者倾向于去探索现实、进行猜想。例如,以下的对话

将会出现于一组幼儿园的儿童组,这些孩子们坐成一圈,轮流报数直到100:昨天,我报了数‘1’。后来,我又报了数‘100’。如果又从我开始,我想我会再一次说同样的数。不,你不会的。昨天塞拉不在,今天却不同。昨天塞拉不在,今天约翰不在。所以将是一样的。孩子可以在一起探索现实,对将发生什么作出猜想。作为好的问题解决者的学生倾向于去检验他们的猜想,试图通过推理来对他们的猜想进行证实,或者在若干相反的现象的基础上放弃他们的猜想。例如,一群高中学生会试图为一种标准灯罩做一个模型,这种灯罩在罩子顶部有一个比底部较小的圆周。他们也许会从剪出一个矩形开始。他们也许很快认识到这不行。然而,他们将就各种模型作进一

步的努力,直到解决问题。好的问题解决者倾向于对新问题建立公式,例如一个高中的班级能考虑这样的问题,抛物线ax2+bx+c,当两个系数固定而另一个系数变化时将会发生什么?(例如,如果a和b固定,c 变化,顶点沿着一条铅垂直线运动。一个倾向于为新问题建立公式的学生可能会问:"对于三次曲线,如果你做同样的事情将会怎样呢?(注意相对极小值发生了什么情况?在为学生创造一个能鼓励他们去探索冒险、分享失败和成功、互相质疑的环境以发展问题解决的倾向的过程中,教师扮演了一个重要角色。如同上面的一些例子所示,在这种类型的教室环境中,问题解决倾向的发展是学数学、做数学的自然环节的组成部分。◆应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;问题解决策略是学生的数学装备的组成部分。当一个问题还没有合适的解法,学生们将由于有一套适用的策略来帮助他们取得进步。问题解决策略应该如同对数学装备的任何部分一样看待。应该提供学生们在策略方面的足够的教学及实践,以使学生们能应使用这些策略,策略的应用必须被嵌入课程以使学生在有各种策略可用时能作出决定什么时候以及怎样去使用它们,从而发展认识能力。从波里亚的工作([1945] 1973开始,对问题解决策略已经有了许多的描述。一些比较频繁地被引用的策略包括使用图表和其他的表示方法,寻找模式,罗列所有可能性,特殊值和例的试验,退一步做,猜测和检查,构造等价问题,构造较简单问题。一个显然的问题是这些策略该以怎样的明白程度进行教学。如同学生的数学装备的任何其他部分一样,如果希望学生们学会它们,就必须给策略以教学上的注意(Schoenfeld1992。此外,如果在课堂活动中这些策略出现或被展示,学生们必须意识到这些策略,而教师应该鼓励学生予以注意。例如,当一个学生叙述一个解答以及它是如何得到的,老师也许应该说:"听起来好象是你为发现做了一个有条理的清单。有谁用了一种不同方式解决问题吗?",以此来肯定这个学生的策略。这样的语言有助于发展共同的语言和表达,并帮助其他学生理解第一个学生正在做些什么。某些策略,如系统地寻找模式,与内容课程目标非常接近。寻找模式是幼儿园前~2和3~5年级的"模式,函数和代数"的主要内容。其他的策略,如猜测和检查,与特定的内容并无特殊的共同之处。不同的策略是在不同的年龄成为可接受的。这一点与为了回答以下的问题的各种努力一样在一些与年级有关的讨论中将会变得越来越清楚:"在

_____年级,问题解决是怎样的?"有一些非常专门,并具有数学威力的策略,如反证法,