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《布洛赫定理》PPT课件 (2)教学提纲
黄昆（1919年9月2日－2005年7月6日）。
国际著名的中国物理学家、教育家、中国固体物理学先驱、中国半
导体技术奠基人。
黄昆1919年9月出生学理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布
里斯托大学获得博士学位。
黄昆获得博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论 1907: 独立振子的量子理论(Einstein) 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye) 1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性 (1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科
学提供了量子力学基础. (2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,
固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通 信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技 术也产生了深刻的影响.
波矢空间的基本单元: Brillouin区
焦点: Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢 色散关系
晶格动力学+固体能带理论
3. 范式的定量表述
标量波
波
矢量波
张量波
(电子) (电磁波） (晶格波）
(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下, 电子在周期场中的运动
(de Broglie波)方程:
5 Dielectrics and Ferroelectrics
61 能带理论布洛赫定律PPT课件
道的电子就会相互作用，以致不能再维持在相同的能级。 当固体中有N个原子，这N个原子的2s轨道的电子都会相
互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。
2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
2
电子数量增加时能级扩展成能带
3
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
5
能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。
2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
2
电子数量增加时能级扩展成能带
3
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
5
能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
《布洛赫定理》课件
证明中的难点和关键点
难点分析
在证明过程中，如何正确运用相关数学公式和定理，以及如何处理复杂的逻辑 推理是主要的难点。
关键点总结
首先，准确理解和运用相关数学工具和概念是至关重要的；其次，构建清晰、 严密的证明逻辑是关键；最后，对定理的深入理解和分析也是不可或缺的。
04
定理的应用
在物理中的应用
量子力学
布洛赫定理在量子力学中有着广泛的应用，它为描 述粒子的波函数提供了重要的数学工具。
固体物理学
在固体物理学中，布洛赫定理常被用于研究晶体的 电子结构和性质，特别是在能带理论中。
粒子物理学
在粒子物理学中，布洛赫定理用于描述粒子的传播 和散射现象，特应用
80%
算法设计
布洛赫定理在算法设计中有着重 要的应用，特别是在动态规划和 图算法中。
100%
数据结构
通过应用布洛赫定理，可以设计 出更高效的数据结构，例如哈希 表和二叉搜索树等。
80%
计算复杂性
布洛赫定理在计算复杂性理论中 也有所应用，它有助于理解不同 算法的时间复杂度和空间复杂度 。
在其他领域的应用
经济学
布洛赫定理在经济学的某些领 域也有所应用，例如在博弈论 和决策理论中。
在实践中，布洛赫定理被广泛应用于组合数学、图论、计算机科 学等多个领域。例如，在计算机科学中，布洛赫定理可以用于解 决图形的布局和优化问题，以及网络设计和路由问题等。此外， 布洛赫定理在物理学、化学和工程学等领域也有广泛的应用。
03
定理的证明
证明的思路和步骤
思路概述
首先，明确定理的定义和要求，然后 通过数学推导和逻辑推理，逐步构建 证明的框架。
对物理学的贡献
布洛赫定理在物理学领域也有着 广泛的应用，它为研究物质波、 量子力学和相对论等领域提供了 重要的理论支持。
167;4-2布洛赫Bloch定理
n0
VnC(k ' )ei(K' Gh )x
K'
＝E C(K ' )eik 'x
(3)
K'
将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积 分。并利用平面波的正交归一性
e dx＝L i ( K‘ K )x l
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到
K'
2K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,k
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢 的态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个
∴ E（k）=E(k+Gn)
可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
（2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k=0的中心反演对称性。
（3）E（k）具有与正晶格相同的对 称性。
倒格矢的态不进入方程（4）。
该结论也应适用于波函数 (k,x)。
因此波函数
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x K'
VnC(k ' )ei(K' Gh )x
K'
＝E C(K ' )eik 'x
(3)
K'
将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积 分。并利用平面波的正交归一性
e dx＝L i ( K‘ K )x l
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到
K'
2K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,k
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢 的态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个
