高三数学直线与圆专题复习

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高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

高三数学二轮专题复习第1讲直线与圆

∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数

的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当

高三直线和圆知识点

高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。

本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。

一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。

直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。

直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。

2. 直线上的任意一点，都在直线上。

二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。

这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。

圆心是与所有这些点距离相等的点。

直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。

圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。

2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。

3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。

三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。

它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。

b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。

c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。

b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。

3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。

b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。

高三数学复习总结《直线和圆》

高三数学复习——直线与圆的方程一、知识梳理（一）直线的方程1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系___________；α=________时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是___________,三点C B A ,,共线的充要条件是_____________2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是:______________________斜截式方程为:________________________截距式方程为:____________________________一般式方程为:___________________________,斜率K=_______________3、两条直线的位置关系：平行与垂直已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若1l //2l ，则_________，若21l l ⊥,则___________4、几个公式：①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P ____________________②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d _________________[例1 ]. 11．过点P （1，2）的直线与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线的方程为（）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=6[例2] 已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 问 m 为何值时（1）1l 与2l 相交（2）1l 与2l 平行（3）1l 与2l 垂直;（二）圆的标准方程与一般方程1、①圆的标准方程为_____________________，其中圆心为_____________,半径为_______； ②圆的一般方程为____________________，圆心坐标_________，半径为___________。

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

, 到直线： − − = 的距离 =

≤ + ，解得−

≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

高考数学复习：直线与圆

高考数学复习：直线与圆A 组1．(文)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.(理)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A.2 B ．823C ．3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B. 2．已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( C )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．(1，32) [解析] 直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( C ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，所以劣弧所对的圆心角为2π3.故选C.(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为( D )A.13 B ．4 C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2，所以截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 4．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是( D )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5[解析] ∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴以OP 为直径的圆过A 、B 两点，故△ABP 的外接圆就是以OP 为直径的圆，从而圆心为(2,1)，半径r ＝5，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.5．(文)与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( A )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4[解析] 如图当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，∴A (－1,1)，则点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－1－1－4|2＝3 2.设圆C 的半径为r ，则2r ＝32－2＝22，∴r ＝ 2.即点C (c ，－c )到直线x －y －4＝0的距离等于 2.故有|2c －4|2＝2，∴c ＝3或c ＝1.结合图形知当c ＝3时，圆C 在直线x －y －4＝0下方，不合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(理)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( A )A.45π B ．34πC ．(6－25)πD ．54π[解析] 由题意易知AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.故选A.6．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝__±2[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m 2，解得m ＝±52.7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__2__.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2.8．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__(x －32)2＋y 2＝254__.[解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，依题意得a 2＋22＝(4－a )2，解得a ＝32， r 2＝254，所以圆的方程为(x －32)2＋y 2＝254.9．已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2,4)，求实数a 的值． [解析] (1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(512，＋∞)．(2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1,0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0. 解得a ＝34，由于34∈(512，＋∞)，所以a ＝34.10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4.设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4. C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过点P 的圆C 的弦的中点为E (x ，y )，则EC ⊥PE ，所以CE →·PE →＝0，即(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.B 组1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( B )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．2．(2018·全国卷Ⅲ，6)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( A )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32][解析] 由A (－2,0)，B (0，－2)，则三角形ABP 的底边|AB |＝22，圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|2＋0＋2|2＝22，又因为半径为r ＝2，所以点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离的最大值为22＋2＝32，最小值为22－2＝2，则三角形ABP 的面积的最大值为S max ＝12×22×32＝6，最小值为S min ＝12×22×2＝2，故△ABP 面积的取值范围为[2,6]．3．(文)设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )A ．± 3B ．±6C ．±3D ．±9[解析] 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |12＋(－1)2＝3，解得a ＝± 6.(理)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D ．π6[解析] 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋(232)2，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6. 4．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为 d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|－2sin (θ－π4)＋a ＋2|2.△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|－2sin (θ－π4)＋a ＋2|2＝|－2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1；当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解；当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ，两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离，即|m －2|2＝|±2－a －2|2，(S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( C )A ．－2B ．－1C ．0D ．1[解析] 方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M (－2k 2＋1，2k k 2＋1)，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.方法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0. 6．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为__4__.[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2]＝5－254，化简得3x ＋4y －5＝0，所以C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.7．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b 2＝c12c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.(理)(2019·贵阳适应性考试)已知直线l ：ax －3y －12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝[解析] 直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝± 3.8．过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →的最小值为__214__.[解析] 圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1，所以PC ＝(t ＋1)2＋(t －3)2 ＝2(t －1)2＋8≥8，P A ＝PB ＝PC 2－1，cos ∠APC ＝APPC ，所以cos ∠APB ＝2⎝⎛⎭⎫AP PC 2－1＝1－2PC 2，所以P A →·PB →＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14＝214，所以P A →·PB →的最小值为214.9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程．(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明：过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x 22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m 2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆圆与圆的位置关系

