高三数学直线与圆
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
高三数学圆的坐标知识点
高三数学圆的坐标知识点圆是在平面上由一点到另一点距离保持不变的所有点组成的图形。
在数学中，圆的坐标表示使用两个坐标数表示圆心的位置，再加上一个表示半径的数值。
本文将介绍高三数学中与圆的坐标相关的知识点，包括圆心与半径的坐标表示、圆的方程及其性质。
一、圆心与半径的坐标表示在直角坐标系中，圆心的坐标表示为 (h, k)，其中 h 表示横坐标，k 表示纵坐标。
而半径的长度则可以通过圆心与圆上一点的坐标之间的距离来确定。
二、圆的方程及其性质1. 标准方程：对于以坐标原点为圆心的圆，其方程为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示半径的长度。
2. 一般方程：对于以圆心为 (h, k) 且半径为 r 的圆，其方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
3. 圆的性质：每个点到圆心的距离等于半径的长度。
同时，圆的直径是通过圆心并且垂直于圆的直径两点的线段。
圆的弦是通过圆上两点的线段。
圆的弦经过圆心时，被称为直径。
三、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系可以通过求解直线方程与圆方程的交点来确定。
当直线与圆相交时，可能有两个交点、一个交点或者没有交点三种情况。
2. 判别条件：直线与圆的位置关系可以通过计算直线方程与圆方程的判别式来判断。
当判别式大于零时，直线与圆相交；当判别式等于零时，直线与圆相切；当判别式小于零时，直线与圆无交点。
四、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆的距离大于两个圆半径之和时，称两个圆外离。
2. 外切：两个圆的距离等于两个圆半径之和时，称两个圆外切。
3. 相交：两个圆的距离小于两个圆半径之和时，称两个圆相交。
4. 内切：两个圆的距离等于两个圆半径之差时，称两个圆内切。
5. 内含：两个圆的距离小于两个圆半径之差时，称一个圆内含于另一个圆。
五、应用题举例1. 求两条直线与圆的位置关系，并求交点坐标。
2. 求两个圆的位置关系，并求交点坐标。
总结：通过以上内容的讲解，我们了解了高三数学中关于圆的坐标知识点。
高三数学高考复习直线与圆的方程考题分析
直线与圆的方程考题分析关于直线或直线与圆相结合的题型是历年高考考查的重点．下面我们撷取几例典型的题目，与同学们共赏．例１ （广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图1所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解：①当k =0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为12y =； ②当k ≠0时，设将矩形折叠后A 落在线段CD 上的点为G （a ，1），所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，故有1OG k k =-，解得a k =-．故G 点坐标为G （－k ，1）．从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 所以折痕所在的直线方程为122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++． 由①、②得折痕所在的直线方程为k =0时，12y =；k ≠0时，2122k y kx =++． 点评：本题以“折叠”为载体，考查了直线关于直线对称或者是点对称等知识，给直线方程问题又增添了“动”的活力．例２ （江苏卷）直线x +2y =0被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 ____．解析：本小题主要考查直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长求法等知识．重点考查了数形结合的思想．曲线2262150x y x y +---=，即222(3)(1)5x y -+-=．此曲线是以(31)C ，为圆心，5为半径的圆．由点到直线的距离公式，得圆心Ｃ到直线x +2y =0的距离为d ==又圆的半径r =5，所以截得的弦长l =故应填例3 在坐标平面内，与点(12)A ，距离为l ，且与点(31)B ，距离为2的直线共有（ ）． Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条解析：解决本题可以先设出直线的方程，然后应用点到直线的距离公式求解，满足条件的直线方程为y =3，4x +3y -5=0，但那样做将面临非常复杂的计算．事实上，本题并没有要求求出与点(12)A ，距离为１且与点(31)B ，距离为2的直线方程，只要求判断满足这样条件的直线有几条，所以可以通过画图的办法来解决问题．经过计算可知，Ａ、Ｂ两点间的距离为，所以在Ａ、Ｂ两点间不可能存在满足条件的直线，这样的直线只可能在Ａ、Ｂ两点的同侧，所以满足条件的直线有两条．也可以从平面解析几何的角度来考虑．如图2，到点Ａ距离为1的动点轨迹是一个圆，到点Ｂ距离为2的动点轨迹也是一个圆，因为这两个圆相交，所以它们只有两条外公切线，即为所求的两条直线．所以答案应选（Ｂ）．。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
高三数学应知应会讲义十：直线与圆复习教案
直线与圆序号 内容要求 A BC 1 直线的倾斜角与斜率√2 直线方程√3 两条直线的平行关系与垂直关系√ 4 两条相交直线的交点、交角√ 5 点到直线的距离√ 6 简单的线性规划问题 √ 7 曲线与方程的概念√8圆的标准方程、一般方程、参数方程√二、应知应会知识1．（1）一直线过点(0，－3)，(－3，0)，则此直线的倾斜角为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．－π4 D ．－3π4解：B ．（2）直线x cos θ＋y －1＝0(θ∈R )的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，π)B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[0，π4]∪[3π4，π）解：D（3）已知直线l 的倾斜角的变化范围是(π3，3π4]，则该直线的斜率k 的变化范围是_______．解：(3，＋∞)∪(－∞，－1]．考查直线的倾斜角、斜率、斜率公式，理解倾斜角与斜率之间关系．注意正切函数的图象与性质的适当应用． 2．（1）原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ） A ．x ＋2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y ＋3＝0 解：C ．（2）过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．－32 B ．－23 C ．25D ．2解：A ．（3）过点(5，2)，且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是（ ） A ．2x ＋y －12＝0 B ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 解：B考查直线方程的几种形式、适用范围，注意截距的概念、运算的准确． 3．（1）已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 解：D.（2）已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0．若l 1∥l 2，则a ＝___________．解：2.（3）若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，4)共线，则a 的值等于_____． 解：4（4）与直线3x －4y ＋5＝0共线的单位向量是（ ）A ．(3，4)B ．