∴ E（k）=E(k+Gn)
可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
（2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k=0的中心反演对称性。
（3）E（k）具有与正晶格相同的对 称性。
倒格矢的态不进入方程（4）。
该结论也应适用于波函数 (k,x)。
因此波函数
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x K'
7.2 布洛赫函数
TlTm Tl m
所以
Tl m (r ) TlTm (r ) l m (r ) l m (r )
如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为
2 2 H 0Φ [( ) j Ve-i (rj Rl )] Φ H jΦ EΦ 2m j l j
4
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
而 F 则可以表示为单电子波函数的乘积 N Φ(r1 , r2 ,, rN ) 1 (r1 )2 (r2 ) N (rN ) j (rj )
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
晶体系统的哈密顿量
将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电 子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量
H H e Hi H ei
电子部分
2 2 1 e2 H e ( ) j ' 2m 2 j ,l 4π 0 | rj rl | j 离子部分
j | l * j l dV jl
这样电子哈密顿量的久期值
E Φ H Φ
j
1 j H j j jl H jl jl 2 j ,l
根据变分原理，近似程度最好的 j 应使 E 极小。 将上式对 j 变分，并将 Ej 作为拉格朗日乘子
j 1
N ：价电子总数
第 j 个电子的坐标
而能量本征值
E Ej
j 1
N
Ej 为单电子能量，满足
H j j E j j
可把 F 当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得 H 的久 期值，再用变分法确定单电子波函数 j 应满足的方程
5
固体物理导论
布洛赫定理讲解
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到（4）式
K'
2 K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,K
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
E
说明：
V0＝
1 a
a
V (x)dx＝V (x)
0
cons
0
∴
V ( x)＝
i 2 nx
Vne a
n0
＝ VneiGn x
(1)
n0
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态
――平面波eik•x展开
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x
(2)
K'
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(k Gn' , x) 与 (k, x) 等价
^
^
H (k, r)＝H (k Gh, r)＝E(k Gh ) (k, r)
∴ E（k）=E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
2. 布洛赫定理的另一种表示。
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx
u（k，x）＝u（k ,x+na）
18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数
德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。
量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
第五章 晶体电子能带理论
第2页
第五章 晶体电子能带理论
1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生 于瑞士的苏黎世）
考虑了晶格周期电势对电子的运动状态的影响，提出 了能带理论 清楚地给出了固体中电子动量和能量的多重关系，比 较彻底地解决了固体中电子的基本理论问题 建立了对包括金属、半导体、绝缘体的固体电性质的 统一理论。
Page 15
引进平移算符 Tˆ
其作用于任何函数 f ( x) 上的结果是使坐标x平移n个周期
Tˆf ( x) f ( x a) Tˆn f ( x) f ( x na)
(7) (8)
平移算符与哈密顿算符对易，即对于任意函数 f ( x)
第五章 晶体电子能带理论
第 15 页
§5.1 布洛赫波函数
第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能；
最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。
这是一个量级为 1023 / cm3 的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些
假设和近似，主要有三点：
第五章 晶体电子能带理论
第6页
第五章 晶体电子能带理论
Page 7
1、绝热近似
基于电子和离子实在质量上的巨大差别，电子的速度远大于原子核 的速度。因此，在考虑电子的运动时，认为核不动，而电子是在固定不 动的原子核（离子实）产生的势场中运动。
代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了
其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。
第五章 晶体电子能带理论
第8页
量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
第五章 晶体电子能带理论
第2页
第五章 晶体电子能带理论
1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生 于瑞士的苏黎世）
考虑了晶格周期电势对电子的运动状态的影响，提出 了能带理论 清楚地给出了固体中电子动量和能量的多重关系，比 较彻底地解决了固体中电子的基本理论问题 建立了对包括金属、半导体、绝缘体的固体电性质的 统一理论。
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引进平移算符 Tˆ
其作用于任何函数 f ( x) 上的结果是使坐标x平移n个周期