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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
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考点一直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k

高中直线和圆数学知识点(详细)

高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。

而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

高三数学二轮复习直线与圆课件

考查内容
求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题
难度
容易
考点1：直线的方程
【例1】（1）设a∈R，则“a＝-2”是直线l1：ax＋2y‒1＝0与直线l2：x＋(a＋ 1)y＋4＝0平行的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
A．
5 3
B．
21 3
C．
25 3
D．
4 3
（2）若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是__x_2_＋__(y_‒_1_)_2_＝__2_．
y
F
O
x
圆的方程的2种求法
02 代数法
01 几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
D．既不充分也不必要条件
（2）过点P(2，3)的直线l 与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为___1_2____．
y B 3
O 2 AxΒιβλιοθήκη 考点2：圆的方程【例2】（1）已知三点A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( B )
y
1
O
34
x
（2）已知直线 l：x‒ 3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作 l 的垂线与 x 轴交于C，D两点，则|CD|＝____4____．
y
B2 3 A
E
CO D
23 x
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
考点3：直线（圆）与圆的位置关系问题

历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，所以|CD |＝4.高考必会题型题型一直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0，即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2，故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)，则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ，根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，因为直线与圆相交，所以Δ>0，即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1，且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上，但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆，设过点(－2，0)的直线的斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x ＋2)，则点到直线距离等于圆的半径1，有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1，所以k ＝±24，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

直线与圆知识点归纳高三

直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。

本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。

一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。

2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。

二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。

2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。

三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。

2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。

(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。

四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。

2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。

3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。

第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－－12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)，即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410，所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B

高三总复习数学课件直线与圆、圆与圆的位置关系

C．当 k＝－1 时，直线 l 与圆 M 的相交弦最长
D．圆心 M 到直线 l 的距离的最大值为 2
解析：M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，
以 1 为半径的圆，A 项，因为直线 l：kx＋y＝0，直线 l 过原点，02＋02－2×0
－2×0＋1＞0，原点在圆外，所以直线 l 与圆 M 不一定相交，故错误；B 项，
(3)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆 C2，解题时，注意检验圆 C2 是否满足题意，以防漏解)．
[提速度]
相切，则常数 a＝________．
解析：两圆的圆心距 d＝－42＋a2，由两圆相切，得－42＋a2＝5＋1 或－42＋a2＝5－1，解得 a＝±2 5或 a＝0．
答案：±2 5或 0
4．(选择性必修第一册 96 页例 5 改编)圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦长为________．
02
考点分类突破课堂讲练
理解透规律明变化究其本
直线与圆的位置关系的判断
1．已知直线 ax＋by＋c＝0 过点 M(cos α，sin α)，则
()
A．a2＋b2≤1
B．a2＋b2≥1
C．a2＋b2≤c2
D．a2＋b2≥c2
解析：由 cos2α＋sin2α＝1 可得点 M 在单位圆 x2＋y2＝1 上，所以直线 ax＋by
相离
相切
相交
图形
量化

九种直线和圆的方程的解题方法高考数学一轮复习(新高考专用原卷版)

九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。

高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。

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第八章直线与圆（邹平一中张春生）◆ 本章知识结构直线与圆⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧两圆位置关系直线与圆的位置关系圆的方程圆位置关系点到直线距离和两直线直线方程直线的倾斜角和斜率直线◆ 本章的重点难点聚焦本章的重点是直线方程和圆方程的确定以及它们之间位置关系的判定，难点是对解析几何的基本思想和基本方法的理解和应用。

◆ 本章学习中应当着重注意的问题1. 理解直线方程的五种形式，能根据已知条件恰当选择方程的形式，在解决直线和圆的有关问题时，应充分利用几何图形的性质；2. 注意体会数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和坐标法、向量法、参数法、待定系数法、配方法、换元法等数学思想和方法在解题中的应用。

◆ 本章高考分析及预测由于本章内容属解析几何的基础知识，在历年高考中多以中低档题出现，主要考查基础知识和基本方法，同时鉴于它的基础性和工具性，又容易和其他知识联系和交叉，如与向量、与圆锥曲线、与函数、不等式等的综合题等等。