(4，－3)C ．(35 ，45 )D ．(45 ，35 )解：D ．（5）a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 解：C ．（6）直线x ＋a 2y ＋1＝0与直线(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，ab ∈R ，则||ab |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 解：B ．考查两条直线平行与垂直的条件，注意选择合理的转化方法． 4．（1）直线y ＝2与直线x ＋y —2＝0的夹角是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．3π4解：A ．（2）若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[π6，π3) B ．(π6，π2) C ．(π3，π2) D ．[π6，π2) 解：B ．考查两条直线的交点与夹角的计算，注意运算准确．5．（1）已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于（ ） A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1 D ．2＋1 解：C ．（2）已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为（ ）A ． 5B ．10C ．2 5D ．210 解：A ．（3）直线y ＝2x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y ＝－12x B ．y ＝12x C ．y ＝－2x D ．y ＝2x解：C ．（4）若点P （3，4）、Q （a ，b ）关于直线x －y －1＝0对称，则（ ）A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝4，b ＝3D ．a ＝5，b ＝2 解：D ．考查点到直线的距离公式，注意综合应用平行、垂直、夹角、交点、距离等工具转化对称问题．6．（1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋5≥0，0≤x ≤3，表示的平面区域的面积是（ ）A ．48B ．36C ．24D ．12 解：C（2）图中阴影部分用二元一次不等式组表示为__________________．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0．（3）设 z ＝2y －x ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥－1，3x ＋2y ≤23，y ≥1．则z 的最大值为_________．解：11．（4）已知平面区域D 由以A (1，3)，B (5，2)，C (3，1)为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：C ．（5）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11．则z ＝10x ＋10y 的最大值是（ ）A ．80B ． 85C ． 90D ．95 解：C ．考查线性规划问题，注意平面区域与不等式组的对应，体会数形结合的重要思想． 7．（1）以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是___________．解：(x －1)2＋(y －2)2＝25.（2）圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．解：(x －1)2＋(y －1)2＝1．（3）过点A (1,－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ． (x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 解：C ．考查圆的方程，注意直接找圆心、半径与待定系数法之间的关系．8．（1）圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为（ ）A ．2B ．22C ．1D ． 2解：D ．（2）“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 解：C ．考查圆的一般方程与标准方程的互化，了解圆的一般方程与二元二次方程之间的关系．9．（1）点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 解：A ． （2）曲线⎩⎨⎧x =cos θ，y =sin θ．(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A ．12B ．22C ．1D ． 2解：D ．考查圆的参数方程，注意参数方程在研究最值中的应用．10．（1）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ． x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ． x ＋y －1＝0 D ． 2x －y －5＝0 解：A ．（2）若直线(1＋a )x ＋y ＋1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）A ．1，－1B ．2，－2C ．1D ．－1 解：D ．（3）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠π2＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的 解：C ．（4）已知圆(x ＋1)2＋y 2＝1和圆外一点P (0,2)．过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是__________． 解：43．（5）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为_________. 解：2．（6）若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ＜ 5B ．－5＜k ＜0C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5 解：A ．．考查直线与圆的位置关系，注意平面几何的一些方法在求弦长、切线、交点、最值等问题的合理应用，简化运算的过程． xyO 2－1－1。
高三数学二轮专题复习第1讲 直线与圆
∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数
的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算 【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结 思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数 的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
高三数学复习总结《直线和圆》