Tˆf ( x) f ( x a) Tˆn f ( x) f ( x na)
(7) (8)
平移算符与哈密顿算符对易，即对于任意函数 f ( x)
第五章 晶体电子能带理论
第 15 页
§5.1 布洛赫波函数
第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能；
最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。
这是一个量级为 1023 / cm3 的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些
假设和近似，主要有三点：
第五章 晶体电子能带理论
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第五章 晶体电子能带理论
Page 7
1、绝热近似
基于电子和离子实在质量上的巨大差别，电子的速度远大于原子核 的速度。因此，在考虑电子的运动时，认为核不动，而电子是在固定不 动的原子核（离子实）产生的势场中运动。
代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了
其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。
第五章 晶体电子能带理论
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布洛赫定理
0
i 2 nx a n0
a
∴
V ( x)＝Vn e
＝Vn e
n0
iGn x
(1)
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态 ――平面波eik•x展开
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
(2)
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢 k’进 行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:
二．Bloch 定理的证明
1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当 选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数 展开：
V ( x)＝ Vn en 2 Nhomakorabeai nx a
1 Vn＝ a
V ( x)e
0
a
i
2 nx a
dx
说明：
1 V0＝ a
V ( x)dx＝V ( x) cons 0
利用δ函数的性质，得（4）式
K E C（K ) 2m
2 2
V C ( K G )＝0
n0 n n
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中 心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢的 态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)……. 与K相差不是一个倒格矢的态不进入 方程（4）， 该结论也应适用于波函数 (k,x)。
3 2
1 2
D
E
2 z
K 空间中，在半径为∣ k∣的球体积内的电子态数 目，应等于球的体积乘以K空间单位体积内的电子 态数Vc/4π3，即
3
4 3 Vc Vc 2m E Z ( E )＝ K 3 ＝ 2 2 3 4 3
i 2 nx a n0
a
∴
V ( x)＝Vn e
＝Vn e
n0
iGn x
(1)
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态 ――平面波eik•x展开
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
(2)
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢 k’进 行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:
二．Bloch 定理的证明
1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当 选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数 展开：
V ( x)＝ Vn en 2 Nhomakorabeai nx a
1 Vn＝ a
V ( x)e
0
a
i
2 nx a
dx
说明：
1 V0＝ a
V ( x)dx＝V ( x) cons 0
利用δ函数的性质，得（4）式
K E C（K ) 2m
2 2
V C ( K G )＝0
n0 n n
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中 心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢的 态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)……. 与K相差不是一个倒格矢的态不进入 方程（4）， 该结论也应适用于波函数 (k,x)。
3 2
1 2
D
E
2 z
K 空间中，在半径为∣ k∣的球体积内的电子态数 目，应等于球的体积乘以K空间单位体积内的电子 态数Vc/4π3，即
3
4 3 Vc Vc 2m E Z ( E )＝ K 3 ＝ 2 2 3 4 3
固体物理电子教案51布洛赫定理-PPT课件
ˆ (3) T
ik R (R n) e
n
ˆ 设 T ( R ) 对应的本征值为 ( R ) ，则有 n n ˆ T ( R ) ( r ) ( r R ) ( R ) ( r ) n n n
n n n 1 2 3 ˆ ˆ ˆ T ( a )T ( a )T ( a ) 1 2 3
根据上式可得到
N 1 ˆ T N a ( r ) ( a )( r ) ( r N a ) ( r ) 1 1 1 1 1
(a1) e
l i2π 2 N 2
N 1 ( a ) 1 1
l i2π 1 N 1
u r u r R n k k
( a ) 、 ( a ) 、 ( a ) ? 1 2 3
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。 3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T(R n)
设晶体在 a 、 a 、 a 方向各有 N 、 N 、 N 个原 , 1 2 3 1 2 3
由周期性边界条件 ( r ) ( r N 1 a 1 ) ( r ) ( r N a 2 2) ( r ) ( r N 3 a 3 )
同理可得： (a 2) e
,
(a3 ) e
i 2π
l3 N3
ˆ 这样 T(Rn ) 的本征值取下列形式
n l nl nl i2 π(11 2 2 3 3) N N N 1 2 3 ( R ) e n
布洛赫函数的性质