§8.1 直线方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的斜率的计算公式；3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

本节的重点是根据给定的几何要素，选择恰当形式确定直线的方程，难点有两个：一是对斜率概念的理解，二是熟练掌握五种直线形式并认识其优点及其局限性。

由于新课标淡化了直线方程的形式，只要求掌握直线的点斜式、两点式和一般式，其他作为了解，所以对方程形式的考察应该不会太多太复杂，而对于确定直线位置的几何要素则容易综合考察，如斜率概念在三角、向量、导数等方面都涉及到，可以设计综合问题。

估计2009年高考有两个方面一是小题考概念，二是在大题中考直线与曲线的位置关系，难度不会很大，复习中应以夯实基础知识为重。

再现型题组1．若直线x=1的倾斜角为α，则αA 等于零B 等于4πC 等于2πD 不存在2．若过点P （1-a,1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为。

3．直线5x-4y-20=0在x 轴上的距，在y 轴上的截距和斜率分别为。

巩固型题组4. 已知直线PQ的斜率为-3，将直线绕点P顺时针旋转60︒所得的直线的斜率是3 C 3A 0 B3D -35 已知点A(1,2)、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是A 4x+2y=5B 4x-2y=5C x+2y=5D x-2y=5提高型题组6．直线0Ax在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角+By1=-是直线3x的倾斜角的2倍，则( )-y33=A. A＝3，B＝1B.A＝－3，B＝－1C.A＝3，B＝－1D.A＝－3，B＝17．已知直线l过点M（2，1），且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点，（1）当∆ABC面积最小时，求直线l的方程(2)当MA MB⋅取得最小值时，求直线l的方程反馈型题组8.已知过点A（-2，m）和B（m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为A 0B -8C 2D 109.已知A(7,1),B(1,4),直线y=21ax 与线段AB 交于点C,且AC =2CB ,则a 等于A 2B 1C 54D 35 10.已知直线ax+4y-2=0 与 2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c), 则a+b+c= .11. 直线ax+y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是 .12.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 .13. 在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A 的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标为（1，2）求点A 和点C 的坐标。

§8.1 直线方程 (答案部分)再现型题组)⒈ 【提示或答案】C【基础知识聚焦】直线的倾斜角是反映直线位置的重要几何要素,本题可以从图象和方程两方面考虑,注意方程的特殊性.2. 【提示或答案】(-)2,-∞ (1,+∞)【基础知识聚焦】倾斜角和斜率的转化涉及正切函数的知识,须结合函数性质解答.3.【提示或答案】 4,-5 45【基础知识聚焦】直线方程的五种形式可以进行相互转化,注意其中的基本量.巩固型题组4. 解: 直线的斜率为-3,倾斜角应为120 ,按顺时针旋转60 后倾斜角变为60 ,斜率变为3,故答案选C【点评】倾斜角是一种特定的角，其范围是[)π,0，要注意结合图形而定；斜率是倾斜角的正切，不包括90 的倾斜角。

5. 【解法一】利用点斜式求解【解法二】设点P （x,y ）,利用PA =PB 可以求得。

【点评】求直线（包括曲线）方程主要有两种思路，一是求基本量的思想；一是求轨迹方程的思想，本例虽然简单，也体现了两种思想方法，但是多数题目应用第一种思路。

提高型题组6．解析：将直线方程化成斜截式B x B A y 1+-=. 因为B 1＝－1，B ＝－1，故否定A 、D. 又直线333=-y x 的倾斜角α＝3π，∴直线01=-+By Ax 的倾斜角为2α＝32π， ∴斜率－32tan π=B A ＝-3， ∴A ＝－3，B ＝－1，故选B【点评】平面上确定一条直线取决于两个条件，即这条直线的方向和经过的某点。

在解析几何中，直线的方向由这条直线的斜率或倾角来决定。

如果只知道直线经过某个定点(即这点的坐标)，而不知道直线的斜率(或倾角)即方向，那样满足条件的直线就有无数条；同样，如果只知道直线的斜率即方向，而不给定直线经过某一点，那么满足条件的直线也会有无数条。

像这样只知一个条件的直线集合，叫做直线系。

7.解析：（1）如图，直线l 若过一、二、三或一、三、四象限，则AOB ∆的面积逐渐增大，即此时的面积函数是增函数，不存在最值，因此只考虑直线与两坐标轴正方向相交的情况，此时斜率必为负值。