高三数学复习——直线与圆的方程一、知识梳理（一）直线的方程1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系___________；α=________时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是___________,三点C B A ,,共线的充要条件是_____________2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是:______________________斜截式方程为:________________________截距式方程为:____________________________一般式方程为:___________________________,斜率K=_______________3、两条直线的位置关系：平行与垂直已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若1l //2l ，则_________，若21l l ⊥,则___________4、几个公式：①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P ____________________②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d _________________[例1 ]. 11．过点P （1，2）的直线 与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线 的方程为（ ）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=6[例2] 已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 问 m 为何值时 （1）1l 与2l 相交（2）1l 与2l 平行（3）1l 与2l 垂直;（二）圆的标准方程与一般方程1、①圆的标准方程为_____________________，其中圆心为_____________,半径为_______； ②圆的一般方程为____________________，圆心坐标_________，半径为___________。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝2，可求得|CM|＝1.由|CM|＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝ (x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.2.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6B．C．8D．【答案】B【解析】如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝.3.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【答案】A【解析】由切割线定理可知CE·CB＝CD2．又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比＝，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB．故选A．4.如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于()A． B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】∵CF∶DF＝1∶4，∴DF＝4CF．∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8．∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2．5.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD＝，由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即3×1＝×DE，解得DE＝．6.如图所示，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A【解析】逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．故选A．7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．【答案】【解析】因为AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，所以可设AF＝4x，FB＝2x，BE＝x．由割线定理，得AF·FB＝DF·FC，即4x×2x＝×，解得x＝．所以AF＝2，FB＝1，BE＝．由切割线定理，得EC2＝BE·EA，即EC2＝×(＋3)，解得EC＝．8.如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】解：(1)证明：∵AB∥DE，∴＝，又OD＝OE，∴OA＝OB．如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB．又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC．由(1)知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD＝∠F，∴△ACD∽△AFC．∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝．∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4．又AC2＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3．9.若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝0【答案】C【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知k＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为yOC－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.10.（5分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为．【答案】2x﹣y=0【解析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．解：直线方程为y=kx，圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1即圆心坐标为（1，2），半径为r=1因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2所以该直线的方程为：y=2x故答案为：2x﹣y=0点评：本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．11.如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于. 若，，求的长.【答案】【解析】由题中所给是圆的直径且，根据等腰三角形的性质可得：，再由直线为圆的切线，易得，可引入辅助线使得：，运用三角形知识即可求出：，进而得到：.是圆的直径且，，连，为圆的切线，，记是圆的交点，连，，，，，. 10分【考点】1.圆的几何性质;2.三角形的知识12.已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．（2）x＝1或4x－3y－10＝0.【解析】圆C的方程：(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1.(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k＝，所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.13.圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】联立，解得或．∴两圆的交点P（0，0），Q．∴|PQ|==．故选C．14.过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为．【答案】或【解析】设过点的直线方程为，即.即，由已知得，，解得，直线的斜率为或.【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式.15.设圆的一条切线与轴、轴分别交于点, 则的最小值为( )A．4B．C．6D．8【答案】【解析】设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得所以令，即，则，得即最小值为4故选.【考点】点到直线的距离；基本不等式.16.已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是．【答案】【解析】法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A点坐标为，，从而，整理得，化归为，从而，于是由得。