布洛赫函数的性质6.730 固态应⽤物理课件18: 布洛赫函数的性质⼤纲动量和晶体动量k.p哈密顿量布洛赫态的电⼦速度布洛赫定理‘当我开始考虑它时,我感觉主要的问题是解释⾦属中电⼦怎样通过所有的离⼦运动….直接⽤傅⽴叶分析,我惊喜的发现波不同于唯⼀通过周期调制的⾃由电⼦的平⾯波’F. BLOCH由于波函数是周期势的本征态…或者布洛赫定理的证明步骤1: 平移算⼦对易于哈密顿量…因此它们共⽤相同的本征态.平移和周期哈密顿量对易…因此,步骤2:沿着不同⽮量⽅向平移…因此平移算符的本征值是指数关系的布洛赫函数的规⼀化布洛赫振幅的常规选择…布洛赫振幅的6.730选择…规⼀化布洛赫振幅…这⾥布洛赫振幅是规⼀化的…物理动量不等于晶体动量因此我们怎样计算电⼦实际空间的速度和轨道?动量和晶体动量从两部删去指数项对于布洛赫振幅动量算符的作⽤,是⼀个有⽤的恒等式引导我们了解布洛赫振幅哈密顿量的作⽤….动量和晶体动量K.P哈密顿量i (in our case .q.p)如果我们知道k时的能量,对于⼩的q,我们可以利⽤这个来计算k+q时的能量…K.P哈密顿量能量的泰勒级数展开…q的⼀阶匹配项…布洛赫本征态电⼦速度周期势场的电⼦波包⾊散介质的波包…只要波函数与下⾯的势场有相同的短周期性,电⼦能够恒速运动2D晶体的能⾯在2-D晶体中,圆形能量的轮廓导致平⾏于2D晶体的能⾯通常,对于更⾼的能量, 不平⾏于Si 带结构Si 带结构Si带结构Si 带结构Ehrenfest ’s 定理:认为存在⼀些外⼒⼲扰晶格内电⼦运动…如果我们考虑晶格平移算符运动⽅程,可以推倒出⼀个有⽤的⽅程式既然晶格平移算符和哈密顿量相互对易…半经典运动⽅程。
§4-2 布洛赫(Bloch)定理 固体物理 教学课件
即（以一维为例）
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中
u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论：
1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na）
G n
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝C (KG n '')ei(K G n '')x (k,x) G ''n
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
由薛定谔方程
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(kGn' ,x) 与 (k,x) 等价
^
^
H (k ,r ) ＝ H (k G h ,r ) ＝ E (k G h )(k ,r )
∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
3．函数（k ,x）本身并不具有正 晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
G n
=u(K,x+na)
∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m
eiGnna 1
u （ K ， x )＝ C (K G n)e iG n x e iG n na
G n
＝ C (K G n)e iG n(x n)a u (K ,x n)a
G n
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中
u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论：
1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na）
G n
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝C (KG n '')ei(K G n '')x (k,x) G ''n
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
由薛定谔方程
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(kGn' ,x) 与 (k,x) 等价
^
^
H (k ,r ) ＝ H (k G h ,r ) ＝ E (k G h )(k ,r )
∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
3．函数（k ,x）本身并不具有正 晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
G n
=u(K,x+na)
∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m
eiGnna 1
u （ K ， x )＝ C (K G n)e iG n x e iG n na
G n
＝ C (K G n)e iG n(x n)a u (K ,x n)a
G n
第四章麦克斯韦布洛赫方程
/ 2 0
4.4 哈肯的激光方程
引入量纲为1的光场
E ( ) i /(2 0 )a E ( ) i /(2 0 )a*
() 用原子偶极矩 表示场方程中的极化强度 P
P( ) ( x, t ) ( x x )ba (t )
a b
p {CaCb*eitba CbCa*eitab }
p p( ) p( )
p ( ) (t )ba p ( ) * (t ) ab
(t ) CaCb*eit
* (t ) CbCa*eit
1 & (t ) i E (t ) ab d ih
a (i )a i g *
i i g a d
d d d0 2i ( g * a* g * a )
4.5 激光器的动力学分类
dA A dt dA A dt
d 2 A dA dt 2 dt d 2 A dA 2 dt dt
简化后的M-B方程
E ( ) (i ) E ( ) (i / 2 0 ) P ( )
& 1 V eit C 1 E eit C Ca ab b ab b ih ih & 1 V eit C 1 E eit C Cb ba a ba a ih ih
p * (qr ) d 3r
(r , t ) Ca (t )ei ta (r ) Cbei tb (r )
d Ca Cb
2 2
考虑泵浦 和衰减
& 2 E (t )( * ) d ab ba ih 1 E (t ) ab d ih & (d d ) 2 E (t )( * ) d P 0 ab ba ih & (t ) i
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讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程
H
2 2m
2
V
(r)
E
其中，V (r) 包括晶体离子势和其它电子的平均势
V
(r
Rl )
V
(r)
晶格周期性，周期性势场
Rl
l1a1
l2a2
l3a3 ,
l1, l2 , l3 Z
任意格矢
8