解法一：设直线l 的方程为y-1=k(x-2)(k 0 ),则A （2-,1k 0）,B(0,1-2k)∆∴AOB 的面积 S （k ）=21(1-2k)(2-k 1)=21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+k k 1)4(4≥21(4+4)=4. 当且仅当-4k=k-1 即 k=-21时，等号成立。

故直线l 的方程为y-1=-21(x-2), 即 x-2y-4=0。

解法二：设直线l 的方程为a x +b y =1(a 0,b 0). 则a 2+b 1=1,∴1≥2ab 2≥∴ab 8，ABC ∆∴的面积S=21ab 4≥,当且仅当a 2=b 1=21, 即a=4,b=2时，S 取最小值4。

故直线l 的方程为4x +2y =1, 即 x-2y-4=0。

(2) MA =112+k ，MB =244k +，MA MB =112+k 244k +=22122++k k 22⋅≥=4，当且仅当k 2=21k , 即 k 2=1时取等号，∴直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-3=0【点评】借助图形对直线可能所处的位置进行判断，能有利于选择方程的形式，避免讨论。

另外，解析几何中的最值问题是常考题型，应注意参数的引入和范围的界定。

【变式与拓展】过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.解析：设所求直线L 的方程为：)0,0(1>>=+b a by a x∵直线L 经过点P （1，4）∴141=+b a∴942545))(41(=⋅+≥++=++=+a b b a a b b a b a b a b a 当且仅当=ba 4ab 即a=3,b=6时a+b 有最小値为9，此时所求直线方程为2x+y-6=0。

课堂小结从解析几何的视角看待直线，有两个基本量：点和方向。

对直线方向因素的描述有斜率和倾斜角两个概念，特别是斜率在高中数学中涉及多个知识点，容易产生交叉和综合；对直线方程的几种形式，除了熟练掌握和应用外，还应注意结合图形，选择恰当参数和方程形式。

反馈型题组8．B 9.A 10.-4 11.(][)+∞⋃-∞-,12, 12.x+4y-7=0,x=-113．解析:由方程组⎩⎨⎧==+-0012y y x ，可得A(-1,0) ∵x 轴是∠A 的平分线∴B （1，2）关于x 轴的对称点（1，-2）必在直线AC 上。

故直线AC 的方程为y=-（x+1）又BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0∴k BC=-2∴BC所在直线方程为y-2=-2（x-1）§8.2 两条直线的位置关系（含距离）新课标要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用球方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离。

重点难点聚焦本节的重点是两条直线位置关系的判定和点到直线距离公式、两点间距离公式的应用，难点是判断两直线位置关系时的等价转化思想和分类讨论思想，对称问题也是本节课的一个难点。

高考分析及预策由于本节内容是解析几何的两大问题之一——利用方程研究曲线（直线）性质(位置关系),所以是每年高考的必考内容，题目多以客观题为主，估计09年的考题会保持相对稳定，题目难度不会很大。

题组设计再现型题组1.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 两平行线x +y －1=0与2x +2y =3间的距离为（）A ．42B ．22C ．2D ．1 巩固型题组3求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．4. 求点P(-2，-1)关于直线x+2y-2=0对称的点．5.已知两直线l 1：x +m 2y +6=0， l 2：(m -2)x +3my +2m =0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.提高型题组6. 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．7. 已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l ∶4x+3y-2=0，求一点P 使|PA|=|PB|，且点P 到l 的距离等于2．反馈型题组8.直线l 经过点()21，P 且与两点()32，A 、()54-，B 的距离相等，则l 的方程是（）．（A ）064=-+y x （B ）0723=-+y x 和064=-+y x（C ）064=-+y x （D ）0732=-+y x 和064=-+y x9..已知直线01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：和四个命题： ①21212121//C C B B A A l l ≠=⇔； ②0212121=+⇔⊥B B A A l l ③12121210l C B A ⇔=-+和圆122=+y x 相切； ④2222l C B A ⇔=-过定点．其中正确的命题的个数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 .11．若一束光线从点()35，A 处射出后，在直线1=+y x 上的点()21，-B 处反射，则反射光线所在的直线方程为_____________．12．已知点()02，A 、()60，B ，O 为坐标原点，（1）若点C 在线段OB 上，且4π=∠BAC ，求ABC ∆的面积；（2）若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，延长BD 到P ，且BC PD 2=，已知直线031088110=-++y ax l ：经过点P ，求直线l 的倾斜角。