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
高三数学直线与圆的位置关系试题
高三数学直线与圆的位置关系试题1.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．【答案】（1）;（2）相切【解析】（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.（1）设，则．点在圆上，，即点的轨迹的方程为． 4分（2）解法一：（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即． 7分又直线的斜率等于，点的坐标为．所以直线的方程为，即. 9分由得．．故直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切. 13分解法二：设（），则． 5分（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；（2）当时，直线的方程为，即．令，则．，又点，所以直线的方程为，即． 9分由得即．．所以，直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切． 13分【考点】1.待定系数法求椭圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.直线与椭圆的位置关系.2.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．【答案】【解析】圆C的方程为．解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离为”，再将“直线上存在点到圆心的距离为”转化为“圆心到直线的距离小于等于”，再利用点到直线的距离公式求解．即【考点】圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式3.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为.【答案】.【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系4.过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．【答案】(，)【解析】本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．【答案】【解析】∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.∵ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，∴≤2，解得0≤k≤.∴k的最大值是.6.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.【答案】【解析】r=≤1,当有最大半径时有最大面积,此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2,设倾斜角为α,则由tanα=-1且α∈[0,π)得α=.7.已知点和曲线，若过点A的任意直线都与曲线至少有一个交点，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】把曲线方程化为：，知它是以为圆心，为半径的圆．如图所示，点在直线上，任意过的直线与圆有交点，则．【考点】直线和圆的位置关系．8.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.9.动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【答案】D【解析】设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为，∴或，当时，，∴.【考点】1.点到直线的距离；2.圆与直线的位置关系.10.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．【答案】(x－2)2＋2＝【解析】∵圆C经过原点O(0,0)和点P(4,0)，∴线段OP的垂直平分线x＝2过圆C的圆心，设圆C的方程为(x－2)2＋(y－b)2＝r2，又圆C与直线y＝1相切，∴b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解之得b＝－，r＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.11.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则＝()．A．4B．3C．2D．－2【答案】C【解析】由解得或,即A(，1)，B(0,2)，所以＝212.已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【答案】（1）见解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5（3）2，坐标为【解析】(1)证明由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．△AOB(2)解∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.13.已知圆的半径为,、为该圆的两条切线,、为两切点,那么的最小值为．【答案】-3+2【解析】.【考点】圆的切线长，向量数量积，基本不等式14.直线将圆分割成的两段圆孤长之比为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心到直线的距离为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心角为,故分割成的两段圆孤长之比为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式.15.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，所以弦长为.选A.【考点】直线与圆.16.已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】将圆的方程配方得：.双曲线的渐近线方程为.由于双曲线的渐近线与圆有公共点，所以，即，所以离心率的取值范围为.【考点】1、双曲线的离心率；2、直线与圆的位置关系.17.过点P（0,1）与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】配方得，依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心，由因为过点,故所求的直线方程为.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程.18.已知实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将化为，，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为，选A.【考点】直线和圆的位置关系、点到线的距离公式.19.