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
复杂的多电子 体系问题
j | l
*
jl
dV
jl
这样电子哈密顿量的久期值
E Φ H Φ
j
j Hj j
1 2 j,l
jl H jl jl
根据变分原理，近似程度最好的 j 应使 E 极小。 将上式对 j 变分，并将 Ej 作为拉格朗日乘子
[E Ej ( j j 1)] 0
j
6
固体物理导论
第 7 章 能带
如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为
H0Φ
j
[(
2 2m
)2j
Ve-i
(rj
Rl )]Φ
l
j
H jΦ EΦ
4
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
而 F 则可以表示为单电子波函数的乘积
Φ(r1, r2, , rN ) 1(r1)2 (r2 ) N (rN ) N j (rj ) j 1
在 He-i 内，认为所有离子都处于格点的平衡 位置，电子的波函数只决定于电子的坐标
3
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
绝热近似下电子的哈密顿量
交叉项，给问
H H0 H1
j
H
j
1 2
'H j,l
j ,l
题带来复杂性
H
j
2 2m
2 j
ห้องสมุดไป่ตู้
l
Ve-i
(rj
Rl )
H jl
e2
4π0 | rj rl |
Tl H HTl 具有共同的本征函数
H 的本征函数
晶体中电子 的本征函数
可选为
Tl 的本征函数
10
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
对平移算符，其本征函数应具备的性质
Tl (r) Tm (r)
(r (r
Rl ) Rm )
l (r) m (r)
l 、m为
本征值
由于平移算符具有性质：
N ：价电子总数
第 j 个电子的坐标
而能量本征值
N
E Ej j 1
Ej 为单电子能量，满足
H j j E j j
可把 F 当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得 H 的久 期值，再用变分法确定单电子波函数 j 应满足的方程
5
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
设单电子波函数满足正交归一性，即
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
晶体系统的哈密顿量
将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电 子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量
电子部分
H He Hi Hei
He
j
(
2 2m
)2j
1 2
j ,l
'
4π 0
e2 | rj
rl |
离子部分
Hi
j
(
2 2M
)2j
1 2
'Vi (Rj Rl )
——电子绝热地响应离子位置的变化
2
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
绝热近似有效地将电子运动与离子运动分开 成独立的两部分，讨论电子运动时，只须将所有 离子固定在某一瞬间位置上
在本章可认为所有的离子都处在平衡位置， 即相对于绝对零度时的情形，因此对于电子部分
H (He Hei ) Ee
哈特利方程
周期场中的单电子 运动问题
周期势：包括晶体离子势和其它电子的平均势
9
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
引入平移算符 Tl，其作用于任意函数的结果
Tl
f
(r)
f
(r
Rl )
将 Tl 作用于 Hf (r) 上，得
Tl
Hf
(r)
H
(r
Rl )
f
(r
Rl )
HTl
f
(r)
表明哈密顿量与平移算符 Tl 对易：
TlTm Tlm
所以 Tlm(r) TlTm(r) lm(r) lm(r)
即 Tl+m 的本征值 l+m 满足
lm lm
11
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
N2
假设晶体为沿 a1 个原胞、a3 方向的
方向的 N1 个原胞、a2 方向的 N3 个原胞堆砌而成，将周期
性边界应用于电子波函数得
j ,l
价电子与晶格离
子间的相互作用
He-i
Ve-i
(rj
Rl )
j ,l
1
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
7.2. 1 单电子近似
绝热近似(玻恩-奥本海默近似)
金属中电子运动的典型速率 vF
106 m/s 量级
离子运动速率
最高 103 m/s 量级
可认为离子对电子的运动并无反应，而电子对离 子的运动响应如此迅速，以至电子体系的能量总 是处于任一瞬时离子位置相对应的最低能量
)
ik Rl
Rl
ik Rl
(r R ) e (r ) l
k是对应于平移
算符本征值的 量子数
13
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
布洛赫定理：对于含有晶格周期势的薛定谔
方程，其解必定具有形式
k(r) eikruk(r)
7.2 布洛赫函数
j
j H j j
e2
4π 0 l j
jl
|
1 rl rj |
jl
E j j j
0
因此
H j
e2
4π 0
l j
l
|
1 rl rj |
l
Ej j
2 2m
2 j
Vj (r)
e2
4π 0
l j
| |rl'(r'r)||2
dV' j
(r)
E j j
(r)
哈特利方程
第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作 用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用
问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 其它电子的平均场中运动的单电子问题
7
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
7.2. 2 布洛赫波
复杂的多电子 体系问题
哈特利方程
周期场中的单电子 运动问题
2π N2
n2
2π i N3 n3
2
3
n2, n3 Z
因此
Tl (r)
(r
Rl )
i 2π(l1
e
n1 N1
l2
n2 N2
l3
n3 N3
)
(r)
Rl
(r)
在倒空间引入矢量
k
n1 N1
b1
n2 N2
b2
n3 N3
b3
则
e e
i 2π(l1
n1 N1
l2
n2 N2
l3
n3 N3
(r (r (r
NNN132aaa132)))(((rrr)))
又
(r N1a1) (T1)N1(r) 1N1(r)
N1 1
1
2π
1 ei N1 n1 , n1 Z
1 为平移
Rl
相a1应的平移算符
T1
的本征值
12
固体物理导论
第 7 章 能带
7.2 布洛赫函数
同样可得
e , e , i