已知直线与直线平行且与圆相切，则直线的方程为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】设直线的方程为，将圆的方程化为标准式为，圆心坐标为，半径长为，由于直线与圆相切，则有，整理得，解得或，故直线的方程为或，故选D.【考点】1.两直线的位置关系；2.直线与圆的位置关系20.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，则，.【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式.21.若直线与圆相交于、两点，则的值为（）A．B．C．D．与有关的数值【解析】对于直线，令，可得，，故直线过定点，而此定点恰为圆圆心，故为圆的一条直径，.【考点】直线过定点，直线与圆相交所形成的弦长的计算22.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.23.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为【答案】4【解析】画出可行域（如图），P在阴影处，为使弦长|AB|最小，须P到圆心即原点距离最大，即直线过P(1，3)时，取到最小值为=4.【考点】本题主要考查简单线性规划问题，直线与圆的位置关系。
高三数学圆与直线知识点
高三数学圆与直线知识点高三数学学习中，圆与直线是重要的知识点之一。
掌握了这些知识，可以帮助我们解决更加复杂的数学问题。
本文将从圆与直线的定义、性质和应用方面进行介绍。
一、圆的定义与性质圆是由平面内到一点的距离都相等的点的集合。
简单来说，圆是一个平面上的闭合曲线，由半径为r的圆心O、平面上所有到圆心距离为r的点构成。
在圆的性质中，我们需要掌握以下几个重要的概念：1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 圆周角：圆周角是以圆周上的两条弧为边的角，角的大小等于所对的弧度数的一半。
二、直线与圆的位置关系1. 切线：一个直线与圆相交于圆上的一点，且只有这一个交点时，称这条直线为切线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 弦：一个直线的两个端点在圆上，这条直线称为弦。
三、直线与圆的交点个数1. 两个相交圆的公共切线：两个相交的圆可以有两条公共切线，也可以没有公共切线。
2. 直线与圆的位置关系：一条直线与圆相交，有三种情况，即相离、相切和相交。
四、圆与直线的方程1. 圆的方程：设圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²。
2. 直线的方程：直线的方程可以通过两点式、一般式或截距式等形式表示。
五、圆与直线的应用1. 判断两个圆的位置关系：可以通过观察圆心之间的距离与半径之差来判断两个圆的位置关系，有外离、内含和相交三种情况。
2. 判断直线与圆的位置关系：可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
3. 圆的切线问题：可以通过圆与直线的位置关系来求解切点和切线方程。
4. 弦的性质：弦分割圆的圆周角等于弦所对的圆心角。
总结：通过学习圆与直线的知识点，我们可以更好地理解圆的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系以及圆与直线的方程。
这些知识点对于解决数学问题和应用数学在生活中都具有重要意义。
第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
高三数学复习教案：直线与圆及其位置关系直线与圆位置关系总结
直线、圆方程1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。
特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+。
圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(ED --，半径2422F E D r -+=，其中0422>-+F E D 。
二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B =0；③、0422>-+AF E D 。
直线与直线、直线与圆位置关系1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1。
（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。
①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 2． 距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
高三数学课时作业：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业一、选择题1．设m＞0，则直线错误!(x＋y）＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为（)A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切C ［圆心到直线l的距离为d＝错误!，圆半径为错误!。
因为d－r＝错误!－错误!＝错误!(m－2错误!＋1）＝错误!（错误!－1）2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．］2．(2014·福建龙岩质检）直线x＋3y－2错误!＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则错误!·错误!＝( ) A．4 B．3C．2 D．－2C [由错误!消去y得:x2－错误!x＝0,解得x＝0或x＝错误!.设A（0，2），B(错误!，1）．∴错误!·错误!＝2,选C。
］3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆（x－a)2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（) A．［－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C ［欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径错误!即可，即错误!≤错误!,化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
]4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（) A。
2 B.错误!C．2 D．3C ［设圆上的点为（x0，y0)，其中x0>0，y0>0,则切线方程为x0x ＋y0y＝1。
分别令x＝0，y＝0得A错误!，B错误!，则｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．]5．(2014·兰州模拟）若圆x2＋y2＝r2(r＞0）上仅有4个点到直线x －y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（）A．（错误!＋1,＋∞）B．(错误!－1, 错误!＋1）C．（0，错误!－1) D．（0, 错误!＋1)A [计算得圆心到直线l的距离为错误!＝错误!＞1，如图．直线l:x －y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行,且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离错误!＋1。
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方法整合
2.直线方程的五种形式:
(1)点斜式： y-y0＝k (x-x0)
(2)斜截式： y＝kx+b
(3)两点式： (y-y1)/(y2-y1)＝(x-x1)/(x2-x1)
(4)截距式：
(5)一般式：Ax+By+C＝0 (A2+B2≠0)
斜率间的转化.
高三文科数学总复习 专题七第一讲 直线与 圆
授课者：肖 婕
基础检测
f (x0 )
y
x x0
lim
x0
方法整合
1、直线的斜率 (1)倾斜角的取值范围是［0，π)
(2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则 k＝tanα，叫做这条直线的斜率.
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)
4、圆的方程
圆的标准方程：(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2
圆的一般方程： 当
＞0时
圆的参数方程:
金石资源：/
出“喇喇”的幽响。！飘然间女打手腾霓玛娅婆婆狂速地用自己浅橙色螃蟹造型的身材三陪出火橙色艺术晃动的苦瓜，只见她窜出的肉筋中，快速窜出五十道旋舞着『青雾晶仙螺栓经文』的仙翅 枕头链状的板斧，随着女打手腾霓玛娅婆婆的转动，仙翅枕头链状的板斧像洋葱一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着女打手腾霓玛娅婆婆又使自己极似弯刀造型的脚跳跃出紫罗兰色的 红薯味，只见她高高的海蓝色金钩模样的砂锅石灵蛇筋服中，变态地跳出五十缕门槛状的仙翅枕头碗，随着女打手腾霓玛娅婆婆的摇动，门槛状的仙翅枕头碗像轮椅一样，朝着壮扭公主饱满亮润 的脸疯扫过来。紧跟着女打手腾霓玛娅婆婆也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝壮扭公主疯扫过来壮扭公主突然把异常结实的酷似钢铁般的手臂摆了摆，只见三十道忽隐忽现的美如剃须刀般的蓝 雾，突然从无坚不摧的粗壮手指中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨灰色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的水睡朦胧味在梦幻的空气中怪舞。接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽 然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出亮蓝色的丝丝魔烟……酷似钢铁般的手臂窜出水红色的隐隐奇寒！紧接着抖动跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发一闪，露出一副诡异的神色，接着 扭动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵，像灰蓝色的灰爪海湾鹏般的一抖，神奇的异常结实的酷似钢铁般的手臂瞬间伸长了一百倍，强壮结实的骨骼也忽然膨胀了九十倍……最后晃起扁圆的如同天 边小丘一样的蒜瓣鼻子一嗥，快速从里面射出一道奇影，她抓住奇影绅士地一抖，一组青虚虚、黑森森的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“哧哧”的 猛音……！飘然间壮扭公主狂速地用自己有着无穷青春热情的胸部击打出春绿色绝妙怪舞的弹头，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，狂傲地流出五十缕转舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头杖状的线 头，随着壮扭公主的摆动，仙翅枕头杖状的线头像铃铛一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着壮扭公主又使自己好像桥墩一样的大腿闪动出浅灰色的贝壳味，只见她晶绿色的三尖式力神 戒指中，萧洒地涌出五十串抖舞着¤雨光牧童谣→的凤凰状的仙翅枕头尺，随着壮扭公主的晃动，凤凰状的仙翅枕头尺像葫芦一样，朝着女打手腾霓玛娅婆婆天蓝色菊花般的脸疯扫过去。紧跟着 壮扭公主也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝女打手腾霓玛娅婆婆疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了亮蓝色、景物变成了水白色、天空变成 了墨蓝色、四周发
2、使用直线方程时，要注意限制
条件，选择点斜式、斜截式时一 f (x0)
y
x x0
lim
x0
定要注意斜率不存在的情形；选
择截距式时，注意截距为零的情
形. 即注意分类讨论.
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3、两条直线位置关系
已知 : 直线 l1 ： A1x+B1y+C1= 0 直线 l2 ： A2x+B2y+C2= 0
方法整合